TEORIE MATE LICEU STAN ADRIAN

Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri comerciale fără specificarea sursei şi acordul autorului Adrian Stan Editura Rafet 2007 1. Mul imea numerelor reale abcd = a ⋅103 + b ⋅102 + c ⋅10 + d 1.. Scrierea în baza zece: a,efg = a ⋅10+ e ⋅10−1 + f ⋅10−2 + g ⋅10−3 = = a ⋅10+ e ⋅ 0.1+ f ⋅ 0.01+ g ⋅ 0.001 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unit ilor; e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor. 2. Frac ii -Frac ii zecimale finite: a, b = ab ; 10 a, bc = abc ; 100 ab − a abc − a ; a, (bc) = ; 9 99 abc − ab abcd − ab mixte: a, b(c ) = ; a, b(cd ) = ; 90 990 -Frac ii zecimale periodice:- simple: a, (b) = 3.. Rapoarte şi propor ii a a a⋅n = k, n ∈ Q* , se numeste raport ∀b ≠ 0; = b b b⋅ n k se numeşte coeficient de propor ionalitate ; Proprietatea fundamental a propor iilor: a c = ⇒a⋅ d = b⋅ c b d 4. Propor ii derivate: ⎧ ⎪ ⎪ a c ⎪ = ⇒ ⎨ b d ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ b d sau = a c a = a ± b c a a + c = b b + d d c a b sau = = b a c d c a ± b c = sau ± d b a a − c = sau sau b b − d ± d d a2 c2 . = 2 b d 2 2 a a + a 2 + a 3 + .... + a n ; a1 a = 2 = ......... = n = 1 b1 b2 bn b1 + b 2 + b 3 + ..... + b n 5. Sir de rapoarte egale: (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) propor ionale ⇔ a a1 a 2 = = .. = n = k . b1 b2 bn sunt direct (a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )şi (b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers propor ionale ⇔ a1 ⋅ b1 = a 2 ⋅ b2 = .. = a n ⋅ bn 6. Modulul numerelor reale Propriet i: a 1. 3. ⎧ ⎪ a, ⎪ ⎨ 0, ⎪ ⎪− a, ⎩ def a ≥ 0, a = −a, 5. 7. 8. 9. 10. a〉0 a = 0 a 〈0 ∀a ∈ R ; 2. ∀a ∈ R ; a ⋅b = a ⋅ b 4. a = 0, a = b, 6. ; a − b ≤ a±b ≤ a + b ⇔ a = 0; a a = b b ⇔ a = ±b ; ; ; x = a, ⇒ x = ± a, x ≥ a, ⇔ x ∈ [−∞,−a ] ∪ [a,+∞], x ≤ a, a〉 0 ; ⇔ x ∈ [− a, a ], a〉 0 ; a〉 0 . 1. (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ; 7. Reguli de calcul în R 2. (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 ; 2 2 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ; 3 4. (a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 5. (a + b ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 2 6. (a − b ) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 ; 3 3 7. a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ; 8. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) . 8. Puteri cu exponent întreg a n def a ⋅ a ⋅ a ⋅ ......⋅ a n factori 1. a o = 1; a1 = a;0 n = 0; 5. ( a m ) n = a m ⋅ n 3. ( a ⋅ b ) = a ⋅ b an ⎛a⎞ 7. ⎜ ⎟ = n , b ≠ 0 b ⎝b⎠ 2. a m + n = a m ⋅ a n n 4. n 6. a − n = 1 ,a ≠ 0 an n n am = am−n ; a ≠ 0 n a 8. a m = a n ⇔ m = n. 9. Propriet ile radicalilor de ordinul doi 1. 2. 3. a 2 = a ≥ 0, ∀a ∈ R a ⋅b = a ⋅ b a b = a ,b ≠ 0 b 4. an = ( a )n = a 2 , 5. a± b = n a + a2 − b a − a2 − b ± 2 2 unde a²-b=k² . 4 x+ y 2 Media geometric m g = x ⋅ y 10. Medii ma = Media aritmetic Media ponderat Media armonic p⋅x+q⋅ y ; p, q − ponderile p+q 2 2 xy . mh = = 1 1 x+ y + x y mp = x+ y 2 Inegalitatea mediilor 2 xy ≤ x+ y xy ≤ 11. Ecua ii b a ⋅ x + b = 0 ⇒ x = − ,a ≠ 0 a x2 = a ⇒ x = ± a , a ≥ 0 ; a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ⇒ x1, 2 = a ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0. − b ± b 2 − 4ac . 2a x = a, a ≥ 0 ⇒ x = ± a. x = a, a ≥ 0 ⇒ x = a 2 [x] = a ⇒ a ≤ x〈 a + 1 ⇔ x ∈ [a, a + 1) . 12. Procente p % din N = p ⋅N 100 5 D= S ⋅ p⋅n …. Dobânda ob inut prin depunerea la banc a unei 100 ⋅ 12 sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobândei anuale acordate de banc . Cât la sut reprezint num rul a din N. x % din N =a ⇒ x = a ⋅ 100 . N 13. Partea întreag 1. x = [x ] + {x} , ∀x ∈ R , [x ] ∈ Z şi {x} ∈ [0,1) 2. [x ] ≤ x < [x ] + 1 [x] = a ⇒ a ≤ x < a + 1 3. [x ] = [ y ] ⇔ ∃K ∈ Z a. î. x, y ∈ [k , k + 1] ⇔ x − y < 1 4. [x + k ] = k + [x ] , ∀k ∈ Z , x ∈ R 5. {x + k } = {x}, ∀x ∈ R , ∀k ∈ Z 6. Dac {x} = {y} ⇒ x − y ∈ Z 7. Dac x ∈ R ⇒ [[x]] = [x] ∈ Z [{x}] = 0 , {[x]} = 0 , {{x}} = {x} 8. Identitatea lui Hermite [x] + ⎡⎢ x + 1 ⎤⎥ = [2 x] , 9. [x + y ] ≥ [x ] + [ y ] , ∀x, y ∈ R ⎣ 2⎦ ∀x ∈ R 10. Prima zecimal , dup virgul , a unui num r N este dat de [10 ⋅ {N }] sau [( N − [N ]) ⋅ 10] 6 2. Inegalit i a k −1 < a k ∀ k ≥ 1 a ∈ (0,1) a k < a k −1 ∀ k ≥ 1 2. 0 < a ≤ b ⇒ (a m − b m )(a n − b n ) ≥ 0 ∀ m, n ∈ N 1 1 3. a + ≥ 2 (∀) a > 0 a + ≤ −2 ∀ a < 0. a a 1 1 4. = k - k −1 < k + k −1 2 k 1 1 = k +1- k . > 2 k k + k +1 1. a > 1 ⎛a+b⎞ ⎟ ≥ ab ∀ a, b ∈ R ⎜ ⎝ 2 ⎠ a+b 2 , ∀ a, b > 0 ≥ ab ≥ 1 1 2 + a b 7. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c ∈ R a2 + b2 5. ≥ 2 a2 + b2 6. ≥ a+b ( 2 ) 8. 3 a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a + b + c ) ∀a, b, c ∈ R 2 a 2 + b2 + c2 1 ≥ (a + b + c ) ∀ a, b, c ∈ R 3 a+b+c 3 10. a + b + c ≥ a + b + c ∀a, b, c ≥ 0 3 11. (n − 1) a12 + ... + an2 ≥ 2(a1a2 + ...a1an + a2 a3 + ... + an −1an ) ( 9. ( ( 12. n a + ... + a 2 1 2 n ) ) ≥ (a ) + ... + a n ) , ∀ n ∈ N 2 a n + bn ⎛ a + b ⎞ 13. ≥⎜ ⎟ , ∀n ∈ N , a, b > 0. 2 ⎝ 2 ⎠ a a a+r , ∀r > 0. 14. 0 < < 2 ⇒ < b b b+r a a a+r 1< ⇒ > , ∀r > 0 b b b+r 1 2 7 15. x ≤ a (a > 0 ) ⇔ − a ≤ x ≤ a. 16. a ± b ≤ a + b , a, b ∈ R sauC . 17. a1 ± a 2 ± ... ± a n ≤ a1 + ... + a n , in R sau C . 18. a − b ≤ a − b in R sau C . 19. 1 1 1 1 1 = ≤ = − 2 n n ⋅ n (n − 1)n n − 1 n 1 1 1 1 < = − n! (n − 1)n n − 1 n 20. a, b ∈ Z , m, n ∈ Z , m ∉ Q ⇒ ma 2 − nb 2 ≥ 1. n 21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi dac şi numai dac ∃ x, y, z ∈ R+* a.i a = y + z , b = x + z, c = x + y. ⎛a⎞ 22. ⎜ ⎟ ⎝b⎠ a −b ≥ 1 a ≠ b ∀ a, b > 0 , a+b b+c c+a + + ≥ 6. c a b 24. Dac x1 ,..., x n ≥ 0 si x1 + ... + x n = k constant atunci produsul k x 2 ⋅ x 2 ...x n e maxim când x1 = ... = x n = . n 23. a, b, c ∈ R+* ⇒ 25. Dac . x1 ,..., xn < 0 si ∏ n i =1 xi = k constant ⇒ x1 + ... + x n e minim atunci când x1 = ... = xn = n k. 26. Dac x1 ,..., xn ≥ 0 si x1 + ... + x n = k = constant atunci x 2p1 ⋅ x 2p1 ...x npn este maxim când x1 x x k , pi ∈ N * , i = 1, n = 2 = ... n = p1 p2 pn p1 + ... + pn 8 f ( x1 ) + f ( x2 ) ⎛x +x ⎞ f : Ι → R, (Ι interval) si f ⎜ 1 2 ⎟ ≤(≥ ) 2 ⎝ 2 ⎠ f ( x1 ) + ... + f ( xn ) ⎛ x + ... + xn ⎞ ∀x1 , x2 ∈ Ι ⇒ f ⎜ 2 ⎟ ≤ (≥ ) n n ⎠ ⎝ 27. Teorema lui Jensen: Dac ∀xi ∈ Ι , i = 1, n. 28. Inegalitatea mediilor n 1 1 + ... + a1 an ⎛1 1 + ... + an ⎝ a1 29. (a1 + a 2 + ... + a n )⎜⎜ ≤ n a1 ...a n ≤ a1 + ... + a n . n ⎞ ⎟⎟ ≥ n 2 . ∀ ai ≥ 0, i = 1, n. ⎠ egalitate când ai = aj , ∀i, j = 1, n. 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz. (a + ... + an2 )(b12 + ... + bn2 ) ≥ (a1b1 + ... + anbn ) ∀ai , bi ∈ R. ai aj 31. Inegalitatea mediilor generalizate: " =" ⇔ = . bi bj 2 2 1 ⎛ a1α + ... + anα ⎜⎜ n ⎝ α , β ∈ R. ⇓ ⎞ α ⎛ a1β + ... + anβ ⎟⎟ ≥ ⎜⎜ n ⎝ ⎠ ⎛ a + ... + a n ⎝ 32. ⎜⎜ 2 1 1 2 n ⎞β ⎟⎟ , ∀ai , bi ∈ R+ ,α ≥ β , ⎠ 1 ⎞ a + ... + a n ⎟⎟ ≥ 1 n ⎠ 1 2 (1 + a )n ≥ 1 + na, a ≥ −1, ∀n ∈ N . 33.Inegalitatea lui Bernoulli: 9 3.Mul imi. Opera ii cu mul imi. 1. Asociativitatea reuniunii si a intersec iei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a intersec iei: A B=B A A B=B A 3. Idempoten a reuniunii si intersec iei: A A=A A A=A A Ø=Ø 4. A Ø=A 5. Distributivitatea reuniunii fa de intersec ie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea intersec iei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C) 7. A,B E, 8. A E, (A B)= A B (A B)= A B ( A)=A (A B) 9. A\B= 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B C)=(A×B) (A×C) A×(B\C)=(A×B)\ (A×C) A×B≠B×A A B ⇔ ( x) (x ∈ A=>x ∈ B) A B ⇔ ( x)((x ∈ A) (x B)) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ A B ⇔ (x ∈ A) (x ∈ B) x ∈ C EA ⇔ (x ∈ E) (x A) x ∈ A\B ⇔ (x ∈ A) (x B) 10 12. Rela iile lui de Morgan 1. ‫( ך‬p q)=‫ך‬p ‫ך‬q, ‫(ך‬p q)= ‫ך‬p ‫ך‬q . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. ‫ך‬p p=A, ‫ך‬p p = F. 4. p ⇒ q ‫ך‬p q. 5. p ⇔ q (p ⇒ q) (q ⇒ p) (‫ך‬p q) (‫ ך‬q p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. ‫ך(ך‬p)=p 9. p ‫ך‬p =F , p ‫ך‬p =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F 11 4. Progresii 1. Şiruri Se cunosc deja şirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,…….,şirul numerelor pare 2,4,6,…… Din observa iile directe asupra acestor şiruri, un şir de numere reale este dat în forma a1 , a 2 , a3 ,..... unde a1 , a 2 , a3 sunt termenii şirului iar indicii 1,2,3, reprezint pozi ia pe care îi ocup termenii în şir. Defini ie: Se numeşte şir de numere reale o func ie f: N*→R , definit prin f(n)=a n Not m (a n )n∈N * şirul de termen general , a n Observa ie: Numerotarea termenilor unui şir se mai poate face începând cu zero: a 0 , a1 , a 2 ,..... ai , i ≥ 1 se numeşte termenul de rang i. Un şir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mul imii de termeni. 2,4,6,8,…….. b) cu ajutorul unei formule a n =2n c) printr-o rela ie de recuren . a n +1 = a n + 2 Un şir constant este un şir în care to i termenii şirului sunt constan i : 5,5,5,5,….. Dou şiruri ( a n ) n , (bn ) n sunt egale dac a n = bn , ∀n ∈ N Orice şir are o infinitate de termeni. 12 2. Progresii aritmetice Defini ie: Se numeşte progresie aritmetic un şir în care diferen a oric ror doi termeni consecutivi este un num r constant r, numit ra ia progresiei aritmetice. 1. Rela ia de recuren între doi termeni consecutivi: an+1 = an + r, ∀n ≥1 2. a1,a2, … an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice ⇔ an = a n −1 + a n +1 2 an = a1 + (n −1)r 3. Termenul general este dat de : 4. Suma oric ror doi termeni egal departa i de extremi este egal cu suma termenilor extremi : ak + an−k+1 = a1 + an (a1 + a n ) ⋅ n 5. Suma primilor n termeni : Sn = 2 6. Şirul termenilor unei progresii aritmetice: a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r ,……. a m − a n = (m − n )r x3 = u + v ∀ u,v ∈ ℜ . 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie aritmetic de forma : x1 = u – v x2 = u 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie aritmetic astfel: x1 = u – 3v, x2 = u – v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, ∀ u,v ∈ ℜ . 9. Dac ÷ ai ⇒ ak ak +1 〈 ak +1 ak + 2 13 4. Progresii geometrice Defini ie : Se numeşte progresie geometric un şir în care raportul oric ror doi termeni consecutivi este un num r constant q, numit ra ia progresiei geometrice. 1. Rela ia de recuren : b n +1 = b n ⋅ q , ∀ n ≥ 1 2. b1,b2, … bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu ⇔ bn = b n −1 ⋅ b n + 1 3. Termenul general este dat de : b n = b1 ⋅ q 4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor termeni pozitivi n −1 bk ⋅ bn − k +1 = b1 ⋅ bn 1− qn = b1 ⋅ 1− q 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice : Sn 6. Şirul termenilor unei progresii geometrice : b1 , b1 ⋅ q, b1 ⋅ q 2 ,...b1 ⋅ q n ,.... 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu în progresie geometric de forma : x1 = u v x2 = u x3 = u ⋅ v , ∀u , v ∈ R*+ 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu în progresie geometric astfel : u v3 u x2 = v x3 = u ⋅ v x4 = u ⋅ v 3 ∀u , v ∈ R*+ x1 = 14 5. Func ii I. Fie ƒ: A→B. 1) Func ia ƒ este injectiv ,dac ∀ x,y ∈A, x≠ y=>ƒ(x)≠ ƒ(y). 2) Func ia ƒ este injectiv ,dac din ƒ(x)=ƒ(y) =>x=y. 3) Func ia f este injectiv , dac orice paralel la axa 0x intersecteaz graficul func iei în cel mult un punct. II. 1)Func ia ƒ este surjectiv , dac ∀ y ∈ B, exist cel pu in un punct x ∈A, a.î. ƒ(x)=y. 2) Func ia ƒ este surjectiv , daca ƒ(A) =B. 3) Func ia ƒ este surjectiv , dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul func iei în cel pu in un punct. III. 1) Func ia ƒeste bijectiv dac este injectiv şi surjectiv . 2) Func ia ƒ este bijectiv dac pentru orice y ∈ B exist un singur x ∈ A a.î. ƒ(x) =y (ecua ia ƒ(x)=y,are o singur solu ie,pentru orice y din B) 3) Func ia ƒ este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul func iei într-un punct şi numai unul. IV. 1A: A→A prin 1A(x) =x, ∀ x ∈ A. 1) Func ia ƒ: A→B este inversabil , dac exist o func ie g:B→A astfel încât g o ƒ = 1A si ƒ o g =1B, func ia g este inversa func iei ƒ şi se noteaz cu ƒ-1. 2) ƒ(x) = y <=> x= ƒ-1(y) 3) ƒ este bijectiv <=> ƒ este inversabil . 15 V. Fie ƒ:A→B si g: B→C, dou func ii. Dac ƒ si g sunt injective, atunci g o ƒ este injectiv . 1) Dac ƒ si g sunt surjective,atunci g o ƒ este surjectiv . 2) Dac ƒ si g sunt bijective, atunci g o ƒ este bijectiv . 3) Dac ƒ si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o ƒ este 4) (strict) crescatoare. Dac ƒ si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o ƒ este 5) (strict) descrescatoare. Dac ƒ si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci 6) g o ƒ este descrescatoare. Dac ƒ este periodic , atunci g o ƒ este periodic . 7) Dac ƒ este par , atunci g o ƒ este par . 