Relativit atstheorie

Relativit
atstheorie Stefan Leuthold Astronomiefreifach Kantonsschule Z
urcher Oberland, Wetzikon Fr
uhlingssemester 2002 Zusammenfassung W
ahrend die Physiker auf der ganzen Welt am Ende des 19. Jahrhunderts die Physik als fertig betrachteten, entstand eine im wesentlichen von einer einzigen Person erschaene neue Theorie, welche fundamental f
ur unser Verst
andnis von der Natur werden sollte: Die Relativit
atstheorie von Albert Einstein. In der ersten H
alfte dieses Freifachs werden wir die spezielle Relativit
atstheorie so ausf
uhrlich wie m
oglich behandeln und die grundlegenden Formeln herleiten. Allenfalls bleibt am Schluss noch Zeit f
ur einige Tatsachen der allgemeinen Relativit
atstheorie. INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Historisches 1.1 Physik am Ende des 19. Jahrhunderts . . . . . . . . . . . . . 1.2 Entdeckung der speziellen Relativitatstheorie . . . . . . . . . 1.3 Roemers Berechnung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . 2 Spezielle Relativitatstheorie 2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Einstein'sche Postulate . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bedeutung der SRT fur die Zeit . . . . . . . . . . 2.3.1 Zeitdilatation im Alltag. . . . . . . . . . . 2.3.2 Zwillingsparadox. . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Gleichzeitigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Das Experiment von Hafele und Keating. 2.4 Bedeutung der SRT fur die Langenmessung . . . 2.5 Minkowski-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Nichtrelativistische Diagramme . . . . . . 2.5.2 Relativistische Diagramme . . . . . . . . 2.6 Herleitung der Lorentz-Transformationen . . . . 2.7 Herleitung von E = mc2 . . . . . . . . . . . . . . 3 Allgemeine Relativitatstheorie A Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 5 5 7 8 9 9 11 11 12 13 13 15 18 21 24 27 Historisches 1 Historisches 1.1 Physik am Ende des 19. Jahrhunderts Mit Newtons Gravitationstheorie und seiner Mechanik konnten die Bewegungen aller Korper einwandfrei beschrieben werden und mit Maxwells Elektrodynamik hatte man auch alle elektrischen und magnetischen Erscheinungen im Gri - dies war die gangige Meinung des 19. Jahrhunderts. Die Physik schien fertig. Die Beschreibung von Gasen mit den Gesetzen der Mechanik, die sogenannte statistische Mechanik, wie sie zum Beispiel von Ludwig Boltzmann betrieben wurde, gab Anlass zur Vermutung, dass alles, was nicht in Maxwells Theorie enthalten war, mit der Newton'schen Mechanik beschrieben werden konnte. Die folgenden Zitate1 geben eine gute Idee davon, was die Physiker vor Einsteins spezieller Relativitatstheorie und der Entdeckung der Quantenmechanik (ohne die wir heute z. B. keine Computer hatten) noch gedacht hatten: Die wichtigsten Grundgesetze und Grundtsachen der Physik sind alle schon entdeckt und diese haben sich bis jetzt so fest bewahrt, dass die Moglichkeit, sie wegen neuer Entdeckungen beiseite zu schieben, ausserordentlich fern zu liegen scheint... Unsere kunftigen Entdeckungen mussen wir in den 6. Dezimalstellen suchen. A. A. Michelson, 1903 Nun zur Physik, wie sie sich damals prasentierte. Bei aller Fruchtbarkeit im einzelnen herrschte in prinzipiellen Dingen dogmatische Starrheit: Am Anfang (wenn es einen solchen gab) schuf Gott Newtons Bewegungsgesetze samt den notwendigen Massen und Kraften. Dies ist alles das Weitere ergibt die Ausbildung geeigneter mathematischer Methoden durch Deduktion. Was das 19. Jahrhundert fussend auf diese Basis geleistet hat, musste die Bewunderung jedes empfnglichen Menschen erwecken. A. Einstein Ich bin niemals zufrieden, bevor ich ein mechanisches Modell des Gegenstandes konstruiert habe, mit dem ich mich beschaftige. Wenn es mir gelingt, ein solches herzustellen, verstehe ich, andernfalls nicht. Daher kann ich die elektromagnetische Theorie des Lichts nicht begreifen. Ich mochte das Licht so vollstandig verstehen wie moglich, ohne Dinge einzufuhren, die ich noch weniger verstehe. Daher halte ich an der einfachen Dynamik fest, denn dort kann ich ein Modell nden, jedoch nicht in der elektromagnetischen Theorie. Lord Kelvin, 1884 1 Alle Zitate stammen aus
3], Kapitel 5.2. 2 1.2 Entdeckung der speziellen Relativitatstheorie 1.2 Entdeckung der speziellen Relativitatstheorie Einstein waren die Ergebnisse des Michelson-Morley Experimentes nicht ein die Elektrodynamik mal im Detail bekannt, als er 1905 seine Arbeit Uber bewegter Korper einreichte, welche die vollstandige spezielle Relativitatstheorie enthielt. Er liess sich lediglich von der Idee leiten, das Verhalten der elektromagnetischen Wellen mit der Newton'schen Mechanik in Verbindung zu bringen, vor allem in Bezug auf die Vorstellungen von Raum und Zeit. Zur Frage, ob nicht Lorentz oder Poincare bereits vor Einstein die spezielle Relativitatstheorie entdeckt hatten, ein Zitat von Lorentz2 aus dem Jahre 1928: Daher fuhrte ich das Konzept der lokalen Zeit ein, die fur relativ zueinander bewegte Bezugssysteme verschieden ist. Ich dachte aber nie, dass sie etwas mit der wirklichen Zeit zu tun hat. Die wirkliche Zeit war fur mich noch immer durch das alte Konzept einer absoluten Zeit gegeben, die unabhangig von jedem Koordinatensystem ist. Es gab fur mich nur diese eine wahre Zeit. . . . So ist die Relativitatstheorie wirklich allein Einsteins Werk. Einstein beantwortete die Frage nach der Entstehung der speziellen Relativitatstheorie noch kurz vor seinem Tod am 19. Februar 1955 folgendermassen:3 Es ist zweifellos, dass die spezielle Relativitatstheorie, wenn wir ihre Entwicklung ruckschauend betrachten, im Jahre 1905 reif zur Entdeckung war. Lorentz hatte schon erkannt, dass fur die Analyse der Maxwell'schen Gleichungen die spater nach ihm benannte Transformation wesentlich sei, und Poincare hat diese Erkenntnis noch vertieft. Was mich betrit, so kannte ich nur Lorentz' bedeutendes Werk von 1895, aber nicht