Corrige Examen ST janvier 2015

Eléments de correction du sujet d’examen de Séries temporelles Master I Economie-Gestion Mention Ingénierie Economique et Statistique Mention Monnaie-Finance-Banque Professeur Georges Bresson Session Janvier 2015 Ces éléments de correction sont donnés à titre indicatif. Ils ne préjugent pas de la correction exacte des copies. 1 Exercice 1 Soit le vecteur Yt = (Y1t ; :::; YM t )0 de taille (M tation VAR(p) Yt = + 1 Yt 1 + 2 Yt 2 1). On suppose que Yt admet une représen- + ::: + p Yt p + "t , t = 1; :::; T où 1 ; :::; p sont des matrices (M M ) de paramètres, est un vecteur (M stantes et "t est un vecteur (M 1) de bruits blancs multivariés ("t iid (0M ; En utilisant l’opérateur de retard B tel que B p Yt = Yt p , on peut écrire 1B IM 2B 2 ::: p Yt = (B) Yt = pB Intéressons-nous au polynôme matriciel d’opérateurs de retard + "t + "t (B). Il peut se ré-écrire: 2 p (B) = IM ::: 1B 2B pB = IM [( 1 + 2 + ::: + p ) ( 2 + 3 + ::: + p )] B [( 2 + 3 + ::: + p ) ( 3 + 4 + ::: + p )] B 2 ::: p [( p 1 + p ) ( p )] B p 1 pB Posons et j = = + ::: + p [ j+1 + j+2 + ::: + 1 + 2 1 p] 1) de con)) " : pour j = 1; 2; :::; p 1 On peut alors écrire p 1 ::: [ p 2 ( p 1) Bp p 1] B 2 3 [ 3 ::: 2 1] B 2] B 1) B p 1 p ( p 1) B p 2] B 2 2 3 p 1 ::: + p 1Bp 1B + 1B 2B + 2B p 1B 2 p 1 (1 B) 1 B + 2 B + ::: + p 1 B (B) = IM [ = IM ( + [ p 1 = IM B = (IM B) 1] B [ [ 2] B 1 2 Donc (IM B) Yt 1B + 2B 2 + ::: + p 1B (B) Yt = (1 B)Yt = p 1 + "t + "t ou encore Yt = avec = (1 Yt Yt 1 + 1 Yt 2 + ::: + Yt p 1 (p 1) + + Yt 1 + "t B). En soustrayant de chaque côté Yt 1 ; on a Yt 1 = Yt = = 1 1 1 + 1+ 1+ Yt Yt Yt 1 où 0= ( p X IM ) = C.Q.F.D Yt Yt Yt 2 2 2 i i=1 2 2 ! + ::: + 2 + ::: + 2 + ::: + IM et Yt Yt Yt p 1 2 p 1 p 1 (p (p p X = j + 1) + 1) + (p 1) s + Y t 1 Yt +( IM ) Yt + 0 Yt 1 + "t pour j = 1; 2; ::; p + "t 1 + "t 1 1 s=j+1 Exercice 2 1. Soit un processus AR(1) sans constante et sans tendance: yt = yt iid (0; 2 ). 2.a) L’estimateur des MCO de 1 + "t où "t est: b= T P yt yt t=1 T P yt2 T 1 t=1 1 1 donc l’écart de l’estimateur à sa vraie valeur ( = 1) est: T (b 1) = T T P y t 1 "t t=1 T P 2 t=1 Or, en utilisant les relations T 3 T P t=1 tyt2 1 T 1 =T 2 T P t=1 T P t T yt2 L 1 ! ! t=1 2 R1 1 r: [W (r)]2 dr pour r = t=T 0 L y t 1 "t 2 yt2 1 2 2 [W 2 (1) 1] alors T 2 T P t=1 yt2 L 1 2 ! R1 T 1 P L 1 y t 1 "t ! T t=1 2 [W (r)]2 dr et 0 2 W 2 (1) 1 La distribution limite de l’estimateur des MCO est donc donnée par L T (b 1) ! 1 2 2 2 [W 2 (1) R1 1] L ! [W (r)]2 dr 0 C.Q.F.D 1 2 [W 2 (1) R1 [W (r)]2 dr 0 2.b) La statistique de Student de l’estimateur MCO de tb = b 1 bb 1] =s b bb2" = : 1 T P t=1 yt2 1 où bb2" est l’estimateur des MCO de la variance des résidus: bb2" = T P 1 T 1 t=1 La statistique de test s’écrit donc: tb = 1 b = bb bb" 0 1 T P 1 yt 1 "t T B C t=1 @ A T P T = soit 1 b yt2 2 T P t=1 1=2 yt2 1 1 t=1 bb" T (yt 2 T P t=1 T 1 b:yt 1 )2 T (b 1) = bb" T 2 T P t=1 1=2 yt2 1 1=2 yt2 1 T P y t 1 "t t=1 tb = bb" T 2 T P t=1 1=2 yt2 1 et en utilisant les propriétés de convergence précédentes, la distribution limite du t de Student est: 1 2 1 2 [W 2 (1) 1] 1] L L 2 [W (1) 2 s tb ! ! 1=2 R1 R1 2 [W (r)]2 dr : [W (r)]2 dr 0 0 C.Q.F.D. 3 3 Exercice 3 On considère les deux séries de taux de change journaliers euro/dollar (e/$) et livre sterling/dollar (£/$) sur la période du 7 Juillet 2002 au 6 Juin 2013, soit 3988 observations. Les séries sont en base 100% au 07/07/2002 avec 0:973331 e pour 1 $ et 0:6575 £ pour 1 $. Les séries sont nommées "EURO" et "BP" pour les taux de change (e/$) et (£/$) respectivement. 