8) Dac ƒ si g sunt impare, atunci g o ƒ este impar , 9) Dac ƒ este impar si g par , atunci g o ƒ este par . 10) VI. Fie ƒ: A→ B si g:B→C, dou func ii. Dac g o ƒ este injectiv , atunci ƒ este injectiv . Dac g o ƒ este surjectiv , atunci g este surjectiv . Dac g o ƒ este bijectiv , atunci ƒ este injectiv si g surjectiv . Dac ƒ,g: A → B iar h: B→ C bijectiv si h o ƒ = h o ƒ, atunci ƒ = g. VII. Fie ƒ: A→B si X,Y mul imi oarecare. Func ia ƒ este bijectiv , dac şi numai dac oricare ar fi func iile u,v: X→A,din ƒ o u =ƒ o v, rezult u=v. Func ia ƒ este surjectiv , daca şi numai dac oricare ar fi func iile u,v :B→Y, din u o ƒ = v o ƒ, rezult u=v 16 VIII. 1)Dac ƒ :A→B este strict monoton ,atunci ƒ este injectiv 2) Daca ƒ : R→R este periodic şi monoton , atunci ƒ constant . 3) Daca ƒ : R→R este bijectiv şi impar ,atunci ƒ-1 impar . 4) Fie A finit şi ƒ :A→A. Atunci ƒ este injectiv <=> surjectiv . . este este este IX. Fie ƒ: E → F, atunci 1)ƒ injectiv <=> (∃) g : F →E (surjectiv ) a.i. g o ƒ=1E. 2) ƒ surjectiv <=>(∃) g : E→F (injectiv ) a.i. ƒ o g =1F 3) ƒ bijectiv <=> inversabil . X. Fie ƒ : E → F. 1)Func ia ƒ este injectiv dac şi numai dac (∀) A,B ⊂ E ƒ(A ∩ B) = ƒ (A) ∩ (B). 2) Func ia ƒ este surjectiv dac şi numai dac (∀) B ⊂ F exist A ⊂ E, astfel încât ƒ(A)=B. 3) Func ia ƒ este injectiv dac ƒ(A— B)=ƒ(A) — ƒ(B), ∀ A, B ⊂ E. XI. Fie ƒ : E → F si A⊂ E, B ⊂ E, atunci ƒ(A) ={y ∈ F ⏐ ∃ x ∈ A a.i. ƒ(x)=y} ƒ-1 (B) = {x ∈ E ⏐ƒ(x)∈ B}. 1.Fie ƒ: E→ F si A,B ⊂ E, atunci a) A ⊂ B => ƒ(A) ⊂ ƒ(B), b) ƒ(A ∪ B)= ƒ(A) ∪ ƒ(B), c) ƒ(A ∩ B) ⊂ ƒ(A) ∩ ƒ(B), d) ƒ(A) — ƒ(B) ⊂ ƒ(A — B). 17 2.Fie ƒ: E → F si A,B ⊂ F atunci a) A ⊂ B => ƒ-1 (A) ⊂ ƒ-1 (B), b)ƒ-1 (A) ∪ ƒ-1 (B) ⊂ ƒ--1 (A ∪ B), c)ƒ-1 (A) ∩ ƒ-1 (B) = ƒ-1 ( A ∩ B), d) ƒ-1 (A) — ƒ-1 (B) = ƒ-1 (A— B), e) ƒ-1 (F) = E. Func ia de gradul al doilea Forma canonic a func iei f:R→R, f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 este Δ b ⎞ ⎛ , ∀x ∈ R ; f ( x ) = a⎜ x + ⎟ − 2a ⎠ 4a ⎝ 2 Δ⎞ ⎛ b Graficul func iei este o parabol de vârf V ⎜ − ,− ⎟ , unde ⎝ 2a 4a ⎠ Δ = b2 − 4ac a〉 0 f este convex ; Δ〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) >0, ∀x ∈ R ; Δ⎞ ⎛ b ,− ⎟ - punct V⎜− ⎝ 2a 4a ⎠ de minim; 18 Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, x1 ] ∪ [ x 2 ,+∞) ; f(x)<0, ∀x ∈ ( x1 , x 2 ) b ⎞ ⎛ Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ func ia este strict descresc toare; 2a ⎠ ⎝ b Pentru x ∈ [− ,+∞), func ia este strict cresc toare 2a 19 a<0 func ia este concav Δ 〈0 ; x1,x2 ∈ C f(x) <0, ∀x ∈ R ; Δ⎞ ⎛ b ,− ⎟ - punct de V⎜− ⎝ 2a 4a ⎠ maxim Δ = 0 , x1=x2 ∈ R f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ; b f(x)=0 ⇔ x = − 2a Δ〉 0, x1 ≠ x 2 ∈ R f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [ x1 , x 2 ] ; f(x)<0, ∀x ∈ (−∞, x1 ) ∪ ( x 2 ,+∞) 20 b ⎞ ⎛ Pentru x ∈ ⎜ − ∞,− ⎟ func ia este strict cresc toare; 2a ⎠ ⎝ b Pentru x ∈ [− ,+∞), func ia este strict descresc toare. 2a 6. NUMERE COMPLEXE 1. NUMERE COMPLEXE SUB FORM ALGEBRIC ⎧ ⎫ C = ⎨z z = a + ib, a, b ∈R, i2 = −1⎬ ⎩ ⎭ - mul imea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im z OPERA II CU NUMERE COMPLEXE Fie z1 = a + ib, z 2 = c + id . Atunci: 1. z1 = z 2 ⇔ a = c si b=d. 2. z1 + z 2 = ( a + c ) + i (b + d ). 3. z1 ⋅ z 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + i ( a ⋅ d + b ⋅ c). 4. z1 = a − ib, conjugatul lui z1 z1 a ⋅ c + b ⋅ d b⋅c − a⋅d = 2 +i 2 2 z2 c +d c +d2 1 b a 6. . = 2 −i 2 2 z1 a + b a + b2 5. 21 PUTERILE LUI i = 1; 2. i = i; 4k +2 3. i = −1 ; 4 k +3 4. i = −i ; 1 −1 1 −n 5. i = n , i = = −i ; i i 1. i 6. i 4k 4 k +1 −n ⎧i n , n par ⎪ = (−i ) = (−1) ⋅ i = ⎨ ⎪− i n , n impar ⎩ n n n z = a 2 + b 2 - modulul nr. complexe PROPRIET ILE MODULULUI 1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0 4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 5. 6. 2. z ⋅ z = z 3. z = z 2 z1 z1 = , z2 ≠ 0 z2 z2 z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2 8. z ∈ C ; 7. z z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z n = z n ECUA II: z2 = a + ib ⇒ z1,2 = ± a + ib ⇒ ⎡ a + a2 + b2 2 2 ⎤ a a b − + + ⎥ z1,2 = ±⎢ ±i 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ‚+’ dac b pozitiv; ‚-‚ dac b negativ 22 ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1, 2 = − b ± b 2 − 4ac 2a daca Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 sau x1, 2 = −b±i −Δ daca 2a Δ〈0 NUMERE COMPLEXE SUB FORM GEOMETRIC Forma trigonometric a numerelor complexe: z= ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) , ϕ = arctg ρ b + kπ , a ⎧0, ⎪ ⎪ k = ⎨1, ⎪ ⎪ 2, ⎩ (a, b) ∈ I ( a , b ) ∈ II , III ( a , b ) ∈ IV = z = a + b se numeşte raza polar a lui z 2 2 Fie z1= ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) şi z2= ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ; z1=z2 ρ 1 = ρ 2 , si exista k ∈ Z a.i ϕ 1 = ϕ 2 + kπ z1 ⋅ z 2 = ρ 1 ⋅ ρ 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) z1 = ρ 1 (cos ϕ 1 − i sin ϕ 1 ) 23 1 1 = [cos(−ϕ 1 ) + i sin(−ϕ 1 )] z1 ρ 1 z2 ρ2 = [cos(ϕ 2 − ϕ1 ) + i sin(ϕ 2 − ϕ1 )] z1 ρ 1 z1 = ρ 1 (cos nϕ 1 + i sin nϕ 1 ), n ∈ R ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n z = n ρ (cos 1 + i sin 1 ), k ∈ 0, n − 1 1 1 n n n n 7. FUNCTIA EXPONENTIAL Def. f: R→ (0,∞), f(x)= a x , a〉 0, a ≠ 1 Dac a 〉1 ⇒ f este strict cresc toare x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〈 a x2 Dac a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descresc toare x1 〈 x 2 ⇒ a x1 〉 a x2 Propriet i: Fie a,b ∈ (0, ∞ ), a, b ≠ 1, x, y ∈ R ⇒ 24 (a a ⋅a x )x = a = a x− y ⋅b (a ) x a a x y = a y y = a a ⎛ a ⎞ ⎜ ⎟ = b ⎝ b ⎠ 0 a = 1 x a − x = pentru x+ y x x⋅y ⋅a y ,a ≠ 0 x x ,b ≠ 0 1 ,a ≠ 0 a x a 〈 0 , nu se defineste a x Tipuri de ecua ii: 1. a f ( x ) = b, a〉 0, a ≠ 1, b〉 0 ⇒ f ( x) = log a b 2. a f ( x ) = a g ( x ) , a〉 0, a ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) 3. a f ( x ) = b g ( x ) , a, b〉 0, a, b ≠ 1 ⇒ f ( x) = g ( x) ⋅ log a b 4. ecua ii exponen iale reductibile la ecua ii algebrice printr-o substitu ie. 5. ecua ii ce se rezolv utilizând monotonia func iei exponen iale. Inecua ii a>1, a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1) a f ( x ) ≤ a g ( x ) ⇒ f ( x) ≥ g ( x) 25 FUNCTIA LOGARITMIC Def: f:(0,∞) →R, f(x)= log a x , a〉 0, a ≠ 1 ,x>0 Dac a 〉1 ⇒ f este strict cresc toare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〈 log a x 2 Dac a ∈ (0,1) ⇒ f este strict descresc toare x1 〈 x 2 ⇒ log a x1 〉 log a x 2 Fie a,b c ∈ (0, ∞ ), a, b, c ≠ 1, x, y ∈ (0, ∞), m ∈ R ⇒ Propriet i: a y = x 〉 0 ⇒ y = log log a log a x ⋅ y = log x = log y a a x x + log a x − log a a y y 26 log a log a a log log b a a m b = c = m, = c log log log c c b 1 = 0, a log b , a m b = m log = log 1 log x = a , log a a a b log a a b b a x a = 1. Tipuri de ecua ii: 1. log f ( x ) g ( x) = b, f , g 〉 0, f ≠ 1 ⇒ g ( x) = f ( x) b 2. log a f ( x) = log a g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) 3. log a f ( x) = log b g ( x) ⇒ f ( x) = a b 4. ecua ii logaritmice reductibile la ecua ii algebrice printr-o substitu ie. 5. ecua ii ce se rezolv utilizând monotonia func iei logaritmice. log g ( x ) Inecua ii a>1, log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≤ g ( x) a ∈ (0,1) log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇒ f ( x) ≥ g ( x) 27 8. BINOMUL LUI NEWTON În 1664 Isaac Newton (1643-1727) a g sit urm toarea formul pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Deşi formula era cunoscut înc din antichitate de c tre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123), Newton a extins-o şi pentru coeficien i ra ionali. TEOREM : Pentru orice num r natural n şi a şi b numere reale n k (a+b)n =Cn0an +Cn1an−1⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 +.......... +Cn an−k ⋅bk +.....+Cn bn exist rela ia: (1) 0 1 n Numerele C n , C n ,...., C n se numesc coeficien ii binomiali ai dezvolt rii; Este necesar s se fac distinc ie între coeficientul unui termen al dezvolt rii şi coeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+….. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial este C41 =4; Pentru (a-b)n avem urm toarea form a binomului lui Newton: n k (a−b)n =Cn0an −Cn1an−1 ⋅b+Cn2an−2 ⋅b2 −.......... .+(−1)kCn an−k ⋅bk +.....+(−1)nCn bn (1’) Propriet i: 1. Num rul termenilor dezvolt rii binomului (a+b)n este n+1; Dac n=2k ⇒ coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvolt rii este Cnk şi este cel mai mare. Dac n=2k+1 ⇒ Cnk şi Cnk+1 sunt egali şi sunt cei mai mari; Cno<Cn1<……<Cnk >Cnk+1>…..>Cnn daca n este par, n=2k 28 Cno<Cn1<……<Cnk =Cnk+1>…..>Cnn daca n este impar, n=2k+1. 2. Coeficien ii binomiali din dezvoltare, egal dep rta i de termenii extremi ai dezvolt rii sunt egali între ei. Cn = Cn k n−k (2) 3. Termenul de rang k+1 al dezvolt rii (sau termenul general al dezvolt rii) este Tk+1 =Cn an−k ⋅bk , k =0,1,2,....,n k (3) ⇒ Formula binomului lui Newton scris restrâns are forma: (a + b )n = ∑ C n k a n − k b k . n k =0 (4) 4. Rela ia de recuren urm toarea: între termenii succesivi ai dezvolt rii este Tk + 2 n − k b = ⋅ Tk +1 k + 1 a (5) 5. Pentru a=b=1 se ob ine n 0 1 2 n n n n n (6) ceea ce înseamn c num rul tuturor submul imilor unei mul imi cu n elemente este 2n . C +C +C +.......... ...+C =(1+1) 29 9. Vectori şi opera ii cu vectori Defini ie: Se numeşte segment orientat, o pereche ordonat de puncte din plan; Se numeşte vector, mul imea tuturor segmentelor orientate care au aceeaşi direc ie, aceeaşi lungime şi acelaşi sens cu ale unui segment orientat. Observa ii: Orice vector AB se caracterizeaz prin: - modul(lungime,norm ), dat de lungimea segmentului AB; - direc ie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralel cu aceasta; - sens, indicat printr-o s geat de la originea A la extremitatea B. Nota ii: AB vectorul cu originea A şi extremitatea B; AB = ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y). Defini ie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeaşi direc ie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Doi vectori se numesc opuşi dac au aceeaşi direc ie, acelaşi modul şi sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face dup regula triunghiului sau dup regula paralelogramului: 30 λ ⋅ v = 0 ⇔ λ = 0 sau v = 0, ∀λ ∈ R Daca λ ≠ 0, v ≠ 0 ⇒ λ ⋅ v = λ ⋅ v , λ ⋅ v are direc ia şi sensul vectorului v dac λ 〉 0 şi sens opus lui v dac λ 〈0 . Defini ie: Doi vectori se numesc coliniari dac cel pu in unul este nul sau dac amândoi sunt nenuli şi au aceeaşi direc ie. În caz contrar se numesc necoliniari. vectori coliniari vectori necoliniari Teorem : Fie u ≠ 0 şi v un vector oarecare. Vectorii u şi v sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ R a.i. v = λ ⋅ u . 31 Punctele A, B, C sunt coliniare ⇔ AB si AC sunt coliniari ⇔ ∃λ ∈ Ra.i. AB = λ ⋅ AC . AB CD ⇔ AB si CD sunt coliniari; Dac u şi v sunt vectori necoliniari atunci ∃x, y ∈ R a.i. x ⋅ u + y ⋅ v = 0 ⇔ x = y = 0 . Teorem : Fie a şi b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist α , β ∈ R(unice) astfel încât v = α ⋅ a + β ⋅ b . Vectorii a şi b formeaz o baz . ( ) α , β se numesc coordonatele vectorului v în baza a, b . Defini ie: Fie XOY un reper cartezian. Consider m punctele A(1,0), B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direc iile axelor şi sensurile semiaxelor pozitive cu OX şi OY. ( ) Baza i, j se numeşte baz ortonormat . 