Nonlinear Dynamics, Bifurcation and Stability

Inhaltsverzeichnis

1. Kap 1.1 Laser...........................................................................................................................2
2. Kap 1.2 Modenamplituden ...............................................................................................2
3. Kap 3 Wahrscheinlichkeit ...............................................................................................2
4. Kap 3.5 Die Abhängigkeit der Entropie von der Zeit .......................................................2
5. Kap 3.6 Die Liouville Gleichung ........................................................................................... 3 6. Kap 4.1 Wahrscheinlichkeitsdichte und Normalverteilung .......................................4
7. Kap 4.6 Das Prinzip der detaillierten Bilanz ...............................................................4
8. Kap 4.10 Irreversibler Prozess .......................................................................................4
9. Kap 4.11 Irreversible Thermodynamik .......................................................................4

10. Kap 5.1 Der anharmonische Oszillator .......................................................................4
11. Kap 5.4 Die Bifurkation ...............................................................................................5
12. Kap 5.5 Die Katastrophenmenge ...............................................................................6
13. Kap 6.1 Das Dissipations-Fluktuations-Theorem ......................................................... 6
14. Kap 6.7 Der Phasenübergang zweiter Ordnung .......................................................6
15. Kap 7.1 Die adiabatische Näherung ...............................................................................7
16. Kap 7.2 Versklavung ........................................................................................................7
17. Kap 7.3 Fluktuationen und Potentiale .......................................................................7
18. Kap 7.7 Ungedämpfte Moden .......................................................................................8
19. Kap 8.1 Selbstorganisation .......................................................................................8
20. Kap 8.4 Kohärentes Laserlicht .......................................................................................9
21. Kap 8.7.3 Der Einmodenlaser .......................................................................................9
22. Kap 8.8 Das Taylorproblem .......................................................................................9

23. Kap 8.12 Symmetriebrechung ....................................................................................10
24. Kap 8.14 Instabilitätspunkte ....................................................................................10
25. Kap 9.8 Netzwerktheorie ............................................................................................10
26. Kap 10.2 Trajektorien ....................................................................................................10
27. Kap 10.3 Auftreten neuer Arten ............................................................................11
28. Kap 10.4 Das Nervennetzwerk ....................................................................................11
29. Kap 10.5 Die Diffusionskonstante ............................................................................11
30. Kap 10.6 Modellbildung in der Morphogenese: Physikalisches und Biologisches      System .....................................................................................................................................11
31. Kap 11.1 Das Ising Modell ............................................................................................12
32. Kap 11.2 Lokale und allgemeine Phänomene ...................................................13
33. Kap 11.3 Wirtschaftsvorgänge, Technische Neuerungen, Innovationen ...........13
34. Kap 12.1 Chaos ............................................................................................................15
35. Kap 12.4 Die Lorenz Gleichungen ............................................................................15
36. Kap 12.5 Chaotische Bewegung ............................................................................16
37. Kap 12.6 Advanced Synergetics ............................................................................16
38. Kap 13 Analogien zwischen völlig verschiedenen Systemen ............................16

Ein System, das auf der Grenzlinie zwischen natürlichem System und von Menschenhand gemachtem Apparat liegt, ist der Laser. Wir behandeln den Laser, als Apparat, obwohl das Auftreten von Lasertätigkeit (im Mikrowellenbereich) auch im interstellaren Raum beobachtet wurde.

Kap. 1.2 Die erste Klasse der Beispiele bezog sich auf abgeschlossene Systeme. Daraus, sowie aus einer Vielzahl anderer Beispiele, schließt die Thermodynamik, dass die Entropie in abgeschlossenen Systemen niemals abnimmt. Dieses Theorem zu beweisen ist Aufgabe der statistischen Mechanik. Immerhin beleuchtet es das erste Grundproblem bei vielkomponentigen Systemen: Wie sieht eine adäquate Beschreibung in makroskopischen Begriffen aus oder, in welchen Moden wird das System arbeiten? Der Grund liegt in der Linearität der entsprechenden Bewegungsgleichungen, die dazu führt, dass irgendeine Superposition von Lösungen wieder eine Lösung dieser Gleichungen darstellt. Es wird sich herausstellen, dass die Gleichungen, die die Selbstorganisation regieren, nichtlinear sind.

