Ficha IV

FICHA IV | AM III Ano: 2o Ano - UNICV - 2016/2017 1o Semestre Conteúdo 1. Módulo III e IV Objectivos: 1. Esboçar subconjuntos de C e identificar conjuntos simplesmente conexos; 2. Identificar curvas simples, fechadas, suaves e regulares; 3. Reparametrizar curvas; 4. Calcular integrais de funções complexas de variável real / integrais de caminho e fórmula de integral de Cauchy. Questões Parte I 1. Considere as seguintes curvas: √ (a) γ(t) = t + i 1 − t2 , −1 ≤ t ≤ 1 (b) γ(t) = t + 2i t , (c) γ(t) = 3t + 1≤t≤2 it2 , −1 ≤ t ≤ 1 i. Verifique se são simples, fechadas, suaves e regulares ii. Determine as suas curvas opostas iii. Esboce o traço de cada uma das curvas. 2. Identifique os conjuntos simplesmente conexos: (a) C \ {0, i}  (b) B1 (1 + i)∩ z ∈ C : Re(z) < 1 ∨ Im(z) ≤ 32 (c) C \ {z ∈ C : Re(z) = 0} (d) C \ {z ∈ C : Re(z) > 0} 3. Seja f (t) = u(t) + i v(t), t ∈ [a, b] e u (t) , v (t) são continuas em I = [a, b]. Mostre que: ´b f (t) dt = a f (t) dt, sendo f a função conjugada de f.  ´ ´ b b (b) Re a f (t) dt = a Re (f (t)) dt  ´ ´ b b (c) Im a f (t) dt = a Im (f (t)) dt. (a) ´b a 4. Calcule (a) (b) ´ ´ [i,1+i] sin (2z) [1,i] (2 dz + iz)2 dz. Crispiniano Furtado e Narciso Gomes - {crispiniano.f urtado, narciso.gomes}@docente.unicv.edu.cv Pág. 1 de 3 FICHA IV | AM III Ano: 2o Ano 2016/2017 - UNICV - 1o Semestre 5. Considere o caminho γ (t) =  3π t i  e 2 ,   t ∈ [0, 1] t − 2 + (t − 3) i, t ∈ [2, 3] (a) Represente-o geometricamente (b) Calcule ˆ 1 dz. γ 6. Seja f : C → C dada por f (z) = z + cx, para qualquer z = x + iy ∈ C, em que c é uma constante complexa. Sejam γ1 e γ2 duas curvas unindo os pontos −i e i, em que γ1 une −i a i pelo segmento de recta e γ2 une −i a i pela semicircunferência de raio 1 e pertence ao semiplano Re z ≥ 0. Calcule: ´ γ1 f (z) dz e ´ γ2 f (z) dz 7. Calcule pela definição o integral de f (z) = πez ao longo da fronteira do quadrado com vértices nos pontos 0, 1, 1 + i e i, percorrida uma vez no sentido positivo. 8. Calcule pela definição o integral de f (z) = z − 1 ao longo da curva de z = 0 para z = 2 que consiste: (a) Na semicircunferência parametrizada por γ(t) = 1 + eit , π ≤ t ≤ 2π (b) No segmento real parametrizado por γ(t) = t, 0 ≤ t ≤ 2 (c) Explique porque é que as respostas a (a) e (b) têm que ser iguais. 9. Mostre que ´ 1 γ z 4 +1 dz ≤ Rπ , R4 −1 onde γ é a curva dada pela semicircunferência {z ∈ C : |z| = R, Im z ≥ 0} 10. Calcule ˛ z Log (z) dz |z|=1 onde Log (z) designa o logaritmo principal e |z| = 1 é percorrida no sentido positivo. Parte II 1. Calcule: ´ (a) γ |z| dz, γ (t) = 3eit , 0 ≤ t ≤ 32 π ´ √ (b) γ z dz, γ (t) = eit , −π ≤ t ≤ π ´ (c) γ log (z) dz, γ (t) = eit , 0 ≤ t ≤ π2 2. Represente geometricamente e indique o sentido das curvas definidas por φ : [a, b] → C em cada um dos seguintes casos: Crispiniano Furtado e Narciso Gomes - {crispiniano.f urtado, narciso.gomes}@docente.unicv.edu.cv Pág. 2 de 3 FICHA IV | AM III Ano: 2o Ano 2016/2017 - UNICV - 1o Semestre (a) [0, 1] , φ (t) = t + 2i (2t − 1)
(b) [0, 1] , φ (t) = 2 − 2t2 + it
(c) [−1, 0] , φ (t) = t + i 2t2 − 2   it (d) − π4 , 5π 4 , φ (t) = 2e 3. Aplicando as fórmulas de integral de Cauchy, calcule: (a) (b) (c) ¸ ¸ ¸ ez |z−1|=1 (z−1)2 ez |z|=1 z dz 1 |z−1|=1 z 2 −1 4. Mostre que 5. Calcule ¸ dz 1 2πi 1 γ z 2 −4 ´ dz ezt |z|=3 z 2 +1 dz = sin (t) . dz onde γ é uma curva de Jordan (s.r.) que contém no seu interior −2 e 2. 6. (Teste 07-03-2014) Mostre que ˛ γ com n ∈ N0 , sendo z0 = π 2 2π eiz dz = − in ,
π n+1 n! z− 2 um do interior de γ e γ uma curva de Jordan. 7. Usando a fórmula de integral de Cauchy, calcule os seguintes integrais: ¸ ¸ ¸ 2 dz (a) |z|=r e−z1(z) dz (e) |z|=2 zz 2+3z+2i (c) |z−2|=3 sin(z) z−4 dz +3z+4 ¸ ¸ ¸ z z e (b) |z−1|=1 (z−1) (d) |z|=1 ez dz (f) |z−1|=1 z 21−1 dz 2 dz (g) ¸ eiz |z|=1 2z+i dz -FIMApêndice Fórmula de integral de Cauchy ˛ γ f (z) dz = 2πi f (z0 ) z − z0 Fórmula de integral de Cauchy (para derivadas) ˛ f (z) γ (z − z0 ) n+1 dz = 2πi (n) f (z0 ) n! Crispiniano Furtado e Narciso Gomes - {crispiniano.f urtado, narciso.gomes}@docente.unicv.edu.cv (1) (2) Pág. 3 de 3