32 v = A' B ' + A' ' B ' ' = x ⋅ i + y ⋅ j v = prOX v ⋅ i + prOY v ⋅ j x=xB- xA, y=yB- yA AB = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 Teorem : Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) . Atunci: 1) u + v are coordonatele (x+x’.y+y’); 2) ∀λ ∈ R, λ ⋅ v are coordonatele ( λ x’, λ y’); 3) u ( x, y ), v( x' , y ' ) sunt coliniari x y ⇔ = = k , x' , y ' ≠ 0. ⇔ xy '− x' y = 0. x' y ' 4) Produsul scalar a doi vectori nenuli. u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α unde α = m(u, v), α ∈ [0, π ]. cos α = x ⋅ x'+ y ⋅ y ' x 2 + y 2 ⋅ ( x' ) 2 + ( y ' ) 2 π π α ∈ [0, ] ⇒ u ⋅ v ≥ 0; α ∈ ( , π ] ⇒ u ⋅ v〈0 2 2 Fie u ( x, y ), v( x' , y ' ) nenuli. Atunci: u ⋅ v = 0 ⇔ u ⊥ v ⇔ x ⋅ x'+ y ⋅ y ' = 0. u ⋅ u = u ≥ 0, ∀u. 2 u ⋅ u = 0 ⇔ u = 0. i ⋅ i = j ⋅ j = 1; i ⋅ j = 0. Vectori de pozi ie. Dac rA , rB sunt vectori de pozi ie, atunci: AB = rB − rA 33 10. Func ii trigonometrice Semnul func iilor trigonometrice: ⎡ π π⎤ , → [− 1,1] ⎣ 2 2 ⎥⎦ Sin: ⎢ − ⎡ π π⎤ arcsin:[-1,1]→ ⎢− , ⎥ ⎣ 2 2⎦ [ ] [ ] Cos: 0, π → − 1,1 arccos:[-1,1] → [0, π ] 34 ⎛ π π⎞ , ⎟→R ⎝ 2 2⎠ Tg: ⎜ − ⎛ π π⎞ arctg:R→ ⎜ − , ⎟ ⎝ 2 2⎠ π Reducerea la un unghi ascu it Fie u ∈ (0, ) Not m sgn f= semnul func iei f; cof = cofunc ia lui f π ⎧ sgn f (k ± u ) ⋅ sin u, k = par ⎪ ⎛ π ⎞ ⎪ 2 sin ⎜ k ± u ⎟ = ⎨ Analog pentru ⎝ 2 ⎠ ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cos u, k = impar ⎪⎩ 2 2 π ⎧ ⎪⎪sgn f (k 2 ± u ) ⋅ f (u ), k = par În general, f ( k ± u ) = ⎨ 2 ⎪sgn f (k π ± u ) ⋅ cof (u ), k = impar ⎪⎩ 2 celelalte; π 35 Fie x un unghi, a un num r real şi k ∈ Z . Ecua ii trigonometrice sin x = a, a ≤ 1 ⇒ x = (−1) k arcsin a + kπ , dacă a ∈ [0,1] = ( − 1) k +1 arcsin a + kπ , dac ă a ∈ [ − 1,0 ] cos x = a, a ≤ 1 ⇒ x = ± arccos a + 2kπ , dacă a ∈ [0,1] = ± arccos a + ( 2 k + 1)π , dac ă a ∈ [ − 1,0 ] tgx = a, a ∈ R ⇒ x = arctga + kπ arcsin(sin x) = a ⇒ x = (−1) k a + kπ arccos(cos x) = a ⇒ x = ± a + 2kπ arctg (tgx) = a ⇒ x = a + kπ sin f ( x) = sin g ( x) ⇒ f ( x) = (−1) k g ( x) + kπ cos f ( x) = cos g ( x) ⇒ f ( x) = ± g ( x) + 2kπ tgf ( x) = tgg ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) + kπ , k ∈ Z Ecua ii trigonometrice reductibile la ecua ii care con in aceeaşi func ie a aceluiaşi unghi; Ecua ii omogene în sin x şi cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2 x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0 Ecua ii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri în factori; Ecua ii simetrice în sin x şi cos x; Ecua ii de forma: a sin x + b cos x + c = 0 : a ⇒ sin x + tgϕ cos x = − c x + ϕ = (−1) k arcsin(− cos ϕ ) + kπ a a sin x + b cos x ≤ c ⇒ a a2 + b2 Observa ie important : Prin ridicarea la putere a unei ecua ii trigonometrice pot ap rea solu ii str ine iar prin împ r irea unei ecua ii trigonometrice se pot pierde solu ii; 36 FORMULE TRIGONOMETRICE sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin 2 α ; sin α = ± 1 − cos α 1. α ∈ R 2 2. tgα = ± 3. 4. 5. 6. 7. 8. sin α =± 1 − cos 2 α ⇒ cos α tg 2α + 1 = 1 ; cos 2 α 1 − sin α tgα 1 ; sin α = ± ; cos α = ± 1 + tg 2α 1 + tg 2α cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ; cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ; sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α ; sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α ; tgα − tgβ tgα + tgβ ; tg (α − β ) = ; tg (α + β ) = 1 − tgα ⋅ tgβ 1 + tgα ⋅ tgβ 9. ctg (α + β ) = 2 ctgα ⋅ ctgβ − 1 ; ctgα + ctgβ 10. sin 2α = 2 sin 11. 12. 13. 14. 15. ctg (α − β ) = ctgα ⋅ ctgβ + 1 ; ctgα − ctgβ α cos α ; cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α 1 + cos 2α 1 − cos 2α cos 2 α = ; sin 2 α = ; 2 2 1 + cos α 1 − cos α α α cos = ± ; sin = ± ; 2 2 2 2 α α 1 − cos α 1 + cos α ; ctg = ± tg = ± 2 1 + cos α 2 1 − cos α 2 ctg α − 1 2tgα ; ctg 2α = ; tg 2α = 2 2ctgα 1 − tg α 37 16. tgα = 2tg 1 − tg α α 2 ; 2 ctgα = 1 − tg 2 2tg 2 α α 2; 2 3tgα − tg 3α tg 3α = 1 − 3tg 2α 17. sin 3α = 3 sin α − 4 sin α ; 3 ctg 3α − 3ctgα ; ctg 3α = 3ctg 2α − 1 cos 3α = 4 cos α − 3 cos α ; 3 18. tg α 2 = sin α 1 − cos α = = 1 + cos α sin α 19. sin α = 2tg 1 + tg α 2 α 2 ; 2 cos α = 1 ctg α 2 1 − tg 2 1 + tg a+b a−b ⋅ cos 2 2 a−b a+b sin a − sin b = 2 sin ⋅ cos 2 2 ; α 2 α 2; 2 sin a + sin b = 2 sin a+b a−b ⋅ sin 2 2 a−b a+b cos a + cos b = 2 sin ⋅ cos 2 2 cos a − cos b = −2 sin tga + tgb = sin( a + b) cos a ⋅ cos b sin( a − b) cos a ⋅ cos b sin(b − a ) ctga − ctgb = sin a ⋅ sin b tga − tgb = ctga + ctgb = sin( a + b) sin a ⋅ sin b 38 sin a ⋅ cos b = cos a ⋅ cos b = sin a ⋅ sin b = sin( a + b) + sin( a − b) 2 cos(a + b) + cos(a − b) 2 cos( a − b) − cos( a + b) 2 arcsin x + arcsin y = arcsin( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) arcsin x+arccos x= π 2 1 π arctg x+arctg = x 2 arctg x +arcctg x= π 2 arccos(-x)= π -arccos x 39 11. ECUA IILE DREPTEI ÎN PLAN 1. Ecua ia cartezian general a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) ∈ d ⇔ a ⋅ x0 + b ⋅ y 0 + c = 0 2. Ecua ia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2): y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 3. Ecua ia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) şi o direc ie dat ( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecua ia explicit a dreptei (ecua ia normal ): y − y1 este panta y=mx+n, unde m = tgϕ = 2 x 2 − x1 dreptei şi n este ordonata la origine. x y 5. Ecua ia dreptei prin t ieturi: + = 1, a, b ≠ 0. a b 6. Fie (d): y=mx+n şi (d’): y=m’x+n’ ⇔ m=m’şi n ≠ n’. Dreptele d şi d’ sunt paralele Dreptele d şi d’ coincid ⇔ m=m’şi n=n’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare ⇔ mm’= -1. Tangenta unghiului ϕ a celor dou drepte este m − m' tgϕ = 1 + m ⋅ m' 7. Fie d: ax+by+c=0 şi d’: a’x+b’y+c’=0 cu a’,b’,c’ ≠ 0. şi θ = m(〈 d , d ' ) a b c Dreptele d şi d’ sunt paralele ⇔ = ≠ a ' b' c ' 40 Dreptele d şi d’ coincid ⇔ a b c = = a ' b' c ' a b Dreptele d şi d’ sunt concurente ⇔ ≠ ⇔ a ' b' ab’-ba’ ≠ 0. cos θ = v ⋅ v' v ⋅ v' = a ⋅ a ' +b ⋅ b ' a 2 +b 2 ⋅ a ' +b' 2 2 unde v (−b , a ), v' (−b' , a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor d şi d’. Dreptele d şi d’ sunt perpendiculare, d ⊥ d ' ⇔ a ⋅ a ' +b ⋅ b ' = 0 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) în plan. Dreptele AB şi CD sunt paralele, AB|| CD ⇔ ∃α ∈ R*, a.î AB = α CD sau mAB=mCD. Dreptele AB şi CD sunt perpendiculare, AB ⊥ CD ⇔ AB ⋅ CD = 0 Condi ia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fie coliniare este: y 3 − y1 x − x1 = 3 y 2 − y1 x 2 − x1 9. Distan a dintre punctele A(x1,y1) şi B(x2,y2) AB= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 este 2 Distan a de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecua ie (h): ax+by+c=0 este dat de: ax0 + by 0 + c . d ( M 0 , h) = a2 + b2 41 12. CONICE 1.CERCUL Defini ie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal dep rtate de un punct fix, numit centru se numeşte cerc. C ( O , r ) = { M ( x , y ) | OM = r } 1. Ecua ia general a cercului A(x² + y²) + Bx + Cy + D = 0 2. Ecua ia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza „r” (x - a)² + (y + b)² = r² ; x² + y² = r² 3. Ecua ia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2) (x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0 4. Ecua ia tangentei dup o direc ie O(0,0) : y = mx ± r 1 + m² O(a,b) : y-b = m(x-a) ± r 1 + m² 5. Ecua ia tangentei în punctul M(x0, y0) (x· x0) + (y ·y0) = r² respectiv (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r² 6. Ecuatia normala a cercului 42 x² + y² + 2mx + 2ny + p = 0 cu O(-m; -n) şi r² = m² + n² - p 7. Ecua ia tangentei în punctul M(x0,y0) x · x0 + y · y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0 8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecua ie y = mx + n este d(0,d) = | ma − b + n | | ax 0 + by 0 + c | ) sau ( d = m² + 1 a ² + b² 9. Ecua iile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0) I. Se scrie ecua ia 4 şi se pune condi ia ca M s apar in cercului de ecua ie 4. II. y - y0 = m(x - x0) x² + y² = r² , Δ =0 2. ELIPSA Defini ie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma distan elor la dou puncte fixe, constant , se numeşte elips . F,F’- focare, FF’ distan a focal E= {M ( x, y ) MF + MF ' = 2a} MF,MF’- raze focale 1. Ecua ia elipsei 43 x² y ² + =1 , a ² b² b² = a² - c² 2. Ecua ia tangentei la elips y = mx ± a ² m² + b² 3. Ecua ia tangentei în punctul M(x0, y0) la elips b² x0 x ⋅ x0 y ⋅ y0 =1 , + m=− ⋅ a² b² a² y0 4. Ecua iile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la elips VAR I Se scrie ecua ia 2 şi se pune condi ia ca M s apar in elipsei de ecua ie 2 de unde rezult m VAR II Se rezolv sistemul y – y0 = m(x-x0) , x² y ² + = 1 cu conditia Δ = 0 a ² b² 3. HIPERBOLA Defini ie: Locul geometric al punctelor din plan a c ror diferen la dou puncte fixe este constant , se numeşte hiperbol 44 H: = { M(x,y) | |MF – MF’| = 2a } y=± b x --ecua ia asimptotelor a 1. Ecua ia hiperbolei x² y ² − = 1 , b² = c² - a² ; a ² b² Daca a = b => hiperbola echilateral 2.Ecua ia tangentei la hiperbol y = mx ± a ² m² − b ² 3. Ecua ia tangentei în punctul M(x0, y0) x ⋅ x0 y ⋅ y 0 =1 , − a² b² m= b² x0 ⋅ a² y0 4. Ecua iile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecua ia 2 si se pune condi ia ca M s apar in hiperbolei de ecua ie 2, de unde rezult m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x0) x² y ² − =1 a ² b² , cu Δ = 0 4. PARABOLA Defini ie: Locul geometric al punctelor egal dep rtate de un punct fix, (numit focar) şi o dreapt fix (numit directoare), se numeşte parabol . 45 P: = { M(x, y) | MF = MN } (d): x = − p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem 2 duce tangente la o parabol ). 1. Ecua ia parabolei y² = 2px 2. Ecua ia tangentei la parabol y = mx + P 2m 3. Ecua ia tangentei în M (x0, y0) y·y0 = p(x + x0) 4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecua ia 2 şi se pune condi ia ca M ∈ (ecuatia 2) => m VAR II. Se rezolv sistemul y - y0 = m(x - x0) y² = 2px cu Δ = 0 46 13. ALGEBRA LINIAR ⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a + x b + y⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝c d ⎠ ⎝z t ⎠ ⎝c + z d +t ⎠ ⎛ x y⎞ ⎛a⋅ x a ⋅ y⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ a ⋅ ⎜⎜ ⎝ z t ⎠ ⎝ a ⋅ z a ⋅t ⎠ Înmul irea matricelor ⎛a b ⎞ ⎛ x y⎞ ⎛a ⋅ x + b ⋅ z a ⋅ y + b⋅t ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ c d ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝c ⋅ x + d ⋅ z c ⋅ y + d ⋅t ⎠ 1. MATRICE. Adunarea matricelor ⎛a c ⎞ ⎛a b ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ Transpusa unei matrice ⎜⎜ ⎝b d ⎠ ⎝c d ⎠ 2. DETERMINAN I. T a b c d = a⋅ d −b⋅ c; a b c d e f = a⋅e⋅i + d ⋅ h⋅c + g ⋅b⋅ f − c⋅e⋅ g − f ⋅ h⋅ a −i ⋅b⋅ d g h i Propriet i: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dac într-o matrice schimb m dou linii(sau coloane) între ele ob inem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei ini iale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul s u este nul; 47 5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt înmul ite cu un element a, ob inem o matrice al c rei determinant este egal cu a înmul it cu determinantul matricei ini iale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt propor ionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dac la o matrice p tratic A de ordin n presupunem c elementele unei linii i sunt de forma aij = aij +aij atunci det A = det A’ +det A’’; 8. Dac o linie (sau coloan ) a unei matrice p tratice este o combina ie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dac la o linie (sau coloan ) a matricei A adun m elementele altei linii (sau coloane) înmul ite cu acelaşi element se ob ine o matrice al c rei determinant este egal cu determinantul matricei ini iale; 10. Determinantul Vandermonde: 1 1 1 a b c = (b − a )(c − a )(c − b) ; a2 b2 c2 ' '' 11. Dac într-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu a ⋅ c ⋅ f ; a 0 0 b c 0 = a⋅c⋅ f d e f a⋅x a⋅ y a⋅z 12. Factor comun x y b⋅ m b⋅ n b ⋅ p = a ⋅b ⋅ m n u v r u v z p r 48 3. Rangul unei matrice Fie A ∈ M m , n (C ) , r ∈ N, 1 ≤ r ≤ min(m, n) . Defini ie: Se numeşte minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersec ia celor r linii şi r coloane. Defini ie: Fie A ≠ Om , n o matrice . Num rul natural r este rangul matricei A ⇔ exist un minor de ordinul r al lui A, nenul iar to i minorii de ordin mai mare decât r+1 (dac exist ) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r ⇔ exist un minor de ordin r al lui A iar to i minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A ∈ M m, n (C ), B ∈ M n , s (C ) . Atunci orice minor de ordinul k , 1 ≤ k ≤ min(m, s) al lui AB se poate scrie ca o combina ie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sau egal cu rangul fiec rei matrice. Defini ie: ∈ M n (C ) . A este inversabil ⇔ det A ≠ 0.( A este nesingular ). Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic . Observa ii: 1) det (A·B) =det A· det B. 1 2) A−1 = ⋅ A* det A ( A→A τ → A* = ((−1)i+ j dij)i, j → A−1 ) 3) A-1 ∈ M n ( Z ) ⇔ det A = ± 1 . Stabilirea rangului unei matrice: Se ia determinantul de ordinul k-1 şi se bordeaz cu o linie (respectiv cu o coloan ). Dac noul determinant este nul rezult c ultima linie(respectiv coloan )este combina ie liniar de celelalte linii (respectiv coloane). 49 Teorema: Un determinant este nul ⇔ una din coloanele (respectiv linii) este o combina ie liniar de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu num rul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel încât nici una dintre ele s nu fie combina ie liniar a celorlalte. 4. Sisteme de ecua ii liniare Forma general a unui sistem de m ecua ii cu n necunoscute este: ⎧a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1n xn = b1 ⎪ sau (1 ⎨............................................. ⎪a x + a x + .......... + a x = b m2 2 mn n m ⎩ m1 1 ∑ n a ij x j =1 j = bi Unde A (aij) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n - matricea coeficien ilor necunoscutelor. ⎛ a11 ... a1n b1 ⎞ ⎟ ⎜ Matricea A = ⎜ ... ⎟ se numeşte matricea extins ⎟ ⎜a ⎝ m1 .... amn bm ⎠ a sistemului. Defini ie: Un sistem de numere α1 ,α 2 ,.......