Anstatt alle atomaren Koordinaten von sehr vielen Freiheitsgraden zu kennen, benötigen wir nur einen einzigen oder sehr wenige Parameter, z.B. die Amplitude einer Mode. Wie wir später sehen werden, bestimmen die Modenamplituden die Art und den Grad der Ordnung. Aufgrund dieser Tatsache werden wir sie als Ordnungsparameter bezeichnen und eine Verbindung zur Idee der Ordnungsparameter bei Phasenübergängen herstellen. Das Modenkonzept schließt eine Skalierungseigenschaft ein.

Raumzeitliche Muster können ähnlich sein, unterschiedlich bloß durch die Ausdehnung (Skala) der Amplitude. (Im Übrigen spielt dieses " Ähnlichkeitsprinzip " eine wichtige Rolle bei der Mustererkennung im Gehirn. Allerdings ist bisher kein Mechanismus bekannt, der dies erklären könnte. So wird beispielsweise ein Dreieck als solches erkannt, unabhängig von seiner Ausdehnung (Größe) und Lage).
Kap. 3 In diesem Kapitel wollen wir aufzeigen, wie wir durch eine gewisse Neuinterpretation der Wahrscheinlichkeit in eine scheinbar völlig verschiedene Disziplin, die Informationstheorie nämlich, Einblick gewinnen können.

Kap. 3.5 Da wir Prozesse untersuchen wollen, lassen wir jetzt zu, daß die Entropie S von der Zeit abhängt. Präziser ausgedrückt, wir betrachten zwei Untersysteme mit den Entropien S und S', die anfangs unter verschiedenen Bedingungen gehalten werden, z.B. auf verschiedenen Temperaturen. Die lokale Produktionsrate der Entropie führt zu einer zeitlichen Entropieänderung (erster Term auf der linken Seite) und einem Entropiefluss (zweiter Term).

Metzler's model is an important contribution to our understanding of the dynamics of business cycles. In his model, the production of consumption goods depends on expected future sales. However, Metzler assumes that producers are homogeneous and follow a simple expectation formation rule. Taking into account that in reality producers might not only follow several expectation formation rules but also even switch between them, we reformulate Metzler's original model. As it turns out, endogenous business cycles may emerge within our model, i.e. changes in production and inventory are (quasi-)periodic for certain parameter combinations.

In this paper, we formulated a new topologically equivalence dynamics of an Extended Rosenzweig-MacArthur Model. Also, we investigated the local stability criteria, and determine the existence of co-dimension-1 Hopf-bifurcation limit cycles as the bifurcation-parameter changes. We discussed the dynamical complexities of this model using numerical responses, solution curves and phase-space diagrams.

Recent experimental evidence on the clustering of glutamate and GABA transporters on astrocytic processes surrounding synaptic terminals pose the question of the functional relevance of the astrocytes in the regulation of neural activity. In this perspective, we introduce a new computational model that embeds recent findings on neuron–astrocyte coupling at the mesoscopic scale intra- and inter-layer local neural circuits. The model consists of a mass model for the neural compartment and an astrocyte compartment which controls dynamics of extracellular glutamate and GABA concentrations. By arguments based on bifurcation theory, we use the model to study the impact of deficiency of astrocytic glutamate and GABA uptakes on neural activity. While deficient astrocytic GABA uptake naturally results in increased neuronal inhibition, which in turn results in a decreased neuronal firing, deficient glutamate uptake by astrocytes may either decrease or increase neuronal firing either transiently or permanently. Given the relevance of neuronal hyperexcitability (or lack thereof) in the brain pathophysiology, we provide biophysical conditions for the onset identifying different physiologically relevant regimes of operation for astrocytic uptake transporters.

Slides, presentation by J.B. Owens, World Economic History Congress, MIT, USA.
J. B. Owens and Vitit Kantabutra, "Using Agent-Based Modeling (ABM) to simulate, within the context of the Intentionally-Linked Entities (ILE) database management system, missing information: To explain self-organization and emergence in the world's commercial and political networks during the First Global Age, 1400-1800"