Монoграфия

Витан Борисов Гълъбов Румен Анчев Русев Благойка Илиева Пълева-Кадийска СИНТЕЗ НА ГЪРБИЧНИ МЕХАНИЗМИ I Под редакцията на д.т.н. проф. Витан Гълъбов София 2020 Том 1 на монографията включва пет глави, свързани с проектирането на основните видове предавателни гърбични механизми. В следващи томове на монографията ще бъде представен синтезът на гърбично-центроидни, гърбично-лентови (псевдоцентроидни), инверсни, направляващи, преместващи и комбинирани гърбични механизми. Глава 1 включва основни сведения за структурните елементи на гърбичните механизми, илюстрации и кратки описания на различни видове равнинни и пространствени гърбични механизми, разделени на групи според функционалното им предназначение, както и начините за затваряне на структурите на гърбичните механизми. Глава 2 е посветена на различни обикновени, степенни, тригонометрични и степенно-тригонометрични закони на движение на изходното звено на гърбичните механизми. Обърнато е специално внимание на безударните закони на движение в т. ч. на закони за синтез на полидинамични гърбици. Множество графики, сравнителни таблици и препоръки дават възможност за подходящ избор на закон на движение съобразно зададени условия. Глава 3 съдържа теоретичните основи, използвани за съставяне на математичните модели за синтез на гърбичните механизми. Използваният теоретичен апарат се базира предимно на елементи на кинематичната и аналитичната геометрия, което дава възможност за адекватна, нагледна графична и математична интерпретация на синтеза, която без помощта на диференциалната геометрия разкрива напълно геометрията на гърбичните профили, вкл. техните кривини и еволюти. Глава 4 е посветена на синтеза на гърбични механизми с дискова гърбица и ротиращо (кобилица или кулиса) или транслиращо (ролков или тарелков плъзгач) изходно звено. Синтезът включва определяне на основните геометрични параметри и профилиране на еднодискови и двудискови гърбици по зададени кинематични или силови условия. Глава 5 е посветена на синтеза на гърбични механизми с линейна гърбица и ротиращо (кобилица или кулиса) или транслиращо (ролков или тарелков плъзгач) изходно звено. Синтезът включва определяне на основните геометрични параметри и профилиране на линейни гърбици по зададени кинематични или силови условия. Книгата е предназначена за инженери, техници, студенти, докторанти и преподаватели от висшите технически училища. © Автори: Проф. дтн инж. Витан Гълъбов Доц. д-р инж. Румен Русев Гл. ас. д-р инж. Благойка Пълева-Кадийска © Рецензенти: Доц. д-р инж. Илия Андонов Доц. д-р инж. Гочо Славов Печат: Издателство „Нов човек“, тел: 0878 25 82 22 ISBN 978-954-407-506-4 Авторите благодарят на д-р инж. Светослав Савчев и на д-р инж. Явор Софронов за „началния тласък“ на подготовката за написване на книгата. Vitan Borissov Galabov Roumen Anchev Roussev Blagoyka Ilieva Paleva-Kadiyska SYNTHESIS OF C A M MECHANISMS I Edited by Vitan Borissov Galabov Professor, doctor of technical science Sofia 2020 Volume 1 of the book includes five parts related to the synthesis of function generator cam mechanisms. In the next volumes of the monograph, the authors will present the synthesis of cam-centrodes, cam–bands (mechanism whit a flexible element), inverse (profiled-follower), path generator, motion generator (rigid-body guidance) and combined cam-link mechanisms. Chapter 1 provides basic information on the structural elements of the cam mechanisms, illustrations, and brief descriptions of the various types of planar and spatial cam mechanisms, divided into groups by their functional purpose, as well as how to close the structures of the cam mechanisms. Chapter 2 deals with the various ordinary, power, trigonometric, and powertrigonometric laws of motion of the output of the cam mechanisms. Special attention is paid to the laws of motion without finite and infinite spikes (without impacts in mechanical components), including the laws of synthesis of a polydyne cams. Numerous diagrams, comparative tables, and recommendations make it possible to make an appropriate choice of the output motion according to given conditions. Chapter 3 contains the theoretical foundations used to construct mathematical models for the synthesis of cam mechanisms. The theoretical apparatus used is based mainly on elements of kinematic and analytical geometry, which enables an adequate, visual graphical and mathematical interpretation of the synthesis, which, without the help of differential geometry, fully reveals the geometry of the cam profiles, incl. their curvatures and involutes. Chapter 4 is devoted to the synthesis of mechanisms with a disk cam and a oscillating (roller or flat-face) or translating (roller or flat-face) follower. Synthesis involves the determination of basic geometric parameters and the profiling of single-disc and double-disc conjugate cams under specified kinematic or force conditions. Chapter 5 deals with the synthesis of mechanisms with a linear (translating) cam and a oscillating (roller or flat-face) or translating (roller or flat-face) follower. Synthesis involves the determination of basic geometric parameters and the profiling of linear cams under specified kinematic or force conditions. The book is intended for engineers, technicians, students, PhD students and professors from technical schools and universities. © Authors: Prof. Eng. Vitan Galabov, DSc Associate professor Eng. Roumen Roussev, PhD Senior Assistant, Eng. Blagoyka Paleva-Kadiyska, PhD © Reviewers: Associate professor PhD Eng. Iliya Andonov, PhD Associate professor PhD Eng. Gocho Slavov, PhD Print: New Man Publishing House, 0878 25 82 22 ISBN 978-954-407-506-4 The authors thank PhD. Eng. Svetoslav Savchev and PhD. Eng. Yavor Sofronov for the "initial impetus" of preparation for writing this book. Съдържание У1 У2 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.2.1 1.2.2.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.2.3 2.2.2.4 2.2.2.5 2.2.2.6 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Увод Значение на гърбичните механизми в съвременната техника Предимства и недостатъци на гърбичните механизми Видове и функционално предназначение на гърбичните механизми Общи сведения за гърбичните механизми Основни определения Видове изходни звена и контактни повърхнини Видове гърбици Предавателни гърбични механизми Равнинни гърбични механизми Пространствени гърбични механизми Механизми с една степен на свобода Механизми с две степени на свобода Уравновесяващи гърбични механизми Гърбични механизми със специално функционално предназначение Затваряне на структурите на гърбичните механизми Задачи на синтеза и закони на движение на гърбичните механизми Генериране на движение при детерминирана функция на положението Генериране при определени или изведени кинематични условия Генериране при определени или изведени силови условия Генериране на движение при избрани предавателни функции Основни закони на движение Степенни закони на движение Двучленни степенни закони Тричленни степенни закони Четиричленни степенни закони Рационални възможности за генериране на степенни закони Степенни петчленни закони Степенни петчленни закони с една фаза на престой Тригонометрични закони Степенно-тригонометрични закони Симетрия и асиметрия на законите на движение Реален закон на движение и избор на предавателна функция Теоретични основи за метричен синтез Геометрични и кинематични характеристики на механизмите Функция на положението и предавателни функции Връзки между геометричните и кинематичните характеристики на механизмите Трансформиране на силовите характеристики на механизмите в предавателни функции Трансформиране на предавателните функции при смяна на входа и изхода на механизма 9 9 10 13 13 13 16 18 20 20 24 24 28 29 31 35 39 39 39 41 42 43 49 50 58 69 76 82 89 94 103 111 119 125 125 125 126 127 128 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Кинематични инварианти на моментното равнинно движение Моментни центрове на скоростите и центроиди Теорема на Aronhold-Kennedy Теорема на Willis Центроиди на относителното движение Теорема на Bobillier Кинематични инварианти при праволинейна транслация на входа и изхода 129 129 129 130 131 134 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 Синтез на гърбични механизми с дискова гърбица Гърбични механизми с ролкова кобилица Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на еднодискови и двудискови гърбици Двудискови гърбици с еднакъв профил Синтез по зададен постоянен ъгъл на предаване на силата Гърбични механизми с ролков плъзгач Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на еднодискови и двудискови гърбици Еднодискови гърбични механизми с двуролков плъзгач Синтез по зададен постоянен ъгъл на предаване на силата Гърбични механизми с плоска кулиса Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на еднодискови и двудискови гърбици Двудискови гърбици с еднакъв профил Диаметрални гърбични механизми Гърбични механизми с плосък плъзгач Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на еднодискови и двудискови гърбици Двудискови гърбици с еднакъв профил Диаметрални гърбични механизми 137 139 139 149 154 157 165 165 172 175 177 183 183 191 195 198 202 202 207 210 214 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 Синтез на гърбични механизми с линейна гърбица Гърбични механизми с ролкова кобилица Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на гърбицата Гърбични механизми с ролков плъзгач Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на гърбицата Гърбични механизми с плоска кулиса Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на гърбицата Гърбични механизми с плосък и с профилиран плъзгач Определяне на основните геометрични параметри Профилиране на гърбицата 220 220 220 223 227 227 230 233 233 239 241 241 245 Заключение 248 Списък на използваните източници 249 Автобиографични данни 254 134 Contents I1 I2 Introduction Importance of cam mechanisms in modern technology Advantages and disadvantages of the cam mechanisms 9 9 10 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.2.1 1.2.2.2 1.3 1.4 1.5 Types and functional purpose of the cam mechanisms General information on the cam mechanisms Basic definitions Types of output links and contact surfaces Types cam mechanisms Transfer cam mechanisms Planar cam mechanisms Spatial cam mechanisms Mechanisms with one a degree of freedom Mechanisms with two degrees of freedom Balancing cam mechanisms Cam mechanisms with a special functional purpose Closure of the structures of the cam mechanisms 13 13 13 16 18 20 20 24 24 28 29 31 35 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.2.3 2.2.2.4 2.2.2.5 2.2.2.6 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 Problems of synthesis and laws of motion of the cam mechanisms Generation of motion at deterministic position function Generation under defined or deduced kinematic conditions Generation under defined or deduced force conditions Generate motion at selected transfer functions General laws of motion Power laws of motion Binomial power laws Trinomial power laws Quadrinomial power laws Rational possibilities for generating power laws Power fivenomial laws Power fivenomial laws with one phase of stay Trigonometric laws Power-trigonometric laws Symmetry and asymmetry of the laws of motion The real law of motion and choice of the transfer function 39 39 39 41 42 43 49 50 58 69 76 82 89 94 103 111 119 3 3.1 3.1.1 3.1.2 Theoretical foundations for the metric synthesis Geometric and kinematic characteristics of the mechanisms Displacement function and transfer functions Relations between geometric and kinematic characteristics of mechanisms Transformation of the power characteristics of the mechanisms into transfer functions Transformation of the transfer functions when changing the input and output of the mechanism Kinematic invariants of instantaneous plane motion Instantaneous velocity centers and centroids Theorem of Aronhold-Kennedy Theorem of Willis 125 125 125 3.1.3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 126 127 128 129 129 129 130 3.2.4 3.2.5 3.2.6 Centroids of the relative motion Theorem of Bobillier Kinematic invariants in the rectilinear translation of the input and output 131 134 134 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 137 139 139 149 154 157 165 165 172 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 Synthesis of cam mechanisms with disk cam Cam mechanisms with an oscillating roller follower Determination of the basic geometric parameters Profiling of single-disc and double-disc cams Double-disc conjugated cams with the identical profile Synthesis at a given constant pressure angle Cam mechanisms with a translating follower roller Determination of the basic geometric parameters Profiling of single-disc and double-disc cams Single-disc cam mechanisms with a translating follower having double rollers Synthesis at a given constant pressure angle Cam mechanisms with a flat slotted-link Determination of the basic geometric parameters Profiling of single-disc and double-disc cams Double-disc conjugated cams with the identical profile Diametrical cam mechanisms Cam mechanisms with a flat slider Determination of the basic geometric parameters Profiling of single-disc and double-disc cams Double-disc conjugated cams with the identical profile Diametrical cam mechanisms 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.4 5.4.1 5.4.2 Synthesis of cam mechanisms with a linear cam Cam mechanisms with an oscillating roller follower Determination of the basic geometric parameters Profiling of the cam Cam mechanisms with a translating follower roller Determination of the basic geometric parameters Profiling of the cam Cam mechanisms with a flat slotted-link Determination of the basic geometric parameters Profiling of the cam Cam mechanisms with a flat and a profiled slider Determination of the basic geometric parameters Profiling of the cam 219 219 219 222 226 226 229 232 232 238 240 240 244 Conclusion 247 References 248 Autobiographical data on authors 253 175 177 183 183 191 195 198 202 202 207 210 214 УВОД У1 Значение на гърбичните механизми в съвременната техника Едно от най-важните изисквания към съвременните машини е свързано с генериране на точно определени закони на движение на изпълнителните звена. Това изискване в много случаи се оказва неизпълнимо за механизмите с низши кинематични двоици – лостовите механизми. Затова в механизмите се използват звена с различни работни повърхнини, които в постоянен контакт образуват висши кинематични двоици, характерни за т. нар. гърбични механизми. Най-широко в машините-автомати, каквито са повечето от съвременните високопроизводителни машини, са разпространени равнинните гърбични механизми. Обикновено тези машини имат работни органи, задвижвани от механизми с гърбици, монтирани неподвижно към разпределително-управляващ вал (гърбичен вал). Съвременната история на гърбичните механизми датира от началото на ХХ век във връзка с появата на двигателите с вътрешно горене и с необходимостта от увеличаване на производителността на машините от текстилната, хранително-вкусовата, металообработващата и полиграфическата индустрия. Първоначално изследванията са били свързани с проучване на различни гърбични профили и определянето им съобразно желани движения на работните органи на машините. В 20-те години на ХХ век Alt и Flocke въвеждат един много съществен при проектиране на механизмите динамичен фактор – ъгъл на предаване на движението. Едва през 90-те години на миналия век Гълъбов успява да свърже по естествен начин условието за благоприятно предаване на силите с центроидите на относителното движение и по този начин да определи обективно области на основните геометрични параметри на гърбичните механизми, за които това условие е изпълнено. От началото на 30-те години на миналия век гърбичните механизми са обект на внимание на много изследователи. Първоначално Бруевич и Баранов са развили кинематичния и точностния анализ на тези механизми. Геронимус е синтезирал гърбичен профил по зададен закон на движение на изходното звено. Решетов, Капустин, Доброволский и др. също са изследвали някои от основните видове гърбични механизми. Изследвания на гърбични механизми се провеждали още в САЩ и в страни на Западна Европа главно във връзка с развитието на автомобилостроенето. В средата на ХХ век изследванията продължават във връзка с използването им във високоскоростни машини и в машини-автомати. Различни закони на движение, свързани с комплексно пресмятане на гърбични механизми, са обект на изследвания на Тир, Левитский, Артоболевский 9 и други учени от Русия, САЩ и Западна Европа. Най-значителни работи в тази област принадлежат на американските учени Rothbart, Kloomok, Neklutin (изследване на високоскоростни гърбични механизми), а така също на английския учен Richarts, изследвал различни закони на движение на гърбични механизми и тяхното проектиране. Количеството на изследванията на гърбичните механизми с времето значително нараства. Редица публикации на Белецкий, Рагульскис, Решетов, Тарновский, Юдин са посветени на определяне на основните размери на гърбични механизми, а работи на Rössner, Rothbart, Hain - на избора на закон на движение. Значително количество статии са посветени на анализа и синтеза на гърбични механизми за различни видове технологични машини. Към тях се отнасят работи на Митропольский (ковашко-пресови автомати), Петрокас (полиграфично и химическо машиностроене), Русев и др. (текстилни машини), както и монографии на Rothbart, Тир, Левитский, Попов, Chen и др. У2 Предимства и недостатъци на гърбичните механизми При машините-автомати необходимите за съответните технологични процеси закони на движение се реализират от гърбични или лостови механизми. Последните имат предимства по отношение на простота при изработката и отсъствие на висши кинематични двоици, което води до по-малко износване на машинните им елементи. Обаче лостовите механизми не са приложими, когато трябва точно да изпълнят необходими закони на движение, особено в случаите, при които трябва да се редуват престои и движения на изходните звена. Основните достойнства на гърбичните механизми са свързани с възможността най-просто, само с две подвижни звена да преобразуват равномерно ротационно или транслационно движение на входното звено (гърбицата) в желано възвратно транслационно или ротационно движение на изходното звено – плъзгач, кобилица или кулиса. Интервалите на геометричния цикъл, както и законите на движение на изходното звено, зависят от профила на гърбицата. Смяната на гърбиците към вала е проста, а габаритите им сравнително малки. Съгласуването на работата на отделните механизми в машините-автомати се осъществява просто, чрез монтиране на гърбиците под определени ъгли една спрямо друга към разпределително-управляващ вал. Недостатъците на гърбичните механизми са свързани с наличието на висши кинематични (гърбични) двоици (гърбица – изходно звено), при които контактът теоретично е в точка или отсечка, а фактически – в малка площадка, в която налягането достига значителни стойности, променящи се периодично и достигащи своя максимум при всеки оборот на гърбицата в един и същ участък на нейния профил. Това предизвиква сравнително бързо и неравномерно износване на гърбичния профил, особено при 10 високоскоростни машини и значителни натоварвания. Освен това са възможни случайни откази на пружините, силово затварящи гърбичните двоици. Гърбичните механизми създават известни затруднения от динамичен характер при повишаване на производителността на машините-автомати. Затова модернизацията на машините е насочена към подобряване на техния динамичен режим, в основата на който стои законът на движение и конструкцията на гърбичните механизми. Надеждността на гърбичните механизми може да се повиши чрез:  рационален избор на схема и на такива закони на движение на изходното звено, които изключват удари и вибрации;  използване на износоустойчиви материали за изработване на гърбиците, термичната им обработка, увеличаване на класа на точност и чистотата на изработка;  внасяне на компенсиращи гърбици, които уравновесяват излишните усукващи моменти и изравняват натоварването на двигателите. Благодарение на научно-изследователската работа по модернизация на гърбичните механизми преобладаващото им приложение, особено в машините на леката промишленост, задълго ще се съхрани. В това отношение работа протича главно в три направления: 1. Замяна на силовото затваряне на гърбичната двоица с геометрично, за да се намали налягането в гърбичната двоица и опасността от счупване на затварящата пружина, което може да предизвика значителни повреди на машината. Тази замяна е свързана с развитие на теорията за синтез на гърбични механизми с двудискови и с диаметрални гърбици. 2. Постигане на по-бавно и по-равномерно износване на гърбиците посредством въвеждане на закони на движение, при които натоварването на гърбиците по време на работния им интервал е по-равномерно. Това може да се постигне и чрез използване на закони на движение, изведени от условия за постоянен ъгъл на предаване на силата или постоянна стойност на механичния коефициент на полезно действие /КПД/, което значително увеличава срока на работа на гърбичните механизми и производителността на машините. 3. Развитие на методите за синтез на гърбичните механизми, позволяващи пълно разкриване на геометрията на гърбичните профили, центровите криви на обработващите инструменти, включително на общите им еволюти, тъй като от радиусите на кривина на спрегнатите повърхнини на гърбичните двоици зависят в голяма степен контактните напрежения. Основните съображения и препоръки на Rothbart [105] към конструктора на гърбични механизми са валидни и днес. Дадени са по-долу с малки промени и осъвременяване (вж. също раздел 2.2.6 и заключението на книгата). 11 1. Най-често да се използват равнинни гърбични механизми с дискова гърбица. 2. Гърбицата да има почти винаги постоянна ъглова скорост, която се определя от работния цикъл на машината, необходимите стойности на преместването, скоростта и ускорението на изпълнителното звено. 3. Гърбичният профил трябва да бъде гладък, без резки изменения на кривината, като се има предвид, че максималната кривина (заостреност) на гърбичния профил зависи най-вече от максималното отрицателно ускорение на изходното звено. 4. Габаритите на гърбицата трябва да бъдат минимални, за да се минимизира скоростта на приплъзване на изходното звено, износването на контактуващите работни повърхнини, усукващият момент и дисбалансът на задвижващия вал заедно с гърбицата. 5. Ъгълът на предаване на силата и кривината на гърбичния профил трябва да бъдат по възможност минимални, като се има предвид противоречивото изискване по т.4. 6. Трябва да се използват закони на движение, с помощта на които може да бъдат удовлетворени изискванията, наложени от функционалното предназначение на машини, в които се вграждат гърбични механизми. 7. Ускорението на изходното звено при високи скорости трябва да бъде минимално, за да се избегнат големи стойности на инерционните сили и на контактните напрежения в гърбичната двоица. 8. При високи скорости шумът, износването на работните повърхнини и вибрациите на системата гърбица-изпълнителна кинематична верига в значителна степен зависят от характера на функцията на ускорението на изпълнителното звено – гладкостта и непрекъснатостта на тази функция са много важни фактори. 9. При производството на гърбици е необходимо аналитично определяне на гърбичния профил и на еквидистантните му криви, по които се движат центровете на обработващите инструменти. 10. Методите на изработване и точността на обработката на работните повърхнини на гърбицата имат решаващо значение за обезпечаване на правилното функциониране на механизма. При високи скорости дори невидими с просто око дефекти на работните повърхнини могат да предизвикат значителни напрежения и вибрации на изходното звено. 11. Подвижните звена на гърбичния механизъм трябва да бъдат възможно най-леки и твърди. В механизмите, работещи с високи скорости, хлабините трябва да бъдат минимални, за да се минимизират ударните явления, шумът и износването. 12 1 ВИДОВЕ И ФУНКЦИОНАЛНО ПРЕДНАЗНАЧЕНИЕ НА ГЪРБИЧНИТЕ МЕХАНИЗМИ 1.1 Общи сведения за гърбичните механизми 1.1.1 Основни определения Тризвенните гърбични механизми се състоят от стойка, гърбица, която най-често е входно звено на механизма и изходно вено, което контактува с гърбицата, образувайки висша кинематична (гърбична) двоица. Авторите употребяват термина изходно звено на гърбичния механизъм, тъй като това звено не винаги съвпада с изпълнителното звено на механизмите, при които гърбицата, задвижва две и повече звена. Тризвенните гърбични механизми са най-прости и затова най-разпространени. В много случаи се налага към изходното звено на гърбичния механизъм подвижно да се свързват още звена. Така се образуват т.