α n se numeşte solu ie a sistemului (1) ⇔ ∑a n j =1 ij α j = b i , i = 1, m . Defini ie: - Un sistem se numeşte incompatibil ⇔ nu are solu ie; - Un sistem se numeşte compatibil ⇔ are cel pu in o solu ie; - Un sistem se numeşte compatibil determinat ⇔ are o singur solu ie; 50 - Un sistem se numeşte compatibil nedeterminat ⇔ are o infinitate de solu ii; Rezolvarea matriceal Fie A, B ∈ M n (C ) . a unui sistem A−1 A ⋅ X = B ⇒ X = A−1 ⋅ B ⇒ X j = n 1 ⋅ ∑ aij ⋅ bi , j = 1, n . det A i =1 Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer: Teorema lui Cramer: Dac det A not Δ ≠ 0 , atunci sistemul AX=B are o solu ie unic Xi= Δi . Δ Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecua ii liniare este compatibil ⇔ rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecua ii liniare este compatibil ⇔ to i minorii caracteristici sunt nuli. Not m cu m-num rul de ecua ii; n- num rul de necunoscute; r -rangul matricei coeficien ilor. I m=n=r II m=r 〈 n III n=r 〈 m Sistem compatibil determinat Sistem compatibil nedeterminat Sistem compatibil determinat sau Δ≠0 Minorul principal este nenul Dac to i minorii caracteristici sunt nuli 51 Sistem incompatibil IV r 〈 n, r 〈 m Sistem compatibil nedeterminat sau Sistem incompatibil Exist cel pu in un minor caracteristic nenul Dac to i minorii caracteristici sunt nuli Exist cel pu in un minor caracteristic nenul Teorema: Un sistem liniar şi omogen admite numai solu ia banal ⇔ Δ ≠ 0 52 14. SIRURI DE NUMERE REALE 1. Vecin t i. Puncte de acumulare. Defini ia 1 : Se numeşte şir , o func ie f : N → R definit prin f(n) = an . Not m (a n )n∈N : a 0 , a1 , a 2 ,.............sau a1 , a 2 , a3 ,........... şirului (a n )n∈N . Orice şir are o infinitate de termeni; Defini ia 2 : Dou şiruri a n este termenul general al (a n )n∈N , (bn )n∈N sunt egale ⇔ a n = bn , ∀n ≥ k ∈ N Defini ia 3: Fie a ∈ R. Se numeşte vecin tate a punctului a ∈ R, o mul ime V pentru care ∃ ε >0 şi un interval deschis centrat în a de forma (a- ε , a+ ε) ⊂ V. Defini ia 4: Fie D ⊆ R. Un punct α ∈ R se numeşte punct de acumulare pentru D dac în orice vecin tate a lui α exist cel pu in un punct din D- {α } ⇔ V ∩(D- {α }) ≠ Ǿ. Un punct x ∈ D care nu e punct de acumulare se numeşte punct izolat. 2. Şiruri convergente Defini ia 5 : Un şir (a n )n∈N este convergent c tre un num r a ∈ R dac în orice vecin tate a lui a se afl to i termenii şirului cu excep ia ⎯→ a sau unui num r finit şi scriem a n ⎯n⎯ →∞ lim a n = a n→∞ a se numeşte limita şirului . Teorema 1: Dac un şir e convergent , atunci limita sa este unic . Teorema 2: Fie (a n )n∈N un şir de numere reale. Atunci: (a n )n∈N este monoton cresc tor a n +1 − a n ≥ 0, sau a n +1 ≥ 1; an ⇔ a n ≤ a n +1 , ∀n ∈ N sau 53 (a n )n∈N ⇔ a n 〈 a n +1 , ∀n ∈ N este stict cresc tor a n +1 − a n 〉 0, sau a n +1 〉1 ; an sau (a n )n∈N este monoton descresc tor ⇔ a n ≥ a n +1 , ∀n ∈ N (a n )n∈N este strict descresc tor a n +1 − a n ≤ 0, sau a n +1 ≤ 1; an a n +1 − a n 〈 0, sau ⇔ a n 〉 a n +1 , ∀n ∈ N a n +1 〈1 . an Defini ia 6. Un şir (a n )n∈N este m rginit ⇔ încât a n ≤ M ∃α , β ∈ R sau sau ∃ M ∈ R astfel sau astfel încât α ≤ an ≤ β . Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice şir monoton şi m rginit este convergent. Defini ia 7: Dac un şir are limit finit ⇒ şirul este convergent. Dac un şir are limit infinit + ∞ sau −∞ ⇒ şirul este divergent. Teorema 4: Orice şir convergent are limit finit şi este m rginit dar nu neap rat monoton. Teorema 5: Lema lui Cesaro: Orice şir m rginit are cel pu in un subşir convergent. Defini ia 8: Un şir e divergent fie dac nu are limit , fie dac are o limit sau dac admite dou subşiruri care au limite diferite. OBS: Orice şir cresc tor are limit finit sau infinit . Teorema 6: Dac nem rginit atunci (a n )n∈N ∈ R+ * lim a n = +∞ n→∞ este un şir strict cresc tor şi ⇒ lim 1 =0 . Un şir an descresc tor cu termenii pozitivi este m rginit de primul termen şi de 0. 54 3. Opera ii cu şiruri care au limit Teorema 7: Fie (a n )n∈N , (bn )n∈N şiruri care au limit : ⎯→ a , b n ⎯n⎯ ⎯→ b . a n ⎯n⎯ →∞ →∞ Dac opera iile a+b,ab a b , a au b sens atunci şirurile a b an + bn , an − bn ,α ⋅ an , an ⋅ bn , n , an n au bn . lim ită lim( a n + bn )= lim a n +lim bn ; lim( a n ⋅ bn )=lim a n .lim bn ; n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞ lim( α ⋅ a n )=α·lim a n ; lim a n bn lim = (lim a n ) lim bn a n lim a n = bn lim bn lim (log a a n ) = log a (lim a n ) lim k a = n k lim a n Prin conven ie s-a stabilit: ∞+∞=∞ ; a+∞=∞,a ∈ R; a+(-∞)=-∞; ∞+(-∞)=-∞; a·∞=∞ ,a>0; a·∞=-∞,a<0; ∞·(-∞)=-∞; -∞·(-∞)=∞; ∞ ∞ = ∞; ∞ −∞ = 0; 0 = 0; ∞ ⎧ ⎪∞, dacă a〉 0 ∞ =⎨ ⎪0, dacă a〈 0 ⎩ a Nu au sens opera iile: ∞-∞, 0·(±∞); Teorema 8: Dac a n − a ≤ bn Dac a n ≥ bn şi şi ±∞ , ±∞ 1∞ , 1−∞ , ∞0. bn → 0 ⇒ a n ⎯n⎯ ⎯→ a →∞ ⎯→ ∞ bn → ∞ ⇒ a n ⎯n⎯ →∞ 55 Dac a n ≤ bn ⎯→ −∞ bn → −∞ ⇒ a n ⎯n⎯ →∞ şi Dac a n ⎯n⎯ ⎯→ a ⇒ →∞ Dac a n ⎯n⎯ ⎯→ 0 ⇒ →∞ a n ⎯n⎯ ⎯→ a . →∞ ⎯→ 0 . a n ⎯n⎯ →∞ (a n )n∈N este iar (bn )n∈N este un şir m rginit, atunci şirul produs a n ⋅ bn este convergent la zero. Teorema 9: Dac şirul convergent la zero, 4. Limitele unor şiruri tip ⎧ ⎪ 0 , dac ă q ∈ ( − 1,1) ⎪ ⎪1, dac ă q = 1 n lim q = ⎨ n→∞ ⎪ ∞ , dac ă q 〉1 ⎪ ⎪ ⎩ nu exist ă , dac ă q ≤ − 1 ( ) ⎧⎪ ∞ , a 〉 0 0 lim a 0 n p + a1n p −1 + .... + a p = ⎨ n→∞ ⎪⎩ − ∞ , a 0 〈 0 ⎧ ⎪0, dacă p〈q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q p p −1 a0 ⋅ n + a1 ⋅ n + .......+ a p ⎪⎪ b0 =⎨ lim q q −1 a + ..... + bq n →∞ b0 ⋅ n + b1 ⋅ n ⎪∞, dacă p〉 q şi 0 〉0 b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞, dacă p〉q şi 0 〈0. ⎪⎩ b0 56 n ⎛ 1 ⎞ 1⎞ ⎛ ⎟⎟ lim ⎜1 + ⎟ = e ≈ 2,71...... lim ⎜⎜ 1 + x n ⎝ ⎠ n ⎠ ⎝ n→∞ x n →∞ lim (1 + xn ) xn = e 1 x n →0 lim arcsin x n =1 xn x n →0 lim arctgx n =1 xn sin xn =1 xn x n →0 lim lim tgx n =1 xn lim ln(1 + xn ) xn =1 x n →0 a xn − 1 = ln a lim xn x n →0 e xn xn =e x n →0 x n →0 lim xn p x n →∞ =∞ lim (1 + xn )r − 1 xn =r x n →0 lim ln x n xn p =0 x n →∞ 57 15. LIMITE DE FUNC II Defini ie: O func ie f:D ⊆ R → R are limit lateral la stânga ( respectiv la dreapta) în punctul de acumulare x0 ⇔ există l s ∈ R (respectiv l d ∈ R) a. î. lim f(x)= l s , x → x0 (respectiv lim f(x) = l d ). x → x0 x〈 x0 x〉 x0 Defini ie: Fie f:D ⊆ R → R , x0 ∈ D un punct de acumulare. Func ia f are limit în x0 ⇔ l s ( x0 ) = l d ( x0 ) Propriet i: x → x0 1. Dac lim f(x) exist , atunci aceast limit este unic . 2. Dac lim f(x) =l atunci x → x0 lim f ( x) = l . x → x0 Reciproc nu. lim f ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = 0 x → x0 4. Fie f,g:D ⊆ R → R , ∃ U o vecin tate a lui x0 ∈ D astfel 3. Dac încât f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ D ∩ U − {x0 } şi dac exist lim f ( x), lim g ( x) x → x0 , x → x0 ⇒ lim f ( x) 〈 lim g ( x) x → x0 x → x0 58 f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) ∀ x ∈ D ∩ U − {x 0 } şi 5. Dac ∃ lim f ( x ) = lim h ( x ) = l ⇒ ∃ lim g ( x ) = l . x→x0 6. x→x0 f ( x) − l ≤ g ( x) Dac x→x0 ∀ x ∈ D ∩ U − {x0 } şi lim g ( x) = 0 ⇒ lim f ( x) = l 7. Dacă lim f ( x) = 0 şi ∃M 〉 0 a.î. g ( x) ≤ M . ⇒ lim f ( x) ⋅ g ( x) = 0 8. Dacă f ( x) ≥ g ( x) şi lim g ( x) = +∞ Dacă f ( x) ≤ g ( x) şi lim g ( x = −∞ ⇒ lim f ( x) = +∞. ⇒ lim f ( x) = −∞. OPERA II CU FUNC II Dacă există lim f ( x) = l1 , lim g ( x) = l2 şi au sens operatiile l l l1 + l2 , l1 − l2 , l1 ⋅ l2 , 1 , l1 2 , l1 l2 atunci: 1. lim(f(x) ± g(x))= l1 ± l 2 . 2. limf(x)g(x)= l1 ⋅ l 2 59 3.lim f ( x) l1 = g ( x) l 2 4.lim f ( x) g ( x ) = l1 2 l 5.lim f ( x) = l1 P(X)=a0xn + a1xn-1 + ……………..+an ,a0 ≠ 0 n lim P( x) = a0 (±∞) x⎯ ⎯→ ±∞ lim x ⎯⎯→ ∞ x q = 0, 1, dac dac q ∈ (− 1,1) q=1 ∞, nu exist , dac dac q>1 q ≤ −1 60 ⎧ ⎪0, dacă p 〈 q ⎪ a0 ⎪ , dacă p = q p p −1 a 0 ⋅ x + a1 ⋅ x + ....... + a p ⎪⎪ b0 =⎨ lim q q −1 a0 + ..... + bq x → ∞ b0 ⋅ x + b1 ⋅ x ⎪∞ , dacă p 〉 q şi 〉 0 b0 ⎪ ⎪ a ⎪− ∞ , dacă p 〉 q şi 0 〈 0. ⎪⎩ b0 a>1 a ∈ (0,1) a>1 a ∈ (0,1) lim a x lim a x x ⎯⎯→ ∞ x ⎯⎯→ ∞ a lim log a x ⎯⎯→ ∞ sin x =1 x lim tgx =1 x x ⎯⎯→ 0 lim arcsin x =1 x lim arctgx =1 x x ⎯⎯→ 0 x ⎯⎯→ 0 lim (1 + x ) x ⎯⎯→ 0 1 x =e lim x ⎯⎯→ −∞ =0 lim log x ⎯⎯→ ∞ lim x ⎯⎯→ 0 =∞ x=∞ x = −∞ ax = 0 lim a x ⎯→ −∞ x⎯ lim log x ⎯⎯→ 0 =∞ a lim log x ⎯⎯→ 0 x = −∞ x=∞ sin u ( x ) =1 ⎯⎯→ 0 u ( x ) a lim ( ) u x tgu ( x ) =1 ⎯⎯→ 0 u ( x ) lim ( ) arcsin u ( x ) =1 u (x ) ⎯⎯→ 0 u x lim ( ) u x arctgu ( x ) =1 u(x ) ⎯⎯→ 0 lim ( ) lim (1 + u(x )) ( ) = e ( ) u x u x ⎯⎯→ 0 1 u x 61 ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ = e lim x⎠ x ⎯⎯→ ∞ ⎝ x lim ln (1 + x ) =1 x lim a x −1 = ln a x lim (1 + x )r − 1 = r x ⎯⎯→ 0 x ⎯⎯→ 0 x ⎯⎯→ 0 x xk lim x = 0 x ⎯⎯→ ∞ a lim x ⎯⎯→ ∞ ln x =0 xk ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜⎜1 + lim u ( x ) ⎟⎠ u ( x ) ⎯⎯→ ∞ ⎝ u(x ) =0 ln (1 + u ( x )) =1 u (x ) ⎯⎯→ 0 lim ( ) u x au( x) − 1 = ln a lim u (x ) ⎯→ 0 u(x ) ⎯ (1 + u (x ))r − 1 = r lim u (x ) u ( x ) ⎯⎯→ 0 u (x ) =0 lim u(x ) u ( x ) ⎯⎯→ ∞ a k ln u (x ) lim u (x ) ( ) u x ⎯⎯→ ∞ k =0 62 16. FUNC II CONTINUE DEFINI IE. O func ie f : D ⊂ R → R se numeşte continu în punctul de acumulare x0 ∈D ⇔ oricare ar fi vecin tatea V a lui f(x0) , exist o vecin tate U a lui x0, astfel încât pentru orice x ∈ U ∩ D ⇒ f(x) ∈ V. DEFINI IE. f : D ⊂ R → R este continu în x0 ∈ D ⇔ f are limit în x0 şi lim f(x) = f(x0) sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0). x0 se numeşte punct de continuitate. Dac func ia nu este continu în x0 ⇒ f.se numeşte discontinu în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate. Acesta poate fi: - punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 ) finite, dar ≠ f(x0); - punct de discontinuitate de a doua spe dac cel pu in o limit lateral e infinit sau nu exist . DEFINI IE. f este continu pe o mul ime ( interval) ⇔ este continu în fiecare punct a mul imii ( intervalului). • Func iile elementare sunt continue pe domeniile lor de defini ie. Exemple de funcţii elementare: func ia constant c, func ia identic x, func ia polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , func ia ra ional f(x)/g(x), func ia radical n f ( x) , func ia logaritmic log ax, func iile f(x), func ia putere xa, func ia exponen ial trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x. PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNC II ÎNTR-UN PUNCT DE ACUMULARE DEFINI IE. Fie f : D ⊂ R → R. Dac f are limita l ∈ R în punctul de acumulare x0 ∉ D ⇒ ⎧ f ( x), x ∈ D ⎩l , x = x0 f: D ∪ { x0} →R, f(x) = ⎨ 63 este o func ie continu în x0 şi se numeşte prelungirea prin continuitate a lui f în x0. OPERA II CU FUNC II CONTINUE T1. Dac f,g:D→R sunt continue în x0 ( respectiv pe D) atunci f+g, αf, f•g,f/g, fg, f sunt continue în x0 ( respectiv pe D); α ∈ R, g ≠ 0. T2. Dac f:D→R e continu în x0 ∈D ( respectiv pe D) ⇒ f (x) e continu în x0 ∈ ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabil . T3. Fie f:D→R continu în în x0 ∈A şi g:B →A continu în x0 ∈B, atunci g•f e continu în x0 ∈A. lim f( g (x) = f( lim g(x)) x→x0 x→x0 Orice funcţie continuă comută cu limita. PROPRIET ILE FUNC IILOR CONTINUE PE UN INTERVAL LEM . Dac f este o func ie continu pe un interval [ a,b] şi dac are valori de semne contrare la extremit ile intervalului ( f(a) • ( f(b) <0 ) atunci exist cel pu in un punct c ∈ ( a,b) astfel încât f(c) = 0. • Dac f este strict monoton pe [ a,b] ⇒ ecua ia f(x) = 0 are cel mult o r d cin în intervalul ( a, b). f este strict monoton ⇔ f: I →J - continu f(I) =J - surjectiv f - injectiv Orice func ie continu pe un interval compact este m rginit şi îşi atinge marginile. 64 STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNC II PROP. O func ie continu pe un interval, care nu se anuleaz pe acest interval p streaz semn constant pe el. DEFINI IE. Fie f : I ⊂ R → R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. ⇔ ∀ a,b ∈ I cu a < b şi ∀ λ ∈ ( f(a), f(b)) sau λ ∈ ( f(b), f(a)) ⇒∃ c ∈ ( a,b), a.î. f(c) = λ. TEOREM . Orice funcţie continuă pe un interval are P.D. Dac f :I → R are P.D. atunci ⇒ f( I) e interval. ( Reciproca e în general fals ). CONTINUITATEA FUNC IILOR INVERSE T1. Fie f : I ⊂ R → R o func ie monoton a.î. f( I) e interval. Atunci f este continu . T2. Orice func ie continu şi injectiv pe un interval este strict monoton pe acest interval. T3. Fie f : I → R, I, J ⊂ R intervale. Dac f e bijectiv şi continu atunci inversa sa f-1 e continu şi strict monoton . 