3.a) On constate sur la Figure 1 des évolutions non stationnaires des deux séries de taux de change. Le taux de change (e/$) a une tendance globalement croissante avec un pic durant l’année 2008 aux alentours de 1:6 (soit environ 1:6 0:973331 ' 1:557 e pour 1 $). Après ce pic, on constate une tendance globalement décroissante pour se stabiliser autour de 1:3 en juin 2013 (soit environ 1:3 0:973331 ' 1:265 e pour 1 $). Le taux de change (£/$) connaît d’abord une tendance globalement décroissante jusqu’en 2008 avec un minimum aux environs de 0:8 (soit 0:8 0:6575 ' 0:526 £ pour 1 $). A l’inverse de l’évolution de l’Euro, on constate ensuite un choc positif très fort avec un maximum aux alentours de 1 £ pour 1 $ et une évolution relativement stable ensuite. Ces évolutions non stationnaires semblent être associées à des périodes de volatilité plus ou moins fortes. A…n de véri…er la non stationnarité des séries de taux de change, on e¤ectue des tests de racine unitaire. La table 3 résume le test ADF avec constante et tendance de la série du taux de change (e/$). Rappelons que les tests ADF concernent 3 types de spéci…cations: modèle 3 Xt = + t + Xt 1 + p P j j=1 modèle 2 Xt = + Xt 1+ p P j=1 modèle 1 Xt = Xt 1 + p P j=1 j j Xt Xt Xt j j j + "t + "t + "t et on teste l’hypothèse de la présence d’une racine unitaire: H0 : H1 : = 1 ou < 1 ou =( =( 1) = 0 1) < 0 La règle de décision est la suivante: si la valeur calculée de la statistique de test associée à est supérieure à la valeur critique, on accepte l’hypothèse nulle de non stationnarité. On commence par le modèle 3 et on teste la présence du trend ( 6= 0). La table 3 nous précise que le critère AIC a sélectionné un modèle à 2 retards (p = 2). Le t de Student du trend est 0:517. La statistique théorique lue dans la table 2 est 3:46 à 1%, 2:78 à 5% et 2:38 à 10%. Comme 0:517 est inférieur à la valeur critique quel que soit le seuil, on rejette la présence du trend et on passe au modèle 2. On s’intéresse à la présence d’une constante ( 6= 0). La table 4 nous précise que le critère AIC a sélectionné un modèle à 2 retards (p = 2). Le t de Student de la constante est 2:6956. La statistique théorique lue dans la table 2 est 3:18 à 1%, 2:52 à 5% et 2:16 à 10%. Comme 2:6956 est supérieur à 2:52, on accepte la présence d’une constante avec une sécurité de 95%. On reste donc sur cette table et on s’intéresse au t de Student de . Il vaut 2:641. La statistique théorique lue dans la table 1 est 2:86 à 5%. Comme 2:641 est supérieur à 2:86, on accepte la présence d’une racine unitaire avec une sécurité de 95%. On peut donc conclure que le taux de change (e/$) est un processus I(1) avec constante et sans trend, avec une sécurité de 95%. La table 5 ne nous est d’aucune utilité puisqu’elle concerne le modèle sans constante et sans tendance. 4 Pour la série du taux de change (£/$), la table 6 nous précise que le critère AIC a sélectionné un modèle à 21 retards (p = 21), ce qui est peu compatible avec le principe de parcimonie! Le t de Student du trend 1:793 est inférieur à la statistique théorique lue dans la table 2 (3:46 à 1%, 2:78 à 5% et 2:38 à 10%). On rejette la présence du trend et on passe au modèle 2. La table 7 nous précise que le critère AIC a sélectionné également un modèle à 21 retards (p = 21). Le t de Student de la constante 1:706 est inférieur à la statistique théorique lue dans la table 2 (3:18 à 1%, 2:52 à 5% et 2:16 à 10%). On rejette la présence de la constante et on passe au modèle 1. La table 8 nous précise que le critère AIC a sélectionné également un modèle à 21 retards (p = 21). Le t de Student du coe¢cient de l’endogène retardé ( 0:0892) est supérieur à la statistique théorique lue dans la table 1 ( 2:58 à 1%, 1:95 à 5% et 1:62 à 10%). On accepte la présence d’une racine unitaire. On peut donc conclure que le taux de change (£/$) est un processus I(1) sans constante et sans trend, quel que soit le seuil. 