нар. многозвенни гърбични механизми. Ако добавените звена образуват помежду си само низши кинематични двоици (въртящи и плъзгащи), тогава механизмът се нарича гърбично-лостов. Комбинирани механизми се образуват от свързване на два или повече видове механизми. Така е възможно да се образува комбинирани гърбично-зъбни, гърбично-фрикционни, гърбично-малтийски и др. видове комбинирани механизми. Гърбичните механизми се разделят на две големи групи – равнинни и пространствени в зависимост от това дали точките от подвижните звена се движат в успоредни равнини (при равнинните механизми) или в неуспоредни равнини (при пространствените механизми). Гърбичните механизми, в зависимост от функционално им предназначение, се разделят на предавателни, направляващи, преместващи и уравновесяващи. Предавателните механизми, известни още като генератори на функции, функционални генератори и функционални механизми, генерират функции с цел да преобразуват движения и сили. Входното и изходното звено са с просто движение спрямо друго звено, което безусловно или условно се приема за стойка. При много машини-автомати входното звено представлява вал с фиксирани към него гърбици (гърбичен вал), задвижващи съответен брой изходни звена. Направляващите механизми, известни още като генератори на траектории, направляват по зададена траектория точка от звено с общо равнинно или пространствено движение. Тризвенните направляващи гър- 13 бични механизми имат същата структура, както на тризвенните предавателни гърбични механизми с тази разлика, че гърбицата е неподвижна, докато бившата стойка става подвижно звено. Различни машини имат многозвенни направляващи механизми с подвижни и/или неподвижни гърбици. Преместващите механизми генерират преместване – общо равнинно или пространствено, което включва най-често траектория на точка заедно със зададена ориентация на звеното. Тези механизми обикновено имат поне две гърбици и свързана с тях лостова система. Тризвенните предавателни гърбични механизми имат входен параметър A - ротация или транслация на гърбицата (входното звено) и изходен параметър B - ротация или транслация на изходното звено (фиг.1.1). Ротацията на гърбицата обикновено е еднопосочна, докато тази на изходното звено – възвратна. Транслациите на двете звена са винаги възвратни. Възможни са три комбинации от входно-изходни движения. Първата комбинация включва еднопосочна ротация на гърбицата и възвратна ротация или транслация на изходното звено (фиг.1.1а). Преместването А на гърбицата обикновено се редува с преместване В или престой на изходното звено. Пълният геометричен цикъл на действие на гърбичния механизъм е отворен и включва четири фази: Ф1 - фаза на отдалечаване на изходното звено; Ф2 - фаза на отдалечен (горен) престой на изходното звено; Ф3 - фаза на приближаване (спускане) на изходното звено; Ф4 - фаза на близък (долен) престой на изходното звено. Фазите представляват ъгли на завъртане на гърбицата, сумата на които определя отворения геометричен цикъл ФС = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4 на механизма, който най-често е един оборот на гърбицата (2π, rad). Втората комбинация включва възвратна ротация или възвратна транслация на гърбицата и на изходното звено (фиг.1.1б). Пълният геометричен цикъл ФС на действие на гърбичния механизъм е затворен и включва фазите Ф1→Ф2→Ф3→Ф4 и обратно фазите Ф4→Ф3→Ф2→Ф1. Възвратната ротация на гърбицата в едната посока обикновено не превишава един оборот, при което ФС = 2(Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4) ≤ 4π, rad. При транслация на гърбицата фазите представляват дължини в mm на отсечки от праволинейното ѝ преместване. Геометричният цикъл на механизма е равен на удвоения ход (максимално преместване σmax) на гърбицата:  C  2(1   2   3   4 )  2 max . 14 B Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 ФC A а) B Ф1 Ф2 Ф3 ФC / 2 Ф4 A Ф2 A б) B Ф4 Ф3 = Ф1 ФC / 2 в) Фиг.1.1. Три вида прости движения на изходното звено: а) еднопосочна ротация на гърбицата и възвратна ротация или транслация на изходното звено; б) възвратна ротация или възвратна транслация на гърбицата и на изходното звено; в) възвратна ротация или възвратна транслация на гърбицата и на изходното звено с обратно движение на гърбицата след фаза Ф2 Третата комбинация подобно на втората също включва възвратна ротация или възвратна транслация на гърбицата и на изходното звено с тази разлика, че след фаза Ф2 следва обратно движение на гърбицата, 15 което преминава отново през фаза Ф2, минава през фаза Ф3 ≡ Ф1 и завършва с преминаване на фаза Ф4 в двете посоки. С това приключва затвореният геометричен цикъл ФС = 2(Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4) ≤ 4π, rad при възвратна ротация на гърбицата и ФС = 2(Ф1 + Ф2 + Ф4) = 2σmax, mm при възвратна транслация на гърбицата. Фазите могат да имат различна големина. Възможно е цикълът ФС да не включва една или двете фази на престой, т.е. Ф2 = 0 и/или Ф4 = 0. Това са трите типични комбинации от входно-изходни движения, от които най-често се среща първата комбинация. Възможни са и други рядко срещащи се комбинации, включващи различен брой фази на движение и на престой на изходното звено в рамките на един геометричен цикъл. Законите на движение на изходните звена на гърбичните механизми във фазите на движение могат да бъдат разделени в четири групи: основни (обикновени), степенни, тригонометрични и степенно-тригонометрични. Изборът на закон на движение при проектиране на гърбичните механизми е от съществено значение за тяхното функциониране. 1.1.2 Видове изходни звена и контактни елементи Изходните звена на гърбичните механизми (фиг.1.2) могат да бъдат класифицирани по един от двата признака: вид на повърхнината, с която звеното контактува с гърбицата; вид на движението на изходното звено – транслация, ротация или сложно движение. Изходно звено с острие (фиг.1.2а) се среща много рядко само при ненатоварени гърбични механизми с кинематични функции. Следствие на износване острието постепенно придобива форма на част от сферична или цилиндрична повърхнина с малък радиус. Изходното звено може да завършва със сферична, кръгова (фиг.1.2б) или некръгова цилиндрична работна повърхнина, каквато имат гърбиците, профилирани по центроидите на относителното движение (фиг.1.2в). Изходното звено може да завършва с въртяща се ролка (фиг.1.2г) с цилиндрична, глобоидна (бъчвообразна) или конична работна повърхнина. Най-често се използва цилиндрична ролка, лагерувана към изходното звено, с цел да се намали плъзгането ѝ спрямо гърбицата. При изходно звено с транслационно или ротационно движение и с праволинеен работен профил на звеното (фиг.1.2д) се появяват високи относителни скорости в точката на контакт на гърбичната двоица, които заедно с контактните повърхностни напрежения, водят до интензивно износване на контактуващите повърхнини. Изходното звено може да бъде плъзгач (образува плъзгаща двоица със стойката), кобилица или кулиса (образуват въртяща двоица със стойката). Плъзгачът и кобилицата обикновено са ролкови, докато кулисата 16 по дефиниция има праволинеен работен профил. Такъв профил има и плоският плъзгач (фиг.1.2д), известен още като тарелков – от думата тарелка (рус. ез.) – чинийка, която се върти с цел да се намали триенето с гърбицата. В много редки случаи изходните звена на гърбичните механизми извършват общо равнинни движения, необходими за желано целево преместване, постигнато например с лостов механизъм (фиг.1.2е). а) б) в) г) д) е) Фиг.1.2. Видове изходни звена и контактни елементи: а) плъзгач и кобилица с остър накрайник; б) плъзгач и кобилица със сферична и кръгово цилиндрична работнa повърхнина; в) некръгово цилиндрични работни повърхнини на центроидни гърбици; г) ролков плъзгач и ролкова кобилица; д) плосък (тарелков) плъзгач и плоска кулиса; е) ролкова мотовилка на шарнирен четиризвенен механизъм 17 1.1.3 Видове гърбици На всеки закон на движение еднозначно съответстват подвижни центроиди, които при определени условия определят профилите на гърбици, образуващи със стойката т.нар. центроидни механизми (фиг.1.3в). Характерно за тях е чистото търкаляне на гърбиците една спрямо друга. Гърбиците могат да извършват възвратни движения като се въртят в една посока (фиг.1.3а), в противоположни посоки (фиг.1.3в) или движението на едната гърбица е ротация, а на другата – транслация (фиг.1.3б). Гърбичните механизми със затворен профил на гърбиците (затворените центроидни механизми) генерират строго монотонни периодични функции на ротация. Профилът може да бъде различен, в частност елипса или модификации на елипсата (фиг.1.3в). Такива гърбици обикновено се назъбват, за да се избегне приплъзване между тях. Получават се т.нар. механизми с некръгли зъбни колела. а) б) в) Фиг.1.3. Центроидни гърбици и механизми с: а) възвратна ротация на двете гърбици; б) възвратна ротация на едната гърбица и възвратна транслация на другата гърбица; в) еднопосочна ротация на двете звена Гърбици имат и клас от механизми с гъвкави звена, но тяхното разглеждане е извън темата на настоящата монография. Профилът на гърбиците на гърбичните механизми зависи от вида на движението на изходното звено (фиг.1.4), от вида на самата гърбица и от начина на осигуряване на постоянен контакт на изходното звено с гърбицата. При възвратна транслация на гърбицата и на изходното звено (плъзгач) профилът на гърбицата (фиг.1.4а, б) има характера на закона на движение (фиг.1.1б, в). Плъзгачът реализира зададен линеен ход и престои (един или два) при прав и обратен линеен ход на гърбицата. Движе- 18 ние на плъзгача без престои е по-целесъобразно да се реализира с лостов механизъм, ако не се налага изходно преместване по точно определен закон. В противен случай се използва гърбица, например в качеството на копир при профилиране на контур с точно определена форма. Характерът на гърбичния профил (фиг.1.4г) се запазва при възвратна ротация на изходното звено (кобилица или кулиса). Подобно при еднопосочна ротация на гърбицата, транслация или възвратна ротация на изходното звено, профилът на гърбицата се затваря (фиг.1.4в) и също има характера на закона на движение, представен на фиг.1.4а с тази разлика, че е „огънат“ по окръжност. Според вида на работната повърхнина на гърбицата могат да се разграничат: плоски клиновидни или линейни гърбици (фиг.1.4а, б); радиални или дискови гърбици с еднопосочна ротация (фиг.1.4в) или с възвратна ротация (фиг.1.4г) и с некръгово или кръгово цилиндрични работни повърхнини (ексцентрици); с елипсоидна (глобоидна), хиперболоидна или параболоидна форма (вж. раздел 1.1.2). а) б) в) г) Фиг.1.4. Видове гърбици с просто движение: а) линейна гърбица за реализиране на втора комбинация от движения съгласно фиг.1б; б) линейна гърбица за реализиране на трета комбинация от движения съгласно фиг.1в; в) дискова гърбица за реализиране на първа комбинация от движения съгласно фиг.1а; г) дискова гърбица за реализиране на трета комбинация от движения съгласно фиг.1в Конструкцията на гърбичния механизъм, вкл. на гърбицата зависи и от начина на затваряне на гърбичната двоица (раздел 1.6). По-пълна информация за видовете гърбици и гърбични механизми се съдържа в следващите страници. 19 1.2 Предавателни гърбични механизми Предавателните механизми преобразуват входно движение на начално звено (вход на механизма) в желано изходно движение на изходното звено (изход на механизма), като двете звена са свързани шарнирно или с плъзгач към стойката на механизма, поради което извършват съответно ротация или транслация спрямо стойката. 1.2.1 Равнинни гърбични механизми Възвратно движение на изходното звено може да се постигне от тризвенен гърбичен механизъм, съставен от стойка и две профилирани звена – гърбица (входно звено) и изходно звено, които образуват помежду си висша кинематична (гърбична) двоица, като профилираните звена и стойката образуват низши кинематични двоици – въртящи (фиг.1.5) или плъзгащи (фиг.1.6). Гърбицата представлява детайл, който служи за предаване на движение на изходното звено (плъзгач, кобилица или кулиса), с което е в непрекъснат контакт. 2 2 2 S  1  1  1  0 0 0 а) б) в) S 2  1 Фиг.1.5. Равнинни гърбични механизми с 0 г) дискова гърбица 1 и изходното звено 2: а) ролкова кобилица; б) ролков плъзгач; в) плоска кулиса; г) плосък плъзгач. 20 Гърбицата 1 обикновено извършва еднопосочна ротация (фиг.1.5), докато изходното звено 2 има възвратно движение – ротация (кобилица или кулиса) или праволинейна транслация (плъзгач). По-малко разпространени са гърбичните механизми с праволинейна транслация на гърбицата 1 (фиг.1.6). Изходните звена 2 също могат да бъдат ролкова кобилица, ролков плъзгач, кулиса или плосък (тарелков) плъзгач. Представените равнинни гърбични механизми с две подвижни звена се явяват най-простите и затова най-разпространените гърбични механизми. S 2 2 1 1   0 0 а) б)  2 2 S 1  1  0 0 в) г) Фиг.1.6. Равнинни гърбични механизми с линейна гърбица 1 и изходно звено 2: а) ролкова кобилица; б) ролков плъзгач; в) плоска кулиса; г) плосък плъзгач. Инверсните гърбични механизми (фиг.1.7), известни още като обърнати гърбични механизми или механизми с профилирано изходно звено, спадат към групата на тризвенните гърбични механизми. Независимо от безспорните им предимства (компактност, по-малка маса, лесно постигане на дълъг ход и др.) те не са получили широко разпространение 21 главно заради слабо изучените им свойства и затрудненията при постигане на желан закон на движение през целия им геометричен цикъл на механизма. Тези механизми се отличават от кулисните механизми с профилирания канал на кулисата. Затова са в състояние лесно да генерират променливо движение с престои на профилираното изходно звено. Възможни са различни видове инверсни гърбични механизми, част от които са представени на фиг.1.7. Входното звено на тези механизми е плъзгач (фиг.1.7а, в) или коляно (фиг.1.7б, г), снабдени с ролка, разположена в криволинеен канал на изходното звено с транслационно (фиг.1.7а, б) или ротационно движение (фиг.1.7в, г). 1  2 1  2 1 2  S S а) 1  б) 2  г) в) Фиг.1.7. Инверсни гърбични механизми с: а) транслация на входа и изхода; б) ротация на входа и транслация на изхода; в) транслация на входа и ротация на изхода; г) ротация на входа и изхода. Гърбични механизми с възвратна ротация на гърбицата са представени на фиг.1.8. Възвратно движение с променлива скорост имат транслиращите гърбици и ротиращите гърбици, задвижвани най-често от лостов механизъм – шарнирен четиризвенник (фиг.1.8в), кулисен механизъм или друг лостов механизъм. Гърбични механизми със сложно движение на изходното звено задвижват най-често звено на лостов механизъм, например мотовилката на шарнирен четиризвенен механизъм (фиг.1.2е) или звено, което си променя дължината по време на движение. Гърбицата може да е подвижна (фиг.1.9а, в) или неподвижна (фиг.1.9б, г). На фиг.1.9б променлива е дължината на коляното, а на фиг.1.9г – мотовилката на лостовия механизъм. 22 1  2 S S 2  1   2 а) б) 1 в) Фиг.1.8. Гърбични механизми с възвратна ротация на гърбицата с: а) ролкова кобилица; б) ролков плъзгач; в) задвижване от шарнирен механизъм.    S а) б)     в) г) Фиг.1.9. Гърбични механизми с общо равнинно движение на изходното звено с: а) подвижна гърбица и плъзгач на изхода; б) и г) неподвижна гърбица и кобилица на изхода; в) подвижна гърбица и кобилица на изхода. 23 Гърбични механизми, последователно свързани с лостови механизми, се използват широко в различни видове технологични и транспортни машини. Две схеми на гърбично-лостови механизми са представени на фиг.1.10. До тук представените гърбични механизми се явяват генератори на възвратни движения. Развитието на непрекъснатите производствени процеси изисква все по-често да се използват механизми за генериране на монотонна ротация, които не са обект на тази монография.  S  а) б) Фиг.1.10. Гърбични механизми с ролкова кобилица, задвижваща: а) тарелков плъзгач; б) ролкова кобилица. 1.2.2 Пространствени гърбични механизми 1.2.2.1 Механизми с една степен на свобода Пространствените гърбични механизми с транслация на гърбицата и плъзгача могат успешно да бъдат заменени с равнинни механизми със същите движения. Пространствени гърбични механизми с транслация на гърбицата и ротация на изходното звено се използват много рядко. Пространствените гърбични механизми с ротация на гърбицата и транслация на изходното звено (фиг.1.11) се използват главно при успоредност на оста на въртене на гърбицата с направлението на плъзгане на плъзгача. Много редки са случаите, при които оста на въртене на гърбицата и направлението на плъзгане се пресичат или кръстосват. Пространствените гърбични механизми с ротация на гърбицата и на кобилицата обикновено имат перпендикулярни оси между двете подвижни звена. Редки са случаите на кръстосване или пресичане на осите на ротация на гърбицата и кобилицата. Синтезът на пространствените гърбични механизми с цилиндрична гърбица (фиг.1.11а, б) често се свежда до синтез на механизми с транслираща гърбица, след разгъвка на средната цилиндрична повърхнина на гърбицата. 24 По аналогичен начин могат да се анализират механизмите с конична гърбица (фиг.1.12), която може да се разглежда като ротираща гърбица, след разгъвка на средния конус. Коничната гърбица, подобно на цилиндричната, може да има направляващ канал (фиг.1.12а), в който е поместена ролката на изходното звено или челна работна повърхнина (фиг.1.12б). S 2 2 1 1   а) 1  2  2 2 S   1 1  б) в) Фиг.1.11. Гърбични механизми: а) с цилиндрична гърбица с канал; б) с цилиндрична гърбица с челна работна повърхнина; в) със сферична гърбица. Цилиндричната гърбица е за предпочитане пред коничната, освен в случаите, при които направлението на движението на плъзгача трябва да сключва зададен ъгъл с оста на ротация на гърбицата. Тогава този ъгъл определя ъгълът между образувателната и оста на конуса. Гърбичните механизми с глобоидна гърбица се използват при по-голям ъглов ход на кобилицата в сравнение с цилиндричната гърбица. Глобоидната гърбица може да бъде изпъкнала - елипсоидна (фиг.1.13а) или вдлъбната – хиперболоидна (фиг.1.13б). 25 2  S 2 1 1   а)  2 S 2 1 1   б) Фиг.1.12. Гърбични механизми с конична гърбица: а) с канал; б) с челна работна повърхнина.       а) б) Фиг.1.13. Глобоидни гърбични механизми с ролкова кобилица 26 Пространствен гърбичен механизъм с кобилица с две ролки, които обхващат издатина с охлювообразна затворена форма, подобно на резба на винт (фиг.1.14а). Гърбицата има цилиндрична или глобоидна форма при по-голям ъглов ход на кобилицата. Еднопосочна прекъсвана ротация на изходното звено е възможно да се получи, ако е снабдено с няколко равномерно разположени по окръжност ролки, последователно взаимодействащи с охлювообразна издатина на гърбицата (фиг.1.14б) или са разположени в подобен канал на гърбицата (фиг.1.14в, г). Осите на въртене на ролките са разположени перпендикулярно (фиг.1.14б, в) или успоредно (фиг.1.14г) на оста на въртене на изходното звено. Тези механизми могат да се разглеждат като червячни механизми с променлив ъгъл на наклон на винтовата линия.    а) б)     в) г) Фиг.1.14. Пространствени гърбични механизми с ротация на изходното звено: а) възвратна; б, в, г) еднопосочна. Гърбиците се изработват върху самия вал или се фиксират към него с възможност за регулиране на положението им върху вала. За бърза пренастройка на целевите движения на различни машини-автомати към разпределителните им валове се монтират сменяеми гърбици. Подобно 27 гърбиците с транслационно движение могат да се изработят върху самия плъзгач или се фиксират в желано положението спрямо плъзгача. Гърбици се използват и в качеството им на копири при масово изработване на гърбици или други подобни елементи с металообработващи машини. 1.2.2.2 Механизми с две степени на свобода Тези механизми генерират функции с две независими променливи, респ. на изходни движения функция на две независими движения на гърбицата. S 3 2 2  S 2 1 1 1  а) б) S  2 2   1  1 в) г) Фиг.1.15. Пространствени гърбични механизми с независими движения на гърбицата: а) две транслации; б, в) ротация и съосна транслация; г) ротация и перпендикулярна транслация. 28 Пример за това са схемите на пространствени гърбични механизми с две степени на свобода, представени на фиг.1.15, от които гърбицата на фиг.1.15а има две праволинейни транслации. Гърбиците, известни като коноиди, се въртят около своята ос и се преместват възвратно по тази ос (фиг.1.15б,в). Възможна е ротация на гърбицата спрямо ос, перпендикулярна на входното преместване (фиг.1.15г). Изходни движения са възвратна праволинейна транслация на плъзгач (фиг.1.15а,б,г) или ротация на кобилица (фиг.1.15в). 1.3 Уравновесяващи гърбични механизми Програмиращи устройства, в частност гърбични механизми, често се използват за уравновесяване на излишни (в повече) сили и моменти при цикловите машини-автомати. При стационарния им режим с периодично движение на работните органи се появява пулсация на енергията следствие на неравномерното ѝ потребление при преодоляване на технологично натоварване, натрупване и отдаване на потенциална енергия от еластични елементи, пневмоцилиндри и други устройства, а също следствие на натрупване и отдаване на кинетична енергия от периодично движещи се маси и цикличното им преместване в гравитационно поле. Излишната енергия в цикловите машини-автомати при установено движение се акумулира от уравновесяващо (акумулиращо) устройство, а след това се възвръща от устройството в уравновесяваната система. В качество на уравновесяващо устройство се използват различни елементи и системи, способни да акумулират и отдават потенциална или кинетична енергия с най-малки загуби за цикъл: еластични елементи – пружини, ресори, торзиони, както и пневматични устройства и инерционни системи. Уравновесяващите гърбични механизми (фиг.1.16) с изходно звено (обикновено кобилица 2), непосредствено свързано с акумулиращо устройство 3, се установяват към главния вал на машината-автомат поотделно или групово по отношение на изпълнителните механизми. Еднокобиличните уравновесяващи гърбични механизми (фиг.16а, в), състоящи се от гърбица 1, изходно звено 2 и акумулиращо устройство 3, създават излишни огъващи моменти на главния вал на машината-автомат. Този недостатък се избягва от двукобилични механизми (фиг.16б), които се състоят от двудискова гърбица 1 и две синхронно, симетрично движещи се кобилици 2′ и 2″, съединени с общо акумулиращо устройство 3 или симетрично разположени към осите на кобилиците спирални пружини или други видове еластични елементи. При т.нар. енергоконстантни механизми общо акумулиращо устройство 3 е свързано от единия си край към изходното звено 2′ на изпълнителния механизъм, а втория край – към изпълнителното звено 2″ на уравновесяващия механизъм (фиг.1.16б). Законът на движение на изпълни29 телното звено на уравновесяващия механизъм, а следователно и профилът на неговата гърбица се синтезират така, че да осигурят уравновесяване за сметка на съответно въздействие на акумулиращото устройство. Освен натрупване и отдаване на енергия, акумулиращото устройство осъществява силово затваряне на ролката на кобилицата и гърбицата на изпълнителния механизъм.  3 3   2'' 1 2' 2 1 а) б) 1   1 3 4  3 2 2 в) г) Фиг.1.16. Уравновесяващи гърбични механизми с: а) една кобилица; б) две кобилици; в) торсионен вал за акумулиране на енергия; г) инерционен акумулатор на енергия. Уравновесяващите гърбични механизми запазват пулсацията на излишната енергия между изходното звено на изпълнителния механизъм и акумулиращото устройство на уравновесяващия механизъм в участъка на главния вал между тях. В резултат остават натоварени звена на двата механизма и споменатия участък от главния вал, поради което не се изменят условията за износването им и се явява източник за възбуждане на трептения в машината. Енергоконстантните механизми се отличават с компактната си конструкция по отношение на уравновесяващите гърбич- 30 ни механизми. Наличието на общо акумулиращо устройство дава възможност за едностранно обиране на хлабините във въртящите кинематични двоици. В устройствата за програмно уравновесяване в качеството на акумулатори на енергия се използват еластични, инерционни и пневматични модули. Основни елементи на еластичните модули са различни видове пружини (винтови, спирални, тарелчати), ресори и торсиони (единични, снопови, листови). Предимства на тези модули е високият им КПД в сравнение с пневматичните, простите им и компактни конструкции. Недостатък представлява сложното регулиране на енергоемкостта при изменение на работния режим на машината. Регулировката при пружините се осъществява чрез промяна на началната деформация, а при торсионите – чрез промяна на работната им дължина. В качеството на инерционни модули се използват маси, приведени в движение от гърбицата на уравновесяващия механизъм (фиг.1.16г). Тези модули могат да бъдат без или с мултипликатор във вид на зъбен сектор 3 към вала на кобилицата и малко зъбно колело 4 (пиньон) на допълнителен вал с цел да се увеличи ъгловата скорост и намали масата на инерционния вал. Използването на мултипликатор понижава КПД и снижава ефекта от уравновесяването заради допълнителното динамично натоварване, възникващо в зъбната двоица. Затова инерционните модули имат ограничено приложение и се използват предимно при механизми със симетрична циклограма. Предимство на инерционните модули (акумулатори) е промяната на тяхната енергоемкост в съответствие с изменението на работната скорост на механизма и запазване на уравновесяващия ефект независимо от скоростния режим. Пневматичните модули се разделят на бутални, гумено-кордови и комбинирани. Гумено-кордовите модули в сравнение с буталните имат по-проста конструкция, висок механичен КПД и пълна херметичност. Изпълняват се във вид на плоски, тарелчати и обемни диафрагми или балони с различна форма. Голямо предимство на пневматичните модули е възможността да се регулира в широки граници тяхната енергоемкост чрез промяна на налягането на горещия въздух в работната камера на модула. 