65 17. DERIVATE FUNC IA DERIVATA C x xn nxn-1 xa axa-1 ax a x lna ex ex 1 x2 n - n+1 x 1 - 1 x 1 xn x n 0 1 x sin x cos x tg x ctg x arcsin x 2 x 1 n n x n −1 cosx -sinx 1 cos 2 x 1 - 2 sin x 1 1− x2 66 arccos x 1 1− x2 1 1+ x2 1 1+ x2 1 x 1 x ln a - arctg x arcctg x lnx log a x (uv)’ = f(x)= v. uv-1.u’ + uv.v’.lnu ax + b cx + d f’(x)= a c b d ( cx + d ) 2 REGULI DE DERIVARE (f.g)’=f’g+fg’ (χf )' = χf ' ⎛ f ⎞ f ' g − fg ' ⎜⎜ ⎟⎟ = g2 ⎝g⎠ ' ( f ) ( f ( x )) = −1 ' 0 1 f ( x0 ) ' 67 18. STUDIUL FUNC IILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR Propriet i generale ale func iilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei func ii. Fie Ι un interval şi f:Ι → R. Defini ie. Se numeşte punct de maxim (respectiv de minim)(local) al func iei f , un punct a ∈ Ι pentru care exist o vecin tate V a lui a astfel încât f ( x ) ≤ f (a )(respectiv. f (x )) ≥ f (a )∀ x ∈ V. • Un punct de maxim sau de minim se numeşte punct de extrem. • a se numeşte punct de maxim(respectiv de minim) global dac f ( x ) ≤ f (a )(resp. f ( x ) ≥ f (a )) . ∀ x ∈ Ι. Obs.1.O func ie poate avea într-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul). Obs.2.O func ie poate avea într-un punct a un maxim (local), f r a avea în a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul f (a ) < f (c ) ). (a, f (a)), (c, f (c)) -puncte de maxim (b, f (b),)(d, f (d)) -puncte de minim 68 TEOREMA LUI FERMAT f este o func ie derivabil pe un interval Ι si x0 ∈ I un punct 0 de extrem,atunci f ' ( x0 ) = 0 . Interpretare geometric : • Deoarece f ' ( x0 ) = 0 ⇒ tangenta la grafic în punctul (x 0 , f ( x0 )) este paralel cu OX. Obs.1. Teorema este adev rat şi dac func ia este derivabil numai în punctele de extrem. Obs.2. Condi ia ca punctul de extrem x0 s fie interior intervalului este esen ial . (dac ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ' ( x0 ) ≠ 0 ). Ex. f ( x ) = x. Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adev rat .(se pot g si func ii astfel încât f ' ( x0 ) = 0 dar x0 s nu fie punct de extrem). Dac • Solu iile ecua iei f ' ( x ) = 0 se numesc puncte critice . Punctele de extrem se g sesc printre acestea. • Teorema lui Fermat d condi ii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata într-un punct s fie nul . O alt teorem care d condi ii suficiente pentru ca derivata s se anuleze este : 69 TEOREMA LUI ROLLE. Fie f : I → R, a, b ∈ I, a < b. Dac : 1. f este continu pe [a,b]; 2. f este derivabil pe (a, b ) ; 3. f (a ) = f (b ), atunci ∃ cel pu in un punct c ∈ (a, b ) a.î f ' (c ) = 0. INTEPRETAREA GEOMETRICA [a,b], atunci exist Dac func ia f are valori egale la extremit ile unui interval cel pu in un punct în care tangenta este paralel cu axa ox . Consecin a 1. Între dou r d cini ale unei func ii derivabile se afl cel pu in o r d cin a derivatei. Consecin a 2. Între dou r d cini consecutive ale derivatei se afl cel mult o r d cin a func iei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creşterilor finite) Fie f : I → R,I (interval, a, b ∈ I, a < b. Dac : 1. f este continu pe [a, b] 70 2. f este derivabil pe (a,b ), atunci exist cel pu in un punct c ∈ (a, b ) a.î s avem f (b ) − f (a ) = f ' (c ). b−a INTERPRETAREA GEOMETRIC Dac graficul func iei f admite tangent în fiecare punct(cu excep ia eventual,a extremit ilor) exist cel pu in un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremit ile), în care tangenta este paralel cu coarda care uneşte extremit ile. f (b ) − f (a ) tangenta la grafic în M are coeficientul. b−a unghiular f ' (c ) dar f (b ) − f (a ) f ' (c ) = b−a Obs.1. Daca f (a ) = f (b ) ⇒ Teorema lui Rolle. tgα = Consecin a 1. Dac o func ie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval. • Dac o func ie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai r mâne adev rat în general. ⎧1, x ∈ (0,1) ⎩2, x ∈ (2,3) Expl. f : (0,1) ∪ (2,3) f ( x ) = ⎨ 71 f si g sunt dou func ii derivabile pe un interval I şi dac au derivatele egale f ' = g ' atunci ele difer printr-o constant . f − g = c. c ∈ R • Dac f si g sunt definite pe o reuniune disjunct de intervale, proprietatea e fals în general. Expl. f ( x ) = tgx Consecin a 2. Dac ⎧ ⎛ π⎞ ⎪tgx + 1, x ∈ ⎜ 0, 2 ⎟ ⎪ ⎠ ⎝ , g (x ) = ⎨ ⎪tgx − 1, x ∈ ⎛⎜ π π ⎞⎟ ⎪⎩ ⎝2 ⎠ Consecin a 3. Daca f ' ( x ) > 0 pe I ⇒ f e strict cresc toare pe I. Daca f ' ( x ) < 0 pe I ⇒ f e strict descresc toare I. Consecin a 4. f : i → R, x0 ∈ I Daca f s' ( x0 ) = f d' ( x0 ) = l ∈ R . ⇒ f are derivata în x0 şi = f ' ( x 0 ). Dac l < ∞ ⇒ f e derivabila in x0 . − Consecin a 5.Daca f ' ( x ) ≠ 0 pe I ⇒ f ' p streaz semn constant pe I. ETAPELE REPREZENT RII GRAFICULUI UNEI FUNC II 1. Domeniul de defini ie; 2. Intersec ia graficului cu axele de coordonate : Intersectia cu axa Ox con ine puncte de forma{x,0},unde x este o r d cin a ecua iei f(x)=0 {daca exist }. Intersec ia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {dac punctul 0 apar ine domeniului de definitie} 3. Studiul continuit ii func iei pe domeniul de defini ie : 72 Dac func ia este definit pe R se studiaz limita func iei la ± ∞ iar dac este definit pe un interval se studiaz limita la capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate : a. Calculul lui f’. b. Rezolvarea ecua iei f’(x)=0.R d cinile acestei ecua ii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua : a.Se calculeaz f’’ b.Se rezolva ecuatia f’’(x)=0. R d cinile acestei ecua ii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f’’>0 functia este convex şi pe cele pe care f’’<0, func ia eate concav . 6.Asimptote : a. Asimptotele orizontale sunt drepte de forma y=a, unde a= lim f ( x) dac cel pu in una din aceste limite are sens şi x → ±∞ exist în R. b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, dac exist cel pu in o limit lateral a func iei în x0, infinit . c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde f ( x) ∈ R si n = lim ( f ( x) − mx) ∈ R , analog şi pentru m = lim x x →∞ x →∞ -∞. 7. Tabelul de varia ie; 8. Trasarea graficului. 73 19. PRIMITIVE Primitive. Propriet i. Fie I un interval din R. Defini ia 1. Fie f: I → R. Se spune c f admite primitive pe I dac ∃ F : I →R astfel încât a) F este derivabil pe I; b) F’(x) =f(x), ∀ x ε I. F se numeşte primitiva lui f. ( I poate fi şi o reuniune finit disjunct de intervale). Fie f : I → R. Dac Teorema 1.1 F ,F : I → R sunt dou primitive ale func iei f, atunci exist o constant c ∈ R astfel încât F 1 ( x) = F 2 ( x) + c, ∀ x ∈ I. 1 2 F , F sunt primitive atunci F , F derivabile ⇒ F ( x ) = F ' ( x) = f ( x) ∀ x ε I ⇔ ( F − F ) ( x) = F ( x) − F ' ( x) = 0 , x ε I. ⇒ F ( x) − F ( x) = c , c= constant Demonstra ie : Dac 1 2 1 2 sunt ' 1 2 ' ' 1 1 2 1 2 2 OBS 1. Fiind dat o primitiv F a unei func ii, atunci orice primitiv F a 0 ⇒ f admite o infinitate de primitive. OBS 2. Teorema nu mai r mâne adev rat dac I este o reuniune disjunct de intervale Expl: f: R- {0 }, f(x) = x² lui f are forma F = F0 + c , c= constant ⎧ x3 ⎪⎪ + 1 x3 3 F= , G= ⎨ 3 3 ⎪x + 2 ⎪⎩ 3 F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant . Contradic ie cu T 1.1 OBS 3. Orice func ie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se ştie c derivata oric rei func ii are Proprietatea lui Darboux , rezult c f are Proprietatea lui Darboux. F’ =f. 74 F P.D P C D OBS 4. Dac I este interval şi f(I) def { f ( x) / x ∈ I } nu este interval atunci f nu admite primitive. Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are P lui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradic ie. OBS 5. Orice func ie continu definit pe un interval admite primitive. Defini ia 2. Fie f: I →R o func ie care admite primitive. ∫ f (x ) dx. Mul imea tuturor primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinit a func iei f şi se noteaz prin simbolul Opera ia de calculare a primitivelor unei func ii(care admite primitive ) se numeşte integrare. Simbolul ∫ a fost propus pentru prima dat de Leibniz, în 1675. Fie F(I)= { f : I → R} Pe aceast mul ime se introduc opera iile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , (αf)(x)=α.f(x) ∀ x ∈ R ,α constant C= { f : I → R / f ∈ R} ∫ f (x ) dx = {F ∈ F ( I ) / F primitivă a lui } f . 75 Teorema 1.2 Dac f,g:I→ R sunt func ii care admit primitive şi α ∈ R, α ≠0, atunci func iile f+g, αf admit de asemenea primitive şi au loc rela iile: ∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f, α≠0, ∫f =∫f +C Formula de integrare prin p r i. Teorema 1.1 Dac f,g:R→R sunt func ii derivabile cu derivatele continue, atunci func iile fg, f’g, fg’ admit primitive şi are loc rela ia: ∫ f(x)g’(x)dx =f(x)g(x)- ∫ f’(x)g(x)dx Formula schimb rii de variabil (sau metoda substitu iei). Teorem : Fie I,J intervale din R şi ϕ : I → J , f : J → R , functii cu proprietat ile : 1) ϕ este derivabil pe I; 2) f admite primitive. (Fie F o primitiv a sa.) Atunci func ia (f o ϕ ) ϕ ’ admite primitive, iar func ia F o ϕ este o primitiv a lui (f o ϕ ) ϕ ’ adic : ∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ (t )dt ' = Fo ϕ + C 5. Integrarea func iilor trigonometrice Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integr rii prin p r i, fie metoda substitu iei. În acest caz se pot face substitu iile: 1. Dac func ia este impar în sin x, R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t. 2. Dac func ia este impar în cos x, R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t. 3. Dac func ia este par în raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t. 76 4. Dac o func ie nu se încadreaz utilizeaz substitu iile universale: sin x = 2t 1− t2 = x , cos 1+ t2 1+ t2 în cazurile 1,2,3,atunci se unde t = tg x 2 5. Se mai pot folosi şi alte formule trigonometrice: sin 2x=2sin x .cos x, sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 Integrarea func iilor ra ionale Defini ie: O func ie f:I→R , I interval, se numeşte ra ional dac f ( x) , g ( x) ≠ 0, x ∈ I , unde f,g sunt func ii polinomiale. g ( x) Dac grad f ≥ grad g, atunci se efectueaz împ r irea lui f la g ⇒ f=gq+r, 0 ≤ grad r<grad g şi deci R(x)= R( x) = f ( x) r ( x) = q( x) + . Pentru g ( x) g ( x) scrierea ca suma de functii R ( x ) se rationale face simple . PRIMITIVELE FUNC IILOR CONTINUE SIMPLE 1. 2. 3. 4. ∫ cdx = c ⋅ x + C , c∈R ∫ x n dx = ∫ x α +1 x dx = +C α +1 ∫ x n +1 + C n +1 α ax + C a dx = ln a x 77 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ∫e ∫ x dx = e x + C 1 dx = ln x + C x ∫ sin dx = − ctgx + C 1 2 ∫ cos x 1 2 x dx = tgx + C ∫ sin xdx = − cosx + C ∫ cos ∫x ∫x ∫ ∫ ∫ 2 2 xdx = sin x + C 1 1 x dx = arctg + C 2 a a +a 1 1 x−a +C dx = ln 2 −a 2a x+a 2 dx = ln( x + a 2 + x 2 ) + C 2 dx = ln x + x 2 − a 2 + C 1 x +a 2 1 x −a 2 1 a −x 2 2 dx = arcsin x +C a 78 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. ∫ ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ x2 + a ∫ x2 − a dx = x2 + a 2 2 + C dx = x2 − a 2 2 + C x x ∫ x a −x 2 2 dx = − a 2 − x 2 + C ∫ x2 + a2 dx = x 2 2 a2 x + a + ln x + x2 + a2 + C 2 2 ∫ x2 − a2 dx = x 2 2 a2 x − a − ln x + x2 − a2 + C 2 2 ∫ x 2 a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin + C a 2 2 2 2 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C 1 ∫ ( ax ∫ 26. tgxdx = − ln cos x + C 1 1 1 1 ⋅ + C dx = − n n −1 a + b) ( n − 1 )( ax + b ) 1 1 dx = 2 2 2 2 (x + a ) a 1 a2 ∫ 1 1 dx − 2 2 2 x +a a ∫ (x x2 + a2 − x2 ∫ 2 + a2 ) 2 +C = ⎛ −1 x ⋅ ⎜⎜ 2 2 ⎝2 x +a ( ) ⎞ ⎟⎟ dx ⎠ ' 79 1 ⎧ dx, Δ〉 0 ⎪∫ ⎪ a[( x + b ) 2 − ( Δ ) 2 ] 27. 1 ⎪ 2a 2a ∫ ax 2 + bx + c dx = ⎨ 1 ⎪ dx, Δ〈0 ⎪∫ b 2 −Δ 2 ) ] ⎪ a[( x + ) + ( 2a 2a ⎩ 28. ∫ ax ∫ ax 2 ax + b dx = ln ax 2 + bx + c + C 2 + bx + c Ax + B dx = + bx + c ∫ m ( 2 ax + b ) + n dx = ax 2 + bx + c 29. 1 m ⋅ ln ax 2 + bx + c + n ⋅ ∫ dx 2 ax + bx + c 2 80 Bibliografie: - Arno Kahane. Complemente de matematic , Editura Tehnic , Bucureşti, 1958. - C. N st sescu,C. Ni , Gh. Rizescui:”Matematic Manual pentru clasa a IX-a”, E.D.P., Bucureşti, 1982. - C. N st sescu, C Ni , I. St nescu: Matematic -Manual pentru clasa a X-a-Algebr ”, E.D.P., Bucureşti,1984. - E. Beju, I. Beju:”Compendiu de matematic ”, editura Ştiin ific şi Enciclopedic , Bucureşti, 1996. - E. Rogai,”Tabele şi formule matematice”,Editura tehnic ,1983. - „Mic enciclopedie matematic ”, Editura tehnic , Bucureşti,1980. - Lumini a Curtui,” Memorator de Matematic -Algebra, pentru clasele 9-12”, Editura Booklet,2006. 81 Probleme propuse şi rezolvate 1.S se determine numerele întregi a şi b astfel încât 4 6 + 14 = a 2 + b 3; Rezolvare: Ridic m la puterea a doua expresia dat : 4 6 + 14 = 2a 2 + 2 6ab + 3b 2 ; Din egalarea termenilor asemenea între ei rezult : ab=2 şi 2a2+3b2=14 rezult : a=1 şi b=2. 1 1 2.Dac a − =7, s se calculeze a4 + 4 . a a Rezolvare: 1 Ridic m la puterea a doua rela ia dat : ( a − )2=49, a 1 a2+ 2 =51 procedând analog se ob ine a 1 1 a 4 + 4 = 512 − 2 ⇒ a 4 + 4 = 2599 . a a 3.Afla i X din X.3 2008 = (3 2008 – 1) : (1+ 1 1 1 + 2 + ....... + 2007 ) 3 3 3 Rezolvare: 1 3 3 2008 − 1 1 1 1 + + + ........ + 2007 = ⋅ 2008 , dup formula 2 3 3 3² 3 1 + X + X ² + ......... + X n = ⇒ X ⋅3 2008 = [3 2008 X n +1 − 1 X −1 2 3 2008 2 − 1] ⋅ 2008 ⇒X = 3 3 3 −1 82 4. S se calculeze: Rezolvare: 11 − 4 7 = 2 2− 3 3− 2 = 2a − 3 3−a unde a = 7 − 11 − 4 7 11 + 3 11 − 3 − = 7 −2⇒ a = 2 2 2 (2 2 − 3 )( 3 + 2 ) = 2 6 + 4 − 3 − 6 = 6 +1 3− 2 a = 3 − 1 s se calculeze partea întreag a b a ² + b² num rului a ² − b² 5. Ştiind c Rezolvare: a = 3 + 1 ⇒ a = 3 + 1, b = 1 ⇒ b = 5+2 3 3+ 2 3 = (5 + 2 3 )(3 − 2 3 ) = ( ( ) = 3+ 2 3 + 1)² − 1 3 + 2 3 +1 ² +1 3 +1+1 3 +1−1 = 9 − 12 15 − 10 3 + 6 3 − 12 3 − 4 3 4 3 − 3 = = 3 −3 −3 ⎡ 4 3 − 3⎤ ⎥ =1 ⎢ 3 ⎦ ⎣ = 6.Se d numarul x = 6 − 2 5 − 6 + 2 5 S se arate ca x² = 4 S se calculeze (X+2)2007 Rezolvare: a) 83 (1 − 5 )² − (1 + 5 )² = x = 1 − 5 − 1 + 5 = −1 + 5 − 1 − 5 = −2 ⇒ x² = 4 b. x = − 2 ⇒ x + 2 = 0 ⇒ ( x + 2) 2007 = 0 66b a . = 2007 , s se calculeze b a 223 − 9b Rezolvare: 66b 66 66 1 = = = a = b 2007 ⇒ b 2007 ⋅ 223 − 9b 223 ⋅ 3 − 9 660 10 7. Dac 8.S se calculeze suma S= 2 + 2 2 + 2 3 + .......... + 2 2007 . ( 2+ Rezolvare: S= = ) 23 + 25 + ............ + 22007 + + ⎛⎜ 22 + 24 + ............ + 22006 ⎞⎟ = ⎠ ⎝ ( ) = 2 1 + 2 + 22 + ............ + 21003 + + 2 + 22 + 23 + ............. + 21003 + 1 − 1 = ( = [(2 ) − 1]( = 1 + 2 + 22 + ............. + 21003 ) 2 + 1 − 1. Am ad ugat şi am sc zut 1. 1004 )( ) 2 +1 −1 = 84 9.Calcula i: E = Rezolvare: 4+2 3 = 7−4 3 = (2 ) − (3 ) 4 17 3 17 ( 4+2 4−2 + = 3 +1 2 2 7 +1 7 −1 − = 2− 3 2 2 ) 50 10.Determinati n ∈ Z astfel încât (3 − 5 ) Rezolvare 2 = ( < 0 ⇒ E = 3 + 1 + 2 − 3 + − 268 + 351 + 268 : 350 = 3 + 3 : 3 = 3 + 3 = 6. 51 ) 4 + 2 3 + 7 − 4 3 + 2 68 − 351 + 2 68 : 350 + n ( ) 5 −1 2 = 14 − 6 5 + 6 − 2 5 ∈ Z. n 3− 5 + 2 ∈ Z ⇔ n ∈ {− 2,−1,1,2} n n 5 −1 = 3 − 5 + 5 −1 n 11. S se rezolve ecua ia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6 Rezolvare: Ecua ia dat este echivalent cu: (2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 ⇔ (4x2 –4x-8) (4x2 –4x-3)=-6 Notam 4x2 –4x-8=t ⇒ t(t-5)=-6 ⇒ t2-5t+6=0 ⇒ t1=2 si t2=3 ⇒ 4x2 –4x-8=2 ⇒ x1,2= 1 ± 11 8=3 ⇒ x3,4= 1± 2 3 . 2 4x2 –4x- 2 85 12 . Se d ecua ia: x² + 18x + 1 = 0. Se cere s se calculeze 3 x1 + 3 x 2 , unde x1, x2 sunt solu iile ecua iei . Rezolvare : Fie A = 3 x1 + 3 x 2 . Se ridic la puterea a treia A³ = x1 + x2 + 3 3 x1 x 2 · A Cum x1 + x2= - 18 x1+x2=1 (Rela iile lui Viete) A³- 3A + 18= 0 ; Solu ia real a acestei ecua ii este A = -3 ; restul nu sunt reale A³+ 3A²-3A²-9A+6A+18=0 A²(A+3) – 3A (A+3)+6(A+3)=o (A+3)(A²-3A+6)=0 A=-3 13. Doua drepte perpendiculare între ele în punctul M(3;4) intersecteaz axa OY în punctual A si OX în punctual B. a) s se scrie ecua ia dreptei AB b) s se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului. Rezolvare : Scriem ecua iile dreptelor AM si MB (1)AM : y − 4 = m(x − 3) cum AM ⊥ MB (2)MB : y − 4 = − 1 (x − 3) m Aflam coordonatele lui A: - din (1) când x = 0 ⇒ y = 4 − 3m Aflam coordonatele lui B: - din (2) când y = 0 ⇒ x = 4m + 3 86 Fie P(x,y) mijlocul lui AB 4 − 3m 2x − 3 4M + 3 ⇒X = ⇒x= ,y = 2 4 2 2x − 3 ⇒ 2y = 4 − 3⋅ ⇒ 8 y = 16 − 6 x + 9 ⇒ 4 ⇒ 6 x + 8 y − 25 = 0(ec.drepteiAB ) 3 ⇒ panta dreptei AB este m = − . 4 Panta dreptei OM este evident 4−0 4 = ⇒ m AB ⋅ mom = −1 ⇒ OM ⊥ AB. 3−0 3 A M(3,4) O B 14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere: a) perimetrul triunghiului ABC şi natura sa ; b) coordonatele centrului de greutate; c) ecua ia dreptei BC; d) ecua ia medianei AM şi lungimea sa; e) ecua ia în l imii din A pe BC şi lungimea sa ; f) ecua ia dreptei care trece prin A şi face un unghi de 300 cu axa OX; 87 g) ecua ia dreptei care trece prin A şi este paralel cu BC; h) ecua ia bisectoarei din A şi lungimea ei i) aria triunghiului ABC. Rezolvare: a) Aplicând formula distan ei pentru cele trei laturi ale triunghiului AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 ob inem: AB = 3 5 , BC = 5 5 ,AC = 4 5 ⇒ P = 12 5 ; Se verific cu reciproca teoremei lui Pitagora c triunghiul este dreptunghic cu unghiul de 900 în vârful A. b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula: ⎛ x + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ⎞ ⎛4 7⎞ , G⎜ 1 ⎟ ⇒ G⎜ , ⎟ ; 3 3 ⎝3 3⎠ ⎠ ⎝ c) Ecua ia dreptei BC se scrie folosind formula: y − y1 x − x1 = ⇒ y 2 − y1 x 2 − x1 y−3 x+ 4 = ⇒ 5x+10y-10=0 x+2y-2=0 −5 10 1 (forma general a dreptei )sau y = − x + 1 (forma normal ); 2 1 d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M (1, ) ⇒ 2 ecua ia medianei este: x−2 y−6 = ⇒ 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii 1− 2 1 −6 2 medianei AM se poate folosi faptul c într-un triunghi dreptunghic mediana corespunz toare ipotenuzei este jum tate din ipotenuz : BC 5 5 ⇒ AM = = , altfel se poate aplica formula distan ei. 2 2 e) Fie AD în l imea din A ⇒ AD şi BC sunt perpendiculare ceea ce înseamn c produsul pantelor este egal cu -1. Cum 88 panta dreptei BC este − 1 ⇒ panta lui AD este 2. R mâne s 2 scriem ecua ia dreptei care trece prin A şi are panta 2 : y-6=2(x-2) ⇒ 2x-y+2=0 este ecua ia în l imii din A; Pentru calculul în l imii (într-un triunghi dreptunghic) este convenabil s aplic m formula: AB ⋅ AC 3 5 ⋅ 4 5 12 5 AD = = = ; BC 5 5 5 Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecua iile dreptelor BC şi AD pentru a determina coordonatele lui D. 3 f) y-6= (x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) în 3 condi iile în care panta este tg300 1 1 g) y-6= − (x-2) unde − este panta dreptei BC . 2 2 h) Fie AE bisectoarea unghiului A. BE AB 3 Din teorema bisectoarei k= = ⇒ k= .Folosindu-ne EC AC 4 de raportul în care un punct împarte un segment rezult ⎛2 6⎞ coordonatele lui E ⎜ , ⎟ . Atunci ecua ia bisectoarei este: ⎝7 7⎠ x−2 y−6 21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea = ⇒ 2 6 −2 −6 7 7 bisectoarei ne putem folosi şi de formula A 2 AB ⋅ AC cos 2 care este utilizat de obicei când se AE = AB + AC cunoaşte m sura unghiului a c rei bisectoare se calculeaz . 12 10 ⇒ AE = . 7 i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este dat de formula A = AB ⋅ AC = 30 . 2 89 Se va insista pe faptul c dac triunghiul nu ar fi fost dreptunghic ar fi trebuit s se calculeze distan a de la A la dreapta BC adic tocmai lungimea în l imii iar aceasta s-ar putea face mai simplu folosind formula : Distan a de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecua ie (h): ax+by+c=0 este dat de: ax0 + by 0 + c d ( M 0 , h) = . a2 + b2 15. Sa se rezolve ecua ia : x x 3 ⎞ ⎛ 4 4 ⎟ ⎜ 2006 − 2005 = 6 ⋅ 2005 + 4⎜ 2005 + 2005 ⎟ + 1 ⎠ ⎝ Rezolvare : Ecua ia dat este echivalent cu : x x 2 x x ⎞ ⎛ 2006 = ⎜⎜ 2005 4 + 1⎟⎟ ⎠ ⎝ Ridic m la puterea x x x x 1 ⇒ 2006 4 = 2005 4 + 1 ⇒ 2006 4 − 2005 4 = 1 4 4 x (x ) Din monotonia func iei f ( x ) = (1 + a ) − a x care e strict cresc toare ⇒ ecua ia (x ) are solu ie unic ⇒ x = 4 x 16 . S se rezolve ecua ia: 2x x x x 3 3 2007 – 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1 90 Rezolvare: Ecua ia dat este echivalent cu: x x 3 3 2007 = (2006 + 1) . Ridic m la puterea 1/3 => x x 3 3 2007 = 2006 +1 => x x 3 3 2007 – 2006 =1 (*) Din monotonia func iei f(x) = (1+ a)x – ax care e strict cresc toare => ecua ia (*) are solu ie unic : x = 3 17. S se determine num rul de cifre din care este compus num rul 72007. Rezolvare: 102 < abc <103 ; p = 3 ______ 3 10 < abcd < 104 ; p = 4 (*) 10p-1 ≤ N < 10p , unde p reprezint num rul de cifre ale lui N. Din (*) => lg 10p-1 ≤lg N <lg 10p => p-1 ≤ lg N <p . Pentru N = 72007 => lg N = 2007 lg 7 ≈ 1696 de cifre. 91 ⎛a b ⎞ ⎟⎟ ∈ M 2 (Z ) e 18. S se arate c matricea A = ⎜⎜ d c ⎠ ⎝ inversabil , unde : a = 2005 2006 b = 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006 c = 1 + 11 + 111 + ... + 111 ... 11 d = 2006 Rezolvare : 2006 ori de 1 2005 A e inversabil ⇔ det A ≠ 0 ⇔ ultima cifr a num rului det A e≠0 u (a ) = 5 u (d ) = 6 ⇒ u (det A) = 5 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 = 0 − 6 = 4 ≠ 0 ⇒ det A ≠ 0. u (b ) = 6 u (c ) = 6 92 Probleme - sinteze I. NUMERE REALE. APLICA II. 98 − 44 − 50 + 99 . 1. S se calculeze: a) b) c) d) e) f) g) h) (7 2 − 8 3 ) − (5 2 − 6 3 ) + (− 2 + 2 3 ). ( 20 − 18 ) ⋅ ( 45 + 50 ) − 10 . (520 + 330 − 520 ) : 914. ( 287 − 358 − 358 ) : 1620. 3 2 3 − 2 ⋅ 12 . 3 2 3 3−2 2 { [ 5 2 + 3⋅ − 8 3 + 4⋅ 3 2 + 2⋅ ( 12 − 2 3 12 + 3 2 2 6 − 6 . − + 2 3 3 2 6 )]} 3 − 2 2 : 22. 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 − ⎜ ⎟:⎜ ⎟ . 20 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 5 −1 i) 93 j) k) 6561 + 1225 − 5184 . ( ) ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎟⎟ : 3 2 ⎜⎜ − + 32 2 2 ⎠ ⎝3 2 −1 2⋅ 2+ 2 ⋅ 2+ 2+ 2 ⋅ 2− 2+ 2. l) (3 − 7 ) + (2 − 7 ) . (3 − 2 ) + (2 2 − 3) − (3 2 − 5) . 3 + 2 2 + 6 − 4 2 − ( 2 − 1) . 2 m) 2 2 n) 2 2 2 o) 16 x16 p) . 25 y 24 3 + 7 ⋅ ( 13 − 7 − 5 − 7 ). q) 2 − 3 ⋅ ( 6 − 2 ) ⋅ (2 + 3 ). r) 11 − 6 2 + 6 − 4 2 + 9 + 4 2 . s) 2+ 3 2− 3 . + 2− 3 2+ 3 t) u) v) ( 2+ 3 2+ 2+ 3 ) ( 3+ 2 − 2 + 2− 2− 3 ) ( 3− 2 + 2 2. Dac a=2006.2007, ar ta i c 3. S se calculeze num rul 2− 3 . 3+ 2 )( ) 3− 2. a + a + a 〈 2007. a 2 − b 2 pentru a = 242,5 şi b = 46,5 94 ( ) 4. Compara i numerele: a= 5− 3 + 2 ( ) ( 3− 5 +2 2 ) ( 2 b = 6 − 2 5 + 6 + 2 5 + 2 14 − 6 5 . a 3b = 1996 , calculati . 5. Dac b a ⋅ 499 + 3b ( ) a = 1,41 − 2 + 251 − 334 + 251 : 32 + 1,41 − 2 6. Ar ta i c num rul 2a − b ∈Q a + 2b ) 5 + 3 +46− 5 . 5 e p trat perfect. 7. S se arate c expresia E= b= stiind ca a = 3 − 5 + 9 − 4 5 7 − 1 − 11 − 4 7 8. S se aduc la o form mai simpl expresia: E (a) = 6a 4 + 6a 8 + 5a 16 + 16a 32 , a〉 0. 3 10*. S se arate c : a) 11. S se arate c : 2 2 sau 3 a) 5n + 7 ∈ R − Q 9. Care num r este mai mare: . b) 5n + 13 ∈ R − Q a) 3 2 n + 2 ⋅ 4 2 n + 3 − 2 2 n +1 ⋅ 6 2 n + 3 ∈ Q, ∀n ∈ N b) 2 ⋅ 9 2n n +1 +4 n+ 2 ⋅3 12. Stabili i valoarea de adev r a propozi iei: 2n ∈ N , ∀n ∈ N . 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....... ⋅ 31 + 32 ∈ Q. 2 x = 1 + 2 0 + 21 + 2 2 + 2 3 + ....... + 2 999. 2x − 4 se afle numerele întregi x pentru care ∈ Z. x+5 13. S se afle x ştiind c 14. S a) 3 b) 3 15. S se verifice egalit ile: 5 2 +7 −3 5 2 −7 = 2 9+4 5 +3 9−4 5 =3 16. S se ordoneze cresc tor numerele: 2 , 17. S se ra ionalizeze numitorii frac iilor: 3 3, 6 6 . 95 1 5 −3 2 2− 2 − 3 a) 3 2+ 2 − 3 b) 3 . ; e) 1 2−3 3 1 2 +1 ; c) 3 1 9 +3 5 ; d) . 18. S se determine r d cina p trat a num rului a= 6 + 2 3 − 2 19. S se determine cel mai mare num r natural n cu proprietatea: 1 2+ 3 (a + )( 1 + .................... + )( ) 4 + 15 2 −2 6 1 2n + 4n 2 − 1 ≤3 2. +1 b2 +1 c2 +1 ∈ Q . 20. Fie a,b,c numere ra ionale astfel încât ab+ac+bc=1. S se demonstreze c : 2 21. S se demonstreze c 2+ 3+ 5 nu este un num r ra ional. 1. S se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (a n )n dac : II. PROGRESII ARITMETICE a) a1 =-3 ; r=5 b) a1 =7 ;r=2 c) a1 = 1,3 ; r= 0,3 2. S se g seasc primii doi termeni ai progresiei aritmetice (a n )n : b) a 1 , a 2 , − 9 , − 2 , 5 ,........ a) a1 , a 2 ,15,21,27,...... 3. S se calculeze primii cinci termeni ai şirului cu termenul general a n a) a n =3n+1 ; b) a n = 3 + (-1) n c) a n = n +n + 1 2 4. Fie (a n )n o progresie aritmetic . Dac se dau doi termeni ai progresiei a )a3 = 7, a5 = 13, a9 = ?, a15 = ? s se afle ceilal i : b)a8 = 40, a 20 = −20, a 7 = ?, a10 = ? c)a 6 = 2, a10 = 36, a9 = ?, a11 = ? d )a 2 = −5, a9 = −125, a 7 = ?, a19 = ? 5. Fie (a n )n o progresie aritmetic . Se dau : 96 a )a1 = −2, r = 0,5 se cere a 12 b) a1 = 3, r = −1,5 se cere a 19 c) a10 = 131, r = 12 se cere a1 d) a 200 = 0, r = −3 se cere a1 a )a5 = 27, a 27 = 60 6. S se g seasc primul termen şi ra ia unei progresii aritmetice dac : b)a 20 = 0, a 60 = −92 c)a1 + a 7 = 42, a10 − a3 = 21 d )a 2 + a 4 = 16, a1 ⋅ a5 = 28 e) S10 = 8S 5 , S 3 = −3 f )a1 + a 2 + a3 = a 7 , a3 + a 4 + a5 = a12 + 2 7. Şirul ( x n )n este dat prin formula termenului general. a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. S se arate c S se afle primul termen şi ra ia. 8. ÷ ai (x n )n e o progresie aritmetic . a)a1 =10, a100 =150 . S se afle S 100 dac : b)a1 = 2, r = −5 c)a1 = 5,5, a100 = 7,5 9.Cunoscând Sn s se g sesc : 2 a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dac Sn =5n +3n ; Sn =3 n 2 n2 − n. 4 ; Sn = b) a1 = ?, r= ? dac Sn = 2 n 2 +3n ; 10. Este progresie aritmetic un şir pentru care : ÷ ai 2 a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ; 11. 2 c) Sn = -4 n +11. , S10 = 100, S30 =900 . S se calculeze S50. 12. Determin x ∈ R astfel încât urm toarele numere s fie în progresie aritmetic . 97 a) x-3, 9, x+3 ; b) x + 2 ,18, x − 2 x 2 + 2, (3x ) ,4 − 2 x + x 2 2 c) 13. S se rezolve ecua iile : a) 1+7+13+….+x =280 ; b) 1+3+5+…..+x = 169 ; c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…..