3.b) On estime un modèle MA-EGARCH sur les taux de croissance journaliers des deux séries de taux de change log(e=$) et log(£=$). La table 9 précise que le modèle estimé est un MA(1)-GARCH exponentiel EGARCH(1,1) du type: 8 rt = at N (0; 1) 1 at , at = t " t , " t < 0 +g("t 1 ) 2 log ( t ) = 1 B : g ("t 1 ) = " 1 t 1 + 2 j"t 1 j où rt = log(e=$)t : Comme at = t "t , le modèle peut s’écrire: ( rt = at N (0; 1) 1 at , at = t " t , " t log ( 2t ) = log 2 t 1 + 0 + 1 at 1 t 1 + 2 at 1 t 1 La méthode d’estimation utilisée est le pseudo-maximum de vraisemblance (en appliquant l’algorithme de Marquardt) et en supposant la normalité des perturbations "t : L’échantillon couvre 3987 observations et l’algorithme a convergé vers le maximum de vraisemblance au bout de 37 itérations. Tous les coe¢cients de la spéci…cation MA(1)EGARCH(1,1) sont signi…cativement di¤érents de zéro quel que soit le seuil. Le coe¢cient MA(1) b1 = 0:2 est signi…cativement di¤érent de zéro permettant de rejeter l’hypothèse de marche aléatoire (“random walk"). Dans l’équation de volatilité, la constante b 0 (proxy de la variance non conditionnelle) est signi…cativement di¤érente de zéro et est estimée à 0:927 = exp ( 0:075) : Le coe¢cient de persistance de la volatilité b est très élevé (99:71%). Cependant, il n’y a pas de racine unitaire car son intervalle de con…ance à 95% de sécurité est: 0:9971 1:96 (0:00069) = [0:9957 ; 0:9984]. Le coe¢cient b 2 = 0:0592 est associé à l’e¤et de l’amplitude d’un choc tandis que b 1 = 0:0089 est associé à l’e¤et d’un choc positif (ou négatif). Comme b 1 est négatif, un choc négatif augmente la volatilité relativement à un choc positif. C’est l’e¤et de levier du 1er ordre. Pour la série du taux de change (£/$), la table 10 fournit des résultats à peu près comparables. L’algorithme a convergé vers le maximum de vraisemblance au bout de 17 itérations. Tous les coe¢cients de la spéci…cation MA(1)-EGARCH(1,1) sont signi…cativement di¤érents de zéro quel que soit le seuil. Le coe¢cient MA(1) b1 = 0:24 est également signi…cativement di¤érent de zéro permettant de rejeter l’hypothèse de marche aléatoire (“random walk"). Dans l’équation de volatilité, la constante b 0 (proxy de la variance non conditionnelle) est signi…cativement di¤érente de zéro et est estimée à 0:913 = exp ( 0:091) : Le coe¢cient de persistance de la volatilité b est également très élevé (99:67%). Mais, il n’y a pas de racine unitaire car son intervalle de con…ance à 95% de sécurité est: 0:9967 1:96 (0:00088) = [0:9949 ; 0:9984]. Le coe¢cient 5 b 2 = 0:0739 est associé à l’e¤et de l’amplitude d’un choc tandis que b 1 = 0:0175 est associé à l’e¤et d’un choc positif (ou négatif). Comme b 1 est positif, un choc négatif diminue la volatilité relativement à un choc positif. Les …gures 3 et 4 con…rment la bonne qualité de l’ajustement. L’erreur absolue moyenne en pourcentage (MAPE) est très faible (0.327 pour (e/$) et 0.297 pour (£/$)). Le coe¢cient d’inégalité de Theil (U) est très proche de 0: (0.0023 pour (e/$) et 0.0022 pour (£/$)). Rappelons que le coe¢cient d’inégalité est toujours compris entre 0 et 1, 0 indiquant un ajustement parfait et 1 un très mauvais ajustement. Eviews donne également les proportions de biais, de