Lorentz' spatere Arbeit und auch nicht die daran anschliessende Untersuchung von Poincare. In diesem Sinne war meine Arbeit selbstandig. Was dabei neu war, war die Erkenntnis, dass die Bedeutung der Lorentztransformationen uber den Zusammenhang mit den Maxwell'schen Gleichungen hinausging und das Wesen von Raum und Zeit im allgemeinen betraf. Auch war die Einsicht neu, dass die Lorentz-Invarianz eine allgemeine Bedingung sei fur jede physikalische Theorie. Dies war fur mich von besonderer Wichtigkeit, weil ich schon fruher erkannt hatte, dass die Maxwell'sche Theorie die Mikrostruktur der Strahlung nicht darstellte und deshalb nicht allgemein haltbar sei. 1.3 Roemers Berechnung der Lichtgeschwindigkeit Bereits 1679 berechnete der danische Astronom Olaf Roemer die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe einer Beobachtung: Er betrachtete die Jupitermonde 2 3 Aus
5]. Aus
5]. 3 1.3 Roemers Berechnung der Lichtgeschwindigkeit 4 Io und Ganymed, welche auf ihrer Umlaufbahn um Jupiter immer wieder in dessen Schatten verschwanden und wieder auftauchten. Wenn diese Monde immer etwa gleich lange brauchten, um Jupiter zu umkreisen, dann musste sie auch immer etwa gleich lange in dessen Schatten verweilen. Roemer beobachtete aber, dass die kleinste Verweildauer im Schatten etwa 16,5 Minuten kurzer war als die langste Verweildauer. Das musste daher ruhren, dass die Erde von Jupiter einmal naher und einmal weiter entfernt war (vgl. Skizze). d Ganymed Erde Sonne Jupiter  Abbildung 1: Roemers Uberlegungen: Licht legt den Weg 2d zuruck, wenn es 16,5 Minuten Verspatung hat. Nehmen wir an, dass die Erde im Mittel d = 149,6 Millionen km von der Sonne entfernt ist, erhalten wir damit die Lichtgeschwindigkeit aus km s 2
149
6
10 km Licht = t = 16
5
60s  302 200 s
6 v 0 was mit dem heutigen exakt festgelegten Wert von m c := 299 792 458 s ziemlich gut ubereinstimmt. Man wusste also bereits vor 1700, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich war - nur hatte dies vorerst keine Konsequenzen fur die Physik. 0 0 atstheorie Spezielle Relativit 5 2 Spezielle Relativitatstheorie 2.1 Motivation Die Newton'sche Mechanik, welche Sir Isaac Newton im Jahre 1687 veroentlichte in seinen Principia Mathematica Philosophiae Naturalis beschreibt bis heute fast alle Bewegungen der Korper auf der Erde und am Himmel korrekt. Zusammen mit den 1860 veroentlichten Gleichungen von James Clerk Maxwell bildeten sie die Grundpfeiler der Physik. Man nahm an, dass mit diesen beiden Theorien die Physik fertig war, bis sich an einigen Experimenten und zuletzt mit Einsteins bahnbrechender Arbeit grundlegende Fragen zu Raum und Zeit stellten, welche nicht im Rahmen der bereits vorhandenen Theorie erklart werden konnten. Ausgehend von den Denitionen ~v ~s ~a :=  ~v :=  t
t
notieren wir die grundlegenden Newton'schen Axiome: Newton'sche Mechanik. (1) 1. Tragheitsgesetz. Wenn keine Kraft auf einen Korper einwirkt, bleibt dieser entweder in Ruhe, wenn er bereits in Ruhe ist, oder bewegt sich gleichformig auf einer Geraden, wenn er bereits in Bewegung ist. 2. Bewegungsgesetz. F~ = m
~a (2) Daraus lesen wir fur F = 0 wieder das Tragheitsgesetz ab und mit (1) folgt, dass Krafte sich dahingehend manifestieren, dass sie den Bewegungszustand eines Korpers andern (Geschwindigkeit oder Richtung verandern). Zusammen mit der trivalen Beobachtung, dass Krafte Korper deformieren, liefert das 2. Newton'sche Axiom also eine De nition fur Kraft. Wenn nur Gravitationskrafte wirken, schreiben wir (2) auch als F~ = m
~g . 3. Reaktionsgesetz. Fur zwei beliebige Korper 1 und 2 existieren Krafte zwischen den beiden Korpern, fur welche gilt4 F~12 = ;F~21: Geschwindigkeiten, und damit auch Beschleunigungen und Krafte, sind immer abhanging davon von wo aus gemessen wird. Alles, was man braucht, um Geschwindigkeiten zu messen, nennen wir ein Bezugssystem, und Bezugssysteme, in welchen das Tragheitsgesetz gilt Inertialsysteme.5 Nun liegen obigen Denitionen und Gesetzen stillschweigend einige Annahmen zu Grunde, welche als Newton'sches Relativitatsprinzip bezeichnet werden: Die Indizes sollen folgendermassen gelesen werden: F12 ist die Kraft, welche Korper 1 auf Korper 2 ausubt. 5 Engl. inertia heisst Tragheit. 4 2.1 Motivation 6 1. Raum und Zeit sind absolut. 2. Alle relativ zu einem Inertialsystem gleichformig bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsysteme und im Rahmen der Newton'schen Mechanik gleichwertig. In Newtons eigenen Worten6: Der absolute Raum bleibt vermoge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen ausseren Gegenstand stets gleich und unbeweglich. ... Die absolute, wahre und mathematische Zeit veriesst an sich und vermoge ihrer Natur gleichformig und ohne Beziehung auf irgendeinen ausseren Gegenstand. Sie wird so auch mit dem Namen Dauer belegt. Maxwells Theorie der elektromagnetischen Wellen. Ausgehend von Michael Faradays Arbeiten fand James Clerk Maxwell eine einheitliche Formulierung der vier Grundgesetze von Elektrizitat und Magnetismus mit den elektrischen Feldern E~ und den magnetischen Feldern B~ , in Abhangigkeit von den Quellen der E ; und B ;Felder (Ladungen und Strome). Die Bedeutung der Maxwell'schen Gleichungen fur die damit geschaene Elektrodynamik ist vergleichbar mit der Bedeutung der Newton'schen Axiome fur die Mechanik. Maxwells Gesetze sagten die Existenz von elektromagnetischen Wellen voraus, welche durch bewegte Ladung erzeugt werden7 , und fur die gilt (3) v = 1  3
