SOAL LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN (Tugas) 1. Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajar Algoritma tetapi tidak belajar Matematika”. a. Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik (ekspresi logika) b. Berikan pernyataan yang ekivalen secara logika dengan pernyataan tsb. 2. Mutu sebuah hotel diterangkan sebagai berikut: Pelayanannya baik, Tarif kamarnya murah, dan Hotelnya berbintang tiga. Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik (menggunakan p, q, r): a. Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk. b. Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidak keduanya. c. Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murah dan pelayanannya buruk. 3. Ubah ke dalam ekspresi logika: “Anda mempunyai akses internet hanya jika anda mahasiswa Matematika UIN atau anda bukan mahasiswa UB” 4. Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untuk menarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto “Barang bagus tidak murah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “Barang murah tidak bagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama? 5. Misalkan pernyataan sebagai berikut: x : Anda berusia 17 tahun y : Anda dapat memperoleh SIM Nyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi: a. Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM. b. Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun. c. Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun. d. Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun. e. Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun. 6. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” 7. Nyatakan kovers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut: “Jika saya mempunyai waktu dan tidak capek, maka saya akan beli buku”. 8. Sederhanakan ekspresi logika berikut ini a. ~[~((p v q) ∧ r) v ~q] b. [(p v q) ∧ (p v ~q)] v q c. (p ⟹ q) ∧ [~q ∧ (r v ~q)] d. ~(p v q) v [(~p v q) v ~q] e. (~p v ~q) ⟹ (p ∧ q ∧ r) 9. Dengan menggunakan tabel kebenaran dan hukum-hukum logika buktikan bahwa pernyataan berikut tautologi: a. [(p ⟹ q) ˄ p] ⟹ q b. [(p ⟹ q) ˄ ~ q] ⟹ ~ p c. [(p ˅ q) ˄ ~ p] ⟹ q d. [(p ˅ q) ˄ ~ p] ⟹ q e. [(p ˅ q) ˄ ~ (~ p ˄ q)] ⟺ p 10. Tentukan kevalidan argument-argumen berikut: a. [� ∧ � ⟹ � ∧ (−� ∨ �)] ⟹ � � ⟹ � ∧ � ⟹ −� ∧ � ⟹ −� b. 11. Tentukan kevalidan argument-argumen berikut: a. Premis 1: � ⟹ � Premis 2: −� Premis 3: −� ---------------------Konklusi: −(� ∨ �) b. Premis 1: � ⟹ (� ⟹ �) Premis 2: −� ⟹ −� Premis 3: � ---------------------Konklusi: −(� ∨ �) c. Premis 1: � ∨ � Premis 2: − � ∨ � Premis 3: − � ---------------------Konklusi: � 12. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat dan kalimat-kalimat terbuka p(x): x ≤ 3, q(x): x + 1 ganjil, dan r(x): x > 0. a. Tentukan semua nilai x sedemikian hingga pernyataan [�(�) ∧ � � ] ∧ � � benar. b. Tentukan lima bilangan bulat positif terkecil x sehingga pernyataan � � ⟹ −� � ∧ � � benar c. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan � 0 ⟹ [−� −1 ⟺ � 1 ] 13. Misalkan semesta terdiri dari semua bilangan bulat. Didefinisikan kalimat-kalimat terbuka sebagai berikut: p(x): x2 – 2x – 3 q(x): x ganjil r(x): x > 0 a. ∀�[� � ⟹ � � ] f. ∃�[� � ⟹ � � ] g. ∀�[−� � ∨ � � ] b. ∀�[� � ⟹ � � ] c. ∃�[� � ⟹ � � ] h. ∀�[−� � ⟹ −� � ] i. ∃�[� � ⟹ (� � ∧ � � )] d. ∃�[� � ∧ � � ] e. ∀�[� � ⟹ � � ] j. ∀�[(� � ∨ � � ) ⟹ � � ] 14. Misalkan kalimat terbuka p(x,y) dengan semesta {1, 2, 3}. Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut menggunakan disjungsi atau konjungsi. a. ∃� �(�, 3) d. ∃� ∃� �(�, �) b. ∀� �(1, �) e. ∀� ∀� �(�, �) c. ∀�∀� �(�, �) 15. Negasikan dan sederhanakan pernyataan-pernyataan berikut: a. ∀�[� � ⟹ � � ] b. ∃� � � ∨ � � c. ∀�[� � ∧ −� � ] d. ∃� (� � ∧ � � ) ⟹ �(�) 16. Buktikan bahwa pangkat dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil 17. Buktikan bahwa pangkat tiga bilangan ganjil adalah bilangan ganjil 18. Buktikan bahwa jika x bilangan ganjil dan y bilangan ganjil, maka x + y adalah bilangan genap 19. Buktikan bahwa jika x bilangan ganjil dan y bilangan ganjil, maka xy adalah bilangan ganjil 20. Buktikan bahwa jika x bilangan genap, maka x + 3 adalah bilangan ganjil 21. (Buktikan dengan bukti tidak langsung). Jika x dan y adalah bilangan bulat dengan x + y genap, maka x dan y mempunyai paritas sama. 22. (Buktikan dengan bukti tidak langsung). Untuk setiap bilangan bulat n, jika �! ganjil, maka n ganjil. 23. (Buktikan dengan bukti tidak langsung). Jika x adalah bilangan genap, dan y adalah bilangan ganjil, maka x + y adalah bilangan ganjil. 24. (Buktikan dengan bukti tidak langsung). Jika x adalah bilangan genap, maka � ! adalah bilangan genap. 25. (Buktikan dengan bukti tidak langsung). Jika x adalah bilangan ganjil, maka � ! adalah bilangan ganjil. 26. Dengan menggunakan bukti dengan kontradiksi, buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat n, jika �! ganjil, maka n ganjil 27. Dengan menggunakan bukti dengan kontradiksi, untuk n tidak habis dibagi 3 jika dan hanya jika �! - 1 habis dibagi 3. 28. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika: 1 + 3 + 5 + … + n = ¼ (n + 1)2 untuk setiap bilangan bulat positif ganjil n. 29. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika: 5! − 1 habis di bagi 4 untuk n bilangan bulat positif. 30. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika: 1 + 2 + 4 + … + 2!!! = 2! − 1