Aplicación de límites

DOS PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN DE LIMITES Y CINCO PROBLEMAS PARA QUE RESUELVAS DE TAREA. t +4 −3 , donde V es el volumen t−5 expresado en m3 y t el tiempo en minutos. ¿ A qué valor se aproxima el volumen cuando el tiempo se aproxima a 8 minutos? 1. Una piscina se vacía según la función V = SOLUCIÓN: Para expresar la condición del problema, primero se define a través de la siguiente t +4 −3 para evaluar y definir el valor del volumen en el expresión de límite lim t−5 t→5 tiempo t=8 min lim t +4 −3 t − 5 , bajo las condiciones iniciales cuando t → 5 , vemos que la evaluación t→5 0 , por lo que se tiene que hacer uso de procedimientos 0 algebraicos para resolver, en éste caso de la racionalización. del límite nos lleva a Evaluando el límite nos quedaría: lim t +4 −3 t−5 t→5 lim t +4 −3 t +4 +3 . t−5 t + 4 + 3 , a éste procedimiento se le llama racionalizar, ya que se t→5 hace uso de la operación contraria que la raíz tiene con cualquier otro valor. Se hacen las operaciones correspondientes quedando lo siguiente: lim t→5 ( ) 2 t+4 −9 t +4 −3 t +4 +3 . = t−5 t + 4 + 3 (t − 5) ( ) t +4 +3 lim ( ) 2 t+4 −9 (t − 5) ( ) = t +4 +3 t+4−9 (t − 5) ( ) t +4 +3 = t−5 (t − 5) ( ) t +4 +3 t→5 Como puedes observar el t − 5 es un factor común en el numerador y denominador de la expresión anterior, por lo que se puede reducir a lo siguiente: lim t−5 (t − 5) ( ) t +4 +3 = 1 t +4 +3 t→5 Hasta aquí llegamos a la mínima expresión de t , ahora vamos a evaluar el límite en la función para definir el valor buscado de V cuando t → 5 lim 1 1 1 = = t +4 +3 5+ 4 +3 6 t→5 Por lo que se concluye que cuando t se aproxima a 5 minutos, el valor del volumen se 1 aproxima a , es decir cuando t se aproxima a 5 min, quedaría .16666 m3 de agua 6 para que se terminara de vaciar la piscina. 2. El tiempo que demora una motocicleta en minutos, está expresado por la función x 2 − 5x − 24 , donde x es la distancia en metros. ¿A qué valor se aproxima el tiempo t= x −8 cuando la distancia recorrida se aproxima a 8 metros? SOLUCIÓN: Como en el problema anterior, para expresar la condición del problema, primero se x 2 − 5x − 24 lim define a través de la siguiente expresión de límite para después x −8 x →8 evaluar y definir el valor del tiempo para la distancia recorrida lim 2 x 2 − 5x − 24 8 − 5 (8) − 24 0 = = x −8 0 , bajo las condiciones iniciales cuando x → 8 , 8−8 x →8 0 , por lo que se tiene que hacer uso de 0 procedimientos algebraicos para resolver, en éste caso de la factorización. vemos que la evaluación del límite nos lleva a lim x 2 − 5x − 24 ( x − 8) ( x + 3) = x −8 x −8 x →8 simplificando la expresión para evaluar posteriormente el límite, nos queda: lim ( x − 8) ( x + 3) = x + 3 x −8 x →8 Como puedes observar el factor x‐8 se encuentra en el numerador y denominador de la fracción, por lo que se hace una unidad y por lo tanto ya no se ve, por lo que el límite sólo es evaluado en el factor x+3 lim x + 3 = 8 + 3 = 11 x →8 Por lo que se concluye que cuando la distancia se aproxima a 8 metros, el tiempo se aproxima a 11 minutos. Ahora te toca trabajar a ti , resuelve los siguientes problemas, estableciendo primero la condición de límite y posteriormente resolver bajo las condiciones que establezca en el límite la función, es importante que concluyas de acuerdo al resultado obtenido. PROBLEMAS PARA RESOLVER DE TAREA: t +3 −2 , donde V es el volumen t −1 expresado en m3 y t el tiempo en horas. ¿ A qué valor se aproxima el volumen cuando el tiempo se aproxima a 1 hora? 1. Una piscina se vacía según la función V = x2 + 9 − 3 , donde x2 x es el ancho del terreno expresado en metros. ¿A qué valor se aproxima el área del terreno, cuando su ancho se aproxima a cero? 2. El área de un terreno rectangular está dado según la función A = w−2 , donde w es el trabajo w2 − 4 que realiza el motor expresado en joules (J). ¿A qué valor se aproxima la potencia del motor, sabiendo que el trabajo que realiza es de 2 J? 3. La potencia de un motor está dada por la función P = t −1 t −1 donde t es el tiempo en horas. ¿A que valor se aproxima la distancia recorrida cuando el tiempo se aproxima a 1 hora? 4. La distancia que recorre una motocicleta en km esta dado por la función x = 5h − h 2 + 3h 3 , donde h 2h + h 3 − h 4 es la densidad. ¿ A qué valor se aproxima la presión cuando la densidad se aproxima a cero? 5. La presión en un fondo marino está dada por la función p =