108 m = c: 0  0 p s 0 und 0 sind Naturkonstanten. Dieser Wert entspricht gerade dem gemessenen Wert fur die Lichtgeschwindigkeit c, mit der sich demnach alle elektromagnetischen Wellen fortpanzen. Dies brachte Maxwell zum Schluss, dass auch Licht eine elektromagnetische Welle sein muss.8 Der A ther. Wenn Licht eine elektromagnetische Welle ist und fur die- se eine Geschwindigkeit bestimmt werden konnte, dann stellten sich zwei Fragen: 1. In welchem Bezugssystem galt diese Geschwindigkeit? 2. In welchem Medium bewegten sich die Lichtwellen fort? Aus den Principia Mathematica Philosophiae Naturalis Zum Beispiel ein Wechselstrom in einer Antenne, dies wurde 1887 von Heinrich Hertz das erste Mal beobachtet. 8 Wir konnen uns Licht mit E ; und B ;Feld zusammengesetzt zum Beispiel mit Polarisationsltern anschaulich verdeutlichen. 6 7 2.2 Einstein'sche Postulate Die Antwort auf beide Fragen dachte man in der Einfuhrung des so genannten Athers gefunden zu haben, einer Substanz, welche den ganzen Weltraum erfullte, eine vernachlassigbare Dichte hatte9 und ausserordentlich starr war.10 Diesen A ther konnte man als Bezugssystem fur die Lichtgeschwindigkeit wahlen und darin bewegten sich die elektromagnetischen Wellen fort. Auf dieses ruhende System mussten sich damit alle anderen Systeme beziehen. Da sich die Erde aber durch den Weltraum bewegt auf ihrer Bahn um die Sonne, musste die Lichtgeschwindigkeit ausgehend von einer auf der Erde stehenden Quelle variieren, je nachdem, ob man das Licht nach Westen oder Osten schickte (also einmal entgegen der Bewegung der Erde um die Sonne, und einmal in die selbe Richtung). Die Vorbereitungen fur dieses Experiment macht Albert Michelson bereits 1881 und das eigentliche Experiement 1887 - ohne Erfolg. Auch alle nachfolgenden Experimente zeigten, dass die Lichtgeschwindigkeit konstant war unabhangig von der Bewegung der Lichtquelle.11 2.2 Einstein'sche Postulate Einstein schreibt selbst in seiner Biographie12 Nach zehn Jahren Nachdenkens fand ich ein Prinzip, auf das ich schon mit 16 Jahren gestossen bin. Wenn ich einem Lichtstrahl mit Lichtgeschwindigkeit nacheile, so sollte ich diesen Lichtstrahl als ruhend wahrnehmen. So etwas scheint es aber nicht zu geben. Intuitiv klar schien es mir von vornherein, dass sich fur einen solchen Beobachter alles nach denselben Gesetzen abspielen musse wie fur einen relativ zur Erde ruhenden Beobachter. Alleine daraus zog Einstein den Schluss, dass sich Licht in jedem Inertialsystem in allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Zusammen mit einer Modikation des Newton'schen Relativitatsprinzips ergibt dies die Einstein'schen Postulate 1. Relativitatsprinzip. Alle Inertialsysteme sind zur Beschreibung von Naturvorgangen gleichberechtigt. Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form. 2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. In allen Inertialsystemen breitet sich Licht im Vakuum isotrop in allen Richtungen aus und unabhangig 9 Damit keine Reibung mit normalen Korpern stattndet, die man sonst hatte beobachten mussen, z. B. bei Planeten. 10 Dies erklarte, weshalb Licht eine rein transversale Welle war und keine longitudinalen Anteile beobachtet werden konnten. 11 Dies gilt fur alle Wellenausbreitungen. 12
1], Seite 345. 7 2.3 Bedeutung der SRT f ur die Zeit 8 von der momentanen Bewegung der Lichtquelle mit der Geschwindigkeit m: c := 299 792 458 s Diese Prinzipien folgen nicht aus Beobachtungen, sondern sind alleine Einsteins Ideen - welche sich bis heute als richtig herausstellten. Durch diese Postulate wird allen Geschwindigkeiten eine Obergrenze gesetzt. Nichts kann sich schneller als das Licht ausbreiten, nichts kann sich schneller als Licht bewegen (auch kein Korper und keine Information). 0 2.3 0 Bedeutung der SRT f ur die Zeit Wir stellen uns eine ruhende Beobachterin auf der Erde vor, welche ein Raumschi anschaut, das an ihr vorbeiiegt. Im Raumschi sitze eine Astronautin auf dem Boden. Wir stellen uns weiter vor, dass die Astronautin eine Lichtuhr besitze, das ist ein Apparat mit zwei Spiegeln, einen am Boden und einen an der Decke des Raumschis befestigt, und zwischen den Spiegeln itzt ein Lichtimpuls hin und her. Jedesmal, wenn der Lichtimpuls einen Spiegel trit, macht der Apparat tick und ist deshalb ein guter Zeitmesser. Wenn das Raumschi mit Geschwindigkeit v an der ruhenden Beobachterin vorbeiiegt, dann sieht die Beobachterin auf der Erde einen Zick-ZackWeg, wenn sie die Lichtuhr anschaut. c · t0 v c·t v · t0 Abbildung 2: Die Rakete iegt mit Geschwindigkeit v bezuglich einer Person, welche auf der Erde stillsteht. Die zick-zack-Linie ist der Weg des Lichtstrahls von aussen gesehen, die gestrichelte Linie ist der Weg des Lichtstrahls fur die Astronautin. Der Weg des Lichtes, den die Astronautin in ihrer Lichtuhr misst, sei d = c
t, dann sieht die ruhende Beobachterin einen anderen Lichtweg von s = c
t0 , und gem ass Pythagoras gilt 2 2 c t0 = v 2t20 + c2t2
und dies gibt nach der Zeit t0 der ruhenden Beobachterin aufgelost 1 (4) t0 = t q 1 ; vc22 Die Zeit vergeht im Ruhesystem am langsamsten. Diesen Eekt nennt man Zeitdilatation. Die Zeit, welche auf einer Uhr vergeht, die auf dem bewegten Korper festgemacht ist, heisst Eigenzeit. Einige Beispiele sollen den Umgang mit der Zeit in der speziellen Relativitatstheorie verdeutlichen. 2.3 Bedeutung der SRT fur die Zeit 9 2.3.1 Zeitdilatation im Alltag. Wenn jemand mit dem Auto von Wetzikon nach Zurich fahrt, hat sie (je nach Autobahntempo) eine Durchschnittsgeschwindigkeit von etwa 80 km h  22
25 ms und braucht dafuer etwa eine halbe Stunde. Gleichung (4) sagt uns, dass fur die Autofahrerin die Zeit langsamer verstreicht, als fur jemand, der im Kaee sitzt und zusieht, wie das Auto an ihm vorbeifahrt. Dieser Eekt ist aber sehr gering, die Eigenzeit der Autofahrerin ist nicht wesentlich kleiner als die Zeit, welche im Ruhesystem verstreicht: (4) =) t = r t0 2 1 ; vc2 s 2 = 30
60s
1 ; 22
258 2 r 495(3
10 )  1800s 1 ; 9