1.4 Гърбични механизми със специално функционално предназначение Разнообразието на гърбични механизми е голямо, особено когато е свързано с конкретни приложения в съвременната техника, отразени в различни справочници за механизми. По-долу са описани част от гърбичните механизми със специално функционално предназначение без да се посочват конкретни приложения, тъй като те могат да бъдат най-разнообразни. 31 Гърбични механизми с период от два оборота на гърбицата са представени на фиг.1.17. S 2 2 1    1 а) б) Фиг.1.17. Двуоборотни гърбични механизми с дискови гърбици с: а) кобилица; б) плъзгач Каналът на гърбицата се самопресича. За два оборота на дисковата гърбица изходното звено извършва пълен цикъл на възвратно движение – ротация (фиг.1.17а) или транслация (фиг.1.17б). Вместо кръгла ролка изходното звено завършва с шарнирно свързан лещовиден плъзгач, за да запази направлението си на движение в областта на самопресичане на канала. Такъв плъзгач имат и многооборотните гърбични механизми с цилиндрична гърбица. Плъзгачът на гърбичния механизъм от фиг.1.18а извършва пълен цикъл на възвратна транслация за два оборота на цилиндричната гърбица. При неподвижен плъзгач гърбицата ще се върти и движи възвратно, ако образува със стойката съосни цилиндрични двоици. На фиг.1.18б каналът на гърбицата е по винтова линия с малък наклон и постоянна стъпка за бавно движение на плъзгача, докато винтовата линия на канала при обратния ход на плъзгача е с голям наклон, за бързо преместване на плъзгача в изходно положение.  2 S 2 а) S б) Фиг.1.18. Многооборотни гърбични механизми с цилиндрична гърбица: а) двуоборотна; б) четириоборотна. 32 Гърбични механизми с увеличен ход на плъзгача са представени на фиг.1.19. На схема (а) ролка, шарнирно свързана със стойката, принуждава гърбицата при ротация да се движи и възвратно постъпателно, с което ходът на плъзгача се увеличава. На схема (б) двустранната цилиндрична гърбица също извършва ротация и транслация под въздействие на лагерувана към стойката ролка. 2 S 1 2 1  S S 2  1 0   0 а) б) в) Фиг.1.19. Механизми с увеличен ход на плъзгача и: а) дискова гърбица; б) двустранна цилиндрична гърбица; в) двуролков плъзгач с канал и две ролки за регулиране на престоя. Посредством плъзгач с канал и две ролки с регулируемо положение в канала (фиг.1.19в), може да се постигне промяна на продължителността на временния престой на плъзгача при ротация на гърбицата. По-добър резултат, от гледна точка на плавността на изходното движение, може да се постигне посредством плъзгач с една ролка и две гърбици с регулируемо положение една спрямо друга. Бързодействащи гърбични механизми, често наричани ударникови, се прилагат в машини за бърз обратен ход на плъзгач или кобилица. На фиг.1.20а дъгово подрязана гърбица, свободно монтирана към двигателния вал, има издатък, разположен между два упора на шайба, фиксирана към вала. При ротация на вала по часовниковата стрелка, левият 33 упор притиска издатъка на гърбицата и я задвижва в същата посока, плъзгачът се повдига и напускайки върха на гърбицата бързо се спуска със скорост, ограничена от инерцията на гърбицата. По-бързо спускане може да се постигне посредством сдвоена гърбица и плъзгач, към който шарнирно е свързана ролка и призматичен накрайник (фиг.1.20б). S След достигане на ролката до 2 S върха на дясната гърбица, 2 призматичният накрайник про1 дължава да се плъзга по лява1 та гърбица и достигайки нейния връх мигновено пада. Промяна на ъгловия ход на кобилицата на гърбичен меха  низъм може да се постигне посредством чупеща се кобилица, която се състои от две а) б) шарнирно свързани части Фиг.1.20. Гърбични механизми с бърз (фиг.1.21а). Кобилицата се обратен ход на плъзгача: върти спрямо базовия или а) гърбица, ограничена от два упора; междинния шарнир, ако се б) сдвоена гърбица и сдвоен плъзгач опре в неподвижния регулиращ винт. Промяна на началното положение на плъзгача на гърбичен механизъм може да се постигне посредством винтов механизъм и структура, представена на фиг.1.21б на гърбичния механизъм. 1  S 2 1 2   а) б) Фиг.1.21. Гърбични механизми с: а) регулируем ход на плъзгача; б) регулируемо начално положение на плъзгача. 34 1.5 Затваряне на структурите на гърбичните механизми Изходните звена на тези механизми имат различни форми в зависимост от тяхното движение (транслация, ротация) и от вида на работните им повърхнини, които се допират до гърбицата. Конструктивните форми, габарити и натоварване на звената и елементите на гърбичните механизми зависят и от начините на затваряне на висшата (гърбичната) двоица, които могат да бъдат подразделени на силови и геометрични. Силовото затваряне (обикновено с винтова пружина) води до гърбици с по-малки габарити при равни други условия, но предизвиква допълнително натоварване, което снижава механичния КПД на механизма. С течение на времето пружините постепенно пластично се деформират, губят част от своята сила, особено при високи температури. Затова при оразмеряване на пружината нейната сила се завишава с 30-50%, а в някои случаи до 100% [105]. Силовото затваряне, осъществявано от еластични елементи (пружини), масови сили или от налягане на силов цилиндър, създава допълнително натоварване на гърбицата и необходимост от смазване. Кинематичното затваряне се постига от геометрични ограничения, наложени от конструкцията на гърбичния механизъм. Това затваряне се предпочита, особено при машини със сложна механична система, тъй като счупването на затварящите пружини при силовото затваряне води до значителни поражения на системата. m  1 p S 2  1 2 S 1  а)  б) в) Фиг.1.22. Силово затваряне на гърбичната двоица с: а) еластичен елемент; б) гравитационна и/или технологична сила; в) хидравличен или пневматичен цилиндър. При високоскоростните гърбични механизми производните на ускоренията и съпътстващите ги вибрации пораждат допълнителни сили, наслагващи се към инерционните сили, породени от самите ускорения. 35 Целта е да се избегне „подскачането” на изходното звено на механизма, което поражда силен шум, бързо износване и промяна на закона на движение на механизма. На фиг.1.22 схематично са изобразени възможни начини за силово затваряне на висшата кинематична двоица. Геометрично (кинематично) затваряне се осъществява посредством: канал (жлеб) в гърбицата, в който се движи ролката на изходното звено; двойна гърбица (двойка твърдо свързани съосни гърбици, с които контактуват елементи от изходното звено); изходно звено с рамка, в която почти безхлабинно е поместена гърбицата. 2   а) 1 2   б)  1  1 2  2 S в) Фиг.1.23. Геометрично затваряне на гърбичната двоица посредством: а) канал на гърбицата; б) двустранни реборди на гърбицата; в) двудискова гърбица и двуролкова кобилица или плъзгач. 36 Геометрично затваряне (фиг.1.23) на висшата двоица с използване на канална гърбица (фиг.1.23а) или гърбица с двустранни реборди (фиг.1.23б) са приложими само за механизми с ролково изходно звено. При високи скорости, ускорения и натоварване се препоръчват механизми с двудискови гърбици и съответно двураменни кобилици (фиг.1.23в). Възможно е да се използва и двураменна плоска кулиса, ако двудисковите гърбици имат изпъкнал профил. При определени условия профилите на двудисковите гърбици съвпадат, при което се получават диаметрални гърбици. Механизми с диаметрални гърбици са показани на фиг.1.24. 2  S  1 2 1  а)  1   S 1 2 2 б) Фиг.1.24. Геометрично затваряне на гърбичната двоица посредством рамков плъзгач или кулиса с: а) кръгла гърбица (ексцентрик); б) диаметрална гърбица. Каналните гърбици изискват по-сложна конструкция на ролките и канала, за да се избегне рязката промяна на посоката на въртене на ролките и съпътстващото свистене и интензивно износване особено на гърбицата. Това може до голяма степен да се избегне с геометрично затваряне на висшата кинематична двоица, което се постига с двудискови или диаметрални гърбици, които са най-пригодни при високи скорости, ускорения и натоварване. 37 По отношение на конструкцията и начина на затваряне на висшата (гърбичната) двоица трябва да се имат предвид редица съображения, за да се осигури постоянен контакт на изходното звено с гърбицата. Трябва да се определят силите, действащи между гърбицата и изходното звено: статично и инерционно натоварване; сили на триене и съпротивление на средата, в която функционира механизма. Важно е да се определят още масовите характеристики, хлабините и еластичността на звената на механичната система, в която е вграден гърбичния механизъм. При силово затваряне на гърбичната двоица с пружина трябва нейната сила да надвишава алгебричната сума от силите на статичното и динамичното натоварване, на демпфирането и триенето, на технологичното натоварване. Ако пружината сила е недостатъчна за поддържане на контакта, то при високи скорости се появява „подскачане“ на изходното звено от гърбицата. Дори да се избегне това явление, след време се наблюдава слягане на пружината и загуба на нейната сила. Затова пружината сила трябва значително да надвишава необходимата стойност. От друга страна прекомерната пружина сила ускорява износването на механизма и дори е възможно при определени условия да предизвика внезапно обратно движение на изходното звено. Хлабините в механизма ще усилят това вредно явление. Освен това при силово затваряне е възможно притискащата пружина да се счупи и да предизвика повреди на множество други детайли на машината. Геометричното (кинематичното) затваряне на висшата гърбична двоица е за предпочитане, за да се избегнат посочените недостатъци на силовото затваряне, ако конструкторът знае как най-добре да осъществи геометричното затваряне. Основен недостатък на геометричното затваряне при гърбичните механизми с канални гърбици е отскачането на изходното звено от гърбицата при промяна на контакта на ролката от единия работен профил на канала на гърбицата към другия. Този недостатък може да се избегне посредством двуролково изходно звено (вж. фиг.1.23). Гърбицата се профилира съобразно приет закон на движение, изборът на който не винаги е удачен. Това се отнася за редица станали традиционни закони на движение (законите „правоъгълник“, „триъгълник“, „трапец“, „косинус“ и др.), особено когато се използват при високи скорости, тъй като не обезпечават добри динамични характеристики на механичните системи, включващи гърбични механизми. Гърбични механизми, които изискват силово затваряне, са представени още на схемите от фигури 1.5, 1.6, 1.8в, 1.9а,в, 1.10, 1.11б,в, 1.12б, 1.15, 1.16а,б,в, 1.19, 1.20, 1.21. Гърбични механизми с геометрично затваряне са представени още на схемите от фигури 1.7, 1.8а,б, 1.9б,г, 1.11а, 1.12а, 1.13, 1.14, 1.16г, 1.17, 1.18. 38 2 ЗАДАЧИ НА СИНТЕЗА И ЗАКОНИ НА ДВИЖЕНИЕ НА ГЪРБИЧНИТЕ МЕХАНИЗМИ 2.1 Генериране на движение при детерминирана функция на положението 2.1.1 Генериране при определени или изведени кинематични условия Задача за генериране при определени или изведени кинематични условия възниква при синтез на предавателни и направляващи механизми. Зададената или определената от кинематични условия функция на положението B = B(A) и нейните производни предавателни функции (вж. раздел 3.1.1) са необходими за цялостен синтез на гърбичните механизми, включващ определяне на: основните им геометрични параметри; гърбичните профили; нормалите към профилите и ъглите на предаване на силата; кривините и еволютите на гърбичните профили. 0 y 2 1 r 3 1 H 2 E 4  e v 8 0 3 5 7 h 6 G x y x 4 y O x   C 0 1 2 3 4 5 6 CD b EH l B  7 8 а) б) Фиг.2.1. Манипулатор-автомат: а) траектория и циклограми; б) кинематична схема с две управляващи гърбици 39 Често се налага предавателни механизми да генерират точно функция на положението, зададена от определени изисквания на технологичния процес или при линеризация на скали на уреди за отчитане на физически величини. При направляващите механизми гърбиците изпълняват функции на програматори, които управляват движенията на изпълнителната верига на направляващия механизъм така, че да генерира зададена траектория [14]. На фиг.2.1б е показана кинематична схема на манипулатор-автомат, на който характеристичната точка Н на работния орган реализира различни траектории (фиг.2.2) в зависимост от профила на двете гърбици. Функцията на положението и предавателните функции, необходими за синтеза на двата гърбични механизми, се получават от закона на движение на т.Н по зададената траектория. Преди да се пристъпи към синтеза на манипулатора и в частност на гърбичните механизми, изхождайки от зададената траектория, се прави циклограма на преместванията на т.Н по осите Δx и Δy (фиг.2.1а). O C O A а) A б) B в) Фиг.2.2. Сложни траектории с временни престои в означените точки Най-общо циклограмата на една машина представлява графично изображение на последователността и продължителността на преместванията и престоите на изпълнителните органи на машината във функция на ъгъла на завъртане на двигателния вал или на времето. Периметърът p = 2(h + v + πr) на траекторията съответства на завъртане на един оборот на двигателния гърбичен вал, поради което отношението скорост на т.Н към ъглова скорост на гърбичния вал е vH /   p / 2  1 / c , където c е ъгълът, на който трябва да се завърти валът на единица дължина от периметъра на траекторията. Фазовите ъгли на гърбичния вал, които съответстват на преходните точки от 0 до 8 на траекторията, са:  01   45  cv ;  23   67  ch ; 12   34   56   78  0.5c r . Циклограмите на фиг.2.1а дават представа за преместванията на т.Н по осите на Δx и Δy, без да отразяват законите, по които ще се осъществят самите премествания. Тези закони еднозначно се определят от движението на т.Н и служат за синтез на гърбичния механизъм с ролкова кобилица, който осъществява движението на т.Н по направление на ос Δx и на гърбичния механизъм с ролков плъзгач, който осъществява движението на т.Н по направление на ос Δy. 40 2.1.2 Генериране при определени или изведени силови условия Трансформирането на силовите характеристики на механизмите в предавателни функции е представено в раздел 3.1.3. Това трансформиране е необходимо, за да стане възможен синтезът на уравновесяващи и други механизми със силови функции, например за синтез на хващачи за промишлени роботи [14]. Примери за хващащи механизми са представени на фиг.2.3, където на схема а) хващащите лостове се задвижват от гърбици с праволинейно движение, а на схема б) – от гърбици с въртеливо движение. При постоянна входна сила Fσ на пневматичен цилиндър (фиг.2.3а) и зададена хващаща сила FS и нейните производни от равенство на мощностите им се получава необходимата за синтеза първа предавателна функция d 2l  FS d F (2.1) за механизми с въртящи се хващащи лостове в положение на хващане, при което лостовете са успоредни. С l е отбелязана дължината на лостовете от базовите оси на хващащите лостове до директрисата на хващащите сили.     FS  FS  FS FS а) б) Фиг.2.3. Схеми на хващащи механизми с ротация на хващащите лостове и: а) транслация на входа; б) ротация на входа 41 При механизми с ротация на входа (фиг.2.3б) при постоянен входен момент Mφ за първата предавателна функция се получава d 2l  FS . d M  (2.2) Втората предавателна функция съответно на механизмите с транслация и ротация на входа се получава след диференциране на съответните първи предавателни функции (2.1) и (2.2): d 2 2l d 2 2l  FS ;  FS 2 2 F M d d (2.3) На фиг.2.3б шарнирен антипаралелограмен механизъм разделя двигателния момент Mφ към всяка една от гърбиците. 2.2 Генериране на движение при избрани предавателни функции При тази задача кинематичният закон на движение не е априорно детерминиран. Зададен е само ходът на изходното звено и фазовите ъгли на движение на гърбицата при движение и престой на изходното звено. Например, кобилицата на гърбичния механизъм от машинаавтомат за бонбони трябва да реализира зададен ъглов ход    max (размах) на кобилицата при определени фазови ъгли на завъртане на гърбицата (фиг.2.4).  1   2  1 2 3 3 а) б) Фиг.2.4. Гърбично-лостов механизъм от машина-автомат за бонбони: а) кинематична схема; б) циклограма на завъртане на кобилицата По тези данни лесно се съставя циклограма на завъртане на кобилицата, като се има предвид технологичната функция на свързаните с 42 кобилицата два шарнирни четиризвенни механизми, кобилиците на които образуват ножица. За фазата на отваряне на ножицата се реализира ъглов ход α на кобилицата при завъртане на гърбицата на фазов ъгъл Ф1 на отдалечаване на кобилицата. Следва фаза и съответен фазов ъгъл Ф2 на отдалечен престой на кобилицата, при който свързаните с нея лостове остават неподвижни. Следва фаза за затваряне на ножицата за фазов ъгъл Ф3 на приближаване на кобилицата до пълно превъртане на гърбицата. При този механизъм липсва фаза на близък престой и затова съответният фазов ъгъл  4  0 . При други механизми е възможно и (или) фазовият ъгъл на отдалечен престой  2  0 . Сумата от фазовите ъгли дава геометричния цикъл на действие на механизма C  1   2  3   4 Обикновено C  2 . 2.2.1 Основни закони на движение Законите на движение се разделят на безударни, с меки удари и с твърди удари [40]. При безударните закони втората предавателна функция e непрекъсната, съответното ускорение на изходното звено и инерционното му натоварване се изменят плавно. Същото се отнася за скоростта и преместването на изходното звено, направлението на нормалата и радиуса на кривина на гърбичния профил. При законите с меки удари втората предавателна функция има точки на крайно прекъсване (краен скок), съответното ускорение и инерционно натоварване на изходното звено, както и радиусът на кривина на гърбичния профил, се изменят скокообразно с крайни разлики, докато скоростта и преместването на изходното звено са непрекъснати функции - изменят се плавно. При законите с твърди удари втората предавателна функция има точки на безкрайно прекъсване, съответното ускорение и инерционно натоварване на изходното звено, както и радиусът на кривина на гърбичния профил, теоретично имат мигновени безкрайно големи скокове. Крайно прекъсване (крайна скокообразна промяна) има първата предавателна функция, респ. на изходната скорост, както и скокообразна промяна на направлението на тангентата и рогови точки на гърбичния профил. Единствено непрекъсната функция е преместването на изходното звено. Илюстрация на трите вида закони във фазата на отдалечаване на изходното звено при фазов ъгъл Ф1 на завъртане на гърбицата е представена на фиг.2.5: схеми а) закон с твърд удар; схеми б) закон с мек удар; схеми в) безударен закон. Изходната координата ΔB(φ) и нейните производни предавателни функции B′(φ) и B″(φ) са записани в обобщен вид независимо от вида на изходното звено. За механизмите с кобилица и кулиса на тях съответстват означенията Δψ, ψ′ и ψ″, а за механизмите 43 с плъзгач означенията са ΔS, S′ и S″. Входната координата A при ротация на гърбицата е означена с φ, а при транслация на гърбицата – със σ. Неопитният конструктор е възможно да избере закон „трапец“ на функцията на преместването ΔB на изходното звено (схема а), подобно на циклограмата от фиг.2.4б. Тогава първите две предавателни функции B′ и B″, производни на преместването ΔB (променливата част на функцията на положението B = B(A)) спрямо ъгъла φ на завъртане на гърбицата, ще имат съответно крайни и безкрайни големи скокове. Законът на движение е с „твърди удари“. Ако се избере закон „трапец“ на първата предавателна функция B′ (схема б), тогава втората предавателна функция B″ ще се изменя скокообразно с крайни разлики. Законът на движение е с „меки удари“. Ако се избере закон „трапец“ на втората предавателна функция B″ (схема в), тогава B′ и ΔB са гладки функции. Законът на движение е „безударен”. B B H B H  1 B' 1 B' 1  B" 1  +  1 B'   B" + H  1 B" 1  1  1 - а) б) в) Фиг.2.5. Закон „трапец“ на: а) функцията на положението ΔB = ΔB(φ) (твърд удар); б) първата предавателна функция B′ = B′(φ) (мек удар); в) втората предавателна функция B″ = B″(φ) (без удар) При решаване на задачата за синтез на гърбичен механизъм по зададен ход на изходното звено и фазовите ъгли на движение и престой на гърбицата най-често се избира видът на втората предавателна функция B″(φ), тъй като е пряко свързана с изходното ускорение и динамичното натоварване на механизма. След двукратно интегриране на B″(φ) последователно се определя първата предавателна функция B′(φ) и функцията на преместването ΔB(φ) на изходното звено. Следващите процедури за синтез на гърбичния механизъм са еднакви, независимо дали законът на движение е зададен по условие или е избран. 44 Нека е избран аналитичният израз  f ( ) B  Bmax (2.4) на втората предавателна функция в интервала    0, 1  . След интегриране на (2.4) се получава първата предавателна функция    f ( )d  C1 B  Bmax (2.5) 0 където С1 се определя от началното условие B′ = 0 при φ = 0. Повторното интегриране дава функцията на преместването ΔB на изходното звено    F ( )d  C1  C0 , B  Bmax (2.6) 0  където F ( )   f ( )d , а С0 се определя от началното условие ΔB = 0 0 при φ = 0. От (2.6), след полагане на φ = Ф1 и ΔBmax ≡ H (ход на изходното  и се замества във функциите (2.4), (2.5) и (2.6). звено), се определя Bmax  Закони „синус“ и „косинус“ на втората предавателна функция Законът „синус“ на втората предавателна функция B″ е представен графично на фиг.2.6, където са изобразени още функциите ΔB и B′ за един геометричен период C  2 , включващ фазови ъгли Ф1, Ф2, Ф3 и  4  2  (1   2   3 ) . Уравнението на B″ във фазата на отдалечаване има вида  sin B  Bmax B B' B'' B' B H  2 1 След интегриране се определя  B   Bmax B'' 1 2 cos  C1 2 1 Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 Фиг.2.6. Функциите ΔB и B′ при зададен закон „синус“ на B″(φ), ход Н на изходното звено и фазови ъгли Ф1, Ф2, Ф3 и Ф4 45  1 /  . След повторно интегПри φ = 0 и B′ = 0 се получава C1  0,5 Bmax риране се получава  B  Bmax 1  2 (  1 sin )  C0 . 2 2 1   2 H / 12 и съответно При φ = 0 и ΔB = 0 се определя С0 = 0, Bmax (2.7)          B  2 B  H 2 sin , 1 12 H 2 (1  cos ), 1 1 B  H  2 (  1 sin ), 1 2 1 където H е максималното линейно или ъглово преместване на изходното звено. По същия начин при закон „косинус“ на втората предаваB телна функция (фиг.2.7) се поB'' B' лучава B B' B'' H   2 H   B  0.5  cos ,  2 1 1   H  sin ,  B  0.5   (2.8)  1 1 Ф1 Ф2 Ф3 Ф4  H   B  (1  cos ). 2 1  Законът „косинус“, записан с Фиг.2.7. Функциите ΔB, и B′ при зададен закон „косинус“ на B″(φ), ход Н и уравнения (2.8), има краен скок фазови ъгли Ф1, Ф2, Ф3 и Ф4 на втората предавателна функция (фиг.2.7), аналог на изходното ускорение, за границите на интервала    0, 1  .  Закони „трапец“, „триъгълник“ и „правоъгълник“ на втората предавателна функция Функциите ΔB, B′ и B″ при трапецовиден, правоъгълен и триъгълен закон на втората предавателна функция B″(φ) са представени графично на фиг.2.8. 46 При тези и други поинтервално съставени закони определянето на B′(φ) и ΔB(φ) може да се извърши чрез интегриране в крайни аналитични изрази (квадратури), като се разглежда поотделно всеки интервал, в който се запазва аналитичният израз на функциите и се спазват условията за свързване на функциите в границите на интервалите. Поуниверсален е подходът, използващ числено интегриране. Точен и найбърз резултат дава формулата на трапеците за числено интегриране, ако подинтегралната функция е линейна. Точен резултат дава и несложната формула на Simpson [61], ако подинтегралната функция е полином най-много от трета степен. B B' B'' H B B' B'' B'  B'' B'' а)   B'' Ф1 B' H B' H B B' B'' B B B Ф1 Ф1 б) в) Фиг.2.8. Функциите ΔB, B′ и B″ при закон на B″(φ): а) трапец; б) правоъгълник; в) триъгълник Обикновено се избира еднакъв закон на движение на изходното звено във фазата на отдалечаване и във фазата на приближаване (вж.фиг.2.6). Тогава за удобство съответните фазовите ъгли Ф1 и Ф3 могат да се разделят на равен брой стъпки m = m′. Така за фазата на отдалечаване положенията са i = 0, 1, 2,…, m, а за фазата на приближаване са i  0,1,2,..., m . Тогава стойностите на B′ и B″ във фазата на приближаване се определят от съответните стойности B′ и B″ във фазата на отдалечаване съгласно зависимостите 2    Bi   1 Bi , Bi    1  Bi . 3  3  Стойностите на ΔBi′ на функцията на преместването във фазата на приближаване се определят от тези във фазата на отдалечаване съгласно равенството: Bi  Bmi . 