variance et de covariance de l’erreur quadratique moyenne. La proportion de biais (resp. de variance) donne la “distance”entre la moyenne (resp. la variance) de la série prévue et celle de la série observée. La proportion de covariance traduit les erreurs non systématiques restantes. La somme des proportions fait 1 et, pour une bonne qualité d’estimation, les proportions de biais et de variance sont faibles. Donc l’essentiel du biais est concentré dans la proportion de covariance. Ce qui est le cas ici à la fois pour (e/$) et pour (£/$). La …gure 4 compare les volatilités estimées pour les deux taux de change. Dans l’ensemble, ces volatilités ont des pro…ls très voisins, sauf pour la période 2008-2009, où le taux de change (£/$) a connu des épisodes de volatilité plus violents que le taux de change (e/$); le rapport fut presque de 1.4/0.9, soit 155%. 3.c) La volatilité e¤et, 2 t 2 t log peut être exprimée sous forme d’un modèle GARCH à seuil. En = log 2 t 1 + 0 + = log 2 t 1 + 0 + d’où 2 t 2 t 1 = :e 0 : exp [( exp [( 1 "t 1 ( ( 1 1 + 1 1 + 2 j"t 1 j + 2 ) "t 1 2 ) "t 2 ) "t 1 ] 2 ) "t 1 ] si si 1 si si "t "t "t "t 1 1 1 1 0 <0 0 <0 soit pour le taux de change (e/$) 2 t = 0:9970 2 t 1 :e 0:075 2 t = 0:9967 2 t 1 :e 0:091 : exp (0:0503"t 1 ) exp ( 0:0682"t 1 ) si si "t "t : exp (0:0914"t 1 ) exp ( 0:0564"t 1 ) si si "t "t et 1 1 1 1 0 <0 0 <0 pour le taux de change (£/$). 3.c) Pour un choc "standardisé" de magnitude 2 (i.e., 2 écarts-type), on a pour le taux de change (e/$): 2 t 2 t ( pour "t ( pour "t 1 1 = 2) exp ( 0:0682 ( 2)) 1:14614 = = = 1:0364 = +2) exp (0:0503(2)) 1:10583 l’impact d’un choc négatif est donc environ 3:64% plus important que l’impact d’un choc positif de même amplitude. Par contre, pour le taux de change (£/$): 2 t 2 t ( pour "t ( pour "t 1 1 = 2) exp ( 0:0564 ( 2)) 1:11941 = = = 0:9324 = +2) exp (0:0914(2)) 1:20057 l’impact d’un choc négatif est donc environ 6:76% moins important que l’impact d’un choc positif de même amplitude. 6 3.e) On souhaite estimer un système bivarié des taux de croissance des taux de change ( log(e=$); log($=$)). La table 11 décrit un ensemble de tests de spéci…cation a…n de déterminer le nombre de retards optimal pour un processus V AR(p) à deux variables (M = 2). Ce modèle s’écrit: (B)Y t = c + "t $ Y t = c + 1 Y t 1 + 2 Y t p X Y t + "t où "t N 0; Yt = c+ + :::: + 2 " pY t p et Y t = =1 + "t d log(e/$)t d log(£/$)t La table 11 a¢che (entre autres) des critères d’information tels que les critères AIC (Akaike information criterion), SC (Schwarz information criterion) ou HQ (HannanQuinn information criterion): 2 (M 2 p + M ) AIC = log b" + T 2 (M p + M ) log T SC = log b" + T 2 2 (M p + M ) log (log T ) HQ = log b" + T Ces 3 critères ne donnant pas forcément le même ordre optimal, on applique le principe de parcimonie en choisissant celui qui donne le plus petit ordre pour le V AR(p). Les astériques ( ) dans la table 11 nous indiquent le nombre de retards choisi par les critères de sélection. Ainsi, pour les trois critères, AIC, SC et HQ, le nombre optimal de retards est 2. On proposera un processus V AR(2) pour ce système de 2 variables. La table 12 nous fournit les résultats du test de causalité "à la Granger" entre d log(e/$)t et d log(£/$)t pour un processus V AR(2): En …xant a priori le nombre de retards p = 2 du processus V AR(p), on estime le modèle bivarié suivant: 8 > > < d log(e=$)t = > > : d log(£/$)t = 0;1 + 0;2 + p(=2) P =1 p(=2) P d log(e=$)t d log(£/$)t + + =1 1 1 = = 2 2 =0 =0 =1 p(=2) P d log(£/$)t + "1;t d log(e=$)t + "2;t =1 Ainsi, Eviews propose