1016  1800s: Der Eekt tritt also erst bei wesentlich grosseren Geschwindigkeiten auf. 0.25 0 0.5 0.75 1 1 1 0.5 0.5 0 0 0 0.25 0.5 Abbildung 3: Die Kurve zeigt den Faktor q 0.75 1 1 ; vc22 auf der y-Achse in Abhangigkeit von vc auf der x-Achse. Man sieht, dass erst bei Geschwin1 die E ekte der Zeitdilatation eine wesentliche Rolle zu digkeiten von 2 spielen beginnen. v > c 2.3.2 Zwillingsparadox. Zwei Zwillinge entschliessen sich, in die Raumfahrt einzusteigen. Der eine Zwilling iegt von der Erde fort mit einem Raumschi, wahrend der andere 2.3 Bedeutung der SRT f ur die Zeit 10 ihn beobachtet von auf der Erde bleibt. Dann der Zwilling im Raumschi wird nach Gleichung (4) nicht so schnell alt wie der Zwilling auf der Erde, da dieser in Ruhe ist und wir annehmen konnen, dass sich der Zwilling im Raumschi in einem Inertialsystem bewegt. Naturlich kann man auch umgekehrt argumentieren, dass der Zwilling im Raumschi in Ruhe bleibt und sich der Zwilling auf der Erde bewegt (alles eine Frage des Standpunktes: Manchmal denken wir auch, dass der Zug nebenan losfahrt und wir noch sitzenbleiben, . . . ). Das wurde aber bedeuten, dass der Zwilling im Raumschi schneller altert als der Zwilling auf der Erde - dies ist unmoglich: Entweder altert der Zwilling auf der Erde schneller oder derjenige im Raumschi, es konnen nicht beide schneller altern als der andere. Dieser Gedankengang heisst Zwillingsparadox, weil man meint, aus dem Dilemma keinen Ausweg nden zu konnen, dass beide Zwillinge schneller altern als der andere. Es gibt jedoch eine ganz einfache Methode, durch welche man eindeutig bestimmen kann, welcher Zwilling schneller altert: Man gibt beiden einen Becher Kaee und beobachtet sie in den ersten Minuten nach Reisebeginn. Es ist falsch, dass man behaupten kann, dass beide in Ruhe sein konnen, wahrend sich der andere bewegt: Einer von beiden wird den Becher Kaee zu Beginn der Reise verschutten - dieser wird beschleunigt und damit ist er derjenige, der nicht in Ruhe sein kann wahrend der Reise. Der Zwilling mit dem Kaeeeck ist also der bewegte Zwilling und folglich derjenige, der weniger schnell altern wird. Da wir nun sichergestellt haben, dass wir verstehen, welcher Zwilling in Ruhe und welcher bewegt ist, konnen wir die Bedeutung der speziellen Relativitatstheorie fur die Zeit an diesem Beispiel berechnen. Selbstverstandlich bleibt dieses Beispiel ohne Realitatsanspruch. Betrachten wir ein Astronomenparchen, Erdolf und Raumine. Sie sind beide 25 Jahre alt und haben Ihre gemeinsame Zukunft schon verplant. Jetzt ergibt es sich, dass Raumine an einer Weltraumexpedition teilnehmen kann: Sie iegt zu einem 8 Lichtjahre entfernten Stern und zuruck. Das Raumschi iege mit einer Geschwindigkeit von v = 54 c. Nun haben wir drei verschiedene Perspektiven: 1. Erdolf und Raumine, welche die Reise planen und alles vorausberechnen, 2. Raumine, welche ihr Reisetagebuch fuhrt, und 3. Erdolf, der Raumine naturlich die ganze Zeit beobachtet. Rechenbeispiel. 1. Reisefahrplan (Berechnung). Erdolf und Raumine berechnen fur die Reisedauer13 s =) t = 2
8 ly = 20y
v = 4 t 5c wenn Raumine also 2002 losiegt, wird sie 2012 beim Stern und 2022 wieder zuruck sein. 13 1 ly = 1 Lichtjahr = Distanz, welche das Licht in einem Jahr zurucklegt. Physikalisch richtig musste man hier schreiben 8c y, weshalb sich c wegkurzt und das Ergebnis richtig in Jahren herauskommt. 2.3 Bedeutung der SRT fur die Zeit 11 2. Reisetagebuch. Raumine erlebt es anders. Naturlich wird sie in ihrem Reisetagebuch den Lift-O auch im Jahr 2002 eintragen. In ihrem System ist aber nach Gleichung (4) r s ; 4 2 r 16 = 3 t
= t0 1 ; 25 50 und damit lauft ihre Uhr wesentlich langsamer als Erdolfs Uhr. Wenn bei Erdolf t0 = 60 Minuten vergangen sind, dann sind bei Raumine lediglich t = 35 t0 = 36 Minuten vergangen. In ihrem Reisetagebuch wird Raumine also eintragen, dass sie im Jahr 2008 beim Stern angekommen ist, und 2014 wieder auf der Erde landet. Ramine wird nach ihrer Ruckkehr also 8 Jahre junger sein als Erdolf, der bei ihrer Abreise noch gleich alt war. 3. Erdolf's Beobachtungen. Da das Licht 8 Jahre braucht, um vom Stern zur Erde zu gelangen, wird Erdolf Raumine erst im Jahr 2020 beim Stern ankommen sehen. Obwohl er mit ihr zusammen richtig vorausberechnet hat, dass sie 10 Jahre hin- und 10 Jahre zuruckiegt, wird er sie 18 Jahre hin- und 2 Jahre zuruckiegen sehen. t 2 v = t0 1 ; c2 = t0 1 ; 5 c2 c2 2.3.3 Gleichzeitigkeit. Vor der speziellen Relativitatstheorie galten zwei Ereignisse als gleichzeitig, wenn sie auf synchronisierten Uhren abgelesen zu gleichen Zeiten stattfanden. Dies ist naturlich im Rahmen der speziellen Relativitatstheorie nicht mehr moglich: Synchronisiert man zwei Uhren und bringt sie an verschiedene Orte, um die Zeit von verschiedenen Ereignissen anzuzeigen, gehen die Uhren nicht mehr synchron, da sie durch die Bewegung zum Ort des Ereignisses der Zeitdilatation unterliegen. In der speziellen Relativitatstheorie muss man Uhren mit der EinsteinUhrensynchronisation stellen: Zwei Uhren gehen nur dann gleich, wenn sie sich im selben Intertialsystem benden und mit einem Lichtblitz gestartet werden, welcher von einer Lichtquelle ausgesandt wird, von wo die Wege zu den beiden Uhren gleich sind. 2.3.4 Das Experiment von Hafele und Keating. Die Zeitschrift TIME veroentlichte die Ergebnisse eines Versuches von Joseph C. Hafele und Richard Keating am 18.10.1971. Die beiden Physiker sind mit Atomuhren an Bord von Lininenugzeugen um die Welt geogen, einer nach Osten, der andere nach Westen und sie konnten ein Abweichen der Uhren in Abhangigkeit von ihrer Bewegung zeigen. Ein Flug um die Erde dauert etwa zwei Tage. Stellt man eine Atomuhr am A quator auf, bewegt sich diese Uhr mit der Geschwindigkeit vA einer Erdumdrehung pro Tag: km 40 000km v A = 24h  1667 h : 0 2.4 Bedeutung der SRT fur die Langenmessung 12 Wir betrachten zwei Flugzeuge, welche mit v = 800 km h uber Boden iegen. 14 Da die Erde sich Richtung Osten dreht, sind die beiden Geschwindigkeiten vF der Flugzeuge km km km km v v FW = 1667 ; 800 h = 867 h : FO = 1667 + 800 h = 2467 h
Wegen der Zeitdilatation geht die Uhr beim Ostug schneller als diejenige am A quator, beim Westug langsamer. Fur die Zeitdierenzen tA ; tF der Uhren im Ostug bzw. im Westug berechnet man s t  2 2 A A A = t0 1 ; c2 = t0 1 ; 2c2 v v !