47 Функцията на положението на изходното звено може при всеки закон за движение да се запише в обобщен вид B = B0 +ΔB(φ) = B0+H.u(ξ), където B е изходната координата, образувана от началната ѝ стойност B0, определяща началното положение на изходното звено, към която се прибавя функцията на преместването на изходното звено – произведение от хода H ≡ ΔBmax на изходното звено и нормирана функция u(ξ). Скоростта, ускорението и следващата производна на движението на изходното звено кореспондират с предавателните функции B′(φ), B″(φ), B‴(φ), които се различават само с един множител H / 1 , H / 12 и H / 13 съответно от производните u′, u″ и u‴ на нормирана функция u ( )  [0; 1] при аргумент    / 1 [0; 1] : (2.9)            B  H . u ( ), B  H u ( ), 1 B  H u( ), 12 B  H u ( ) 13 Затова предавателните функции могат да бъдат изучени и сравнени посредством производните u′, u″ и u‴ на нормирана функция u ( )  [0; 1] при аргумент    / 1 [0; 1] във фазите на отдалечаване на изходното звено. Във фазите на приближаване (обратен ход) на изходното звено нормираните степенни функции u ( ) , u( ) , u( ) и u( ) се запазват по вид при нов аргумент   1   , където   [0, 1] .  на B″(φ) може да се запише за различни Максималната стойност Bmax закони в обобщен израз (2.10)   Bmax H  . umax 12  зависи от вида на избрания закон на движение B″(φ). Стойността на umax Законът „синус“, записан с уравнения (2.7), може да се представи и с 1 уравнения (2.9), в които u ( )    sin(2  ) , u( )  1  cos(2 ) и 2 u( )  2 sin(2  ) . Екстремните стойности на u′(ξ) и u″(ξ) са съответно   2 . umax  2 и uex Законът „косинус“, записан с уравнения (2.8), може също да се представи и с уравнения (2.9), в които u ( )  0.5[1  cos( )]  [0; 1] , 48 u( )  0.5  sin ( ) и u( )  0.5  2 cos ( ) . Екстремните стойности на u′(ξ) и    2 / 2 . u″(ξ) са съответно umax   / 2 и uex  се определя При закон „трапец“ на u″ максималната ѝ стойност umax от отношението (2.11)   umax 4 , 1 2 / n където n  (4, ) е число, което показва каква част от фазовия ъгъл на отдалечаване Ф1 (или фазовия ъгъл на приближаване Ф3) се пада на интервала, съответстващ на едно бедро на равнобедрен трапец, изобразяващ функцията B″(φ). Законите „триъгълник“ и „правоъгълник“ могат да се разглеждат като частни случаи на закона „трапец“. При n = 4 се получава закон „триъгълник“ с umax  8 на u″, а при n = ∞ - закон „правоъгълник“ с umax  4 на u″. При 4  n   се получава закон „трапец“ на u″. При n = 6 → umax  6 . 2.2.2 Степенни закони на движение Нормирани степенни функции u(ξ) могат да се получат от степенен полином, записан във вида [109] : (2.12) u ( )   a j j , j  1, 2, 3, ..., n . j Постоянните коефициенти на полинома (2.12) се определят от системата линейни алгебрични уравнения (2.13)  n  aj 1  j b  n  aj j  0  j b  n    a j j ( j  1)  0  j b  ........................   n j    a j k  0,  j b k  j  m  49 получена при полагане на u = 1, u′ = u″ =…= u(m+1) = 0 за края на интервала   [0; 1] . Решението на системата (2.13), записана в матричен вид J.A = E, където   1  1 1 ... 1   b  c d ... n   J  b(b  1) c(c  1) d (d  1) ... n(n  1)  , ....................................................   b  c d n     k  k  k ...  k   k b  m k  c  m k  d  m k n m   ab  1  a  0  c    ad  0 A   , E    .  . .  .     0  an  има вида A = J-1.E и фактически се свежда до намиране на обратната матрица на J. 2.2.2.1 Двучленни степенни закони Тези закони могат да се образуват от нормирана степенна двучленна функция (2.12) и нейните производни при избрани стойности на степенните показатели j = k, m:  u ( )  ak  k  am m ,  k 1 m 1  u( )  ak k   am m  ,  k 2 m 2  u( )  ak k (k  1)   am m(m  1)  (2.14) При полагане на u = 1, u′ = 0 в първите две уравнения (2.14) за края на интервала   [0; 1] се образува система алгебрични уравнения ak  am  1 (2.15) ak k  am m  0 , от която могат да се определят неизвестните коефициенти: (2.16) където: ak  1 1 Dk ; D am  1  ak , 1 1 m . k m 0 m Окончателно от отношенията (2.16) се получават търсените коефициенти D mk ; Dk  50 (2.17) ak  m ; am  1  ak . mk Същите резултати се получат като решение в матричен вид с използване на обратна матрица. Системата уравнения (2.15) може да се запише във вида: 1   ak  1  1 (2.18) .  , k m   am  0   откъдето следва матричното уравнение за определяне на неизвестните коефициенти на системата:  ak   1 a    k  m  (2.19) 1 1  1  . . m  0  Същото уравнение може да се запише във вида  ak  1  A11 a   D  A  m  12 (2.20) A21  1  . , A22  0  откъдето се получават изразите (2.17), определящи търсените коефициенти: ak  A11 m  ; am  1  ak D D  Броят на степенните двучленни закони на движение със степени от 2 до 6 на аргумента ξ се определя от комбинациите без повторение от пет елемента (степените 2, 3, 4, 5, 6) от втори клас: n n! 5! C52       10 .  p  p ! (n  p )! 2! (5  2)! Стойностите на степените k, m и коефициентите ak, am, изчислени от отношенията (2.17) и нормираните функции u  ak  k  am m , са записани в табл.2.1.  Графики на двучленните полиноми от табл.2.1 и техните производни u  ak  k  am m , u  k ak  k 1  m am m1 u  k (k  1)ak  k  2  m(m  1) am m2 са дадени на фиг.2.9. 51 Таблица 2.1 Степени k, m, коефициенти ak, am и функции u u  ak  k  am m полином k m ak am 1 2 3 3 -2 u  3 2  2 3 2 2 4 2 -1 u  2 2   4 3 2 5 5/3 -2/3 u  (5 / 3) 2  (2 / 3) 5 4 2 6 1.5 -0.5 u  1.5 2  0.5 6 5 3 4 4 -3 u  4 3  3 4 6 3 5 2.5 -1.5 u  2.5 3  1.5 5 7 3 6 2 -1 u  2 3   6 8 4 5 5 -4 u  5 4  4 5 9 4 6 3 -2 u  3 4  2 6 10 5 6 6 -5 u  6 5  5 6 полином 1 k = 2, m = 3 полином 2 k = 2, m = 4 u' u" u' u" u u 1 2 8 2 8 u' u' 0.5 1  0.6 0.8  0.6 0 0 0.4 0.5 4 1 4 0.2 0.2 1.0 0.4 0.8 u" u" -8 -8 полином 3 k = 2, m = 5 полином 4 k = 2, m = 6 u' u" u 1 u 1 2 8 u 8 u' u' 0.5 0.5 1 1.0 -4 -4 2 1 u u 1 4   0 0.2 0.4 0.6 0.8 4 0 0.2 1.0 0.4 0.6 0.8 -4 -4 u" u" -8 -8 -12 52 1.0 полином 5 k = 3, m = 4 u' u" 2 полином 6 k = 3, m = 5 u' u 1 u 8 u u" 2 u' 20 u' 0.5 0.5 4 1 1 u 10 1  0 0.2 0.4 0.6 0.8  0.8 0 1.0 0.2 0.4 0.6 1.0 -4 u" -10 u" -8 -20 -12 полином 7 k = 3, m = 6 u' полином 8 k = 4, m = 5 20 u 1 u 2 u" u' u u" 1 u u' 2 20 1 10 u' 0.5 10 1  0.8 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.2 u" -10  0.8 0 1.0 0.4 0.6 1.0 -10 u" -20 -20 полином 9 k = 4, m = 6 u' полином 10 k = 5, m = 6 u 2 u u" u' u u" 1 20 1 u 2 20 1 10 u' u' 0.5 0.5 1 10  0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 1.0 0.4 0.6 -10 -10 u" -20 -20 -30 -30 Фиг. 2.9. Графики на двучленните полиноми от табл.2.1 53  0.8 0 1.0 u"  Двучленните степенни функции ще зависят от един параметър k, ако m = k + 1. Тогава от (2.17) се получава ak = k + 1 и am = -k. На това условие отговарят нормираните двучленни степенни функции номера 1, 5, 8 и 10, представени на фиг.2.9. Обобщеният запис на тези функции и техните производни има вида: (2.21) u ( )  (k  1) k  k k 1 , (2.22) u( )  k (k  1) k 1  k (k  1) k , (2.23) u( )  k (k 2  1) k 2  k 2 (k  1) k 1 . Функциите u, u′ и u″, определени от изразите (2.21), (2.22) и (2.23) при k = 2; 3; 4; 5 и 6, са представени поотделно на фиг.2.10. 1 u 2 k=4 0.5 k=3 k=2 1 k=6 k=5  0 0.2 10 k=2 0.4 k=3 k=4 0.6 k=5 0.8 1.0 k=3 k=2 k=4 k=6 k=5  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 k=6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6  -10 -20 -30 Фиг.2.10. Функциите u, u′ и u″, представени поотделно при k  2;3; 4;5;6 -40  Функцията u′(ξ) се нулира за границите на интервала   [0; 1] за всяка стойност на k, докато u″(ξ) се нулира само за долната граница на интервала, с изключение на случая k=2, известен като линеен закон, при който u″(ξ) не се нулира и за двете граници на   [0; 1] . В замяна на 54 това крайният скок при k=2 и ξ=1 е значително по-малък от тези при k=3, k=4, k=5 и k=6, които нарастват с нарастване на стойността на k. Стойностите на ξ, при които функциите u′(ξ) и u″(ξ) добиват съответ (при u‴ = 0), се определят съответно от ни максимуми v  umax и w  umax отношенията (2.24) ( v )  k 1 k 2 ,  ( w)  , k k представени графично на фиг.2.11а. (v) v, w, -w* (w) 8.0 0.8  (v) 6.0 0.6 w 4.0  (w) 0.4 -w* v 2.0 0.2 0 0 2 3 4 5 2 6 3 4 5 6 k а) б) Фиг.2.11. Графики на: а) ξ, при които u′(ξ) и u″(ξ) добиват екстремуми v, w и w*; б) екстремните стойности на v, w и w* Максимумите v и w съответно на u′(ξ) и u″(ξ), определени от уравненията (2.25)  k 1  v  umax  (k  1)    k  w  umax k 1 k 2  k (k  1)    k  , k 2 , са представени графично на фиг.2.11б. В края на интервала   [0; 1] се получава екстремна стойност (при u  0 ) на u″(ξ): 55 (2.26) w*  u (  1)   k (k  1) .  Фамилията от степенни функции (2.21) се разширява, ако нормираната степенна функция се запише във вида (2.27) u ( )  1 [(k  1) k  k k 1 ]  N N u( )  1 [k (k  1)( k 1   k )] ,  N N с производни (2.28) (2.29) u( )  1 [k (k 2  1) k 2  k 2 (k  1) k 1 ] ,  N N където N = 1, 2, 3, … е броят на стойностите, които приема k. Когато k има N ≥ 2 на брой стойности, тогава функциите u, u′, u″, u‴ имат средноаритметични стойности на съответните функции, получени за всяка отделна стойност на k. Например при N = 2 и съответни две стойности на k = 2; 3 функциите u, u′, u″ имат средни стойности по отношение на съответните функции при k = 2 и при k = 3. От (2.27) се получава:   при k = 2; 4, u ( )   3  2  5  4  / 2 ; при k = 2; 3; 4, u ( )   3  2  2  4  / 3 ; при k = 3; 4; 5, u ( )   4  2  2  5  / 3 . при k = 2; 3, u ( )  3 2  2 3  3 4 / 2 ; 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 Представените закони в табл.2.2 допускат скок в ускоренията за една от границите на интервала на движение (при ξ = 1) на изходното звено (с изключение на законите номера 1, 3 и 4), поради което са подходящи само в случаите, при които липсва отдалечен и (или) близък престой. Тези закони дават добри резултати по отношение на екстремумите на изходната скорост, най-вече при k = 2 и k = 3 или междинни нецели стойности между 2 и 3 на степенните показатели. За функциите номера 3, 5, 6, 7 и 15 u < 1.6, което означава по-ниски максимуми на изходната скорост в сравнение с останалите функции при равни входни условия. При синтез на гърбични механизми без скокообразна промяна на предавателните функции до втората производна е необходим закон на движение, при който се нулира скоростта и ускорението, респ. u = 1, 56 u  u  0 , за границите на ξ. Следователно функцията u = u (ξ) трябва да е степенен полином (2.12), който съдържа три или повече събираеми и j  3 . Но това не е достатъчно, ако u  0 при ξ=1, какъвто е случаят с образувания по уравнение (2.27) тричлен номер 15 от табл.2.2 и четиричленните функции номера 16, 17 и 18, които допускат скок в ускоренията при ξ = 1. Сравнителна таблица на екстремумите на функциите u′, u″, u‴ Таблица 2.2  umax  umax  umin u( 0) u( 1) „правоъгълник“ на u″ 2 4 -4 ∞ -∞ 2 „триъгълник“ на u″ 2 8 -8 32 -32 3 „ линеен“ на u″ 1.5 6 -6 ∞ -∞ 4 „косинус“ на u″; u  0.5[1  cos( )] π/2 π2/2 - π2/2  -∞ 5 u  3 2  2 3 1.5 6 -6 -12 (const) -12 (const) 6 u  2 2   4 1.54 4 -8 0 -24 7 u  (5 / 3) 2  (2 / 3) 5 1.575 3.33 -10 0 -40 8 u  1.5 2  0.5 6 1.605 3 -12 0 -60 9 u  4 3  3 4 1.778 4 -12 24 -48 10 u  2.5 3  1.5 5 1.875 4.082 -15 15 -75 11 u  2 3   6 1.954 4.177 -18 12 -108 12 u  5 4  4 5 2.109 5 -20 15 -120 13 u  3 4  2 6 2.23 5.4 -24 15.176 при   0 -168 14 u  6 5  5 6 2.458 6.48 -30 19.2 при   0 -240 15 u   3 2  2 3  3 4  / 2 1.584 3.5 -9 6 -30 16 u   3 2  2 3  5 4  4 5  / 2 1.66 3 -13 1.5 при   0 -66 17 u   3 2  2 3  2 4  4 5  / 3 1.698 3.237 -12.667 4 -60 18 u ( )   4 3  2 4  2 5  5 6  / 3 2.058 4.547 -20.667 8 -136 № функции u(ξ) 1 57 2.2.2.2 Тричленни степенни закони Тези закони могат да се образуват от нормирана степенна функция (2.12) и нейните производни при избрани стойности на степенните показатели j = k, m, p:  u ( )  ak  k  am m  a p p ,  k 1 m1 p 1  u( )  ak k   am m   a p p  ,  k 2 p 2  a p p ( p  1)  p 2  u( )  ak k (k  1)   am m(m  1)  (2.30) При полагане в (2.30) на u = 1, u′ = u″ = 0, за края на интервала   [0; 1] се образува система алгебрични уравнения ak  am  a p  1 (2.31) ak k  am m  a p p  0 ak k (k  1)  am m(m  1)  a p p ( p  1)  0, от която могат да се определят неизвестните коефициенти ak, am, ap по формулите на Kramer и правилото на Sarrus за пресмятане на детерминанти от трети ред, поради малкия брой уравнения в системата (2.31): (2.32) ak  Dk ; D am  Dm ; D a p  1  ak  am , където: 1 D k k2 1 m 1 p  k 2 ( p  m)  m 2 (k  p )  p 2 (m  k ); m2 p2 1 Dk  0 1 m 1 p  m2 p2 1 Dm  k 1 0 0 k2 0 m m p 2 p 2  mp 2  pm 2 ; 1 k p p   2 2  pk 2  kp 2 . k p p2 Окончателно от отношенията (2.32) се получават търсените коефициенти 58 (2.33) ak  mp k p ; am  ; a p  1  ak  am . (m  k )( p  k ) (k  m)( p  m) Същите резултати могат да се получат, ако се потърси решение в матричен вид с използване на обратна матрица. Системата уравнения (2.31) може да се запише във вида: (2.34) 1  k k  1 m m2   ak     p  .  am  p 2   a p  1 1    0 ,    0 откъдето следва матричното уравнение за определяне на неизвестните коефициенти на системата: (2.35)  ak   1     am    k a p   k 2    1 m m2 1   p  p 2  1 1  . 0 .   0 Същото уравнение може да се запише във вида (2.36)  ak   A11   1  am   D  A12 a p   A13   A21 A22 A23 A31  1  A32  . 0  ,   A33  0  откъдето се получават същите изрази (2.33) (2.37) A11 1 m p mp 2  pm 2 ak    , D D m2 p 2 D (2.38) A12 1 k p pk 2  kp 2 am     , D D k 2 p2 D определящи търсените коефициенти. Достатъчно е да се изчислят само елементите A11 и A12, тъй като a p  1  ak  am  1  D 1 ( A11  A12 ) , докато останалите елементи A21, A31, A22, A32, A23, A33, се умножават по нула. Безударен закон на движение ще се получи, ако степенните показатели k, m и p са числа от 3 нагоре. Тогава уравненията (2.30) удовлетворяват и началните условия u = u′ = u″ = 0 при ξ = 0. 59  Броят на степенните тричленни закони на движение със степени от 3 до 7 на аргумента ξ се определя от комбинациите без повторение от пет елемента (степените 3, 4, 5, 6, 7) от трети клас: (2.39) n n! 5! C53       10 p p ! ( n  p )! 3! (5  3)!   Стойностите на коефициентите ak, am, ap, изчислени от отношенията (2.33), когато k, m, p са три от числата 3, 4, 5, 6, 7, са записани в табл.2.3. На фиг.2.12 са представени степенните полиноми u(ξ) и техните производни по реда от табл.2.3.  полином 1. За тричлена u(ξ) с Коефициенти ai коефициенти от ред №1 на табл.2.2 (i = 3, 4, 5, 6, 7) и неговите производни полином    (2.40)     Таблица 2.3 a3 a4 a5 a6 a7 1 10 -15 6 0 0 u ( )  60(  3 2  2 3 ), 2 8 -9 0 2 0 u( )  60(1  6  6 2 ) 3 7 -7 0 0 1 4 5 0 -9 5 0 5 4.375 0 -5.25 0 1.875 6 3.5 0 0 -7 4.5 7 0 15 -24 9 0 8 0 35/3 -14 0 10/3 9 0 7 0 -14 8 10 0 0 21 -35 15 u ( )  10 3  15 4  6 5 , u ( )  30( 2  2 3   4 ), се получават екстремумите   5.774 , umin   5.774 , umax  1.875 , umax   30 , съответно на umax  60 , umin u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  60 и u1  60 на u‴ (табл.2.3).  полином 2. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №2 на табл.2.2 и неговите производни (2.41)        u ( )  8 3  9 4  2 6 , u( )  12(2 2  3 3   5 ), u( )  12(4  9 2  5 4 ), u ( )  24(2  9  10 3 ) се получават екстремумите umax  1.884 , umax  5.499 , umin  6.151 , umax  72 , u min  30.872 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  48 и u1  72 на u‴ (табл.2.2). 60  полином 3. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №3 на табл.2.2 и неговите производни        (2.42) u ( )  7 3  7 4   7 , u ( )  7(3 2  4 3   6 ), u ( )  42(  2 2   5 ), u( )  42(1  4  5 4 ) се получават екстремумите umax  1.888 , umax  5.262 , umin  6.468 , umax  84 , u min  31.685 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  42 и u1  84 на u‴ (табл.2.3). полином 1 k = 3, m = 4, p = 5 u''' u" полином 2 k = 3, m = 4, p = 6 u''' u" u' u u' u 60 u 40 1 60 u' 8 0.5 20 u 2 4 40 8 20 4 1 u' 2 1 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -20 -4 -20 -4 u" u''' -40 -8 u''' -40 -8 полином 3 k = 3, m = 4, p = 7 u''' u" 80 8 40 4 u 1 u' 2 80 8 1 40 4 1 u' 2 0.5 1 0 0 0.2 -80 -8 u' u u''' u" u' 0.5 -40 -4 u" полином 4 k = 3, m = 5, p = 6 u u  0.4 0.6 0.8 1.0 0.2  -40 -4 u''' 0.4 0.6 u''' u" u" -80 -8 61 0.8 1.0  полином 5 k = 3, m = 5, p = 7 u u''' u" 8 40 4 u' u''' u" u 1 u' 2 80 8 40 4 1 0.2 0.4 -40 -4 0.6 2 0.5 0.8  1.0 1 0.4 0 -8 u''' u полином 8 k = 4, m = 5, p = 7 u''' u' u 120 40 u 160 1 u' 4 80 0.6 0.5 1 0.6 0.8 0.2 -40  1.0 u" -8 полином 9 k = 4, m = 6, p = 7 полином 10 k = 5, m = 6, p = 7 u''' u" u u' 8 1 160 u u' 8 4 80 1 0 0.2 -40 -80 -4 0.6 0.2 -40 1.0  -80 -4 u''' -8 -8 1 0 0.8 0.4 0.5 4 40 40 0.6 1 2 120 0.5 u' u 200 2 120  1.0 u''' -80 -4 u" 0.8 0.4 u''' -8 2 4 0 0.2 -40 -4 8 40 1 0.4 1 u' 120 2 0.5 0  1.0 u" u" 8 0.8 u''' -40 -4 полином 7 k = 4, m = 5, p = 6 80 0.6 0.2 u''' -80 -8 80 1 u' 0.5 0 160 u' u 120 u 80 полином 6 k = 3, m = 6, p = 7 0.8 0.4 1.0  u''' u" u" -12 Фиг. 2.12. Тричленни полиноми u(ξ) и техните производни по реда на табл.2.3 62  полином 4. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №4 на табл.2.2 и неговите производни (2.43)        u ( )  5 3  9 5  5 6 , u( )  15( 2  3 4  2 5 ), u( )  30(  6 3  5 4 ), u( )  30(1  18 2  20 3 )   1.931 , umax   5.373 , umin   6.836 , се получават екстремумите umax umax  90 , u min  34.8 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  30 и u1  90 на u‴ (табл.2.3).  полином 5. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №5 на табл.2.2 и неговите производни (2.44)        u ( )  4.375 3  5.25 5  1.875 7 , u( )  13.125( 2  2 4   6 ), u( )  26.25(  4 3  3 5 ), u( )  26.25(1  12 2  15 4 )   5.235 , umin   7.25 , се получават екстремумите umax  1.944 , umax umax  105 , u min  36.75 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  26.25 и u1  105 на u‴ (табл.2.3).  полином 6. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №6 на табл.2.2 и неговите производни (2.45)        u ( )  3.5 3  7 6  4.5 7 , u( )  3(3.5 2  14 5  10.5 6 ), u( )  3(7  70 4  63 5 ), u ( )  3(7  280 3  315 4 )   5.157 , umin  7.913 , се получават екстремумите umax  1.984 , umax u max  126 , u min  41.222 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  21 и u1  126 на u‴ (табл.2.3).  полином 7. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №7 на табл.2.2 и неговите производни 63 (2.46)        u ( )  15 4  24 5  10 6 , u( )  60( 3  2 4   5 ), u( )  60(3 2  8 3  5 4 ), u( )  120(3  12 2  10 3 )   2.074 , umax   5.975 , umin   8.135 , се получават екстремумите umax umax  120 , u min  44.873 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  120 на u‴ (табл.2.3).  полином 8. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №8 на табл.2.2 и неговите производни (2.47)          35 4 10   14 5   7 , 3 3 10 u( )  (14 3  21 4  7 6 ), 3 u( )  140( 2  2 3   5 ), u ( )  u( )  140(2  6 2  5 4 )   2.104 , umax  5.184 , umin  54.65 , се получават екстремумите umax u max  140 , u min  48.421 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  140 на u‴ (табл.2.3).  полином 9. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №9 на табл.2.2 и неговите производни (2.48)        u ( )  7 4  14 6  8 7 , u( )  28( 3  3 5  2 6 ), u( )  84( 2  5 4  4 5 ), u( )  168(  10 3  10 4 )   2.169 , umax   6.146 , umin  9.572 , се получават екстремумите umax u max  168 , u min  55.274 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  168 на u‴ (табл.2.3).  полином 10. За тричлена u(ξ) с коефициенти от ред №10 на табл.2.2 и неговите производни 64        (2.49) u ( )  21 5  35 6  15 7 , u( )  105( 4  2 5   6 ), u ( )  210(2 3  5 4  3 5 ), u ( )  210(6 2  20 3  15 4 )   2.305 , umax   6.846 , umin  10.994 , се получават екстремумите umax   210 , u umax min  67.957 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  210 на u‴ (табл.2.3).  Екстремните стойности на производните на степенните полиноми u(ξ) от табл.2.3 и фиг.2.12 са представени на табл.2.4. Екстремните стойности на тези степенни функции могат да бъдат сравнени със съответните стойности при популярния закон „синус“ на ускоренията. За функции от редове 1 до 6 максималната стойност на аналога u′(ξ) на изходната скорост не надвишава стойността umax  2 , каквато е при закон „синус“ на ускоренията. За останалите функции стойността на umax надвишава в допустими граници тази стойност. Сравнителна таблица на екстремумите на функциите u′, u″ и u‴ от фиг.2.12     umax umax umin umax № Функции u(ξ) Таблица 2.4  u0 u1 umin 1. u  10 3  15 4  6 5 1.875 5.774 -5.774 60 2. u  8 3  9 4  2 6 1.884 5.499 -6.151 3. u  7 3  7 4   7 4. u  5 3  9 5  5 6 5. u  0.125(35 3  42 5  15 7 ) 6. u  3.5 3  7 6  4.5 7 1.984 5.157 -7.913 126 -41.222 21 126 7. u  15 4  24 5  10 6 2.074 5.975 -8.135 120 -44.873 0 120 8. u  (35 / 3) 4  14 5  (10 / 3) 7 2.104 5.184 140 -48.421 0 140 2.169 6.146 -9.572 168 -55.274 0 168 2.305 6.846 -10.994 210 -67.957 0 210 9. 10. 4 6 5 6 u  7  14  8 7 u  21  35  15 7 60 60 72 -30.872 48 72 1.888 5.262 -6.468 84 -31.685 42 84 1.931 5.373 -6.836 90 30 90 1.944 5.235 105 -36.75 26.25 105 -7.25 -8.69 -30 -34.8 Максималната стойност на аналога u″(ξ) на изходното ускорение за функциите от редове 1 до 9 не надвишава стойността umax  2 , каквато е при закон „синус“. Минималната абсолютна стойност за функциите от редове 1 и 2 не надвишава стойността | umin | 2 , каквато е при закон „синус“. Максимумите на u‴(ξ) при u  0 надвишават стойността 4π2, каквато е при закон „синус“. Минималната абсолютна стойност на u‴(ξ) при 65 u  0 за функциите от редове 1 до 5 не надвишава стойността | umin | 4 2 , каквато е при закон „синус“. Стойностите u0 на u‴(ξ) за функциите от редове 4 до 10 не надвишават стойността 4π2, каквато е при закон „синус“. Стойностите на u1 надвишават стойността 4π2, каквато е при закон „синус“. Стойностите u0  0 на u‴(ξ) при ξ = 0 за функциите от редове 7 до 10 са особено подходящи за фазите на обратен ход на изходното звено.  По аналогичен начин е възможно да се изучат степенните тричленни функции, при които се включват степени j по-големи от 7. Например за степенна функция u(ξ) с k = 3, m = 6, p = 9 от отношенията (2.33) се получават коефициентите a3 = 3, a5 = -3, a7 = 1. При тази функция и нейните производни (фиг.2.13)        (2.50) u ( )  3 3  3 6   9 , u ( )  9( 2  2 5   8 ), u( )  18(  5 4  4 7 ) u( )  18(1  20 3  28 6 )   2.009 , umax  5.046 , umin  8.739 , се получават екстремумите umax u max  162 , u min  46.286 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  18 и u1  162 на u‴. u''' u" u 200 160 u' 8 1 2 120 80 u' u 0.5 4 1 40 0.6 0 0.2 -40 0.8 0.4 1.0  u''' -80 -4 u" -8 Фиг.2.13. Степенен полином u(ξ) и неговите производни u′, u″ и u‴ при j = 3, 6, 9 66 Неизучени са степенните функции, които включват нецели степенни показатели (фиг. 2.14). полином (2.51) k = 2.5, m = 3.5, p = 4.5 u u''' u" u 80 8 40 4 полином (2.52) k = 3.5, m = 4.5, p = 5.5 u' u u''' u" u 1 u' 2 80 8 1 40 4 1 u' 2 0.5 0.6 0 0.2 0.8 1.0  1 0.4 0.6 0.8 0.2 u''' -40 -4 0.5 0 0.4 u'  1.0 u''' -40 -4 u" u" -80 -8 -80 -8 полином (2.53) k = 4.5, m = 5.5, p = 6.5 полином (2.54) k = 5.5, m = 6.5, p = 7.5 u''' u''' u" 160 u 200 120 u 80 40 1 u' 8 2 100 0.5 0 0.2 -40 -4 -80 -8 0.5 1 0.4 0.6 0.8 1.0 1 0.6 0.2 -100 2 20 0 4 1 u' -20 0.4 0.8 1.0  u'''  -40 u''' u" -60 u" Фиг.2.14. Графики на степенни тричленни функции с нецели степенни показатели  За тричлена u(ξ) при степенни показатели k = 2.5, m = 3.5, p = 4.5 от (2.33) се получават коефициентите a2.5 = 7.875(1), a3.5 = 7.875(-10/7), a4.5  7.875(5 / 9) , нормираната степенна функция и нейните производни 67 (2.51)         10 3.5 5 4.5    ), 7 9 u ( )  19.6875( 1.5  2 2.5   3.5 ), u ( )  7.875( 2.5  u ( )  19.6875(1.5 0.5  5 1.5  3.5 2.5 ), u( )  19.6875(0.75 0.5  7.50.5  8.75 1.5 ) с екстремуми umax  1.804 , umax  6.485 , umin  4.8 , u max   , u min  26.8 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0   и u1  39.375 на u‴, като u‴(0) = ∞, защото не е изпълнено правилото най-ниската степен на полинома да е ≥ 3.  За тричлена u(ξ) при степенни показатели k = 3.5, m = 4.5, p = 5.5 от (2.33) се получават коефициентите a3.5 = 12.375(1), a4.5 = 12.375(-14/9), a5.5  12.375(7 / 11) , нормираната степенна функция и нейните производни         (2.52) 14 4.5 7 5.5    ), 9 11 2.5 3.5 u ( )  43.3125(  2   4.5 ), u ( )  12.375( 3.5  u ( )  43.3125(2.5 1.5  7 2.5  4.5 3.5 ), u( )  108.2825(1.5 0.5  7 1.5  6.3 2.5 ) се получават екстремумите umax  1.968 , umax  5.739 , umin  6.889 ,   36.356 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите umax  86.625 , umin на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  86.625 на u‴.  За тричлена u(ξ) при степенни показатели k = 4.5, m = 5.5, p = 6.5 от (2.33) се получават коефициентите a4.5 = 17.875(1), a5.5 = 17.875(-18/11), a6.5  17.875(9 / 13) , нормираната степенна функция и нейните производни (2.53)         18 5.5 9 6.5    ), 11 13 3.5 4.5 u ( )  80.4375(  2   5.5 ), u ( )  17.875( 4.5  u ( )  40.21875(7 2.5  18 3.5  11 4.5 ), u( )  20.109375(35 1.5  126 2.5  99 3.5 ) се получават екстремумите umax  2.187 , umax  6.36 , umin  9.504 , umax  160.875 , umin  55.395 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  160.875 на u‴. 