+(x+28) = 155 ; d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ……..+(x+25) = 338 ; e) x+(x+5)+(x+10)+………+(x+100) = 2100. 14. S se arate c urm toarele numere sunt în progresie aritmetic : a) (a+b)² , a²+b² , (a-b)² ; a a+b b , , ; b(a − b) 2ab a (b − a) a x + a −1 x2 + a −1 , , , x ≠ −1, x ≠ 0. c) x +1 x( x + 1) 2x b) 1 1 1 sunt în progresie , , b+c c+a b+a 2 2 2 aritmetic atunci numerele a , b , c sunt în progresie aritmetic . 15. S se arate c dac numerele 16. Fie (a n )n o progresie aritmetic . S se arate c : 1 1 1 n −1 + + ....... + = , ∀n ≥ 2 . a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a n −1 ⋅ a n a1 ⋅ a n 17. Fie ecua ia ax² +bx+c =0 cu solu iile x1,x2. Dac numerele a,b,c sunt în progresie aritmetic atunci exist rela ia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1 = 0 18. S se demonstreze : a) ÷ a − bc, b − ca, c − ab ⇔ ÷a, b, c b) 2 ÷ a 2 + 2bc, b 2 + 2ca, c 2 + 2ab ⇔ ÷ ÷ a3 c) 2 2 1 1 1 , , b−c c−a a−b d2 a2 3 b2 3 c2 ,b ,c ,d3 ⇒ ÷a 2 , b 2 , c 2 , d 2 abc abd acd bcd 98 III. PROGRESII GEOMETRICE 1. S se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dac : a) b1 = 6, q = 2 c) b2 = −10, q = e) b1 = 1, q = 5 b) b1 = −24, q = −0,5 d) b2 = 0,5, q = 1 2 3 2. S se g seasc primii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n : b) b1 , b2 ,225,−135.81,......,....... a) b1 , b2 ,24,36,54,....... 3. Dac se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n a) b3 = 6, b5 = 24 , s se g seasc b7 , b9 , b10 b) b5 = 10, b8 = −10 ,……………. b6 , b12 , b3 . 4. S se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin : b) b1 = 4, bn +1 = −3bn a) b1 = 2, bn +1 = 3bn c) b1 = 9, bn +1 = 2bn d) b1 = 10, bn +1 = 1 bn 5 5. Este progresie geometric un şir pentru care suma primilor n termeni este : a) Sn = n² -1 ; 6. S se determine x geometric : a) a+x, b+x, c+x ; b) Sn = 2 − 1 ; n c) Sn = 3 + 1 n a.î. numerele urm toare s 2 4 b) 2 x , x ,32 ; fie în progresie c) 1, x ,6 − x ; 2 2 7. S se g seasc primul termen b1 şi ra ia q a progresiei geometrice (b n ) n dac : 99 ⎧b2 − b1 = −4 ⎩b3 − b1 = 8 ⎧b6 = 25 ⎩b8 = 9 ⎧b3 − b2 = 12 ⎩b4 − b2 = 48 a) ⎨ b) ⎨ a) 1 + 2 + 2 + 2 + ......... + 2 c) ⎨ 8.S se calculeze sumele : 2 b) 1 − 2 + 2 1 1 + 2 22 1 1 d) − 2 2 2 c) 3 2008 − 23 + ......... + 22008 1 1 + 3 + ....... + 2008 2 2 1 1 + 3 − ....... − 2008 2 2 2 e) 1+11+111+1111+………111111…1 (de n ori 1) f) 3+33+333+……..33333…..3 g) 7+77+777+…..7777…7(de n ori 7) h) 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 23 + .....100 ⋅ 22007 a) 1 + x + x + x + .....x = 0, x ≠ 1 2007 b) 1 + (1 + x) + (1 + x ) + ........ + (1 + x ) = 0, x ≠ 0 9. S se rezolve ecua iile : 2 3 2007 2 IV. LOGARITMI 1. S se logaritmeze expresiile în baza a : a) E=a2 b) E= 4 7 ab 6 . a3 . b5 a⋅3 b a ⋅ b2 1 2. S se determine expresia E ştiind c : lg E=2 lga- lgb-3 lg3. 2 c) E= 3. S se arate c log26+log62>2. 4. S se calculeze expresiile: a) log12125 11 100 1 log 4 b) 7 49 c) E=log225-log2 ⎛⎜ 20 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎟ + log 2 ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 21 ⎠ d) log 5 (log 3 (log 6 216)) e) log 2 (log 5 (log 3 243)) f) log 5 125 − log 3 3 9 64 log 8 2 + log 2 49 g) 5. S se arate c 6. S se calculeze expresiile: a) E= b) E= 7.S se calculeze suma: 2 + log 3 81 log 2 3 2 − log 3 3 log 2 x + log 2 y + log 2 3 z expresia: E= independent de valorile strict mai x,z,y. log 7 3 log 3 x + log 3 y + log 3 3 z este mari ca 1 ale variabilelor log 2 24 log 2 192 − . log 96 2 log12 2 31+log3 7 − 2 log 4 121 1 1 + log 2 1 + log 2 2 + ... + log 2 n log 3 1 + log 3 2 + .... + log 3 n + ... + 1 log n 1 + log n 2 + ... + log n n 8. S se arate c dac a,b,c sunt în progresie geometric atunci are loc egalitatea: 2 1 1 = + log b x log a x log c x ∀a, b, c ∈ R * + − {1}, x〉 0 9. S se arate c dac x, y, z sunt în progresie geometric atunci log a x, log b y, log c z sunt în progresie aritmetic . 101 PRIMITIVE 1. S se calculeze primitivele urm toarelor func ii. 1. ∫(3x 5 −2 x 3 + 3 x − 2)dx 3. ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 5. ∫ (2 ) x − 3 x + 45 x dx 7. ∫ x ( x − 1) 3 dx 9. ∫( e x + 11. ∫ ⎜⎝ 10. ∫ (x 5 +5 x )dx 1 )dx ex ⎛ 5 + 4x ⎞ ⎟ dx x ⎠ 13. ∫ 15. ∫ ∫ 2 x 2 + 4dx 4 − x 2 dx x2 + 3 dx x2 + 2 1 19. ∫ dx 2 sin x. cos 2 x 1+ x dx 21. ∫ 1− x 17. 2. ∫ x(x-1)(x-2)dx 1 4. ∫ (3 x + 3 )dx x x ⎛ 5 3 2 ⎞ ⎟⎟dx 6. ∫ ⎜⎜ 5 − 3 + x x⎠ ⎝ x 5 3 ⎞ ⎛ 8. ∫ ⎜ 2 x + − 2 ⎟dx x x ⎠ ⎝ 12. ∫ 14. ∫ 20. ∫ ∫ x3 x 2 − 9dx 1 dx x + x2 −1 x2 − 2 dx x2 − 3 1 dx sin x . cos x 16. ∫ 18. (x + 2)3 dx 102 1. ∫ 5 ⋅ 2 5 x dx 2. ∫ 3 4 x dx 3. ∫ 4 sin 4 xdx 2..S se calculeze primitivele urm toarelor func ii compuse. 4. ∫ 3 cos 3 xdx ∫ 4x ∫ 5x + 3 dx 1 dx − 16 1 dx 10. ∫ sin 2 5 x 1 13. ∫ dx 16 x 2 + 4 2 7. 6. ∫ 1 5. 8. ∫ 25 − 9 x 1 11. ∫ tg 4 xdx 2 14. ∫ 1 2 dx 9 − 16 x 2 1 dx 4x + 9 1 9. ∫ dx cos 2 3 x 2 12. ∫ 2ctg 2 xdx dx 3. S se calculeze primitivele urm toare utilizând metoda integr rii prin p r i: 1. ∫ ln xdx 4. ∫x 1 2. ln xdx 5. 7. ∫ ln 2 xdx ∫ x ln xdx 1 ∫ x ln xdx 2 2 8. ∫ ln(1 + )dx x ln 2 x 10. ∫ dx 11. ∫ cos(ln x)dx x2 2 13. ∫ ( x − 2 x + 3) ln xdx ∫ ln(1 + x 2 + 1)dx x x +1 x + 1 ⋅ e x dx ) ∫( 19. ∫ (x + 2 x ) ⋅ e 21. ∫ x ⋅ e dx 15. 2 2 17. 2 23. ∫ 2 2x x ⋅ e dx 2 −x 3x ∫ x ⋅ ln xdx ln(ln x) 6. ∫ dx x 3. 9. ∫ 2 ln 3 x dx x2 12. ∫ sin(ln x)dx ∫ x ln( x − 1)dx x −1 16. ∫ x ln dx x +1 14. ∫ x ⋅ e dx 20. ∫ x ⋅ e dx −x 18. dx 22. ∫ ( x 3 + 5 x 2 − 2) ⋅ e 2 x dx 2 x 3⋅ 2x + 2 ⋅ ex 24. ∫ dx 2x 103 ∫ e ⋅ sin xdx 27. ∫ e ⋅ sin 2 xdx 29. ∫ x ⋅ sin xdx 31. ∫ x ⋅ sin xdx 33. ∫ x ⋅ sin 2 xdx 35. ∫ x ⋅ sin xdx x dx 37. ∫ cos x 26. ∫ e x ⋅ cos xdx ∫ e ⋅ cos 2 xdx 30. ∫ x ⋅ cos xdx 32. ∫ x ⋅ cos xdx 34. ∫ x ⋅ cos 2 xdx 36. ∫ x ⋅ cos xdx x dx 38. ∫ sin x x 25. x 2 2 2 2 2 39. ∫ x ⋅ arcsin x ∫x⋅ 45. ∫ x ⋅ 43. 47. ∫ 2 2 41. ∫ e − x 1− x2 ⋅ sin 2 xdx 40. dx ∫ 2 arcsin x dx x2 42. ∫ cos 2 (ln x)dx 44. ∫ x ⋅ x 2 + 16dx x 2 − 9dx 4 − x 2 dx 46. x 2 − 2x + 5 dx ex ∫ (ax + b ) dx 3. ∫ x(2 x − 1) dx 5. ∫ x (x + 1) dx x 28. ∫ x ln xdx ∫ (2 x − 1) dx 4. ∫ x(5 x − 3) dx 6. ∫ x (x + 1) dx 3. S se calculeze integralele prin metoda substitu iei n 1. 9 2 7. 3 x ∫ x ⋅ 7 dx 2 ex 9. ∫ 2 x dx e +1 e x dx 11. ∫ x 6 9 2. 2 k 8. k +1 7 n ex ∫ e x + 1dx 10. ∫ e x dx 12. e2x ∫ e x − 1dx 104 e3x 13. ∫ 2 x dx e −1 ∫ 2 x + 5dx 17. ∫ x 1 − x dx 15. 3 19. 21. 23. 25. 3 ∫ ∫ ∫ ∫ 35. ∫ 22. 24. 1 2 dx 1 + ln x dx x 1 dx 37. ∫ x(2005 + ln x) 2006 3 ∫ 3 ln x dx x ∫ 26. dx 4x + 2x − 3 x 29. ∫ 4 dx x +1 1 31. ∫ dx 4 x(1 + ln x ) 1 33. ∫ dx 2 x 3 − ln x 27. 2 2 − x 2 − x + 2dx x ∫ x 1 + x dx 18. ∫ x x + 2dx 20. ∫ x − 6 x − 7 dx 25 2 x + 5dx 3 x − 1dx 16. 4 ln x dx x x−2 x ∫x 14. ∫ ∫ x ln xdx (1 − x )2 dx x x 1 − x + 3x + 4 x 30. ∫ dx x2 +1 1 32. ∫ dx 2 x ln x + 8 1 34. ∫ dx x ln x 28. 2 ( dx ) 36 . ∫ x 3 x 2 + 2dx 38. ∫x 1 x2 −1 dx 4. S se calculeze primitivele urm toarelor func ii trigonometrice: 1. ∫ sin 3 x ⋅ cos xdx 3. ∫ sin(2 x + 5)dx 2. ∫ cos 3 x ⋅ sin 2 xdx 4. ∫ sin 3 x ⋅ cos 2 xdx 105 5. ∫ (tgx + tg x )dx 3 6. sin 3 x ∫ cos x dx x dx 9. ∫ 1 − cos x 8. 7. 11. ∫ cos 3 xdx cos x ∫ 1 2 x dx cos x dx 10. ∫ sin 3 xdx x 12. sin x 13. ∫ dx cos 2 x − 4 15. ∫ ∫ 1 + sin ∫ arcsin x 14. ∫ 1− x sin 2 x 2 dx 1 − (cos x ) 1 dx 16. ∫ sin x 1 2 2 dx dx 1 − x 2 ⋅ arcsin 2 x 1 17. ∫ dx 18. ∫ sin 10 x ⋅ cos 3 xdx cos x (arctgx )2006 dx 1 dx 20. ∫ 19. ∫ 1+ x2 1 − x 2 ⋅ (2005 + arcsin x) 2006 5.S se calculeze primitivele urm toarelor func ii ra ionale: 1. 4. ∫ 3x + 5 dx 1 ∫ 2 x + 3 dx 1 − 3x 2. 5. 1 8. ∫ x 2 + 4 dx 1 dx 10. ∫ 2 3x + 5 1 dx 12. ∫ (x + 1)(x + 2) 7. ∫ 2 x + 1 dx 2x + 3 ∫ (2 x + 3) 3. 1 2005 dx x2 ∫ x 2 − 2 dx 11. ∫ 13. 6. 9. (x − 1)(x − 2) 1 ∫ x(x + 2) dx ∫ x + 4 dx x ∫x 2 1 dx −9 x2 ∫ x 2 + 1 dx dx 1 106 ∫x 1 dx − 3x + 2 1 dx 16. ∫ 2 3x + x + 1 4x − 3 dx 18. ∫ 2 2 x − 3x + 1 3x − 2 dx 20. ∫ 2 x − 5x + 6 x +1 22. ∫ 2 dx x + 2 x + 10 x dx 24. ∫ 1 4 x + 4 3 x dx 26. ∫ 1 + x8 14. 28. 2 ∫ (x − 1) x 10 dx ∫ 2x 1 dx − x −3 1 17. ∫ 2 dx x − 2x + 5 6x − 2 dx 19. ∫ 2 3x − 2 x + 5 5x − 2 dx 21. ∫ 2 x +4 x2 dx 23. ∫ 6 x −3 2x dx 25. ∫ 1+ x4 15. 27. 29. 2 ∫ (x − 1) x3 12 dx x2 ∫ x 6 + 4 dx 107 ISTORICUL NO IUNILOR MATEMATICE Sec. 18 î.e.n. mesopotamienii creeaz primele tabele de înmul ire; sec. 6 î.e.n. este cunoscut asem narea triunghiurilor de c tre Thales; Sec. 5 î.e.n. pitagorienii introduc no iunile de num r prim, num r compus, numere relativ prime, numere prime perfecte; Sec. 4 î.e.n. Aristotel (384-322 î.e.n) filozof grec a introdus no iunile de perimetru, teorem , silogism. Sec. 3 î.e.n. Matematicianul grec Euclid(330-275 î.e.n ) cel care a întemeiat celebra şcoal din Alexandria (în 323 î.e.n) a introdus no iunile de semidreapt , tangent la o curb , puterea unui punct fa de un cerc sau sfer , sau denumirile de paralelogram, poliedru, prism , tetraedru. A enun at teorema catetei şi a în l imii pentru un triunghi dreptunghic şi a demonstrat concuren a mediatoarelor unui triunghi; Apolonius din Perga(262-200 î.e.n), unul din cei mai mari geometri ai antichit ii introduce pentru prima dat denumirile pentru conice, de elips , hiperbol , parabol şi no iunile de focare, normale şi defineşte omotetia şi inversiunea şi d o aproximare exact a lui π cu patru zecimale. este dat aria triunghiului în func ie de laturi sau în func ie de raza cercului înscris şi semiperimetru; Eratostene din Cyrene(275-195 î.e.n) introduce metoda de determinare a tuturor numerelor prime mai mici decât un num r dat, metod cunoscut sub numele de „Ciurul lui Eratostene” 108 în prima carte din „Elementele” lui Euclid este cunoscut teorema împ r irii cu rest şi „algoritmul lui Euclid” pentru aflarea c.m.m.d.c. a dou numere întregi 85-168 matematicianul grec Ptolemeu prezint în cartea sa „Almagest”, pe lâng vaste cunoştin e de astronomie şi trigonometrie şi diviziunea cercului în 360 de p r i congruente şi exprimarea acestora în frac ii sexagesimale. Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de c tre Pappos; acesta a mai dat şi defini ia conicelor precum şi teorema despre volumul corpurilor de rota ie Sec. 7 sunt cunoscute regulile de trei direct şi invers de c tre Bragmagupta, matematician indian; Arhimede(287-212 î.e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria şi volumul elipsoidului de rota ie şi ale hiperboloidului de rota ie cu pânze. 1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce nota ia pentru frac ia ordinar ; 1228- Fibonacci introduce denumirea pentru num rul zero, precum şi sistemul de numera ie zecimal. Tot prin opera sa „Liber abaci” sunt introduse pentru dat în Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii; 1150- este descris extragerea r d cinii p trate şi a celei cubice în cartea „ Lilavati” a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezint şi opera iile de înmul ire şi împ r ire cu numere negative; 1515- rezolvarea ecua iilor de gradul al treilea cu o necunoscut de c tre Scipio del Fero, iar mai târziu de Niccolo Tartaglia în 1530, şi pe acelea de gradul al patrulea de Ludovico Ferrari în 1545. Acestea au fost f cute cunoscute abia în 1545 de c tre Girolamo Cardano(1502-1576) în lucr rile sale, deşi promisese autorilor lor s nu le divulge; 109 1591-matematicianul francez Francois Viete(15401603) introduce formulele cunoscute sub numele de rela iile lui Viete; 1614- inventarea logaritmilor naturali de c tre John Neper(1550-1617); 1637- este introdus no iunea de variabil de c tre Rene Descartes(1596-1650), cel care a introdus literele alfabetului latin pentru nota ii şi a folosit coordonatele carteziene (definite dup numele s u), reducând problemele de geometrie la probleme de algebr ; 1640- este introdus denumirea pentru cicloid de c tre Galileo Galilei (1564-1642); 1654- începutul cre rii teoriei probabilit ilor datorat coresponden ei dintre Pierre Fermat(1601-1665) şi Blaise Pascal(1623-1662) şi dezvoltarea combinatoricii odat cu apari ia lucr rii lui Pascal, „Combina iones”; 1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) 1 1 introduce simbolul ∞ cu nota iile = ∞, = 0 şi a ∞ 0 denumirilor de interpolare respectiv mantis 1670- este determinat semnul sinusului şi desenat sinusoida respectiv secantoida de c tre John Wallis); 1678- este dat teorema lui Ceva de c tre Ceva Giovani(1648-1734); 1679- în „Varia opera mathematica” ap rut postum, a lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost dat „Marea teorem a lui Fermat”, reguli de integrare, defini ia derivatei. 