1 p wo wir beim zweiten Gleichheitszeichen 1 + x = (1 + x) 2  1+ 21 x benutzt haben.15 Auf dieselbe Art berechnet man tF und bekommt tOst = ;255ns
tWest = 156ns: Hafele und Keating konnten nicht dem A quator entlangiegen, deshalb wichen ihre berechneten Zeiten von diesen ab. Das Experiment bestatigte aber die von ihnen berechneten Resultate. So wurde das erste mal eine Zeitdilatation mit makroskopischen Uhren gemessen. 2.4 Bedeutung der SRT fur die Langenmessung Wir denken uns eine Rakete, welche mit v = 35 c an uns vorbeiiegt, wahrend wir auf der Erde stehen. An Bug und Heck des Raumschis sind Uhren angebracht. Wir haben selber eine Uhr auf der Erde und stoppen, wie lange der Vorbeiug dauert. Wenn wir fur den Vorbeiug eine Zeit t0 messen, verstreicht im Raumschi gemass (4) eine Zeit r 2 = t0 1 ; vc2 : Da wir die Lange des Raumschis berechnen konnen aus (1), folgt l0 = vt0
l = vt
und damit t r 2 (5) = l0 1 ; vc2 : Da Uhren von bewegten Korpern langsamer gehen, ist es intuitiv klar, dass bewegte Massstabe kurzer werden - dies wird durch obige Rechnung bestatigt. Dieser Eekt heisst Langenkontraktion. Nehmen wir an, dass die Rakete im Ruhesystem gemessen die Lange l0 = 50 m hat, dann misst die Rakete in diesem Vorbeiug nur noch l = q 9 c2 1 ; 25c2 = 50m
54 = 40 m. l0 l 14 15 Dies kann man daran feststellen, dass die Sonne im Osten aufgeht. Dies geht, da x  1 wegen vA  c. 2.5 Minkowski-Diagramme 13 2.5 Minkowski-Diagramme Um Bewegungen besser zu verstehen braucht man in der Physik haug WegZeit-Diagramme wie in Abbildung 4.16 Auf der x-Achse ist die Zeit dargestellt, auf der y -Achse die Lange des zuruckgelegten Weges. An diesen Diagrammen kann man ablesen, ob und wann ein Korper beschleunigt wurde, ob er in Ruhe ist und ob er sich vorwarts oder ruckwarts bewegt: s (a) (b) (c) (d) (e) t Abbildung 4: Weg-Zeit-Diagramm: (a) steht einfach still, (b) wird von (c) uberholt, beide fahren mit konstanter Geschwindigkeit (deshalb sind ihre Kurven Geraden), (d) beschleunigt, bremst, fahrt ein Stuck ruckwarts und beschleunigt dann wieder, (e) ist gar nicht moglich, da ein Korper keine Zeit brauchen wurde, um einen Weg zuruckzulegen. Selbstverstandlich sind  wo sich die in diesem Diagramm zwei Dimensionen unterdruckt: Uberall, Kurven schneiden, wurde sonst ein Unfall passieren! Hermann Minkowski fuhrte ahnliche Diagramme fur die spezielle Relativitatstheorie ein, er trug jedoch die Zeit auf der y -Achse und die Raumkomponente(n) auf der x-Achse ab und eichte die Achsen um. Aus den normalen Raum-Zeit-Diagrammen werden dann Minkowski Diagramme. 2.5.1 Nichtrelativistische Diagramme Wir betrachten zuerst ein einfaches Minkowski-Diagramm fur nichtrelativistische Geschwindigkeiten, Abbildung 5. Das Velo fahrt in diesem Diagramm oenbar dem Auto entgegen. Einen Punkt im Minkowski-Diagramm nennt man Ereignis, die Menge aller Ereignisse eines Korpers nennt man Weltlinie. Das Diagramm zeigt also die Weltlinien fur Auto und Velo. Ein besonders bedeutsames Ereignis ist der Punkt, In der Kantiphysik stellt die x-Achse immer die Lange des Weges dar, aber es wird auch nur eine Achse benotigt, weil man nur eindimensionale Probleme betrachtet. Im allgemeinen Fall heissen diese Diagramme dann Raum-Zeit-Diagramme, um klarzustellen, dass die eindimensionale Betrachtungsweise eine Vereinfachung ist 16 2.5 Minkowski-Diagramme 14 t Auto Fussgängerin Velo x Abbildung 5: Weltlinien eines Autos, einer stillstehenden Fussgangerin und eines Velos, welches in die entgegengesetzte Richtung des Autos fahrt. in dem sich die beiden Weltlinien kreuzen: Wenn wir wirklich nur ein eindimensionales Problem betrachten passiert dort ein Unfall.17 Eine Weltlinie, die parallel zur t-Achse steht, gehort zu einem ruhenden Korper, je acher eine Weltlinie wird, desto grosser ist die Geschwindigkeit des Korpers. Geraden sind Weltlinien von Korpern, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, krumme Linien gehoren zu beschleunigten Korpern.18 Eine Besonderheit der Minkowski-Diagramme ist, dass wir in ihnen bequem verschiedene Inertialsysteme darstellen konnen, indem wir die Achsen neigen. Im nichtrelativistischen Fall genugt das neigen der Zeitachse (Abbildung 6). t t'' t' Auto Fussgängerin Velo x Abbildung 6: Alle drei Inertialsysteme im nichtrelativistischen Fall. Die tAchsen mussen parallel zur den Weltlinien verlaufen. 17 Naturlich unterdrucken wir im Unterricht die y- und z -Achse, der Velofahrer fahrt auf dem Trottoir - das ist zwar verboten, gibt aber hier keinen Zusammenstoss. 18 Wir betrachten in der speziellen Relativitatstheorie jedoch nur Inertialsysteme, also durfen in unseren Skizzen keine krummen Linien vorkommen. 2.5 Minkowski-Diagramme 15 In dieser Abbildung sind neben dem ursprunglichen Inertialsystem auch das Ruhesystem des Autos und das Ruhesystem des Velos dargestellt. Ereignisse, die bezuglich einem Inertialsystem gleichzeitig passieren, liegen auf einer Parallelen zur x-Achse. Ereignisse, die bezuglich einem Inertialsystem am gleichen Ort stattnden, liegen auf einer Parallelen zur jeweiligen tAchse. Wenn wir Koordinaten ablesen wollen, legen wir also durch das Ereignis, welches durch die Koordinaten beschrieben wird, je eine Parallele zur x-Achse und eine zur t-Achse (Abbildung 7). t t'' t0 = t1 =t2 x1 Ereignis E x0 t' x2 x Abbildung 7: Die Koordinaten eines Ereignisses E gemessen in allen drei Inertialsystemen. Die Koordinaten sind die Schnittpunkte von Geraden, welche durch das Ereignis laufen und parallel zu den jeweiligen Achsen des Inertialsystems sind. 2.5.2 Relativistische Diagramme Als erstes Zeichnen wir Diagramme, in welchen wir berucksichtigen, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist und betrachten ein Beispiel zur Gleichzeitigkeit. Danach konstruieren wir Ruhesysteme fur relativistische Diagramme. Einheiten. Wir werden von uns an der Einfachheit halber beide Achsen in Sekunden angeben. Das heisst, wir belassen die Einheit der t-Achse und rechnen die Einheit der x-Achse um gemass x = c ms