68  За тричлена u(ξ) при степенни показатели k = 5.5, m = 6.5, p = 7.5 от (2.33) се получават коефициентите a5.5 = 24.375, a6.5 = -41.25, a7.5 = 17.875, нормираната степенна функция и нейните производни (2.54)        u ( )  1.25(19.5 5.5  33 6.5  14.3 7.5 ), u ( )  134.0625( 4.5  2 5.5   6.5 ), u ( )  134.0625(4.5 3.5  11 4.5  6.5 5.5 ), u( )  335.15625(6.3 2.5  19.8 3.5  14.3 4.5 ) се получават екстремумите umax  2.187 , umax  6.36 , umin  9.504 , umax  160.875 , umin  55.395 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). За границите на аргумента   [0; 1] се получава u0  0 и u1  160.875 на u‴. Може да се обобщи, че производните u′(ξ), и u″(ξ) на нормираната функция u(ξ) на всички полиноми от (2.51) до (2.54) се нулират за границите на аргумента    / 1 [0; 1] , което означава безударна работа на гърбичния механизъм, ако се приеме, че звената са недеформируеми и липсват хлабини в кинематичните двоици. Третата производна u‴(ξ) има краен скок за границите на аргумента при полином (2.51), докато за останалите полиноми има скок само при ξ = 1. Следователно е поуместно полиномите (2.52) до (2.54) да се използват, когато липсва една от фазите на престои и скачването на функциите между двете фази на движение да стана при еднаква стойност на u‴. 2.2.2.3 Четиричленни степенни закони Тези закони на движение дават възможност да се синтезират гърбични механизми без скокообразна промяна на скоростта, ускорението и неговата производна (т. нар. пулс) на изходното звено. Затова е необходим закон на движение, при който производните на нормираната функция u ( )  [0; 1] да се нулират (u′ = u″ = u‴ = 0) за границите на аргумента    / 1 [0; 1] . Следователно функцията u = u(ξ) трябва да е степенен полином, който съдържа поне четири събираеми и степенните показатели j да са по-големи от 3. Степенни четиричленни закони могат да се образуват от нормирана степенна четиричленна функция (2.12) при избрани стойности на j = k, m, p, q, която заедно с първите три производни 69  u  ak k  am m  a p p  aq q ,   u  ak k  k 1  am m  m1  a p p  p1  aq p  q1 ,  p q k m  u   ak  b  am  b  a p  b  aq  b ,  b k 1 b m 1 b p 1 b q 1  p q k m u   a b  a b  a b  a k  m  p  q  b,  b k 2 bm 2 b p  2 bq  2  (2.55) след полагане на u = 1, u′ = 0, u″ = 0, u‴ = 0 при ξ = 1, образува система от линейни алгебрични уравнения  ak k  am m  a p p  aq q  1   ak k  k 1  am m  m1  a p p  p 1  aq p  q 1  0,  p q k m  ak  b  am  b  a p  b  aq  b  0,  bk 1 b m 1 b p 1 b q 1  p q k m a b  am  b  a p  b  aq  b  0  k b  k  2 b  m 2 b p 2 b q 2  (2.56) с коефициенти определени от изразите (2.57) ak  Dk ; D am  Dm ; D ap  Dp D ; aq  1  ak  am  a p , където: D 1 1 k (k  1) m m(m  1) 1 1 p p ( p  1) q q (q  1) ; k (k  1)(k  2) m(m  1)(m  2) p ( p  1)( p  2) q (q  1)(q  2) 1 Dk  1 0 0 m m(m  1) 0 m(m  1)(m  2) 1 p p ( p  1) p ( p  1)( p  2) 70 1 q q (q  1) q (q  1)(q  2) ; Dm  1 1 1 1 k (k  1) 0 0 p p ( p  1) q q (q  1) k (k  1)(k  2) 0 p ( p  1)( p  2) q (q  1)(q  2) 1 1 k (k  1) Dp  m m(m  1) ; 1 1 0 0 q q (q  1) k (k  1)(k  2) m(m  1)(m  2) 0 . q (q  1)(q  2) Възможно е решение и в матричен вид, при който системата линейни алгебрични уравнения J.A = E се развива във вида: (2.58) 1 1 1  1  k m p q   k (k  1) m(m  1) p ( p  1) q (q  1)  k p q m  b b b   b  b b  m 2 b p 2 b q 2  k 2    ak  1    am     .    0  .   a p  0     0    aq   От уравнение (2.58) следва матричното уравнение A = J-1.E за определяне на неизвестните коефициенти ak, am, ap, aq: (2.59) 1 1 1  1  m p q  ak   k a   k p q m  m   b  b  b  b  a p   bk 1 b m1 b  p 1 b q 1    p q m  aq   k b  b b b b k 2 bm 2 b p 2 b q 2 1    1   0   .  .  0   0    От уравнение (2.59), записано във вида (2.60)  ak  a   m  1 a p  D    aq   A11 A  12  A13   A14 A21 A31 A22 A32 A23 A33 A24 A34 71 A41  1 A42    . 0 , A43     0  A44  където: m m A11  p q p q b b b b m1 b p1 b q 1 m p q , b b b b  m 2 b  p 2 b q 2 k k A12   p q p q b b b b  k 1 b p 1 k p   b k 2 b p 2 , b q 1 q b b b q 2 k m k A13  q m q b b b b k 1 b m 1 b q 1 k m q  bk 2 b b bm 2 b q 2 се получават коефициентите ak, am, ap, aq, при избрани стойности на j = k, m, p, q: (2.61) A11 m pq   ak  D  (m  k )( p  k )(q  k ) ;  A12 k pq   am  D  (k  m)( p  m)(q  m) ;   A kmq ;  a p  13  D ( k  p )( m  p )( q  p )   aq  1  ak  am  a p  72 , където D  det J . Необходимо е да се изчислят само елементите A11, A12 и A13, тъй като aq  1  ak  am  a p , а елементите A21, A31, A41, A22, A32, A42, A23, A33, A43, A24, A34, A44 се умножат по нула. Функцията на положението, респ. нормираният степенен четиричленен полином, трябва да има четири степенни показатели k, m, p и q без числата 0, 1, 2 и 3, за да се спази условието за нулиране на изходното ускорение (респ. инерционното натоварване) и неговата производна (т. нар. пулс) за границите на фазовите ъгли на движение на изходното звено. Броят на четиричленните закони на движение със степени на аргумента от 4 до 8 се определя от комбинациите без повторение от пет елемента (степените 4, 5, 6, 7, 8) от четвърти клас: C53  (2.62) n! 5!  5 p! (n  p)! 4! (5  4)! Стойностите на коефициентите ak, am, ap, aq, когато k, m, p, q са цели числа от 4 до 8, са изчислени от (2.61) и записани в табл.2.5. Коефициенти ai (i  4, 5, 6, 7, 8) Таблица 2.5 полином a4 a5 a6 a7 a8 1 35 -84 70 -20 0 2 30 -64 40 0 -5 3 70/3 -112/3 0 80/3 -35/3 4 14 0 -56 64 21 5 0 56 -140 120 -35 На фиг.2.15 са представени степенните полиноми u(ξ) и техните производни по реда от табл.2.5.  полином 1. За степенния четиричлен u(ξ) с коефициенти от ред №1 на табл.2.5 и неговите производни (2.63)        u ( )  35 4  84 5  70 6  20 7 , u( )  140( 3  3 4  3 5   6 ), u( )  420( 2  4 3  5 4  2 5 ), u( )  840(  6 2  10 3  5 4 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.188 , umax  7.513 , umin  7.513 , umax  42 , umin  52.5 съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). Налице е нулиране на u‴ за границите на интервала   [0; 1] . 73 полином 1 k = 4, m = 5, p = 6, q = 7 u u' u''' u" 40 8 20 4 u' 2 4 40 8 1 2 20 4 u' u 0 0.2 0.4 0.6 0.8 полином 2 k = 4, m = 5, p = 6, q = 8 u u' u''' u" 1.0 4 1 2 u 0  -20 -4 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  -20 -4 u" u" -40 -8 -40 -8 u''' u''' -60 -60 полином 3 k = 4, m = 5, p = 7, q = 8 u u' u''' u" 40 8 20 4 u' полином 4 k = 4, m = 6, p = 7, q = 8 u u' u''' u" 2 4 40 8 1 2 20 4 u' u u 2 4 1 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  -20 -4 -20 -4 u" u" -40 -8 -40 -8 u''' u''' -60 -60 полином 5 k = 5, m = 6, p = 7, q = 8 u''' u" 40 u u' 8 u' 20 2 4 1 2 u 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0  -20 -4 u" -40 -8 -60 Фиг.2.15. Четиричленни полиноми u(ξ) и техните производни u''' по реда на табл.2.5 74  полином 2. За степенния четиричлен u(ξ) с коефициенти от ред №2 на табл.2.5 и неговите производни (2.64)        u ( )  30 4  64 5  40 6  5 8 , u( )  40(3 3  8 4  6 5   7 ), u( )  40(9 2  32 3  30 4  7 6 ), u( )  240(3  16 2  20 3  7 5 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.191 , umax  7.379 , umin  7.696 , umax  44.891 , umin  52.899 съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). Налице е нулиране на u‴ за границите на интервала   [0; 1] .  полином 3. За степенния четиричлен u(ξ) с коефициенти от ред №3 на табл.2.5 и неговите производни (2.65)         70 4 112 5 80 7 35 8        , 3 3 3 3 3 4 6 u( )  (280 / 3)(  2  2   7 ), u ( )  u( )  (280 / 3)(3 2  8 3  12 5  7 6 ), u( )  280 (2  8 2  20 4  14 5 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.207 , umax  7.292 , umin  8 , umax  49.04 , umin  54.599 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). Налице е нулиране на u‴ за границите на интервала   [0; 1] .  полином 4. За степенния четиричлен u(ξ) с коефициенти от ред №4 на табл.2.5 и неговите производни (2.66)        u ( )  14 4  56 6  64 7  21 8 , u( )  56 ( 3  6 5  8 6  3 7 ), u( )  168( 2  10 4  16 5  7 6 ), u( )  336(  20 3  40 4  21 5 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.25 , umax  7.374 , umin  8.513 , umax  55.048 , umin  58.84 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). Налице е нулиране на u‴ за границите на интервала   [0; 1] .  полином 5. За степенния четиричлен u(ξ) с коефициенти от ред №5 на табл.2.5 и неговите производни 75        (2.67) u ( )  56 5  140 6  120 7  35 8 , u( )  280( 4  3 5  3 6   7 ), u( )  280(4 3  15 4  18 5  7 6 ), u( )  1680(2 2  10 3  15 4  7 5 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.35 , umax  7.937 , umin  9.4 , umax  64.7 , umin  67.923 , съответно на u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ). Налице е нулиране на u‴ за границите на интервала   [0; 1] . При избор на степенен закон на движение трябва да се имат предвид графиките от фиг.2.15 и екстремните стойности на степенните функции, записани на табл.2.6. Сравнителна таблица на екстремумите на функциите u′, u″ и u‴ от фиг.2.15    umax umax umin № Функции u(ξ) Таблица 2.6  umax  umin 1 u  35 4  84 5  70 6  20 7 2.188 7.513 -7.513 42 -52.5 2 u  30 4  64 5  40 6  5 8 2.191 7.379 -7.696 44.891 -52.899 2.207 7.292 -8 49.04 -54.599 3 u 70 4 112 5 80 7 35 8        3 3 3 3 4 u  14 4  56 6  64 7  21 8 2.25 7.374 -8.513 55.048 -58.84 5 u  56 5  140 6  120 7  35 8 2.35 7.937 -9.4 64.7 -67.923 От графиките на фиг.2.15 и от табл.2.6 е видно, че с нарастване на стойностите на степенните показатели в не особено големи граници нарастват екстремумите на функциите u′, u″ и u‴, като се нулират за границите на аргумента    / 1 [0; 1] . 2.2.2.4 Рационални възможности за генериране на степенни закони Двучленни, тричленни и четиричленни закони на движение бяха изведени посредством нормирани степенни полиноми в раздели 2.2.2.1, 2.2.2.2 и 2.2.2.3. При двучленна степенна функция със степенни показатели k и m от (2.17) за коефициентите ak и am се получава: ak  m k ; am  . (m  k ) ( k  m) 76 Резултатите са верни, ако сумата от стойностите на коефициентите е равна на 1: ak  am  1 . При тричленна степенна функция със степенни показатели k, m и p от (2.32) за коефициентите ak, am и ap се получава: ak  mp ; (m  k )( p  k ) am  k p km . ; ap  (k  m)( p  m) (k  p )(m  p ) Резултатите са верни, ако сумата от стойностите на коефициентите е равна на 1: ak  am  a p  1 . При четиричленна степенна функция със степенни показатели k, m, p и q от (2.59) за коефициентите ak, am, ap, aq се получава: ak  m pq k pq ; am  ; (m  k )( p  k )(q  k ) (k  m)( p  m)(q  m) ap  kmq k mp ; aq  . (k  p )(m  p )(q  p ) (k  q )(m  q )( p  q ) Резултатите са верни, ако сумата от стойностите на коефициентите е равна на 1: ak  am  a p  aq  1. Получените формули за определяне на коефициентите на степенните двучленни, тричленни и четиричленни функции са валидни както при цели, така и при нецели степенни показатели. Съгласно метода на т.нар. трансфинна математична индукция, може да се допусне, че формулите за определяне на стойностите на коефициентите на въведените нормирани степенните функции са валидни при произволно множество от цели и нецели степенни показатели. Изведените формули за определяне на стойностите на коефициентите са верни при два, три и четири четни и нечетни степенни показатели, откъдето следва индуктивното допускане, че при произволен брой четни и/или нечетни степенни показатели се получава индуктивно формула за стойностите на коефициентите 77 (2.68) aj  k . m . p ... v , (k  j )(m  j )( p  j )...(v  j ) в която j последователно приема n на брой стойности k, m, p,…, v. В числителя на (2.68) се изключва степенният показател j (приема се j = 1), а в знаменателя от всяка стойност на степенните показатели (с изключение на j) и се изважда стойността j. С други думи стойността на всеки неизвестен коефициент aj на нормираната степенна функция се определя от отношение (2.68) с числител - произведение на степенните показатели, от което се изключва j и знаменател - произведение от разликите между степенните показатели (с изключение на j) и степенния показател j. За проверка на получените резултати трябва сумата от стойностите на изчислените коефициенти да бъде равна на единица: k  m  p  ...  v  1 . До индуктивно заключение за верност на (2.68) се стига, ако се докаже и за произволно избран брой n четни и/или нечетни стойности на степенните показатели. Верността на формула (2.68) се потвърди от множество проверки при различен брой n, четни и нечетни стойности на степенните показатели на петчленни и шестчленни степенни функции. От тях са подбрани две функции. Пример 1. Нека степенната функция е петчленна с цели и нецели степенни показатели. Например при k = 5; m = 5.5; p = 6; q = 6.5; s = 7 от формула (2.68) се получава: ak = 1001; am = - 3640; ap = 5005; aq = - 3080; as = 715. Резултатите са верни, тъй като ak + am + ap + aq + as = 1. Така за нормираната степенна функция и нейните производни се получава: (2.69) u  1001 5  3640 5.5  5005 6  3080 6.5  715 7 ,  4 4.5 5 5.5 6 u  5005(  4  6  4   ),  3 3.5 4 4.5 5  u   10010(2  9  15  11  3 ),   2 2.5 3 3.5 4 u  15015(4  21  40  33  10 ), u  15015(8  52.5 1.5  120 2  115.5 2.5  40 3 ).  Наистина за границите на интервала   [0; 1] функцията u(ξ) има стойности съответно 0 и 1, а всички производни функции на u(ξ) се нулират. Степенният полином u(ξ) с първите три производни са представени на фиг.2.16. 78 u''' u" 150 u u' 15 1.5 3 u' 100 10 50 5 u 1.0 2 0.5 1 0 0.2 -50 0.4 0.6 1  -5 u" u''' -100 0.8 -10 Фиг.2.16. Графики на петчленния полином u(ξ) и първите три производни от (2.69) Пример 2. Нека степенната функция е шестчленна с цели степенни показатели, например k = 6; m = 7; p = 8; q = 9; s = 10; v = 11. От формула (2.68) се получава ak  462 ; am  1980 ; a p  3465 ; aq  3080 ; as  1386 ; av  252 и съответно: (2.70) u  462 6  1980 7  3465 8  3080 9  1386 10  252 11 ,  5 6 7 8 9 10 u  2772(  5  10  10  5   ),   4 5 6 7 8 9 u  13860(  6  14  16  9  2 ),  3 4 5 6 7 8 u  27720(2  15  42  56  36  9 ),   2 3 4 5 6 7 u  166320(  10  35  56  42  12 ), u  332640(  15 2  70 3  140 4  126 5  42 6 ). Очаквано за границите на интервала   [0; 1] функцията u(ξ) има стойности съответно 0 и 1, а всички производни функции на u(ξ) до пети ред се нулират. Това означава, че полиномът има една обща точка и 5 безкрайно близки общи точки с оста ξ при ξ = 0 и ξ = 1 в положителната посока на оста ξ и още 5 безкрайно близки общи точки с оста ξ при ξ = 0 и ξ = 1 в обратната посока на оста ξ. На практика това означава 11 безкрайно близки общи точки на полинома с оста ξ или оскулация (допиране) от 10 ред на полинома с оста ξ. Макар безкрайно близки, общите точки 79 водят по принцип до приблизителен, но достатъчно точен в определени случаи престой на изходното звено. Степенният полином u(ξ) с първите три производни са представени на фиг.2.17. u''' u" 150 15 100 10 50 5 u u' u' u 1.5 3 1.0 2 0.5 1 0 0.2 -50 0.4 0.6 0.8 1  -5 u" u''' -100 -10 -150 -15 Фиг.2.17. Графики на шестчленния полином u(ξ) и първите три производни от (2.70)  При стойности на степенните показатели k = 7; m = 8; p = 9; q = 10; s  11 ; v = 12 от формули (2.68) се получава: ak = 792; am = -3465; ap = 6160; aq = -5544; as = 2520; av = -462. Тогава нормираната функция и нейните производни се конкретизират във вида: (2.71) u  792 7  3465 8  6160 9  5544 10  2520 11  462 12 ,  6 7 8 9 10 11 u  5544(  5  10  10  5   ),   5 6 7 8 9 10 u  5544(6  35  80  90  50  11 ),  4 5 6 7 8 9  u   55440(3  21  56  72  45  11 ),   3 4 5 6 7 8 u  166320(4  35  112  168  120  33 ), u  665280(3 2  35 3  140 4  252 5  210 6  66 7 ),  u  665280(6  105 2  560 3  1260 4  1260 5  462 6 ). 80 Проверката ak  am  a p  aq  as  av  1 , нормирана функция u(ξ) и производните ѝ показват верността на получените резултати, тъй като за границите на интервала   [0; 1] функцията u(ξ) има стойности съответно 0 и 1, а всички производни функции се нулират. Графики на u(ξ), u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ) са представени на фиг.2.18, от които се вижда, че в началото и в края на фазата на отдалечаване Ф1 изходното звено остава практически неподвижно – реализира се приблизителен престой на това звено. Във фазата на приближаване Ф3 (обратен ход) на изходното звено нормираните степенни функции u ( ) , u( ) , u( ) и u( ) се запазват по вид при нов аргумент   1   , където   [0, 1] . u''' u" 150 15 100 10 50 5 u u' u' u 1.5 3 1.0 2 0.5 1 0 0.2 -50 0.4 0.6 0.8 1  -5 u" u''' -100 -10 -130 -13 Фиг.2.18. Графики на шестчленния полином u ( ) и първите три производни от (2.71) Функциите (2.69), (2.70), (2.71) и други многочленни полиноми са особено подходящи при синтез на гърбични механизми с възвратно движение на гърбицата (вж. фиг.1.1б и текста към нея), тъй като може да се използва един полином в целия геометричен цикъл на механизма. Задача. Да се определят фазовите ъгли Ф1, Ф2, Ф3 и Ф4 при зададени:  геометричен цикъл на гърбицата ФС = 2(Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4);  ъглов или линеен ход на изходното звено; 81  максимално допустимо отклонение δ от функцията на изходно преместване Δψ(φ) във фазите Ф2 и Ф4 на престой. Полином (2.69). Нека гърбицата е с възвратно движение (фиг.1.1б) в рамките на 1 оборот с пълен геометричен цикъл ФС = 4π, ъглов ход на изходното звено (кобилица или плоска кулиса)    max  0,3  17.189 и отклонение   0,001  0.0573 . При тези данни се получава:  ъгъл на отдалечен престой 2 2  85.6 (317.2°    360°);  ъгъл на близък престой 2 4  57 (0    28.5°);  фази на отдалечаване и приближаване 1   3  288.7 . Полином (2.70). Нека гърбицата е с възвратно движение в рамките на 1 оборот с пълен геометричен цикъл ФС = 4π, ъглов ход на изходното звено    max  0,3  17.189 и отклонение   0,001  0.0573 . При тези данни се получава:  ъгъл на отдалечен престой 2 2  96.9 (311.6°    360°);  ъгъл на близък престой 2 4  90 (0    45°);  фазови ъгли на отдалечаване и приближаване 1   3  266.6 . Полином (2.71). Нека гърбицата е с възвратно движение в рамките на 1 оборот с пълен геометричен цикъл ФС = 4π, ъглов ход на изходното звено    max  0,3  17.189 и отклонение   0,001  0.0573 . При тези данни се получава:  ъгъл на отдалечен престой 2 2  87 (316.5°    360°);  ъгъл на близък престой 2 4  115 (0    57.5°);  фазови ъгли на отдалечаване и приближаване 1  3  259 . 2.2.2.5 Петчленни степенни закони Тези закони на движение дават възможност за моделиране на безударни закони на движение с по-добри динамични характеристики на високоскоростни, еластични гърбично-лостови системи в сравнение със степенните тричленни и четиричленни закони на движение. Обикновено се приема, че звената са безхлабинно свързани твърди тела, при което механизмът генерира желан базов закон на движение. В действителност реалните закони на движение на механизмите се различават толкова повече от базовите, колкото скоростта на гърбицата, натоварването, деформациите и хлабините на гърбично-лостовите системи са по-големи. Затова редица автори отчитат тяхното влияние върху изходното движение на гърбичните механизми [33], [105] при формулиране на проектен закон на движение. Гърбиците, проектирани по полиномни закони на движение с отчитане на динамиката и деформациите на задвижваната от 82 гърбицата механична система, са получили названието полидинамични гърбици. Проектирането на такива гърбици е наложително при конструирането на високоскоростни и недостатъчно твърди механични системи, например гърбично-лостовите разпределителни клапанни механизми на автомобилните двигатели [27], [31] и някои високоскоростни предавателни механизми на текстилните машини [105], [46]. Началото на разработването на методи за синтез на полидинамични гърбици е поставено през 1948 г. от Dudley [72], допълнено и развито от много други автори главно във връзка с динамични изследвания на гърбично-лостови системи [111], [110], [68], [98], [112]. Основната цел на методите е да се изключат скокове на ускоренията, респ. на инерционното натоварване на еластично податливи механични системи, за да се постигнат по-точни целеви движения с ограничени до минимум трептения. Ако се налага желаният закон на движение да бъде възможно найточно спазен, то към базовия закон на движение се наслагва допълнителна корекция, която отчита скоростта на движение на гърбицата, инерционното натоварване, еластичността и хлабините на механичната система, за да се получи проектен закон на движение. В повечето случаи видът на базовия закон на движение може да се запази, като се увеличи минимално базовият ход на изходното звено, така че да се компенсира намаляването на хода следствие на хлабините и еластичността на механичната система. С нарастване на скоростта промяната на хода нараства, докато при ниска скорост реалната и базовата функция на преместването на изходното звено практически съвпадат. Най-съществено върху базовия закон на движение на полидинамичните гърбични механизми влияе базовата втора предавателна функция и нейните производни. Тази функция, умножена с динамичната константа на задвижваната от гърбицата механична система, променя изходното преместване, тъй като породеното от ускорението инерционно натоварване деформира еластично звената на системата. С други думи в реалната функция на преместването участва и втората производна (базовата втора предавателна функция). Следователно, за да няма скокове в първите две реални предавателни функции, е необходимо да се избегнат скоковете и в следващите две базови предавателни функции - третата и четвъртата. Това не може да се постигне за границите на фазите на движение на изходното звено, ако се избере степенна тричленна или четиричленна функция на преместване. Споменатите скокове ще се избегнат, ако функцията на преместването и първите ѝ четири производни са непрекъснати функции. От степенния полином (2.12) при избрани стойности j = k, m, p, q, s на степенните показатели се образува степенна петчленна функция с 83 коефициенти, които директно могат да бъдат определени от формула (2.68): (2.72)  m pqs  ak  (m  k )( p  k )(q  k )( s  k ) ;   k pqs  am  (k  m)( p  m)(q  m)( s  m) ;   kmqs ; a p  ( k  p )( m  p )( q  p )( s  p )   kmps ;  aq  ( k  q )( m  q )( p  q )( s  q )   km pq .  as  ( k  s )( m  s )( p  s )( q  s )  Коефициентите на функциите са изведени от условието за нулиране на първите четири производни в началото и в края на преместването на изходното звено. Нека да бъдат определени нормираните петчленни степенни функции с цели степенни показатели от 5 до 10. Броят на тези закони се определя от комбинациите без повторение от шест елемента (степените 5, 6, 7, 8, 9, 10) от пети клас: (2.73) n n! 6! C65       6.  p  p ! (n  p )! 5! (6  5)! Стойностите на кое- Коефициенти a i фициентите ak, am, ap, aq, a5 Полином as, когато k, m, p, q, s са 126 1 цели числа от 5 до 10, са изчислени от отношения 112 2 (2.72) и записани в 94,5 3 табл.2.7. На фиг.2.19 са представени степенните полиноми u(ξ) и първите три производни по реда от табл.2.7. (i = 5, 6, 7, 8, 9, 10) Таблица 2.7 a6 a7 a8 a9 a10 -420 540 -315 70 0 -350 400 -175 0 14 -262.5 225 0 -87.5 31.5 4 72 -150 -0 225 -200 54 5 42 0 -300 525 -350 84 6 0 210 -720 945 -560 126  полином 1. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №1 на табл.2.7 и неговите производни 84 (2.74)          u ( )  126 5  420 6  540 7  315 8  70 9 , u( )  630( 4  4 5  6 6  4 7   8 ), u( )  2520( 3  5 4  9 5  7 6  2 7 ), u( )  2520(3 2  20 3  45 4  42 5  14 6 ), u( )  15120(  10 2  30 3  35 4  14 5 ) , се получават следните екстремни стойности umax  2.461 , umax  9.372 , umin  9.372 , umax  51.428 , umin  78.75 , u u max  622.524 , min  622.524 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] .  полином 2. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №2 на табл.2.7 и неговите производни (2.75)          u ( )  112 5  350 6  400 7  175 8  14 10 , u( )  140(4 4  15 5  20 6  10 7   9 ), u( )  140(16 3  75 4  120 5  70 6  9 8 ), u( )  1680(4 2  25 3  50 4  35 5  6 7 ), u( )  1680(8  75 2  200 3  175 4  42 6 ), се получават следните екстремни стойности umax  2.463 , umax  9.288 , umin  9.484 , umax  53.116 , umin  78.992 , u max  640.808 , u min  609.684 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] .  полином 3. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №3 на табл. 2.7 и неговите производни (2.76)          u ( )  0.5(189 5  525 6  450 7  175 9  63 10 ), u( )  157.5(3 4  10 5  10 6  5 8  2 9 ), u( )  315(6 3  25 4  30 5  20 7  9 8 ), u( )  630(9 2  50 3  75 4  70 6  36 7 ), u( )  1890(6  50 2  100 3  140 5  84 6 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.753 , umax  9.228 , umin  9.659 , umax  55.428 , umin  79.963 , u max  670.16 , u min  602.15 85 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] . полином 1 k = 5, m = 6, p = 7, q = 8, s = 9 полином 2 k = 5, m = 6, p = 7, q = 8, s = 10 u u'' u u'' u' u' 3 u''''u''' 10 u u' u'' 1 u''''u''' 10 8 600 60 6 400 40 4 200 20 2 0.5 1 -20 -2 -400 -40 -4 -600 -60 -6 -80 -8 600 60 6 400 40 4 200 20 2 0.2 0.4 0.6 0.8  1.0 u'''' -200 -20 -2 -400 -40 -4 -600 -60 -6 -80 -8 полином 3 k = 5, m = 6, p = 7, q = 9, s = 10 10 u' u 6 400 40 4 200 20 2 u'' -20 -2 -400 -40 -4 -600 -60 -6 -80 -8 u''' 0.2 0.4 0.6 0.5 0.8 1 600 60 6 400 40 4 200 20 2 -200 -20 -2 u'''' -400 -40 -4 -600 -60 -6 -80 40 4 200 20 2 u -20 -2 -400 -40 -4 -60 -6 -80 -8 -600 -10 u'' 1 2 0.5 0.4 0.2 1 0.6 0.8 ? 1.0 u'''' -8 u' u'' u u' u''' u'''' 1 u''' 2 0.5 u u'' 3 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ? u'''' 60 6 400 40 4 200 20 2 -20 -2 -400 -40 -4 -600 -60 -6 -80 0.5 1 0.4 0.2 0.6 0.8 u'''' u''' Фиг.2.19. Графики на петчленните полиноми от табл.2.7 86 3 1 2 -8 -10 u''' u u' 8 600 -200 u' u'' 10 0 0 -200 u u' полином 6 k = 6, m = 7, p = 8, q = 9, s = 10 8 400 u' -10 10 600 u 0 ? 1.0 u'' 6 ? 