de tester les hypothèses nulles: H0 : H0 : p(=2) P dans la 1ère équation dans la 2ème équation $ d log(£/$) "ne cause pas" d log(e=$) $ d log(e=$) "ne cause pas" d log(£/$) Les statistiques F des tests de Wald sont fournies par le logiciel. A la lecture de la table 12, on constate que les valeurs du test F sont respectivement de 3:224 et 7:032 avec des niveaux marginaux de signi…cativité (p-value) de 0:0399 et de 0:0008. Autrement dit, on a 3:99% de chances de se tromper si on rejette l’hypothèse nulle: d log(£/$) "ne cause pas" d log(e=$). On peut donc conclure que d log(£/$) "cause au sens de Granger" d log(e=$) au risque de 5%. De même, on a 0:08% de chances de se tromper si on rejette l’hypothèse nulle: d log(e=$) "ne cause pas" d log(£/$). On peut donc conclure que d log(e=$) "cause au sens de Granger" d log(£/$) au risque de 5%. A priori, le modèle des taux de croissance des taux de change est un modèle avec feedback. 3.f) On estime un modèle VAR (non cointégré) pour les taux de croissance des taux de change. La table 13 montre que les coe¢cients sont tous signi…cativement di¤érents de 7 zéro à l’exception des constantes et des variables retardées d’ordre 2 dans l’équation du taux de change (e/$): 0 1 0:1938d log(e=$)t 1 + 0:0603d log($=$)t 1 d log(e=$)t A 0:0608d log(e=$)t 1 0:0575d log(e=$)t 2 =@ d log($=$)t +0:2653d log($=$)t 1 0:0901d log($=$)t 2 On a bien une relation positive entre les taux de croissance journaliers des taux de change, l’impact de la $ sur l’e étant plus important que l’impact de l’e sur la £. En s’intéressant au système équation par équation, on peut donner approximativement l’élasticité de long terme de l’Euro par rapport à la Livre Sterling par le ratio: 0:0603=(1 0:1938), soit 0:0748. Pour la seconde équation, l’élasticité de long terme de la Livre Sterling par rapport à l’Euro est donnée par le ratio: (0:0608 0:0575)=(1 (0:2653 0:0901)), soit 0:004. Les R2 nous montrent que ce modèle n’explique cependant que 2:5% et 4:8% des ‡uctuations des taux de croissance des taux de change. Néanmoins, les autocorrelations et les corrélations croisées des résidus (…gure 5) con…rment l’absence de corrélation sérielle. La …gure 6 représente les fonctions de réponses impulsionnelles. Les erreurs "t ont été orthogonalisées en supposant que le vecteur des innovations canoniques "t est une combinaison linéaire d’innovations structurelles ! t : "t = P ! t où P est une matrice triangulaire inférieure et ! t N (O; D) et où D est une matrice diagonale diag( 2!1 ; 2!2 ). Donc V ar("t ) = P DP 0 . Cette méthode consiste à attribuer la totalité de l’e¤et de la composante commune à la variable qui intervient en premier dans le système (ici d log(e=$)). Ainsi, la seconde innovation n’a pas d’impact courant sur la première innovation. La réponse de (d log(e=$)) à un choc d’un écart-type sur ses innovations est relativement faible, même instantanément (+0:5%) et s’atténue très rapidement au bout de 2 jours. La réponse du taux de croissance du taux de change (e=$) à des chocs sur le taux de croissance du taux de change (£=$) est quasiment nul même instantanément. De même, la réponse de (d log(£=$)) à un choc d’un écart-type sur ses innovations est également faible, même instantanément (+0:3%) et s’atténue très rapidement au bout de 2 jours. Par contre, la réponse du taux de croissance du taux de change (£=$) à des chocs sur le taux de croissance du taux de change (e=$) est d’abord négative ( 0:3%) puis s’atténue ensuite au bout de 2 jours. Tous ces e¤ets sont donc transitoires et s’estompent très rapidement. 8