1s := 1Lichtsekunde = 1ls  300 000km: Man verwendet mit Vorteil gleiche Zeicheneinheiten, das heisst, eine Sekunde wird auf der t-Achse gleich lang dargestellt wie eine Lichtsekunde auf der x-Achse: Damit bewegt sich Licht, welches am Ursprung eines Minkowski Diagrams ausgesendet wird, immer auf Winkelhalbierenden (Abbildung 8). 0 Beispiel zur Gleichzeitigkeit. Zwei Raketen iegen aneinander vorbei mit Geschwindigkeit v = 2c in exakt entgegengesetzter Richtung. Wenn die Raketen auf der selben Hohe sind, wird in der Mitte zwischen beiden Raketen ein Lichtblitz ausgesandt, welcher Uhren in den Raumschien starten soll, die jeweils am Bug und am Heck angebracht sind (Abbildung 9). Aus der Sicht der unteren Rakete bewegt sich die obere mit v = 2c nach links und wahrend in ihrer Rakete beide Uhren gleichzeitig gestartet werden, startet in der oberen Raketen zuerst die Uhr im Heck, dann diese 2.5 Minkowski-Diagramme 16 t «Zukunft» von E 1s α 1 Ls x «Vergangenheit» von E Abbildung 8: Ein zweidimensionaler Lichtkegel im Koordinatensytem. Alle Ereignisse, welche uberhaupt vom Ursprung des Koordinatensystems beeinusst werden konnen liegen in der Zukunft des Ursprungs, da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann. In drei Dimensionen wird daraus der Zukunftslichtkegel. im Bug. Aus der Sicht der unteren Rakete ist es genau umgekehrt. Mit Minkowski-Diagrammen ist dieser Sachverhalt sehr einfach darzustellen und zu verstehen. Achsen. Nun uberlegen wir uns, was beim U bergang von der Newton- schen Mechanik zur speziellen Relativitatstheorie an diesen Diagrammen verandert werden muss: Die Zeitdilatation sagt uns, dass wir beim Wechsel von einem Inertialsystem in ein anderes berucksichtigen mussen, dass die Uhren nicht gleich schnell laufen. Wir haben aber bisher angenommen, dass wir mit immer gleichen Zeitabstanden rechnen konnen,19 auch wenn wir die t-Achse um einen Winkel  neigen, um ins Ruhesystem eines K orpers zu gelangen. Betrachten wir eine Rakete, welche in einem Inertialsystem I mit einer Geschwindigkeit v = 0
6c in x-Richtung iegt. Nun drehen wir die t-Achse, um das Raumschi im Ruhesystem zu haben, wir nennen das gedrehte System I , und die zu diesem System gehorenden Achsen t , bzw. x . Wir mussen einen Weg suchen, eine der t -Achse angepasste x -Achse zu konstruieren, um die Forderung der Zeitdilatation zu erfullen. Hierbei bedienen wir uns der in Kapitel 2.3.3 eingefuhrten Einstein-Synchronisation: Wir sen0 0 0 19 Parallele Geraden zur x-Achse fur jede t-Achse. 0 0 2.5 Minkowski-Diagramme 17 v x t1 tr t2 t Abbildung 9: Zwei Raketen iegen mit halber Lichtgeschwindigkeit aneinander vorbei. Aus der Sicht der unteren Rakete bewegt sich die obere mit halber Lichtgeschwindigkeit nach links. In der Mitte der beiden Raketen wird ein Lichtblitz ausgesandt, der resultierende Lichtkegel ist eingezeichnet: Die Weltlinien des bewegten Raumschi s schneiden den Lichtkegel zu zwei verschiedenen Zeitpunkten. den zwei Lichtsignale ab, welche sich in der Mitte des Raumschies treen sollen, eines vom Bug aus, eines vom Heck aus (Abbildung 10). Der Lichtstrahl vom Heck schneidet die Mittellinie des Raumschies, dort muss auch der Lichtstrahl vom Bug schneiden, der unter dem selben Winkel aus der anderen Richtung im System I kommen muss. Damit haben wir das Ereignis gefunden, von wo aus das Licht ausgesandt werden musste von der Bug-Weltlinie aus. Und da die Lichtstrahlen sich in der Mitte des Raumschis treen, mussen die beiden Aussendungs-Ereignisse gleichzeitig passieren: Wir haben mit dem Schnittpunkt des Bug-Lichtstrahls und der Bug-Weltlinie einen Punkt gefunden, der dem Ursprung des Systems I gleichzeitig ist, daher muss dort auch die x -Achse schneiden. Die Winkel  mussen fur die t - und die x -Achse gleich sein, weil die Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem gleich ist und die Ausbreitung von Lichtstrahlen aufgrund der Einheitenkonventionen auf der Winkelhalbierenden passieren muss. 0 0 0 0 2.6 Herleitung der Lorentz-Transformationen t 18 t' x' α α M x Abbildung 10: Ein Raumschi sendet gleichzeitig zwei Lichtsignale aus, eines am Bug, eines am Heck. Eingezeichnet sind die Weltlinien der Lichtsignale und die Weltlinie der Mitte des Schi es, wo sich die Lichtsignale tre en. Die restlichen Geraden dienen zur Konstruktion des Inertialsystems I. 0 2.6 Herleitung der Lorentz-Transformationen Die Zeitdilatation ist nicht die einzige Konsequenz der speziellen Relativitatstheorie, auch fur den Raum und die Masse gibt es ahnliche Anpassungen zu berucksichtigen. In diesem Abschnitt werden wir nochmals die Zeitdilatation in einem allgemeinen Zusammenhang herleiten und in der selben Herleitung die sognannte Langenkontraktion bekommen. Damit sind die Konsequenzen der speziellen Relativitatstheorie fur die Kinematik zusammengestellt und im nachsten Abschnitt wenden wir dieses Wissen dann auf die Dynamik an, um die beruhmte Einstein'sche Formel E = mc2 zu verstehen. Wir betrachten ein Ereignis in zwei um den Winkel  gedrehten Inertialsystemen I und I (Abbildung 11). Das Ereignis habe darin die Koordinaten 0 xe
cte x e
ct e : Hier rechnen wir mit den Einheiten e und e im jeweiligen Koordinatensytemen, ct rechnet Zeiten in Langen um, damit wir dieselben Einheiten bzw. 0 0 0 0 0 2.6 Herleitung der Lorentz-Transformationen 19 benutzen konnen. t' t Ereignis α E cte ct'e' e α (4) x' x'e' e α (3) α e x xe (1) (2) Abbildung 11: Ein Ereignis E wird in zwei Inertialsystemen I und I gemessen. Die Konstruktion zeigt, wie man die gestrichenen Koordinaten aus den ungestrichenen Koordinaten erhalt. 0 Wenn wir den Winkel  transportieren, am Ereignis spiegeln und die Denition von cos und sin benutzen mit den zwei durch die gestrichelten Hilfslininen entstehenden rechtwinkligen Dreiecken: xe = sin } cos } + ct | e{z |x e {z (6) cte = cos } sin } + ct | e {z |x e {z (7) 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 3 4 Division durch e und Ausklammern von cos  gibt20 0 cos  e x = e ct = e 0 cos  e ; ;  0 + ct tan  0 tan  + ct : x x 0 0  Wir konnen Ausdrucke fur ee , cos  nden aus Abbildung 12. 0 20 Da sin