1.0 8 полином 5 k = 5, m = 7, p = 8, q = 9, s = 10 60 0.8 u'''' u''''u''' 10 -10 u'''' u''' 0.6 3 2 0 -200 0.4 u'' 1 8 60 0.2 3 u' 600 1 полином 4 k = 5, m = 6, p = 8, q = 9, s = 10 u u'' u''' 0.5 -10 -10 u'''' 2 u''' 0 0 -200 1 8 2 u''' u'' 3 u u' 1.0 ?  полином 4. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №4 на табл. 2.7 и неговите производни (2.77)          u ( )  72 5  150 6  225 8  200 9  54 10 , u( )  180(2 4  5 5  10 7  10 8  3 9 ), u( )  180(8 3  25 4  70 6  80 7  27 8 ), u( )  720(6 2  25 3  105 5  140 6  54 7 ), u( )  2160(4  25 2  175 4  280 5  126 6 ) се получават следните екстремни стойности umax  2.456 , umax  9.232 , umin  9.932 , umax  58.651 , umin  82.224 , u u max  716.416 , min  607.16 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] .  полином 5. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №5 на табл. 2.7 и неговите производни (2.78)          u ( )  42 5  300 7  525 8  350 9  84 10 , u( )  210( 4  10 6  20 7  15 8  4 9 ), u( )  840( 3  15 5  35 6  30 7  9 8 ), u( )  2520( 2  25 4  70 5  70 6  24 7 ), u( )  5040(  50 3  175 4  210 5  84 6 )  се получават следните екстремни стойности umax  2.526 , umax  9.388 , umin  10.363 , umax  63.261 , umin  86.74 , u max  788.902 , u min  638.147 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] .  полином 6. За степенния петчлен u(ξ) с коефициенти от ред №6 на табл. 2.7 и неговите производни (2.79)          u ( )  210 6  720 7  945 8  560 9  126 10 , u( )  1260( 5  4 6  6 7  4 8   9 ), u( )  1260(5 4  24 5  42 6  32 7  9 8 ), u( )  5040(5 3  30 4  63 5  56 6  18 7 ), u( )  15020(5 2  40 3  105 4  112 5  42 6 ) 87 се получават следните екстремни стойности umax  2.602 , umax  9.893 , umin  11.058 , umax  70.104 , umin  95.289 , u max  897.852 , u min  713.026 съответно на функциите u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на тези функции за границите на интервала   [0, 1] . Екстремните стойности на петчленните степенни закони на движение от фиг.2.19 са записани в табл.2.8, за да се подпомогнат проектантите при избор на базов закон на движение, подходящ при проектирането на полидинамични гърбици. Сравнителна таблица на екстремумите на функциите u′, u″ и u‴ от фиг.2.19 Таблица 2.8 функции u(ξ)  umax  umax  umin  umax  umin u  126 5  420 6  540 7  315 8  70 9 2.461 9.372 -9.372 51.428 -78.75 u  112 5  350 6  400 7  175 8  14 10 2.463 9.288 -9.484 53.116 -78.992 u  0.5(189 5  525 6  450 7  175 9  63 10 ) 2.753 9.228 -9.659 55.428 -79.963 u  72 5  150 6  225 8  200 9  54 10 2.456 9.232 -9.932 58.651 -82.224 u  42 5  300 7  525 8  350 9  84 10 2.526 9.388 -10.363 63.261 -86.74 u  210 6  720 7  945 8  560 9  126 10 2.602 9.893 -11.058 70.104 -95.289 От графиките на фиг.2.19 и от табл.2.8 е видно, че с нарастване на стойностите на степенните показатели в не особено големи граници нарастват екстремумите на функциите u′, u″ и u‴, като се нулират за границите на аргумента    / 1  [0; 1] .  Симетричен е единствено полиномът 1 от фиг.2.19 (уравн.2.74), за който коефициентът на асиметрия a  2   1  0 , където     (v ) е стойността на аргумента ξ, при който функцията u′(ξ) има максимум, респ. производната u″(ξ) се нулира. Асиметрията нараства, както и ξ*, с повишаване на стойностите на степенните показатели (вж. фиг.2.19). Изведената фамилия от петчленни степенни нормирани функции дава възможност за моделиране на безударни закони на движение на гърбичните механизми с по-добри динамични характеристики в сравнение със степенните тричленни и четиричленни закони на движение при проектиране на високоскоростни, еластични гърбично-лостови системи, тъй като параметрите на функциите са изведени от условието за нулиране на първите четири производни на нормираната функция в началото и в края на преместването на изходното звено. 88 2.2.2.6 Степенни петчленни закони с една фаза на престой Законите на движение на полидинамичните гърбични механизми са гладки функции без скокове поне до четвъртата производна на изходното движение, за да се избегнат скоковете на ускоренията при високоскоростни и еластични механични системи [72], [111], [110], [33], [69]. Това предимство на законите на движение става за сметка на по-големи екстремни стойности на изходните скорости и ускорения. Тези стойности може чувствително да бъдат намалени при гърбични механизми с една фаза на престой, ако изходното ускорение има еднаква крайна стойност в прехода от фаза на отдалечаване към фаза на приближаване на изходното звено (при липса на отдалечен престой) или в прехода от фаза на приближаване към фаза на отдалечаване на изходното звено (при липса на близък престой). В противен случай, при нулево ускорение в прехода от една към друга фаза на движение на изходното звено, ускорението бързо се променя от една екстремна стойност до нула и отново към екстремна стойност в следващата фаза на движение. Така освен споменатите по-големи екстремни стойности на изходната скорост и ускорение е възможно да възникнат и значителни еластични трептения. Проектирането на полидинамични гърбици е наложително не само при гърбично-лостовите разпределителни клапанни механизми на автомобилните двигатели [31], [98], [112], но и на множество други съвременни високоскоростни и недостатъчно твърди механични системи на различни технологични машини [106], [66], [100], [68]. Изведената фамилия от петчленни степенни нормирани функции е подходяща за моделиране на безударни закони на движение в качеството им на базови закони при проектиране на полидинамични гърбични механизми с две фази на престой на изходните им звена. При проектиране на полидинамични гърбични механизми само с една фаза на престой на изходното звено е полезно да бъде съставена и изследвана фамилия от безударни степенни петчленни закони на движение с подобри характеристики в сравнение с аналогични петчленни закони на движение, подходящи за синтез гърбични механизми с две фази на престой. Условие за извеждане на степенни закони на движение на полидинамични гърбични механизми с една фаза на престои е използването на базови нормирани функции с поне пет члена, от които първият задължително да е със степен 2 (k = 2), а останалите от пета степен нагоре. Нормираната функция и нейните производни за фазите на отдалечаване и приближаване Ф1 = Ф3 = Ф при аргумент    /   [0; 1] могат да се опишат посредством една изходна нормирана функция u ( )  [0; 1] и нейните производни u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Възможни са два случая: Случай 1. Един цикъл включва само фаза на отдалечен престой Ф2 (фиг.2.20а); 89 Случай 2. Един геометричен цикъл включва само фаза на близък престой Ф4 (фиг.2.20б). И в двата случая се въвежда аргумент   1   , откъдето следва: u ( )  u (1   ); u( )  u(1   ); u( )  u(1   );   u( )  u(1   ); u( )  u(1   ) . (2.80) В случай 1 (Ф4 = 0) за фазата на отдалечаване Ф1 нормираната функция и нейните производни съвпадат с изходната нормирана функция u(ξ) и нейните производни u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Във фазата на приближаване Ф3 аргументът е   1   и се ползват уравнения (2.80). В случай 2 (Ф2 = 0) за фазата на приближаване Ф3 нормираната функция и нейните производни съвпадат с изходната нормирана функция u(ξ) и нейните производни u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Във фазата на отдалечаване Ф1 аргументът е   1   и се ползват уравнения (2.80). u" u" _  =1 0 0_ _  1 2 _ =1   3 а) u" u" _ _ =1 0 0_    =1 _  3 1 4 б) Фиг. 2.20. Скачване на функцията u( ) с u( ) за един геометричен цикъл при една фаза на престой: а) отдалечен; б) близък При тези условия аналозите на ускоренията u ( ) и u( ) се скачват без скок в прехода между фазите на отдалечаване и приближаване на изходното звено (фиг.2.20). 90 Извеждане на степенните полиноми От степенния полином (2.12) u ( )   a j j при избрани стойности на j j  k , m, p, q, s коефициентите ak, am, ap, aq, as директно се определят от уравнения (2.72). Нека стойностите на степенните Степенни показатели показатели k, m, p, q, s се подберат k, m, p, q, s Таблица 2.9 по формулата z = 2 + in, където z е Полином m p q s обобщен запис на поредица степенi n ни показатели m, p, q, s, съответно 1 3 5 8 11 4 при i = 1, 2, 3, 4 и n = 3, 6, 9, 12. Полу2 6 8 14 20 26 чава се фамилия от четири полино3 9 11 20 29 38 ма и съответни степенни показатели, представени в табл.2.9, като за 4 12 14 26 38 50 всеки полином k = 2. Стойностите на коефициентите ak, am, ap, aq, as, изчислени от уравнения (2.72), са записани в табл. 2.10. Таблица 2.10 Коефициенти ak, am, ap, aq, as Полином ak am ap aq as 1 770/243 -1232/243 1155/243 -560/243 110/243 2 455/243 -455/243 390/243 -182/243 35/243 22040 19683 24700  31104 18183 19683 19950 31104 8360 19683 9100  31104 1595 19683 1729 31104 3 4 30305 19683 43225 31104    За степенния полином №1 с коефициенти от ред №1 на табл.2.10 и неговите производни 1  u  (770 2  1232 5  1155 8  560 11  110 14 ),  243   u  1540 (  4 4  6 7  4 10   13 ),  243  1540  (2.81) (1  16 3  42 6  40 9  13 12 ),  u  243  6160  2 5 8 11  u  81 (4  21  30  13 ),   u  6160 (8  105 4  240 7  143 10 ),  81 91 се получават следните екстремни стойности umax  1.957 , umax  6.337 , umin  6.309 , umax  33.03 , umin  35.859 , u max  297.2 , u min  315.94 , съответно на u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на u′, u‴ и u‴′ за границите на интервала   [0; 1] .  За степенния полином №2 с коефициенти от ред №2 на табл.2.10 и неговите производни 1  u  (455 2  455 8  390 14  182 20  35 26 ),  243   u  910 (  4 7  6 13  4 19   25 ),  243  910  (2.82) (1  28 6  78 12  76 18  25 24 ),  u  243  7280   u  (7 5  39 11  57 17  25 23 ),  81   u  7280 (35 4  429 10  969 16  575 22 ),  81 се получават следните екстремни стойности umax  1.86 , umax  3.745 , umin  8.386 , umax  75.515 , umin  48.149 , u max  941.98 , u min  1406 съответно на u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на u′, u‴ и u‴′ за границите на интервала   [0; 1] .  За степенния полином №3 с коефициенти от ред №3 на табл.2.10 и неговите производни        (2.83)        1 (30305 2  22040 11  18183 20  8360 29  1595 38 ), 19683 60610 u  (  4 10  6 19  4 28   37 ), 19683 60610 u  (1  40 9  114 18  112 27  37 36 ), 19683 60610 u  (40 8  228 17  336 26  148 35 ), 2187 242440 u  (80 7  969 16  2184 25  1295 34 ) 2187 u се получават следните екстремни стойности umax  1.848 , umax  3.079 , umin  10.769 , umax  138.079 , umin  73.247 , u max  2314 , u min  3826 съответно на u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на u′, u‴ и u‴′ за границите на интервала   [0; 1] . 92  За степенния полином №4 с коефициенти от ред №4 на табл.2.10 и неговите производни (2.84)               1 (43225 2  24700 14  19950 26  9100 38  1729 50 ), 31104 86450 u  (  4 13  6 25  4 37   49 ), 31104 86450 u  (1  52 12  150 24  148 36  49 48 ), 31104 129675 u  (52 11  300 23  444 35  196 47 ), 3888 129675 u  (143 10  1725 22  3885 34  2303 46 ) 972 u се получават следните екстремни стойности umax  1.85 , umax  2.779 , umin  13.226 , u max  220.249 , u min  106.376 , u max  4668 4668, u min  8096 съответно на u′(ξ), u″(ξ), u‴(ξ) и u‴′(ξ). Налице е нулиране на u′, u‴ и u‴′ за границите на интервала   [0; 1] . Графики поотделно на нормираните полиноми u(ξ) и на техните производни u′(ξ), u″(ξ) и u‴(ξ) са представени поотделно на фиг.2.21. Полиномите (2.80), (2.81) и (2.82) дават възможност да се генерира равноускорително движение на изходното звено в значителен интервал на промяна на входната координата. Този интервал нараства с повишаване на степените на полиномите, както е видно от фиг.2.21. В таблица 2.11 е направено сравнение на екстремумите на функциите u′, u″ и u‴. Сравнителна таблица на екстремумите на функциите u′, u″ и u‴ нормиран полином    umax umax umin u(ξ) Таблица 2.11  umax  umin полином 1 (2.79) 1.957 6.337 -6.309 33.03 -35.859 полином 2 (2.80) 1.86 3.745 -8.386 75.515 -48.149 полином 3 (2.81) 1.848 3.079 -10.769 138.079 -73.247 полином 4 (2.82) 1.85 2.779 -13.226 220.249 -106.376 Изведената фамилия от петчленни степенни нормирани функции за моделиране на безударни закони на движение на гърбичните механизми дава възможност за постигане на по-добри динамични характеристики в сравнение с други закони на движение при полидинамични гърбици в 93 случаите, при които липсва една от фазите на престой на изходното звено. u u' u( ) 1 2 1 2 3 4 0.5 1 u'( ) 1 2 3 4   0 0.2 0.4 0.8 0.6 0 1.0 0.2 0.4 а) u''' u''( ) 1.0 u'''( ) 200 6 150 4 100 2  0.2 0.4 0.8 0.6 1 50 0 -2 0.8 б) u'' 8 0.6 1.0 0 0.2 0.4 4 3 2  0.6 0.8 -4 1.0 -50 -6 -100 1 -8 2 -10 3 -12 4 в) г) Фиг. 2.21. Графики на полиномите (2.79), (2.80), (2.81) и (2.82): а) u(ξ); б) u′(ξ); в) u″(ξ); г) u‴(ξ) 2.2.3 Тригонометрични закони Функцията на положението B  B0  Bmax u ( ) и производните предавателни функции B′(φ), B″(φ) и B‴(φ) при тригонометрични закони на движение отново ще бъдат изучени и сравнени посредством нормиран полином u ( )  [0; 1] с аргумент    / 1 [0; 1] и производните u′, u″, u‴ на полинома. Нека фамилия от нормирани тригонометрични полиноми се представи като сума от синусоидални функции с амплитуди aj [83] 94 n u ( )   a j cos( j j ) . (2.85) j 0 Ако j = 0; 1 и коефициентите a0 и a1 се определят от условието u  0; 1 за границите на аргумента   0; 1 , тогава за полинома (2.85) и производните му се получава (2.86) u ( )  0.51  cos( ) , (2.87) u( )  0.5 sin( ) , (2.89) u( )  0.5 2 cos( ) , което води до закон „косинус“ на втората предавателна функция.  Ако в (2.85) се положи j = 0; 1; 2 се получава (2.87) u ( )  a0  a1 cos( )  a2 cos(2 ) . За да се изпълни горното условие u  [0; 1] за границите на интервала   [0; 1] е необходимо коефициентите a0, a1 и a2 да удовлетворяват системата a0  a1  a2  0 (2.90) a0  a1  a2  1. Ако се положи a2 = 1/n2, тогава коефициентите a0 и a1 се определят еднозначно от отношенията (2.91) a0  Da0 D ; a1  Da1 D ; където  1  n 1 1 2 D ; Da0     n2  1 1  1   n  2 и функцията (2.89) добива вида 95 1    1  1 n2   ; Da    1 n2  1     1 1  n    2   1  n 1 1 u ( )   2  cos( )  cos(2 )  . 2  n2 n2  (2.92) Функцията (2.92) и нейните производните u′ и u″, определени от изразите   2 sin( )  sin(2 )  ,  2 n2  (2.93) u( )  (2.94)  2  4 u( )  cos(  )  cos(2  )  2  n2  при n2 = 4; 8; 16; 32 са представени на фиг.2.22. Ако се поставят още условията u′ = u″ = 0 за границите на интервала   [0; 1] от (2.94) се получава n2 = 4 при ξ = 0 и n2 = - 4 при ξ = 1. n2 u 1 u' 4 8 16 32 0.5 2 1 0.2 0.4 0.6 0.8 4 8 16 32   0 n2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 n2 6 u" 4 8 16 32 4 2 1.0 0 -2 0.2 0.4 0.6 0.8  -4 -6 -8 -10 Фиг.2.22. Тригонометрични функции u(ξ) и техните производни u′ и u″ при j = 0; 1; 2 и n2 = 4; 8; 16; 32 96 Производната (2.93), свързана с изходната скорост, се нулира за границите на интервала   [0; 1] при всяка стойност на n2, но производната (2.94), която кореспондира с изходното ускорение, може да се нулира само за една от тези граници и то при съответна стойност (4 или 4) на n2. Стойностите на ξ, при които функциите u′(ξ) и u″(ξ) добиват максимуми съответно v  umax и w  umax (при u‴ = 0) (2.95)       1 arccos (n / 16)  ( n / 16)2  0.5 , 2 2  (v)    ( w )   1 arccos( n2 / 16).  Максимумите v и w съответно на u′(ξ) и u″(ξ), определени от уравненията (2.96)    2 v  sin(  )  sin(2  )  (v) (v )  ,  2 n   2   2  w    cos( )  4 cos(2 )   ( w) ( w)   2  n2   са представени графично на фиг.2.23. v, w, w  6  (v), (w) 0.8 5 w w  -5 w  -6 4 0.6 3 0.4 2 0.2 1  (v) w  -7 v -9 (w) n2 0 4 16 8 32 Фиг.2.23. Екстремумите v, w, w* и аргументите ξ(v) и ξ(w), при който u′(ξ) и u″(ξ) съответно добиват тези екстремуми при j = 0; 1; 2 97  на u″(ξ) при u‴ ≠ 0, представени Екстремните стойности w*  uex графично на фиг.2.23, се получават за границите на интервала   [0; 1] , като при ξ = 0 и ξ = 1 се определят съответно от отношенията (2.97)   2 (n2  4) w * (   0)  ,  2 n  2  2  w * (  1)    (n2  4) .  2 n2 Изключение е стойността w* = 0 при n2 = 4 и ξ = 0, докато при n2 > 4 се получават стойности w* ≠ 0. Например при   0 и n2 = 8; 16; 32 се получава: w(*n2 8)  0.25 2  2.47; w(*n2 16)  0.375  2  3.70; w(*n2 32)  0.4375 2  4.32; а при ξ = 1 и n2 = 4, 8, 16, 32: w(*n2 4)    2  9.87; w(*n2 8)  0.75 2  7.40; w(*n2 16)  1.25 2 / 2  6.17; w(*n2 32)  1.125 2 / 2  5.55.  По-добри решения могат да се потърсят при j = 0; 1; 3. Тогава полиномът (2.85) добива вида (2.98) u ( )  a0  a1 cos( )  a3 cos(3 ) . За да се изпълни граничното условие u  [0; 1] при   [0; 1] е необходимо коефициентите a0, a1, a3 да удовлетворяват системата (2.99) a0  a1  a3  0 a0  a1  a3  1. Ако се положи a3 = 1/n3, тогава коефициентите a0 и a1 се определят еднозначно от отношенията (2.91), където  1  n 1 1 3 D ; Da0     n3  1 1  1   n  3 и функцията (2.98) добива вида 98   1 1  ; Da   1    1 1   1  n3   n3  1  n3    1  n 1 1 u ( )  1  3 cos( )  cos(3 )  . 2 n3 n3  (2.100) Функцията (2.100) и нейните производните u′, u″ и u‴, определени от изразите    n3  1 3 sin(  )  sin(3  )  , 2  n3 n3  (2.101) u( )  (2.102)   2  n3  1 9 u( )  cos(  )  cos(3  )   2  n3 n3  (2.103) u( )    3  n3  1 27 sin( )  sin(3 )  ,  2  n3 n3  при n3 = 8; 14; 20; 30, са представени на фиг.2.24. n3 u' u 1 n3 2 8 14 20 30 0.5 8 14 20 30 1   0 0.2 0.4 0.8 0.6 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 n3 8 u" 8 14 20 30 6 4 2 0 -2 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8  Фиг.2.24. Тригонометрични функции u(ξ), техните производни u′ и u″ при j = 0; 1; 3 и n3 = 8; 14; 20; 30 -4 -6 -8 Ако се поставят още условията u′ = u″ = 0 за границите на интервала   [0; 1] от (2.102) се получава n3 = 8. Производната (2.101), свързана с изходната скорост, винаги се нулира за границите на интервала 99   [0; 1] при всяка стойност на n3, но производната (2.102), която кореспондира с изходното ускорение, може да се нулира за посочените граници само при n3 = 8. Максимумите v  umax на u′ (2.104) v  (n3  4) , 2 n3 представени графично на фиг.2.25, се получават при ξ = 0.5. w w 1 v, v |w*| |w| 2 2.5 0.4 0.8 2.0 0.3 0.7 1.5 0.2 0.6 1.0 0.1 0.5 0.5 v w w |w*| 0 8 w 2 1 v 14 20 30 4 8 3 6 2 4 1 2 n3 Фиг.2.25. Графики на v, w, w*, ξ(v),  ( w1 ) и  ( w2 ) , при които съответно u′(ξ) и u″(ξ) добиват тези екстремуми при j = 0; 1; 3  на u″ в интервалите   (0; 0.5) и   (0.5; 1) се Максимумите w  umax получават съответно при аргумент (2.105)  80  n3 1 ,  ( w1 )  (0, 0.5)   arcsin 108 ,    (0.5; 1)  1   (0; 0.5) . ( w1 )  ( w2 ) Стойностите w*  uex на u″(ξ) (2.106)  2 (n3  8) w*   , 2 n3 представени графично на фиг.2.25, се получават за границите на интервала   [0; 1] , като при ξ = 0 те са положителни, а при ξ = 1 са отрицателни. Само при n3 = 8, w* = 0. Въпреки, че w* ≠ 0, при n3 > 8 от ( 2.102 ) се получава u‴ = 0 за границите на интервала   [0; 1] . 100  С помощта на тригонометричния полином (2.85) могат да се реализират по-голям брой предварително поставени независими условия, ако съдържа по-голям брой хармоници. При j = 0; 1; 3; 5, за да се изпълни условието u  [0; 1] при   [0; 1] , е необходимо коефициентите a0, a1, a3, a5 на функцията (2.107) u ( )  a0  a1 cos( )  a3 cos(3 )  a5 cos(5 ) . да удовлетворяват системата a0  a1  a3  a5  0 (2.108) a0  a1  a3  a5  1 . За да се изпълни допълнително условието u″ = 0 за границите на интервала   [0; 1] от втората производна на (2.107) (2.109) u( )   2  a1 cos( )  9a3 cos(3 )  25a5 cos(5 )  следва уравнението (2.110) a1  9a3  25a5  0 . От системата (2.99) се определя a0 = 0.5 и уравнението (2.111) a1  a3  a5  0.5 , което заедно с (2.110) образува система, която, при полагане на a5 = 1/n, 9 2 1 3 има решение a1    и a3   . 16 n 16 n Така уравнение (2.107) се конкретизира във вида (2.112) 1 4 9 2  1 6 u ( )  1     cos( )     cos(3 )  cos(5 )  . 2 n 8 n 8 n  Функцията (2.112) и нейните производни (2.113) u( )     4 9  10   3 18     sin( )     sin(3 )  sin(5 )  ,  2  n 8  n 8 n   (2.114) u( )    2  4 9  50   9 54   cos(  )   cos(3  )  cos(5  )      2  n 8  n 8 n   са представени графично на фиг.2.26 при n = 8; 16; 32; 64. При n = ∞ функциите (2.112), (2.113) и (2.114) се свеждат до съответни функции 101 (2.100), (2.101) и (2.102) при n3 = 8. Производните (2.113) и (2.114) се нулират за границите на интервала   [0; 1] при всяка стойност на n. Същото се отнася и за следващата производна u‴(ξ). Това позволява да се синтезират желани закони на движение, при които няма скок дори във вторите ускорения, респ. в промяната на инерционното натоварване. u 1 5 n 0 0.2 n 8 16 32 64 4 8 16 32 64 0.5 u' 3 2 1 0.4 0.6 0.8  0 1.0 -1  0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2 -3 -4 50 u" n 40 8 16 32 64 30 20 10 -10  0.4 0 0.2 0.6 0.8 1.0 -20 -30 -40 -50 Фиг.2.26. Тригонометрични функции u(ξ), техните производни u′ и u″ при j = 0; 1; 3; 5 и n = 8; 16; 32; 64 Получават се и други полезни резултати. Така например в интервала  [0.346; 0.653] при n = 16 се получава приблизителен престой на изходното звено. В същия интервал  [0.305; 0.635] при n = 64 се задържа почти постоянна изходна стойност (umax  v  1.63) на u′. В целия интервал   [0; 1] втората производна u″ ≤ 8.5 при n = 64. По-подробният анализ на функциите (2.112), (2.113) и (2.114) дава възможност да се направят още съществени изводи. При n < 64/3 функцията u(ξ) от монотонно нарастваща става монотонно намаляваща в средата на интервала   [0; 1] и отново монотонно нарастваща до горната граница на интервала. Това съответства на възвратно изходно 102 движение. Стойността n = 64/3 се получава от условието за нулиране на (2.113) при ξ = 0.5, което съответства на нулиране на изходната скорост при ξ = 0.5, т.е. мигновен престой (междинно мъртво положение) на изходното звено. Продължителен престой на изходното звено се получава при стойности на n малко по-малки от 64/3. Колкото тези стойности са по-малки от 64/3, толкова престоят е по-продължителен, но качеството на престоя (отклонението от стойността 0.5 на u) ще бъде по-голямо. Отклонението се нулира при n = 64/3, но продължителността на престоя клони към нула. По изчислителен път може да са определи продължителността на престоя при зададено отклонение на u от стойността 0.5 или обратно – при зададена продължителност на престоя може да се определи отклонението. Функцията (2.113), която кореспондира с изходната скорост, се запазва почти постоянна в средата на интервала   [0; 1] при стойности на n близки до 104. Тази стойност се получава от условието за ректификуемост на функцията (2.110) при ξ = 0.5, когато u″ и u‴ при ξ = 0.5 се нулират. Тогава в ректификуемата (плоска) точка с координати ξ = 0.5 и (u)*  31 / 52  1.873 оскулацията на тангентата към функцията u′(ξ) е от трети ред (имат 4 безкрайно близки общи точки). При n < 104 правата u  (u) * има 4 крайно отдалечени пресечни точки с функцията (2.113). При n > 104 правата u  (u ) * има само 2 крайно отдалечени пресечни точки с функцията (2.113). 2.2.4 Степенно-тригонометрични закони Отново функцията на положението и производните предавателни функции, необходими за синтез на гърбични механизми, ще бъдат изучени и сравнени посредством нормиран полином u ( )  [0; 1] и производните му u′, u″, u‴ с аргумент    / 1  [0; 1] . Нека фамилия от степенно-тригонометрични полиноми се представи като сума от степенни и синусоидални функции [84] (2.115) u ( )   ai i   b j sin( j   ) , i j с аргумент   0; 1 , като i и j са положителни цели или нецели числа. Полиномът (2.115) и неговите производни (2.116) u( )   iai i1    j b j co s( j   ) , i j 103 u( )   i (i  1)ai i 2   2  j 2b j sin( j   ) , (2.117) i j u( )   i (i  1)(i  2)ai i 3   3  j 3b j cos( j   ) . (2.118) i j при i = 1, j = 2 и α = 0 добиват вида (2.119) u ( )  a1  b2 sin(2 ) , (2.120) u( )  a1  2 b2 cos(2 ) , (2.121) u( )  4 2b2 sin(2 ) , (2.122) u( )  8 3b2 sin(2 ) , откъдето при гранични условия u = u′ = u″ = 0 при ξ = 0 и u = 1, u′ = u‴ = 0 при ξ = 1 се получава a1  1, b2  (2 )1 и съответни нормирани функции (фиг.2.27) u u''' u" u 10 40 u' 8 3 1 2 6 20 u' 0.5 4 1 2 0.4 0 -2 -20 0.2 0.6 1.0  -4 -6 -40 0.8 -8 u" u''' Фиг.2.27. Функциите (2.123), (2.124), (2.125) и (2.126) 1 при a1  1, b2  (2 ) (2.123) u ( )    (2 ) 1 sin(2 ) , (2.124) u( )  1  cos(2 ) , (2.125) u( )  2 sin(2 ) , 104 (2.126) u( )  4 2 cos(2 ) , от които (2.123) представлява наклонена синусоида, известна още като циклоиден закон, а (2.125) води до закон „синус“ на ускоренията. Максималната стойност umax  2 се получава при ξ = 0.5, а екстремни  2 на втората производна - съответно при ξ = 0.25 и те стойности uex   39.4784 на третата производна се   0.75 . Екстремните стойности uex получават при ξ = 0; 0.5; 1. Същите функции (2.123) и (2.124) ще се получат, ако се зададе една от най-използваните синусоидални функции (2.125) за втората производна, известна като аналог на ускоренията, след което (2.125) се интегрира два пъти с отчитане на граничните условия u = u′ = 0 при ξ = 0 и u  1 , u′ = 0 при ξ = 1. Характерно за u( )  2 sin(2 ) са нулевите стойности в началото и в края на нормирания интервал на аргумента   [0; 1] , което е благоприятно по отношение на инерционното натоварване, тъй като производната (2.125) кореспондира с целевото ускорение. Функциите (2.123), (2.124), (2.125) и (2.126) заемат междинни стойности в сравнение със съответни степенни полиноми при j = 3; 4; 5 и j  4; 5; 6; 7 , но само при последния се нулира третата производна u‴ (аналог на вторите ускорения –т.