Лема Гензеля

Нехай $f(x)$ — це многочлен з цілими (або p-адичними цілими) коефіцієнтами, нехай m, k це додатні цілі такі, що m ≤ k. Якщо r є цілим таким, що

$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ і $f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$

тоді існує ціле s таке, що

$f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}$ і $r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.$

І також, таке s єдине за модулем p^k+m і його можна обчислити як таке ціле

$s=r-f(r)\cdot a$ де $a$ це ціле, що задовольняє $a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.$

Зауважимо, що $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ так, що дотримується умова $s\equiv r{\pmod {p^{k}}}.$ Додатково зазначимо, що якщо $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$, тоді можливо мати 0, 1 чи декілька s.

Виведення

Виведення леми розглядає розклад у ряд Тейлора функції $f$ в околі $r.$ З $r\equiv s{\pmod {p^{k}}}$ ми бачимо, що s повинно мати таку форму $s=r+tp^{k}$ для деякого цілого $t.$

Нехай $f(r+tp^{k})=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\ \left(tp^{k}\right)^{n}$, де $c_{0}=f(r),\,c_{1}=f'(r)$, отже

$f(r+tp^{k})=f(r)+t\,p^{k}\,f'(r)+p^{2k}\,t^{2}\,g(t)$ для деякого многочлена $g(t)$ з цілими коефіцієнтами.

Ділячи обидві частини за модулем $p^{k+m},m\leq k$, ми бачимо, що для того, щоб виконувалось $f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}$, нам треба

$0\equiv f(r+tp^{k})\equiv f(r)+t\,p^{k}\,f'(r){\pmod {p^{k+m}}}$

Тоді ми зауважимо, що $f(r)=zp^{k}$ для деякого цілого $z$ оскільки $r$ є коренем $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$. Таким чином,

$0\equiv (z+tf'(r))p^{k}{\pmod {p^{k+m}}}$,

тобто

$0\equiv z+tf'(r){\pmod {p^{m}}}.$

Розв'язуючи для $t$ у $\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z}$ отримуємо згадану вище формулу для $s.$ Припущення, що $f'(r)$ не ділиться на p гарантує, що $f'(r)$ має унікальне обернене за модулем $p^{m}.$ Отже, розв'язок для t існує і єдиний за модулем $p^{m}$ і $s$ існує і єдине за модулем $p^{k+m}$.

Наслідки

• Якщо $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}}$ і $r$ є розв'язком $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}},$ тоді $r$ підіймається до $s=r+tp$ для всіх цілих $0\leq t\leq p-1.$ Отже, $r$ підіймається до $p$ відмінних розв'язків $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}.$
• Якщо $f'(r)\equiv 0{\pmod {p}},$ але $r$ не є розв'язком $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}},$ тоді $r$ не підіймається до якогось розв'язку $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}.$ Отже, якщо $f(x)\equiv 0{\pmod {p^{k+1}}}$ має розв'язки, то жоден з них не лежить над $r.$

Приклад

Розв'язати конгруентність $x^{2}\equiv -1\mod 125.$ Тобто $f(x)=x^{2}+1,f'(x)=2x.$ За модулем 5: $2^{2}\equiv -1\mod 5,$ тому покладемо $r=2.$ $f'(r)\equiv 4\mod 5,$ отже $a=-1.$

${\begin{aligned}r_{1}&=2\mod 5\\r_{2}&=r_{1}-f(r_{1})\cdot a\mod 25\\&=2-(5)\cdot (-1)\mod 25\\&=7\mod 25\\r_{3}&=r_{2}-f(r_{2})\cdot a\mod 125\\&=7-(50)\cdot (-1)\mod 125\\&=57\mod 125\\\end{aligned}}$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Лема Гензеля(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.