cos
:= tan
gilt. 2.6 Herleitung der Lorentz-Transformationen 20 t' t v e c e x' z α α x e Abbildung 12: Aus diesem Dreieck kann man alle notwendigen geometrischen Beziehungen zur Herleitung der Lorentztransformation ablesen. Nach Pythagoras gilt z = r e + 2 v c 2 2 e 2 r = e 1+ v c 2 2
aber aufgrund der Langenkontraktion (5) gilt auch z = r e 0 1; v 2 2: c Gleichsetzen der beiden Ausdrucke fur liefert z 0 q 1+ =q v2 c2 (8) 1 ; vc22 Den Ausruck fur cos nden wir aus der Denition des Cosinus aus der selben Skizze (9) cos = = q 2 = q 1 2 1 + vc2 1 + vc2 Schliesslich lesen wir aus der Skizze noch e e :   e e z : e tan =  v e c e = v c (10) 2.7 Herleitung von E = mc2 21 ab, und setzen (8), (9) und (10) in (6) und (7) ein: q x = q q ct = q 1 + vc22 1 v2 ; 2 c 1 + vc22 1 v2 ; 2 c
q 1 x + ct v c 1 + vc22
q 1 x v + ct : 1 + vc22 c 0 0 0 0 Dies ergibt die speziellen Lorentztransformationen : x = qx + vt2 0 0 (11) 1 ; vc2 t + x vc : t = q 1 ; vc22 0 2.7 Herleitung von 0 (12) E = mc2 Wir betrachten den Stoss eines Autos mit einer Wand. Das Auto habe die Masse m = 1000kg. Wir nehmen an, dass sich das Auto im Ruhesystem mit der Geschwindigkeit v = 25 ms auf einer Strecke der Lange s = 100m bewegt wahrend der Zeit t = 4s, bevor es mit der Wand stosst. Der Impuls ist dann p = m
v = 1000kg
25 ms = 25 000kg ms : Nun betrachten wir denselben Stoss aus einem zum Inertialsystem Ruhesystem I senkrecht mit der Geschwindigkeit u = 0
6c bewegten System I . Da es senkrecht zum Inertialsystem zum RuhesystemI bewegt ist, sieht das bewegte System keine Langenkontraktion, diese trate nur in Fahrtrichtung in Erscheinung. Die Wand muss in beiden Systemen gleich eingedruckt sein, wenn keine Langenkontraktion auftritt, also muss der Impuls in beiden Systemen I und I derselbe sein: (13) p = p = 25 000kg ms : Ohne Langenkontraktion gilt fur die vom Auto zuruckgelegten Wege 0 0 0 0 0 s=s: (14) Von aus gesehen, läuftlangsamer die Zeit in I als langsamer. Mit der uft jedoch die Zeit im Ruhesystem, mit Im Uhren, SystemdieIin lI'aruhen Zeitdilatation ergibt sich 0 0 r 2 t = t 1 uc2
0 also ; 2.7 Herleitung von E = mc2 22 t =q t 0 1 u2 ; 2 c = q 4s = 5s: 6 )2 1 ; ( 10 Damit wird die Geschwindigkeit des Autos aus der Sicht von des I'bewegten Systems s = 100m = 20 m : v = t 5s s Nach (13) hat das Auto dann eine von m verschiedene Masse aus der Sicht des bewegten Bezugssystems I : p = m
v =) m = pv = 2520000 kg = 1250kg: Je schneller das Auto fahrt, desto schwerer wird es.21 Es gilt eine Beziehung wie fur Zeitdilatation oder Langenkontraktion, mit (13) und (14): s m = m vv = st = m tt = m q 1 2
t 1 ; uc2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 allgemein mit der mit Geschwindigkeit v bewegten Masse m und der Ruhemasse m0: (15) m = m0 q 1 2 : v 1 ; c2 Warum wird ein Auto je schwerer, desto schneller es sich bewegt? Das einzige, was sich sich andert, ist die kinetische Energie des Autos - kann es sein, dass diese Energie zur Masse des Autos beitragt? Die Antwort auf diese Frage bekommen wir, wenn die Massenzunahme m ; m0 berechnen. Darin musste sich die Massenzunahme durch die kinetische Energie manifestieren. So berechnen wir m m0 = ; 0 BB BB 1 1 q q m0 = m0 B m0 B 1 B@| 1{z } 1+  2 m0 1 + 1 v 1 = 1 m0v2 1 ; v2 c2 ; ; 1 2  = =) 2 c2 ; = Ekin c12 Ekin = (m ; m0 )c2: 2 v2 c2 v2 c2 ; 1 CC CC 1C CC A c2 21 Uberlege, was passiert, wenn sich ein Korper immer schneller wird und fast Lichtgeschwindigkeit hat? Es kann sich also auch deswegen nichts schneller als Licht bewegen. 2.7 Herleitung von E = mc2 23 Beim dritten Gleichheitszeichen wurde der sogenannte Satz von Taylor verwendet, nach dem sich jede Funktion nach bestimmten Regeln durch eine Summe von solchen Termen annahern lasst. Nennen wir m0 c2 die Ruheenergie eines Korpers, so wird die Gesamtenergie des Korpers E= m c2 0 } | {z + mc2 ;{zm0 c}2 : | Ruheenergie Bewegungsenergie E Dies ist die beruhmte Einstein'sche Formel, welche besagt, dass Masse und Energie aquivalent sind: kin E = mc2: (16) Diese Formel hat enorme Anwendungen im gesamten Bereich der Teilchenphysik, und wir sind ihr bereits bei der Untersuchung von Energiequellen in Sternen uber den Weg gelaufen. Allgemeine Relativitatstheorie 3 Allgemeine Relativitatstheorie Die neben der Quantenmechanik bahnbrechendste Theorie des letzten Jahrtausends wurde von Albert Einstein 1915 publiziert: Die allgemeine Relativitatstheorie. Der grundlegend neue Idee darin war, dass die Gravitationskraft nicht durch eine Massenanziehung wie bei Newton zustande kommt, sondern durch eine Krummung der Raum-Zeit. Die allgemeine Relativitatstheorie ist also eine Einstein'sche Gravitationstheorie, welche die Newton'sche Gravitationstheorie ablost.22 Die spezielle Relativitatstheorie gilt nur fur spezielle Bezugssysteme, die Inertialsysteme, wahrend die allgemeine Relativitatstheorie auch beschleunigte Bezugssysteme umfasst. Krummung der Raumzeit Unsere bekannte Euklidische Geometrie be- ruht auf rechtwinkligen Koordinatensystemen, in welchen Positionen von Korpern gemessen werden. Wie kommt man uberhaupt darauf, in solchen Koordinatensystemen zu arbeiten? Eine mogliche Erklarung dafur ist, dass die Menschen zur Zeit Euklids ( 300 v. Chr.) noch dachten, dass die Erde ach sei. Auf einer runden Erdkugel macht die Euklidische Geometrie vieles komplizierter, es sei denn, man sagt, dass wir jeden beliebigen Punkt auf der Oberache der Erdkugel mit einer Ebene annahern. Die Erfahrung sagt uns, dass wir dies tun konnen: Die kurzeste Verbindung von Zuerich nach Genf ist in unserer Vorstellung eine Gerade. Ganz genau genommen ist die kurzeste Verbindung von Zuerich nach Genf ein Kreisabschnitt, dessen Mittelpunkt im Erdmittelpunkt liegt - wir konnen schliesslich auch von Zurich nach Sydney nicht auf einer Geraden iegen! Im dreidimensionalen Fall haben wir