нар. пулс или тласък) за границите на   [0; 1] , което обуславя още по-добри динамични характеристики на изходното движение.  Споменатият благоприятен ефект, който допуска използването на високоскоростно изходно движение, може да се постигне, ако в полином (2.115) се положи i = 1, j = 2; 4 и α = 0: (2.127) u ( )  a1  b2 sin(2 )  b4 sin(4 ) , (2.128) u( )  a1  2 b2 cos(2 )  4 b4 cos(4 ) , (2.129) u( )  4 2b2 sin(2 )  16 2b4 sin(4 ) , (2.130) u( )  8 3b2 cos(2 )  64 3b4 cos(4 ) . При гранични условия u = u′ = u″ = u‴ = 0 при ξ = 0 и u′ = u″ = u‴ = 0 2 1 при ξ = 1 се получава a1  1, b2   , b4  и съответни нормирани 3 12 функции (фиг.2.28): 105 u''' u" 3 u' u 10 80 8 60 6 40 4 20 2 2 0.5 -2 -40 -4 -60 -6 -80 -8 1 0.4 0 -20 1 0.2 0.6 0.8 1.0  u" u''' -100 -10 Фиг.2.28. Функциите (2.131), (2.132), (2.133) и (2.134) 1 1 при a1  1, b2  2 / 3, b4   / 12 2 1 sin(2 )  sin(4 ) , 3 12 (2.131) u ( )    (2.132) 1 u( )  1  [4cos(2 )  cos(4 )] , 3 (2.133) u( )  4 [2sin(2 )  sin(4 )] , 3 (2.134) u( )  16 2 [cos(2 )  cos(4 )] . 3 Максималната стойност umax  2.667 се получава при ξ = 0.5, а екст  10,8827 на втората производна - съответно при ремните стойности uex ξ = 1/3 и ξ = 2/3. Максимална стойност umax  59.2175 на третата производна се получава при ξ = 0.20978; 0.79022, а минимална стойност u min  105.250 - при ξ = 0.5. Спазването на закон на движение, базиран на функция (2.131) и нейните производни, води до изключително плавно потегляне и спиране на изходното звено поради факта, че дори четвъртата производна 106 u( )  32 3 [2sin(4 )  sin(2 )] 3 се нулира за границите на интервала   [0; 1] .  Един от обикновените степенни нормирани полиноми (2.135) u ( )  3 2  2 3 има производни (2.136) u( )  6  6 2 , (2.137) u( )  6  12 ( u  12 ), които кореспондират с изходната скорост и ускорение. Използването му за съставяне на закон на движение при високи скорости на изходното звено не се препоръчва, тъй като за границите на   [0; 1] u″ = ±6, т.е. налице е краен скок на ускорението, респ. на инерционното натоварване. Този скок, както и безкрайният скок на u‴ за границите на   [0; 1] могат да се избегнат, ако към (2.137) се внесе тригонометричната функция b sin( j   ) . Получава се (2.138) u( )  6  12  b sin( j   ) с производна (2.139) u( )  12  bj cos( j   ) . След двукратно интегриране на (2.138) при гранични условия u  u  0 при ξ = 0 и u′ = 0; u = 1 при ξ = 1 се получава (2.140) (2.141) u( )  6 (1   )  u ( )   2 (3  2 )  b [cos   cos( j   )] , j b b cos  [sin( j   )  sin  ]  . 2 j ( j ) От системата тригонометрични уравнения (2.142) u(  0)  6  b sin   0, u(  0.5)  b sin( j / 2   )  0, , u(  0)  12  bj cos   0 107 се определят неизвестните b = 6.1476, j = 2.8606 и α = - 77.453°. Заместени в (2.138), (2.139), (2.140) и (2.141) се получават резултати, представени на фиг.2.29. u''' u" u' 10 40 u 1 8 2 6 20 3 0.5 4 1 2 0.4 0 -2 -20 0.2 0.6 1.0  -4 -6 -40 0.8 -8 u" u''' -10 -60 Фиг.2.29. Функциите (2.138), (2.139), (2.140) и (2.141) при b = 6.1476, j = 2.8606 и α = - 77.453° Максималната стойност umax  2.3327 се получава при ξ = 0.5, а екст  8,3898 на втората производна - съответно при ремните стойности uex ξ = 0.30085 и ξ = 0.69915. Максималната стойност umax  43.2475 на третата производна се получава при ξ = 0.15042; 0.84958, а минималната стойност u min  67.2475 - при ξ = 0.5. Таблица 2.12 За сравнение на характерни Функции (2.123) (2.131) (2.141) стойности на производните на u функциите (2.123), (2.131) и (2.141)  umax 2 2.667 2.333 може да се използва табл.2.12.  umax 2π 10.882 8.390 Въведената фамилия от степенно-тригонометрични полиноми umin -2π  10.882 -8.390 разкрива нови по-добри възможumax 39.478 59.217 43.248 ности за планиране на подходящи закони на движение на изходните u -39.478 -105.250 -67.248 min звена на гърбичните механизми. Едно от важните условия при избор на нормиран полином за описване на изходното движение е нулиране на производните на полинома u(ξ) за границите на интервала   [0; 1] . 108 Производните u′, u″, u‴ на синтезираните степенно-тригонометрични полиноми и на съответните кинематични характеристики се нулират за границите на интервала   [0; 1] с изключение на третата производна (2.126) на функцията (2.123). Полиномите (2.121), (2.131) и (2.141) гарантират не само нулиране на инерционното натоварване, но и на промяната на инерционното натоварване (без скок) за границите на ξ. Това снижава трептенията на механичната система. Допълнително снижаване може да се получи при закон на движение (2.121), тъй като се нулира и четвъртата му производна за границите на интервала   [0; 1] . Сравнителният анализ на синтезираните степенно-тригонометрични полиноми по отношение на екстремните стойности на техните производни, съответно на скоростите и ускоренията дава възможност за правилен избор на полином съобразно конкретната целева задача.  Неразкрити остават възможностите на комбинации от полусуми на степенни и тригонометрични функции, които водят не само до симетрични закони на движение. Освен това е възможно в краен интервал на аргумента, в рамките на монотонно променяща се позиционна функция, да се постигне приблизителен престой, много близък до точен престой на изходното звено. Това може да се илюстрира с комбинацията от степенната функция (2.67) и тригонометричната функция (2.112) при n  10.5 : (2.143) 1 u ( )  56 5  140 6  120 7  35 8   2 1 4 9 2  1 6  1     cos( )     cos(3 )  cos(5 )  . 4 n 8 n 8 n  Производните на тази функция по аналогичен начин са полусуми на съответните производни на степенната (2.67) и на тригонометричната функция (2.112) при n = 10.5: (2.144)  u( )  140( 4  3 5  3 6   7 )     4 9  10   3 18       sin( )     sin(3 )  sin(5 )  ,  4  n 8  n 8 n       3 4 5 6  u ( )  140(4  15  18  7 )   2  4 9  50   9 54    cos(  )   cos(3  )  cos(5  )       4  n 8  n 8 n    109 u 1  Графики на функциите (2.143) и (2.144) са представени на фиг. 2.30. u 0.430 0.436 0.5 0 0.2 0.4 0.423 0.458 0.523 0.559 0.6 0.8 1.0  а) u u' u" u u' 40 1 2 0.5 20 1 0.4 0 0.2 -20 3 0.6 0.8 1.0  u" -40 б) Фиг.2.30. Степенно-тригонометрични функции: а) нормираната функция (2.141); б) нормираната функция и нейните производни (2.142) при n = 10.5 Освен асиметрия на u′(ξ) очевиден е престой на изходното звено в интервала ξ ∈ (0.423, 0.559) , който представлява 13.6% от фазовия ъгъл 110 Ф1. Отклонението Δu от стойността u = 0.433 е Δu ±0.003, което представлява ±0.3% от хода на изходен плъзгач или ±0.06 mm при ход на плъзгача h = 20 mm. 2.2.5 Симетрия и асиметрия на законите на движение Някои технологични процеси изискват генериране на асиметрични закони на движение, например при тъкачните машини. Установено е от редица изследвания, че законът за движение на нищелките трябва да бъде асиметричен [24], [25]. Това означава, че движението на нищелката до застъп трябва да протича по-бързо, отколкото от застъп до крайно положение. Това е свързано с изменението на напреженията и деформациите на основните нишки в процеса на образуване на уста. Подобни са изискванията и към други технологични процеси, изискващи различна степен на асиметрия. За тази цел е необходимо да се генерират асиметрични закони на движение с различен коефициент на асиметричност, респ. различно отношение на екстремните стойности на втората предавателна функция - аналог на ускоренията. Известен закон за проектиране на гърбични механизми за образуване на „уста“ при тъкачните машини е законът „трапец“ за изменение на ускорението [26]. Трапецовидното изменение на ускорението предполага скокообразна правоъгълна промяна на вторите ускорения (т.нар. пулс или тласък), което би довело до завишени вибрации и шум на механизма. По-добри резултати се получават чрез модифициране на трапецовидния закон за изменение на ускорението. Nekultin [99] отбелязва за гърбичните механизми, че „загладената“ трапецовидна крива на ускорението дава по-добри характеристики. Ограничават се ударните явления, вибрациите и износването. Създава се възможност за получаване на гърбични механизми с относително малки размери, малки стойности на максималните ускорения и на ъгъла на предаване на силата. Посоченият по-горе трапецовиден закон за изменение на ускорението е модифициран чрез заглаждане с параболични дъги с общи тангенти в преходите към праволинейните отсечки [12], [13], [46], [54]. Тогава се получава трапецовиден закон за изменение на второто ускорение. Въпреки получените добри резултати съществен недостатък на трапецовидните функции на ускоренията е, че те са поинтервално дефинирани, броят на интервалите нараства от 5 на 9 при „заглаждане“ на горните основи на трапеците и на 11 интервали при цялостно „заглаждане“ на трапеците. Целта е при зададена асиметрия да се състави функцията на преместването Δψ = Δψ(φ) на изходното звено (кобилица или кулиса) на гърбичния механизъм и производните ѝ предавателни функции ψ′ = ψ′(φ) и ψ″ = ψ″(φ), където входна координата φ е ротацията на гърбицата, а изходна координата ψ е ротацията на изходното звено. Аналогично 111 могат да се разглеждат случаите, при които входно-изходните движения са различни. Асиметрията е важен фактор при избор на закон на движение. Установява се при нечетните производни u′(ξ), u‴(ξ),... на нормираната функция u(ξ). Оценява се посредством коефициента на асиметрия (2.145) a  2   1, където ξ* ≡ ξ(v) е стойността на аргумента ξ, при който функцията u′(ξ) има максимум, респ. производната u″(ξ) се нулира. При основните и двучленните степенни функции от раздел 2.2.2.1 почти всички функции u′(ξ) (фиг.2.9) са асиметрични с изключение на закона „синус“ и полиномът 1 от фиг.2.9, за които a = 0 (ξ* = 0.5), т.е. липсва асиметрия - функциите са симетрични. Обикновено ξ* и асиметрията нарастват с повишаване на стойностите на степенните показатели (вж. фиг.2.10). При задаване на стойността на a, като условие на синтеза, от (2.145) се определя (2.146)    0.5(1  a) и посредством графиката на фиг.2.11а приблизително може да са определи степента k и с това нормираният полином (2.21) и неговите производни (2.22) и (2.23). Точен резултат може да се получи от първото уравнение на (2.24), от което следва k  (1    ) 1 . Например при a = 0.6 се получава    0.8 и k = 5.  При тричленните степенни функции u′(ξ) от раздел 2.2.2.2 (фигури 2.12 до 2.14) е налице асиметрия с изключение на полинома 1 от фиг.2.12 (уравн.2.40), който е симетричен a = 0 (ξ* = 0.5). Обикновено ξ* и асиметрията нарастват с повишаване на стойностите на степенните показатели (вж. фигури 2.12 до 2.14).  При четиричленните степенни функции u′(ξ) от раздел 2.2.2.3 симетричен е единствено полиномът 1 от фиг.2.15 (уравн.2.63), за който коефициентът на асиметрия a  2   1  0 , където ξ* ≡ ξ(v) е стойността на аргумента ξ, при който функцията u′(ξ) има максимум, респ. производната u″(ξ) се нулира. Параметърът ξ* и коефициентът на асиметрия a се променят с промяна на стойностите на степенните показатели (вж. фиг.2.15).  При петчленните степенни функции (2.69) съответните графики на функциите u′(ξ) от фиг. 2.19 са асиметрични с изключение на 112 полином 1 от фиг.2.19 (уравн.2.74), за които коефициентът на асиметрия a  2   1  0 . Параметърът ξ* и коефициентът на асиметрия a нарастват с повишаване на стойностите на степенните показатели (вж. фиг.2.19).  При шестчленните степенни функции полиномът от фиг.2.17 (уравнение 2.70) е симетричен, докато полиномът от фиг.2.18 (уравнение 2.71) е асиметричен.  Тригонометричните функции u′(ξ), представени в раздел 2.2.3 на фиг.2.22, са асиметрични, докато останалите от фиг.2.23 и 2.26 са симетрични, тъй като ξ* ≡ ξ(v) = 0.5 и коефициентът на асиметрия a  2   1  0 .  Степенно-тригонометричните функции u′(ξ), представени в раздел 2.2.4 на фигури 2.27, 2.28 и 2.29, са симетрични, тъй като коефициентът на асиметрия a  2   1  0 , докато полиномът от фиг.2.30 е асиметричен. Степенните, тригонометричните и степенно-тригонометричните полиноми дават добри възможности за генериране на асиметрични закони на движение на гърбичните механизми [33], [69], [83], [84], [105]. Неудобството при проектирането е свързано със загубата на време за определяне на коефициентите на полиномите, така че да удовлетворяват условията за асиметричност на предавателните функции и подходящи отношения на екстремните стойности на втората предавателна функция. Затова е полезно да се въведат фамилии от асиметрични закони на движение за синтез на гърбични механизми, зависещи само от един независим параметър с възможност да бъде определен от условия, свързани с необходимата асиметрия на първата предавателна функция и желано отношение на екстремните стойности на втората предавателна функция. Такава фамилии от асиметрични закони на движение биха улеснили проектирането на гърбични механизми, тъй като относително лесно може да се състави желан асиметричен закон на движение. Фамилия от еднопараметрични закони на движение може да се състави посредством първата предавателна функция на механизмите с елиптични зъбни колела [95] (фиг.2.31): (2.147)  0    1,  2 d 2 1  2 i2,1    , 1 d1 1   2  2 cos 1  1  (0,  )  в която с φ1 и φ2 са отбелязани ъглите на завъртане съответно на зъбните колела 1 и 2 (вж. фиг.1.3). Функцията (2.147) може да се промени и преобразува във втора предавателна функция, подходяща за синтез на гърбични механизми, 113 генериращи асиметрични закони на движение, зависещи от един независим параметър (ε). Промените са следните:  от уравнение (2.147) се извежда средната стойност (i2,1)av = 1 на i2,1;  ъгълът φ1 се заменя с 1  (2 / 1 )  1 , където   (0, 1 ) е ъгълът на завъртане на гърбицата, Ф1 е фазов ъгъл на отдалечаване на изходното звено на гърбичния механизъм, 1  arccos( ) е ъгълът, при който i2,1 = (i2,1)av = 1;  въвежда се множител f, който се определя от условието при φ = Ф1 изходният ъгъл Δψ да бъде равен на ъгловия ход α = Δψmax (размаха) на изходното звено (кобилица или кулиса). " i2,1 2 3 1 2 0 1 30 -1* -60 O 0 i2,1 " * 60  Ф1 90 150 120 180 (i2,1)av = 1 1* 60 120 180 240 300 360 1 Фиг.2.31. Графики на: първа предавателна функция i2,1(φ1) на механизъм с елиптични зъбни колела; втора предавателна функция ψ″(φ) на гърбичен механизъм при Ф1 = π и ε = 0.5 С тези промени за втората предавателна функция на гърбичния механизъм (фиг.2.31) се получава: d 2  ( )   f .  ( ) , d 2 (2.148) където (2.149)    1  2  2 1    2 cos (2 / 114 1 )  1   1. Тази втора предавателна функция ψ″, която условно може да бъде наречена „елиптична“, се нулира при: (2.150 ) φ = 0;      (1 /  ).arccos( ) ;   1 . Екстремумите (2.151)   f  (1   ) / (1   )  1 ,  max    f  (1   ) / (1   )  1  min на функцията ψ″ се получават съответно при ъгли (2.152) (max)    / 2  0.5  11 arccos( );    1 (min)  (  1 ) / 2  0.5 1 1   arccos( ) ,   получени от приравняване на нула на третата предавателна функция: (2.153)     4  f  ( 2  1) sin (2 / 1 )  1  1 1    2 cos (2 /  2 1 )  1   2 . Единствен независим параметър е   (0, 1) , от който зависи екстремното отношение (2.154)  /  min   (1   ) / (1   ) p   max и коефициента на асиметрия (2.155) a  2   1  (2  / 1 )  1  2. 1 arccos( )  1 . С нарастване на стойността на параметъра ε (ε = 0.3; 0.4; 0.5) коефициентът на асиметрия също нараства по абсолютна стойност (a ≈ 0.194; 0.292; 0.333), като за границите на a  (0, 1) при a = 0 няма асиметрия и  /  min   1 , а при a  1 , респ. ε = 1 се получават практически p   max  /  min    . неприемливи резултати φ*= 0 и p   max Графики на ψ″(φ) при f = 0.16 и Ф1 = π за три стойности на ε = 0.3; 0.4; 0.5 са дадени на фиг.2.32. 115 "  = 0.5 0.3  = 0.4 0.2  = 0.3 0.1 Ф1 180 0 30 60 90 120 150  -0.1 Фиг.2.32. Графики на ψ″(φ) при f = 0.16 и Ф1 = π за три стойности на ε = 0.3; 0.4; 0.5  Две са основните задачи при определяне на втората предавателна функция по зададени стойности на ъглов ход на изходното звено (кобилица или кулиса) и фазов ъгъл. Задача 1. Да се определи стойността на параметъра ε по подходящо  /  min   (  1) / (  1) , откъдето се избрано екстремно отношение p   max получава: (2.156)   ( p  1) / ( p  1) . Например при стойности p = -2; -3; -4 се получават съответни стойности на ε = 1/3; 0.5; 0.6. Задача 2. Да се определи стойността на параметъра ε по подходящо избрана стойност на коефициента на асиметрия a  (2  / 1 )  1  2. 1 arccos( )  1, откъдето се получава: (2.157)   cos  0.5 (1  a)  . Например при стойности a = -1/6; -1/3; -1/2 се получават съответни стойности на ε = 0.2588; 0.5; 0.7071. 116 Графики на функциите (2.156) и (2.157) са представени на фиг.2.33. Тези графики могат да се използват за бърза оценка  на параметрите на втората 0.8 предавателна функция. При 0.7 необходимост тази оценка  (p) 0.6 може аналитично да се 0.5 уточни. Например при зада (a) ден коефициент на асимет0.4 рия a = - 0.3 от (2.157) се 0.3 получава ε = 0.454, при която 0.2 стойност от (2.153) се опре0.1 деля екстремното отношеp -5 -4 -3 -2 -1 ние p = - 2.663, както е онаг0 a -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 ледено на фиг.2.33. Обратно, при зададено отношение Фиг.2.33. Графики на функциите ε (p) и ε (a), p се определят последоваполучени съответно от уравнения (2.152) и (2.153) телно стойностите на ε и на коефициента a. Първата предавателна функция може да се получи аналитично в квадратури от уравнения (2.148) и (2.149): (2.158)  ( )  f . ( ) , където   ( )   ( )d  C  (2.159) 0 1     1   2  2arctg  tg      1  C . 1    1 2   1 Константата С се получава от началното условие    0 при   0 : (2.160) 1    1   C  2arctg  tg      1 . 1    2   Функцията на преместването Δψ(φ) на изходното звено се получава след интегриране на ψ′(φ): (2.161)    ( )  f .   f .  ( )d  C0  .   0  117 Константата C0 се определя от началното условие Δψ = 0 при φ = 0. Множителят f се определя от условието Δψ(φ) = α при φ = Ф1: 1  1  f      ( )d  C0  .   0    (2.162) С определянето множителя f окончателно се получават функциите:  ( )  f .  ;  ( )  f . ( ) .;  ( )  f . ( ) . (2.163) 1   ( )d  C Интегралите 0 и   ( )d  C0 съответно от (2.158) и  0 (2.159) са решени числено по метода на Simpson. Графики на функциите Δψ(φ), ψ′(φ) и ψ″(φ), определени при зададен ъглов ход α = π/6, фазов ъгъл Ф1 = π и коефициент на асиметрия a = -1/3, при който от уравнение (2.157) се получава ε = 0.5, са представени на   3  min  . фиг.2.34. От уравнение (2.154) се получава p = -3, респ.  max 0.8  ,  ',  " 0.6 "  0.5 0.4 0.3 ' 0.2 0.1 Ф1 0 30 60 90 120 150 180 Фиг.2.34. Графики на функциите Δψ, ψ′ и ψ″ при зададени: α = π/6, Ф1 = π и a = -1/3 Изискването за непрекъснатост на функцията на ускорението удовлетворяват различни закони на движение. Повечето от тях са асиметрични, условие наложено от определени технологични процеси. Сред тези закони основно място заема обикновеният и „загладеният“ трапе118 цовиден закон. Неговите недостатъци компенсират различни степенни, тригонометрични и степенно-тригонометрични закони на движение, но постигането на предварително зададени условия изисква висока квалификация и време от страна на проектантите. Затова е изведен асиметричен закон на движение за синтез на гърбични механизми, зависещ единствено от един независим параметър, с възможност да бъде лесно определен от условия, свързани с необходимата асиметрия на първата предавателна функция и желано отношение на екстремните стойности на ускоренията. Въведеният асиметричен закон описва изцяло движението на гърбичния механизъм във фазите на движение на изходното звено. Аналитично от зададените условия са определени стойността на независимия параметър (ε) и екстремните стойности на първите две предавателни функции – аналози на изходната скорост и ускорение. Изследването е онагледено с четири фигури - генерирането на асиметричния закон на движение (фиг.2.31), неговата асиметрия и оценка (фиг.2.32), определянето на стойността на независимия параметър (ε) от зададените условия (фиг.2.33) и извеждането на първата предавателна функция и функцията на преместването (фиг.2.34) на изходното звено, необходими за синтез на гърбични механизми. 2.2.6 Реален закон на движение и избор на предавателна функция Върху движението на изходното звено влияят освен предавателните функции и редица други фактори, които могат да бъдат разделени на три групи, свързани с:  материалите и конструктивните характеристики на елементите на гърбичния механизъм:  физико-механичните свойства на използваните материали;  вид, конфигурация и размери на елементите на механизма;  масови характеристики на звената – маса, масов център и масов инерционен момент;  качеството на изработване на елементите на гърбичния механизъм:  точност на изработка и грапавост на работните повърхнини;  хлабини и условия на триене в кинематичните двоици;  входното задвижване на гърбицата:  вид на входното движение – еднопосочна или възвратна ротация или транслация;  входна скорост – постоянна при променлива по определен закон. 119 Влиянието на много от тези фактори върху закона на движение на изходното звено е обект на изследване на редица автори, когато механичната система, включваща и гърбичен механизъм, е вече изготвена. В етапа на проектирането на кинематичната схема на механизма (синтеза) могат да бъдат определени или избрани предавателните функции, които зависят единствено от третата група фактори (входното задвижване) и свързаните с тях параметри – фазови ъгли при ротация на гърбицата или фазови премествания при транслация на гърбицата, ход на изходното звено и входни кинематични параметри. Под закони на движение при синтеза на гърбичните механизми се разбират предавателните функции, като първо приближение към реалните закони на движение и се отнасят до един абстрактен идеален механизъм с недеформируеми, абсолютно точно изработени и безхлабинно съединени звена.  Предавателните функции се определят от геометрични или силови условия (вж. раздел 2.1) без да се отчитат факторите от първите две групи. По условие са зададени или изведени изходното преместване B  B (t ) и неговите производни – изходната скорост B  B (t ) и изход  B  (t ) , както и входното преместване A  A (t ) и негоното ускорение B вите производни – входната скорост A  A (t ) и входното ускорение   A  (t ) . A Функцията на преместването на изходното звено се получава след изключване на параметъра t от функциите B  B (t ) и A  A (t ) . Първата предавателна функция (2.164) B ( A)  B / A се получава като отношение на изходната скорост B към входната A . При A  const , функцията B′ е пропорционална на B , поради което е известна като аналог на скоростта. Втората предавателна функция B″(A) се определя от скоростите A , B  , B  и ускоренията A (2.165) . B / A ) / A 2   A B( A)  ( B след диференциране на (2.164) спрямо A. При A  const функцията B″ е  , поради което се приема пропорционална на изходното ускорение B като аналог на ускорението. По-подробно връзките между геометричните и кинематичните характеристики на гърбичните механизми са разгледани в раздел 3.1.2. Така по зададени кинематични закони на входното и изходното движение се получават функцията на преместването на изходното 120 звено, както и производните ѝ предавателни функции, необходими за синтез на различни видове гърбични механизми, разгледан в глави 4 и 5 на тази монография.  Предавателните функции се избират, когато е зададен ходът на изходното звено, фазовите ъгли на ротация на гърбицата при движение и престой на изходното звено, както и входните кинематични параметри на механизма. Много конструктори считат, че ускорението е единственият фактор, влияещ на избора на закона на движението при работа с високи скорости. Изборът е комплицирана задача, която зависи от редица фактори. Ускорението безспорно е един от важните фактори при избор на закон на движение, тъй като е пряко свързано с инерционното натоварване и плавността на работа на механизма. Важни са не само екстремните стойности на ускорението, но и непрекъснатостта на кривата на ускорението, тъй като при крайни или безкрайни скокове на ускоренията възникват допълнително значителни сили от трептенията. Така например при закон „трапец“ на функцията на преместването на изходното звено втората му производна – ускорението теоретично се променя мигновено до безкрайност (вж. фиг. 2.5), което е абсолютно недопустимо, още повече, че гърбичният профил, подобно на трапеца, ще има рогови точки с двойна тангента, в областта на които ще настъпи бързо износване на гърбицата. При закон „трапец“ на скоростта, респ. закон „правоъгълник“ на ускорението, са налице крайни скокове в ускорението и съответно в инерционното натоварване, които предизвикват периодични затихващи трептения и съответни реални, близо два пъти по-големи ускорения от теоретично очакваните. Затова законът „правоъгълник“ на ускорението е приемлив само при изключително ниска входна скорост. В различни литературни източници са отразени ориентировъчно граници на ъгловата скорост на гърбицата, до която е приемливо използването на всека една от групите закони. В съвременната техника е недопустимо използването на закони на движение с твърди удари освен в случаите, при които ъгловата скорост на гърбицата е по-ниска от 30 s-1. За законите с меки удари приблизително установената граница е   150 s 1 . Над тази граница се препоръчва използването на безударни закони на движение, част от които са полиномни. Определянето на закона на движение за синтез на гърбичен механизъм, включен в една механична система, се извършва след като се определят предавателните функции на останалите механизми от системата. В техническата практика е разпространено профилирането на гърбиците по дъги от окръжности с обща тангента в точката на скачването им. Ако това условие не е спазено гърбичният профил ще има рогови точки с двойна тангента и работата на механизма ще бъде съпроводена с 121 твърди удари в преходите от една към друга дъга. При взаимна оскулация на дъгите в точките на техния преход неизбежната скокообразна промяна на радиусите на дъгите води до крайна скокообразна промяна на ускоренията, т.