1692- este scris primul manual de calcul integral de c tre matematicianul elve ian Jean Bernoulli(16671748)” Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque”, tip rit abia în 1742 şi de asemenea a mai scris un manual de calcul diferen ial, descoperit abia în 1920. „Regula lui l’Hospital” este dat de c tre Jean Bernoulli lui Guillaume de l’Hospital pe care acesta o public în 1696; 110 1690- este propus denumirea de integral de c tre Jacques Bernoulli(1654-1705) 1692- sunt descoperite propriet ile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli) 1694- este descoperit curba numit lemniscat , caracterizat de inegalitatea (1+x)n ≥ 1+nx (Jacques Bernoulli); 1696-1697- introducerea calculului varia ional, punerea problemei izoperimetrelor de c tre Jean Bernoulli. 1705- este dat „Legea numerelor mari” de c tre Jacques Bernoulli; 1711- realizarea dezvolt rii în serie a func iilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de c tre matematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calculului diferen ial şi integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716); 1729- este demonstrat existen a r d cinilor complexe în num r par a unei ecua ii algebrice cu coeficien i reali de c tre Mac Laurin Colin(1698-1746; 1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina pozi ia unui obiect în func ie de cele trei coordonate; 1733- crearea trigonometriei sferoidale de c tre Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elve ian Leonhard Euler(17071783) introduce şi calculeaz constanta 1 1 1 e= lim(1 + + + ... + − ln n) =0,577215..., n→∞; n 2 3 1739- introducerea conceptului de integral curbilinie de c tre Alexis Clairaut; 1746- rela ia lui Stewart este demonstrat de Mathew Stewart dup ce în prealabil ea îi fusese comunicat de c tre Robert Simson în 1735; 1747 este enun at problema celor trei corpuri de c tre Clairaut; 111 introducerea metodei multiplicatorilor nedetermina i în studiul sistemelor de ecua ii diferen iale de c tre Jean Le Rond D’Alembert(1717-1783); 1750- Gabriel Cramer d o regul de rezolvare a sistemelor cunoscut sub denumirea de metoda lui Cramer; 1755- sunt puse bazele calculului varia ional de c tre Lagrange(1736-1813) concomitent cu Euler, 1765- începutul cre rii geometriei descriptive de c tre Gaspard Monge(1746-1818); 1766- crearea mecanicii analitice de c tre Joseph Lagrange(1736-1813) cu enun area principiului vitezelor virtuale şi a ecua iilor Lagrange; 1767- demonstrarea ira ionalit ii lui π de c tre Heinrich Lambert(1728-1777); 1768- demonstrarea existen a factorului integrant la ecua iile diferen iale de ordinul întâi de c tre D’Alembert; 1771- a fost dat ecua ia planului normal şi formula distan ei dintre dou puncte din spa iu de c tre matematicianul francez G. Monge; 1775- introducerea no iunilor de solu ie general şi solu ie particular în teoria ecua iilor diferen iale de c tre Leonhard Euler; acesta a introdus şi func ia ϕ (n ) - indicatorul lui Euler, precum şi nota iile e, i, f(x)şi a creat teoria frac iilor continue; 1780- au fost introduse liniile de curbur ale suprafe elor(G. Monge); sunt descoperite func iile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); 1785- a fost dat ecua ia planului tangent(G. Monge); 1796- este dat „Teorema lui Fourier” de determinare a num rului r d cinilor reale cuprinse într-un interval, de c tre Joseph Fourier(1768-183); 1797- este dat formula creşterilor finite, cunoscut sub denumirea de „teorema lui Lagrange”; 112 1798- au fost considerate cosinusurile directoare ale unei drepte(G. Monge); este introdus simbolul [.], pentru partea întreag de c tre Arien Marie Legendre (1752-1833); 1807-, 1822 sunt date seriile Fourier care au contribuit la crearea teoriei analitice a c ldurii. 1812- este introdus seria hipergeometric de c tre Carl Friedrich Gauss(1777-1855) matematician german, cel care a demonstrat teorema fundamental a algebrei; 1816-1835- Augustin Cauchy(1789-1857), fondatorul analizei matematice moderne, a enun at criteriul de convergen al seriilor, criteriu care-i poart numele, a dat primele teoreme de existen din teoria ecua iilor diferen iale şi al ecua iilor cu derivate par iale, a introdus no iunile de afix, modul al unui num r complex, numere conjugate, transpozi ie; 1820- introducerea no iunii de raport anarmonic de Chasles Michel(1793-1880), fondatorul c tre geometriei proiective al turi de matematicianul francez Jean Poncelet; 1822 introducerea func iilor Bessel de c tre Friedrich Bessel; este introdus nota ia pentru integrala definit ∫ f ( x)dx , de c tre Fourier.; b a este propus denumirea de reprezentare conform de c tre Gauss; cercul lui Euler sau cercul celor nou puncte este considerat pentru prima dat de c tre Charles Brianchon , Jean Poncelet şi Karl Feuerbach, atribuinduse din greşeal numele lui Euler acestei teoreme; 113 1823-1831- începutul cre rii primei geometrii Bolyai(1802-1860) neeuclidiene de c tre Janoş concomitent şi independent de cea a lui Lobacevski. 1824este dat denumirea de geometrie neeuclidian de c tre Gauss; Niels Abel(1802-1829) demonstreaz imposibilitatea rezolv rii cu ajutorul radicalilor, a ecua iilor algebrice de grad mai mare decât patru; 1825- Abel introduce integralele ce-i poart numele; 1827- este creat teoria func iilor eliptice de c tre Abel; 1828 sunt introduse formele fundamentale ale suprafe elor şi curburii total a unei suprafe e(curbura Gauss) de c tre Gauss; demonstrarea teoremei lui Fermat pentru n=5 de c tre matematicianul german Dirichlet (1805-1859); 1830- este propus denumirea de grup cu în elesul actual de c tre matematicianul francez Evariste Galois(1811-1832); 1831- definitivarea calculului cu numere complexe de c tre Gauss ; 1834- introducerea no iunii de factor de discontinuitate, referitor la integralele 1837- introducerea nota iilor pentru limite laterale de c tre Dirichlet şi a func iei care îi poart numele, func ia Dirichlet; W. Hamilton introduce termenul de asociativitate a unei legi de compozi ie; 1839introducerea no iunii de integrale multiple(Dirichlet); 1840- este dat o form a eliminantului a dou ecua ii algebrice de c tre James Sylvester(1814-1897), matematician englez; 1841descoperirea invarian ilor de c tre matematicianul irlandez George Bole (1815-1864); 114 introducerea no iunilor de margine inferioar şi superioar ale unei func ii, de convergen uniform de c tre Weierstrass(1815-1897); 1843- descoperirea cuaternionilor de c tre William Hamilton (1805-1865); 1845- „Teorema limit central ” este dat de matematicianul rus Pafnuti Cebâşev; 1846- Legea numerelor mari – Cebâşev; introducerea variabilei complexe în teoria numerelor imaginare de c tre D’Alembert; 1847 este introdus calculul logic de George Boole, creatorul algebrei booleene; este introdus no iunea de ideal de c tre Ernest Kummel(1810-1893); 1851- sunt introduse no iunile de rang şi signatur a unei forme p tratice şi sunt propuse no iunile de matrice şi jacobian(J. Sylvester); introducerea sufrafe elor riemann de c tre matematicianul german Bernhard Riemann(1826-1866), lui datorându-se studiul integralei definite. 1852- introducerea segmentelor orientate AB de c tre Chasles Michael(1793-188) care a formulat şi propriet ile axei radicale a dou cercuri precum şi a conicelor şi cuadricelor. 1853- Kronecker(1823-1891) introduce nota ia a ij = det(a ij ) ; 1854- este introdus no iunea de oscila ie într-un punct de c tre Riemann care creeaz o nou geometrie neeuclidian , numit geometria sferic ; 1858- crearea calculului matriceal de c tre Arthur Cayley(1821-1895) matematician englez ; 1871 Dedekind introduce no iunile de corp şi modul ceeace în limbajul actual exprim no iunile de subcorp şi Z-submodul ale lui C. Tot el introduce mul imea întregilor unui corp de numere algebrice, definind şi 115 idealele acestei mul imi şi demonstreaz teorema fundamental de descompunere unic a oric rui ideal în produs de ideale prime; 1872introducerea structurilor de subinel şi modul de c tre Dirichlet; introducerea numerelor ra ionale prin t îeturi de c tre Dedekind; 1873- Charles Hermite(1822-1901) demonstreaz 1 transcenden a num rului e= lim (1 + ) n = 2,718281.... n →∞ n 1874- este dat denumirea de subgrup de c tre Sophus Lie(1842-1899); 1874-1897- crearea teoriei mul imilor de c tre Georg Cantor(1845-1918). El a introdus no iunile de mul ime deschis , mul ime închis , mul ime dens , mul ime bine ordonat , mul ime num rabil , punct de acumulare, punct izolat, produs cartezian, reuniune, intersec ie. 1878- rezolvarea problemei celor patru culori pentru colorarea h r ilor de c tre Cayley; 1880-sunt descoperite func iile automorfe de matematicianul francez Henri Poincare(1854-1912); 1882Ferdinand Lindemann(1852-1939) a demonstrat trascenden a num rului π =3,141592......; (un num r se numeşte transcedent dac nu este solu ia niciunei ecua ii algebrice cu coeficien i ra ionali); tot el demonstreaz imposibilitatea cvadraturii cercului cu rigla şi compasul; 1893- H. Weber, asociaz conceptului de corp, sensul de ast zi, ca o structur cu o lege de grup aditiv şi o înmul ire asociativ , distributiv şi în care orice element e inversabil; 1897- introducerea denumirii de inel de c tre Hilbert(1862-1943); 1899 -axiomatizarea geometriei de c tre David Hilbert; 116 1900introducerea axiomatic a numerelor întregi(D.Hilbert); 1905- este introdus no iunea de distan între dou mul imi închise de c tre matematicianul român Dimitrie Pompeiu(1873-1954); 1910- este introdus denumirea de func ional de c tre Jacques Hadamard (1865-1963), unul din fondatorii analizei func ionale; 1912 -este descoperit no iunea de derivat areolar (Pompeiu) 1927-s-a stabilit formula Onicescu referitoare la geodezice dat de Octav Onicescu(1892-1983); 1928 -este introdus func ia areolar-conjugat de c tre matematicianul român Miron Nicolescu(1903-1975); 1933 -introducerea func iilor convexe de ordin superior de c tre Tiberiu Popoviciu(1906-1975); 1936 -Matematicianul român Gheorghe Mihoc(19061981) d o metod cunoscut sub numele de metoda Schulz-Mihoc, de determinare a legilor limit ale unui lan Markov; 1941 -teorema lui Moisil referitoare la geodezicele unui spa iu riemannian este introdus de Grigore Moisil(1906-1973); 1944 -este introdus în domeniul algebrei moderne no iunea de signatur de c tre matematicianul român Dan Barbilian(1895-1961); 1950 -este introdus no iunea de Δ - derivat de c tre Dan Barbilian; 1996 -celebra conjectur a lui Fermat este demonstrat de c tre Andrew Wiles de la institutul Isaac Newton din Cambridge. 2000 -este determinat cel mai mare num r prim 269725931, având dou milioane de cifre, ob inut cu ajutorul a 20 de mii de calculatoare puse în re ea; 117 BIBLIOGRAFIE. 1: N. Mih ileanu- Istoria matematicii,vol.1,vol2.,Editura Ştiin ific şi enciclopedic ; Bucureşti,1974/ 1981; 2: Vasile Bobancu- Caleidoscop matematic, Editura Niculesu; 3. Neculai Stanciu, 100 de probleme rezolvate. Editura Rafet; 4. Mic enciclopedie matematic , Editura Tehnic , Bucureşti 118 Cuprins Aplica ii ale numerelor complexe în geometrie.............5 Sinteze matematice Mul imea numerelor reale...........................................37 Inegalit i....................................................................42 Mul imi. Opera ii cu mul imi..................................... 45 Progresii......................................................................47 Func ii.........................................................................50 Numere complexe.......................................................56 Func ia exponen ial şi logaritmic ............................59 Binomul lui Newton....................................................63 Vectori şi opera ii cu vectori..................................... .65 Func ii trigonometrice.................................................69 Formule trigonometrice...............................................72 Ecua iile dreptei în plan..............................................75 Conice..........................................................................77 Algebr liniar ..............................................................82 Şiruri de numere reale..................................................88 Limite de şiruri.............................................................93 Func ii continue...........................................................98 Derivate.......................................................................101 Studiul func iilor cu ajutorul derivatelor.....................103 Primitive......................................................................109 Probleme propuse şi rezolvate....................................117 Probleme.sinteze.........................................................128 Istoricul no iunilor matematice...................................143 119 120