es also tatsachlich mit der Geometrie auf einer Kugel zu tun, wo kurzeste Verbindungen Kreisabschnitte und keine Gerade sind. Trotzdem konnen wir in Euklidischen Koordinatensystemen rechnen und bekommen keine grossen Fehler fur fast alle Anwendungen in unserem taglichen Leben. Einsteins allgemeine Relativitatstheorie behandelt nun den Fall, dass sich die Krummung des Raumes von Punkt zu Punkt verandern kann.23 A quivalenzprinzip Eine einfache Beobachtung liegt Einsteins neuer Gra- vitationstheorie zugrunde: Alle Korper fallen im freien Fall gleich schnell, unabhangig von ihrer Masse. Baut man um einen frei fallenden Korper einen Kasten und stellt eine Physikerin hinein, welche mit dem Korper Experimente machen kann, wird die Physikerin schnell herausnden, dass sich der Korper nach dem Tragheitsprinzip verhalt. Die Physikerin und der Kasten fallen frei mit dem Korper - es gibt kein Experiment, mit dem die Physikerin beweisen kann, dass sie sich in einem frei fallenden Kasten bendet Naturlich ist die Newton'sche Gravitationstheorie nicht falsch, sie ist einfach zu wenig genau, um viele Phanomene zu beschreiben, welche die allgemeine Relativitatstheorie richtig beschreibt. 23 Im achen Raum ist die Krummung uberall Null. Die grundlegende Theorie gekrummter Raume wurde ubrigens von Bernhard Riemann ausgearbeitet und wird heute an den Universitaten als Di
erentialgeometrie gelehrt. 22 24 Allgemeine Relativitatstheorie 25 und nicht in der Schwerelosigkeit weit weg vom nachsten Himmelskorper: In beiden Situationen gilt der Tragheitssatz. Dies bedeutet aber, dass sowohl der Kasten in der Schwerelosigkeit, als auch der frei fallende Kasten Inertialsysteme sind, und demzufolge die spezielle Relativitatstheorie in ihnen gilt.24 Stellen wir uns den Fall vor, in welchem der Kasten beschleunigt wird, sagen wir, er stehe in der Rakete, welche ihn an einen anderen Ort im Sonnensystem bringt. Dann sieht die Physikerin plotzlich Bewegungen des Korpers, welche sie der Beschleunigung zuschreibt - sie spurt selber auch, dass sie mehr auf den Boden gedruckt bzw. ihr Korper vom Boden weggehoben wird. Im frei fallenden Kasten konnte sie den Probekorper vor ihrer Nase loslassen und er el nicht zu Boden, genauso im schwerelosen Kasten, aber nun fallt der Korper entgegen der Bewegungsrichtung der Rakete auf den Boden oder zur Decke. Nun landet die Rakete auf der Erde, die Physikerin lasst den Korper nochmals los - und er fallt wieder auf den Boden. Daraus muss die Physikerin schliessen, dass der Kasten immer noch beschleunigt wird. Ausserhalb des Kastens wissen wir aber, dass der Kasten auf der Erde steht. Die Physikerin kann nicht unterscheiden, ob sie sich in einem beschleunigten Bezugssystem be ndet, oder in einem Bezugssystem in einem Gravitationsfeld. Deshalb schreiben wir das Kraftgesetz des freien Falles und das Newton'sche Bewegungsgesetz gleich F =m a=m g

und konnen nicht unterscheiden, ob der Kasten im Weltall mit a = g beschleunigt wird oder auf der Erde steht. Die einzige Voraussetzung dafur ist naturlich, dass das Gravitationsfeld der Erde nicht varriert uber die Hohe des Kastens.25  Dies nennt man das Aquivalenzprinzip : In einem homogenen Gravitationsfeld laufen Vorgange in gleicher Weise ab wie die in einem gleichmassig beschleunigten Bezugssystem. Aufbauend auf dieser Idee und mit Hilfe der Riemann'schen Geometrie konstruierte Einstein mit der allgemeinen Relativitatstheorie eine Theorie, in welchen sich Korper nur noch in der gekrummten Raum-Zeit von Inertialsystem zu Inertialsystem bewegen. Die Krummung wird von den Massen verursacht. Bemerkung zu den Eekten der allgemeinen Relativtatstheorie Die Besprechung und Berechnung einiger einfacher Eekte wird auf ein spateres Astronomiefreifach vertagt. Vorerst nur folgende Bemerkungen: Die Erde bewegt sich aufgrund der Raumkrummung auf ihrer krummen Bahn um die Sonne. Ebenso wird das Licht durch die starke Raumkrummung 24 gilt. Inertialsysteme sind ja per Denition Bezugssysteme, in welchen der Tragheitssatz Sonst konnte die Physikerin Messungen machen, welche zeigen, dass der Korper oben im Kasten anders beschleunigt wird als unten im Kasten, wenn der Kasten auf der Erde steht, bei der Rakete hingegen waren beide Beschleunigungen identisch. 25 Allgemeine Relativitatstheorie um die Sonne abgelenkt. Diesen Eekt kann man z. B. bei Sonnennsternissen beobachten. Uhren gehen in der gekrummnten Raum-Zeit langsamer als in der achen Raumzeit. Licht erfahrt eine sogenannte Gravitationsrotverschiebung. Die Bahnachse der Planetenbahn des Merkurs dreht sich mit der Zeit diese Eekte werden nur in der allgemeinen Relativitatstheorie vorausgesagt und sind in der Newton'schen Theorie nicht enthalten. Diese und andere Eekte erklaren Beobachtungen, welche man ohne die neue Gravitationstheorie Einsteins nicht versteht. Naturlich gibt es auch zahlreiche Anwendungen in der Astrophysik und die gesamte moderne theoretische Kosmologie baut auf dem Fundament der allgemeinen Relativitatstheorie auf. 26 Personenverzeichnis A Personenverzeichnis Einstein, Albert Euklid Lorentz, Hendrik Antoon Maxwell, James Clerk Michelson, Albert Abraham Newton, Sir Isaac Poincare, Julies Henri Riemann, Georg Friedrich Bernhard Roember, Olaf 27 1879-1955 365-300 v. Chr. 1853-1928 1831-1879 1852-1931 1643-1727 1854-1912 1826-1866 1644-1710 Literatur 1] Grehn, Joachim (Hrsg.) Metzler Physik. Schroedel Verlag GmbH. Hannover, 1998. 2] Hewitt, Paul G. Conceptual Physics. Addison-Wesley Verlag. Eight Edition, New York, 1998. Enthalt zwei Kapitel uber Relativitatstheorie, praktisch ohne Formeln, sehr gut und einfach erklart. 3] Simonyi, Karoly. Kulturgeschichte der Physik. Aus dem Ungarischen von Klara Christoph, Dresden. Verlag Harri Deutsch. Thun, 1990. 4] Sexl, Roman (Hrsg.) Materie in Raum und Zeit. Eine Einfuhrung in die Physik. Band 3. Sauerlander Verlag. Aarau, 2. Auage, 1991. 5] Straumann, Norbert. Spezielle Relativitatstheorie. Skriptum zur Vorlesung. Uni Zurich.