е. на меки удари. В множество по-стари източници, посветени на гърбичните механизми, профилирането на гърбици по дъги от окръжности е подробно изучено [44]. Редица други закони, описани в други източници и въведените в монографията, имат краен скок само в една от границите на фазите на движение. Тези закони успешно могат да бъдат прилагани при синтез на гърбични механизми с една фаза на престой, ако изходното ускорение има еднаква крайна стойност в прехода от фаза на отдалечаване към фаза на приближаване на изходното звено (при липса на отдалечен престой) или в прехода от фаза на приближаване към фаза на отдалечаване на изходното звено (при липса на близък престой). В противен случай, при нулево ускорение в прехода от една към друга фаза на движение на изходното звено, ускорението бързо се променя от една екстремна стойност до нула и отново към екстремна стойност в следващата фаза на движение (вж. раздел 2.2.2.6) . При избор на закон на движение с гладка крива на ускорението трябва да се вземат предвид конкретните условия и функционалните изисквания към гърбичния механизъм при екстремни условия на неговата експлоатация. Подборът на предавателните функции, необходими за синтез на гърбичните механизми, се прави на базата на сравнение между различни закони. Сравняват се екстремните стойности на производните на нормираната функция u(ξ), по които обективно могат да бъдат оценени различни закони на движение при равни други условия (ход на изходното звено, фазовите ъгли и входни кинематични параметри). За целта са дадени графики на различни фамилии от нормирани функции и техните производни, като след всяка фамилия от нормирани функции са дадени сравнителни таблици с екстремумите на техните производни. Безударни закони на движение с по-добри динамични характеристики на високоскоростни, еластични гърбично-лостови системи в сравнение с аналогични тричленни и четиричленни степенни закони на движение може да се съставят посредством петчленни степенни полиноми (вж. раздел 2.2.2.5). В изходното преместване участва и еластичната деформация, предизвикана от инерционното натоварване, породено от втората производна. Следователно, за да няма скокове в първите две предавателни функции, е необходимо да се избегнат скоковете и в следващите две предавателни функции - третата и четвъртата. Споменатите скокове ще се избегнат, ако функцията на преместването и първите ѝ четири производни са непрекъснати функции. Такива функции се използват при профилиране на т. нар. полидинамични гърбици. Закони на движение без скокове дори върху производните на ускоренията са съставени посредством тригонометричните и степенно122 тригонометрични нормирани полиноми (вж. раздели 2.2.3 и 2.2.4). Нещо повече, с тези полиноми може да се постигне желан мигновен или продължителен престой на изходното звено, както и интервал от входната координата, в който изходната скорост е приблизително постоянна. Подобни възможности в това отношение разкриват и шестчленните степенни функции (вж. раздел 2.2.2.4). При избор на закон на движение важен фактор за неговото определяне е коефициентът на асиметрията на нечетните предавателни функции, тъй като тази асиметрия е задължително изискване, наложено от естеството на някои технологични процеси. На този въпрос е отделено специално внимание (вж. раздел 2.2.5). Безспорно една от най-важните задачи при проектиране на гърбични механизми е изборът на закон на движение, тъй като от него зависят основните кинематични, силови и динамични характеристики на механизмите. Наред с тази задача трябва да се имат предвид няколко изисквания. 1. Законът на движение на изходното звено трябва да съответства на функционалното предназначение на механизма съобразно изискванията на технологичния процес. Такива изисквания могат да се отнасят: за скоростта или за ускорението на изходното звено за определена част от геометричния цикъл на механизма; за определени стойности на скоростта, вкл. и екстремни, при определени положения на механизма; за времето, през което изходните движения и/или престои да бъдат съгласувани с необходимите за даден технологичен процес движения на последователно, паралелно или смесено свързани механизми от механичната система. 2. Законът на движение трябва да съответства на изисквания за висока производителност на машината, в която се вгражда един или повече гърбични механизми. Върху производителността влияе продължителността на фазите на престой и фазите на празен (обратен) ход. Тяхната минимизация обикновено повишава производителността, но намаляването на фазата на празен ход е свързано с повишаване на ускоренията и динамичното натоварване, загубите от триене и на въртящия момент върху вала на гърбицата. Повишаване на производителността трябва да се търси и чрез съвместяване на операциите и времената за тяхното реализиране посредством взаимно свързани механизми на механичните системи. 3. Изискването за минимален разход на енергия за движение на механизма е свързано с икономичността на машината и следва да се разглежда съвместно с другите изисквания към механизма. Например загубите на мощност от триене в кинематичните двоици зависи не само от избора закон на движение, но и от определените основни геометрични параметри на механизма – радиус на основната окръжност на диско123 вата гърбица, дължина на направляващата на линейната гърбица и т.н. Намаляване на разхода на енергия може да се постигне със закон на движение, изведен при условие за намаляване на максималната стойност на входния въртящ момент или при условие за постоянен ъгъл на предаване на силата в работния геометричен интервал на действие на механизма. 4. Изискването за якост и дълготрайност на механизма зависи не само от закона на движение и свързаното със закона динамично натоварване, но и от избора на материалите за изработване на механизма, конфигурацията и размерите на неговите елементи и от действащото им технологично натоварване. От първостепенно значение за контактната якост на елементите на гърбичната двоица е кривината на гърбичния профил, максималната ѝ стойност и промяна за предпочитане без скокове, както и контактът на гърбицата с изходното звено, който зависи не само от техните кривини, но и от вида на контактуващите работни повърхнини. 5. Изискването за технологичност при изработването на гърбиците е свързано с наличния машинен парк за обработка. През миналия век се считаше, че най-прости за обработка са гърбиците, очертани с дъги от окръжности, архимедови спирали и еволвенти. Използват се универсални машини и специални приспособления. Простотата на обработката е за сметка на компромиси с описаните по-горе изисквания и на значителни отклонения в размерите на гърбицата и от там в проектния закон на движение. Съвременният машинен парк дава възможност с висока точност до микрометри да се изработват гърбици, без това да оскъпява значително тяхното производство. Само при серийно производство на гърбици без много високи изисквания за точност е изгодно да се използват специализирани копирни машини. Невъзможно е да се постигне оптимален закон на движение, който в максимална степен да удовлетворява всяко едно от описаните изисквания. Затова се препоръчва да бъдат сравнени няколко различни закони на движение и да се избере този, който в най-голяма степен удовлетворява често противоречивите изисквания към гърбичните механизми, особено тези изисквания, които за всеки конкретен случай се считат за най-важни. Един добър подход за избор на закон на движение е да се направи избор посредством целева функция, включваща събираеми от произведения на оценки по определени критерии (изисквания) и съответните им коефициенти на влияние [29]. Съществена част от оценките са количествено определими и в значителна степен обективни, но някои преценки зависят от опита на проектанта. 124 3 ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВИ ЗА МЕТРИЧЕН СИНТЕЗ В тази глава се дават понятия, теореми и уравнения, свързани с метричния синтез на равнинни механизми, в частност на гърбични механизми. Въведени са елементи на кинематичната геометрия – моментни центрове на скоростите и геометрични характеристики на центроидите на относително движение, необходими за синтез на гърбични механизми по метода на еквивалентните лостови четиризвенници [3], [15]. За целта условията за синтез са сведени до геометрични характеристики, каквито са т.нар. предавателни функции на механизмите [10]. 3.1 Геометрични и кинематични характеристики на механизмите 3.1.1 Функция на положението и предавателни функции Предавателните функции са геометрични характеристики на механизми, приети за идеални. Под идеален механизъм се разбира абстрактен механизъм с недеформируеми, абсолютно точно изработени и безхлабинно съединени звена. При механизмите с една степен на свобода зависимостта на изходната координата В от входната координата А се нарича функция на положението: (3.1) B = B ( A) . Производните от k-ти ред (k = 0, 1, 2, …) на В спрямо А представляват предавателни функции на механизма: (3.2) B ( k ) = B ( k ) ( A) . При k = 0 се получава нулева предавателна функция (3.1), по-известна като функция на положението. При k = 1 се получава първа предавателна функция на механизма, известна още като предавателно отношение: (3.3) ′ ( A) = B′ B= dB( A) . dA При k = 2 се получава втора предавателна функция на механизма: (3.4) ′′ ( A) = B′′ B= d 2 B( A) dA2 и т.н. 125 3.1.2 Връзки между геометричните и кинематичните характеристики на механизмите След диференциране на функцията на положението B = B(A) спрямо времето t се получава изходната скорост на механизма: (3.5) dB dA = B B= ( A) = B′ ( A) A , dA dt откъдето следва, че първата предавателна функция (3.6) B′ ( A) = B / A може да се разглежда като отношение на алгебричните стойности на изходната скорост B към входната A . При A = const , функцията B′ ( A) е пропорционална на B . Диференцирайки (3.5) спрямо t се получава изходното ускорение (3.7)  ,  B′′( A) A 2 + B′ ( A) A = B и втората предавателна функция (3.8) B′′( A) =   − B′ ( A) A B . A 2  . При A = const функцията B′′ ( A) е пропорционална на B Линейната зависимост на предавателните функции B′ ( A) , B′′ ( A) съот при A = const дава основание да бъдат характеризирани ветно с B и B  на изхода на механизма. като аналози на скоростите B и ускоренията B В структурата на изразите от (3.5) до (3.8) ясно се разграничават геометричните от кинематичните характеристики на механизмите. Когато функцията на положението е линейна (при механизми с постоянни предавателни отношения), кинематичните характеристики на изходното звено са пропорционални на съответните кинематични характеристики на входното звено, тъй като при B′ = const ( B′′ = 0 ) от изразите (3.5) и (3.7) съот . ветно се получава: B = B′ A и B = B′ A В зависимост от вида на входното и изходното движение на механизма ще бъдат използвани следните означения: при ротация на входното звено входната координата A се отбелязва с φ, а при транслация - със σ, докато изходната координата B се отбелязва с ψ при ротация и с S при транслация на изходното звено на механизма. С тези означения съответните предавателни функции имат запис, представен в табл.3.1. 126 Означения на предавателните функции Вход Изход Ротация Транслация Таблица 3.1 Ротация Транслация ψ = ψ (ϕ ) S = S (ϕ ) ψ ′ = ψ ′ (ϕ ) S ′ = S ′(ϕ ) ψ ′′ = ψ ′′ (ϕ ) S ′′ = S ′′(ϕ ) ψ = ψ (σ ) S = S (σ ) ψ ′ = ψ ′ (σ ) S ′ = S ′(σ ) ψ ′′ = ψ ′′ (σ ) S ′′ = S ′′(σ ) 3.1.3 Трансформиране на силовите характеристики на механизмите в предавателни функции При синтез на уравновесяващи и други механизми със силови функции (например хващачи на роботи, вж. раздел 2.2.1 ) силовите им параметри трябва да бъдат сведени до предавателни функции, за да стане възможен синтезът на механизмите. Така например за уравновесяващите механизми при входен силов параметър N и изходен параметър T, ако не се отчитат силите на триене, съгласно принципа на виртуалните мощности, отношението им се изразява чрез първата предавателна функция: B T B′ =  = − . A N (3.9) Втората предавателна функция на механизма, необходима за синтез на механизмите, се получава след диференциране на отношението (3.9): (3.10) B′′ = T ( A) N ′( A) − T ′( A) N ( A) . [ N ( A)]2 При постоянен входен или изходен силов параметър от (3.10) се получава съответно: (3.11) (3.12) T ( A) , N T ( A) N ′( A) B′′ = − . [ N ( A)]2 B′′ = − 127 В зависимост от вида на входното и изходното движение на механизма могат да бъдат използвани следните означения (вж. фиг.2.3 и табл.3.1): при ротация на входното звено съответният силов параметър N се отбелязва с Mφ, а при транслация – с Fσ, докато при ротация на изходното звено съответният силов параметър T се отбелязва с Mψ, а при транслация - с FS. 3.1.4 Трансформиране на предавателните функции при смяна на входа и изхода на механизма Значителни улеснения при кинематичния синтез и анализ на механизмите в някои случаи дава условната смяна на входа и изхода им така, че аргументът (входната координата A) и функцията (изходната координата B) разменят местата си, както е показано в табл.3.2. Тази смяна на независимата променлива с функцията е известна още като размяна на ролята на променливите [61]. Гърбичните механизми с профилирано изходно звено са известни още като обърнати или инверсни гърбични механизми (вж. раздел 1.2.1, фиг.1.7). Инверсията не е в известния кинематичен смисъл, а се отнася до размяна на входа и изхода на механизма при запазване на стойката [87]. Синтезът на този вид механизми става еквивалентен на този на конвенционалните гърбични механизми след трансформиране на предавателните функции по посочените зависимости в табл.3.2 [10]. Трансформиране на предавателните функции при смяна на входа и изхода на механизма Таблица 3.2 Предавателни функции Преди трансформацията След трансформацията Функция на положението ≡ нулева предавателна функция B = B( A) A = A( B) dB dA d 2B B′′ = 2 dA d 3B ′′′ B = 3 dA 1 B′ − B′′ A′′ = 3 B′ (3B′′2 − B′′′B′) A′′′ = B′5 Първа предавателна функция Втора предавателна функция Трета предавателна функция B′ = 128 A′ = 3.2 Кинематични инварианти на моментното равнинно движение 3.2.1 Моментни центрове на скоростите и центроиди Равнинното движение на едно звено (тяло) може еднозначно да се представи от движението на една отсечка AB от подвижна равнина, фиксирана към звеното (фиг.3.1). Нека са известни тангентите tA и tB към траекториите съответно на точките A и B. По тангентите tA и tB са разположени векторите на скоростите на точките A и B. Точките от подвижната равнина, разположени на нормалите nA и nB, имат скорости, успоредни съответно на tA и tB. Пресечната точка на nA и nB, (Q = nA ∩ nB) следва да има двупосочна скорост, успоредна едновременно на tA и tB. Това е възможно, само ако векторът на скоростта е нулев. Тази точка е известна като абсолютен моментен център на скоростите (МЦС), ако се отчита движението на AB спрямо равнина, приета за неподвижна, и относителен моментен център на скоростите (означен с Р), ако движението на AB се отчита спрямо подвижна равнина. Геометричното място на МЦС в дадена равнина се нарича центроида. Ако движението е спрямо равнина, приета за неподвижна, геtB ометричните места на абсолютtA ния МЦС се наричат центроиди A B на абсолютното движение – неподвижна в неподвижната nB nA равнина и подвижна в подвижни равни-ни. Ако две равнини се Q (P) движат спрямо неподвижната равнина, геометричните места на относителния МЦС в подвиж- Фиг.3.1. Абсолютен МЦС Q – пресечна точка на нормалите nA и nB към ните равнини представляват траекториите на точки A и B от подвижни центроиди на отноподвижна равнина спрямо равнина, сителното движение, а геометприета за неподвижна, и относиричното място на относителния телен МЦС Р, ако движението на МЦС в неподвижната равнина отсечката AB се отчита спрямо се нарича бицентроида. подвижна равнина. 3.2.2 Теорема на Aronhold-Kennedy (теорема за трите моментни центрове на скоростите) Теоремата гласи, че ако три свързани или несвързани тела (i, j, k) извършват равнинни движения едно спрямо друго, техните три МЦС (Pij, Pik, Pjk) лежат на една права (права на Kennedy) [64], [90]. 129 Нека първото тяло i се приеме за неподвижно и се VM1 означи с индекс 0, а индек0 VM 2 сите j и k на другите под1 = M1 − = M2 вижни тела се заменят съM0 − ответно с 1 и 2. Правил= VP ω10 VP10 − ността на теоремата се ус20 2 ω 20 тановява с помощта на фиг.3.2, където са отбеляP20 P12 P10 зани положенията на абсолютните МЦС P10, P20 и на относителния (релативен) Фиг.3.2. Положения на МЦС P10, P20 и P12 на МЦС P12, както и ъгловите три тела 0, 1 и 2 с общо равнинно скорости ω10 и ω20. Необходвижение димо е да се определи положението на третия (относителния) МЦС P12, при който по дефиниция      относителната скорост VP12 =VP1 + VP2 = 0 се нулира, т.е. VP1 = VP2 . Нека M0, M1 и M2 са три съвпадащи точки съответно от равнините 0, 1 и 2, разположени на разстояние от правата P10P20 напълно произволно, но   различно от нула. Очевидно VM1 ≠ VM 2 , тъй като точките M1 и M2 имат различни по направление скорости и следователно не е възможно да определят МЦС P12. Същият аргумент е валиден за кои да е съвпадащи точки, разположени на разстояние от правата P10P20. Следователно относителният МЦС P12 трябва да лежи на правата, определена от  другите  два МЦС P10 и P20, тъй като тогава и само тогава векторите VM1 и VM 2 са колинеарни. Окончателно решение за положението на относителния МЦС върху правата P10P20 дава теоремата на Willis [116]. 3.2.3 Теорема на Willis Теоремата гласи, че общата нормала на два спрегнати профила на две тела (1 и 2), чрез които контактуват две твърди тела с ротационно движение спрямо трето тяло (0) минава през общия за двете тела МЦС (P12) и дели междуцентровото разстояние ( P10 P20 ) на насочени отсечки (P10 P12 и P20 P12 ) , обратно пропорционални на ъгловите скорости (ω10 и ω20) на двете тела (1 и 2) спрямо третото (0): (3.13) P10 P12 ω20 . = P20 P12 ω10 130 Това отношение се получава от равенството на скоростта VP10 = ω10 P10 P12 на P12 като точка от тяло 1 и скоростта VP20 = ω20 P20 P12 на P12    като точка от тяло 2, тъй като релативната скорост VP12 = VP10 − VP20 = 0 в точката на контакта (МЦС P12) на двете подвижни тела е равна на нула. 3.2.4 Центроиди на относителното движение Центроидите еднозначно са свързани с геометрията на равнинните движения. Предавателните функции също са геометрични характеристики на равнинните движения. Ето защо между тях и центроидите съществува взаимно еднозначно съответствие, в основата на което стоят теоремите на Aronhold-Kennedy и на Willis. Уравнения на центроидите. Съгласно теоремата на AronholdKennedy три МЦС P10, P20 и P12 на три тела 0, 1 и 2 лежат на една права (фиг.3.3). Нека се въведе координатна система Оху с начало O ≡ P10 и ос х, насочена към т. C ≡ P20 и се означи OC = L = const. Тогава, изхождайки от уравнение (3.6), означенията от табл.3.1 и теоремата на Willis (уравнение 3.13), се определя първата предавателна функция (3.14) ψ ′(ϕ= ) ψ ω20 P10 P12 xP = = = , ϕ ω10 P20 P12 xP − L а чрез нея – абсцисата на относителния МЦС P ≡ P12 (3.15) = xP Lψ ′ = ( yP 0) , ψ ′ −1 кинематичен инвариант от първи ред, който зависи само от първата предавателна функция. Подвижната центроида c1 в равнината 1 се определя от полярните параметрични уравнения (3.16)  r1 = xP (ϕ ),   Ф =−ϕ + C1 . Полярният ъгъл Ф е равен по модул и обратен по знак на ъгъла φ на завъртане на равнината 1 при C1 = 0. Подвижната центроида c2 в равнината 2 се определя от полярните параметрични уравнения (3.17) −ψ (ϕ ) + C2 , r= r1 (ϕ ) − L = xP (ϕ ) − L , Ψ = 2 131 където полярният ъгъл Ψ е равен по модул и обратен по знак на ъгъла ψ на завъртане на равнината 2 при C2 = 0. y t Y1 O 2 1 P10 c1 r2 r1 ϕ P P 12 c2 Φ X1 θ µ C P20 x Ψ ψ Y2 X2 L = const > 0 Фиг.3.3. Центроиди c1 и c2 при преобразуване на една ротация в друга Когато равнината 2 се движи праволинейно, МЦС P20 → ∞ (фиг.3.4). Тогава, изхождайки от уравнение (3.6), означенията от табл.3.1 и скоростта VP1 = ω10 P10 P12 за първата предавателна функция се получава: (3.18) S ′(ϕ= ) S VP1 = = P P = x (ϕ ) , ϕ ω10 10 12 P а чрез нея – абсцисата на относителния МЦС P ≡ P12: (3.19) xP (ϕ ) = S ′ . y 2 P20 > ∝ O2 c2 X1 Y1 Φ ϕ t X2 2 S Центроидата c1 в равниP ната 1 се определя от полярO x 1 ните уравнения (3.16) с отчиµ c1 тане на (3.19). Центроида c2, определена в координатна система Фиг.3.4. Центроиди c1 и c2 при преобразуване на ротация в транслация O2X2Y2 в равнината 2, се описва от параметричните уравнения (3.20) = S ′(ϕ ),  X 2 x= P (ϕ )  − S (ϕ ) + C2 ,  Y2 = 132 където координатата Y2 е равна по модул и обратна по знак на преместването s на равнината 2 при C2 = 0. Центроидите c1 и c2, ако удовлетворяват определени условия, определят профили на гърбици, които заедно със стойката, образуват центроиден механизъм или механизъм с некръгли зъбни колела, ако гърбиците са назъбени. Тангента на центроидите. Положението на общата допирателна в МЦС към спрегнатите центроиди (полюсната тангента) може да се определи чрез тангенса на ъгъла заключен между полярния радиус r1 = xP (ϕ ) на МЦС и съответната тангента t, по известна от диференциалната геометрия формула (3.21) tgθ = r1 / r1′(Ф) където с r1′ е отбелязана производната на r1 спрямо полярния ъгъл Φ. Ъгълът µ = −θ , който t сключва с оста х (вж. фигури 3.2 и 3.3) съгласно (3.21) се определя от отношението (3.22) / r1′(ϕ ) xP / x′P , = tg µ r1= тъй като (3.21) φ = - Φ, където φ е ъгъл на завъртане на равнината 1 и следователно: r1 (ϕ ) = dr1′ / dϕ = −dr1′ / d Φ = −r1′(Φ ) . Ако равнините 1 и 2 се въртят спрямо оси О и С към неподвижната равнина (OC ≡ L = const), тогава в (3.22), като се замести абсцисата xP, определена от (3.15), и нейната производна, се получава формулата на Freudenstein [77]: (3.23) tg µ = ψ ′(1 − ψ ′) ψ ′′ кинематичен инвариант от втори ред, който зависи от първата и втората предавателна функция. Ако равнината 2 се движи праволинейно, тогава xP = S′, съгласно (3.19), и x′P = S ′′ , които заместени в (3.22) определят (3.24) tg µ = S′ . S ′′ При преобразуване на транслация в ротация е достатъчно условно да се сменят местата на входа и изхода от предишния случай, при което замествайки S ′ = 1 / ϕ ′ и S ′′ = −ϕ ′′ / ϕ ′3 (вж. табл.3.2) във формули (3.19) и (3.22), се получава съответно 133 (3.25) xP = 1 / ϕ ′, tg µ = −ϕ ′2 / ϕ ′′ . Като се вземат предвид означенията от табл.3.2, би следвало в (3.25) φ′, φ″ да се означат като изходни величини с ψ′, ψ″, а S да се означи като входен параметър със σ. 3.2.5 Теорема на Bobillier Теоремата установява проста, но много B полезна за синтеза и 2 q C анализа геометрична A 3 връзка между механизµ 0 L мите с четиризвенна 1 топологична структура O и тангентата на съотn µ ветните им центроиди c1 c2 P (фиг.3.5) [67]. tp Въвежда се т.нар. ос на колинеация или Фиг.3.5. Центроиди c1 и c2 на гърбичен механизъм колинеационна ос с ролкова кобилица и кинематично еквиq ≡ PQ - права, която валентен за даденото положение шарнирен четиризвенен механизъм ОАВС свързва абсолютния МЦС Q ≡ P30 с относителния МЦС P ≡ P12 . Теоремата, без доказателство, ще бъде дадена само в случай на относително движение на звена с просто движение на различни видове равнинни механизми с четиризвенна топологична структура: Правата, определяща положението на звеното с общо равнинно движение (n ≡ AB), образува такъв ъгъл (μ) с оста на колинеация (q), какъвто ъгъл полюсната тангента (tP) сключва с правата (OC), определяща положението на стойката. Повече информация за теоремата на Bobillier съдържат източниците [10] и [15]. 3.2.6 Кинематични инварианти при праволинейна транслация на входа и изхода Относителният МЦС Р е безкрайно отдалечен при преобразуване на едно праволинейно движение на равнината 1 в друго праволинейно движение на равнината 2 (фиг.3.6). Въпреки това е възможно да бъдат 134 определени кинематичните инварианти от първи и втори ред, като се ползва абсолютният МЦС или елементи на диференциалното смятане, които тук ще бъдат използвани [10]. Нека звената 1 и 2, шарнирно свързани в центрове А и В със звено (мотовилка) с дължина l, се движат праволинейно при ъгъл β между направленията им на плъзгане. Получава се елипсографен механизъм с променливи геометрични параметри a и b, свързани неявно с функцията: F (a, b) = a 2 + b 2 − 2ab cos β − l 2 = 0 . 0 B 2 b l β 1 A x a 0 0 0 Фиг.3.6. Елипсографен механизъм за п