左邊嘅抽象 圖解顯示一嚿駁住條彈弓 嘅物體 喺度彈上彈落，進行打戙嘅簡諧運動。右邊顯示個過程嘅相空間 表示。 簡諧運動 （粵拼 ：gaan2 haai4 wan6 dung6 力學 上成日會講到嘅一種週期性 嘅郁動 ，係振盪 嘅一種。用日常用語講嘅話，簡諧運動係指一股力 係噉作用喺一件沿直線 郁動 嘅物體身上，而呢股力嘅數值大細同件物體離一個中心點嘅位移 成正比 ，而且同個位移方向相反，所以嚿物體一離開個中心點就會受到股力推佢返去中心點嗰度 ，用數學方程式 表達即係[ 1]
F
s
=
−
k
x
{\displaystyle F_{s}=-kx}
胡克定律 ；Hooke's law）當中
F
s
{\displaystyle F_{s}}
x
{\displaystyle x}
k
{\displaystyle k}
常數 。舉個簡化嘅例子，想像家陣有嚿物體駁住條彈弓 喺度彈上彈落（好似附圖噉），彈弓呢樣嘢嘅特徵係一旦俾某啲力拉長或者撳短，就會施返股力嚟令自己返去原本長度，所以嚿物體一離開中心點（搞到條彈弓拉長咗或者撳短咗），條彈弓就會施力令自己返去中心點嗰陣嘅長度，於是就令到嚿物體係噉重複彈上彈落。如果摩擦力 唔存在，上述嘅過程可以永遠噉一路進行落去[ 1] [ 2]
簡諧運動嘅概念好有用：簡諧運動嘅現象响彈弓同埋好多嘢嘅振盪嗰度都會睇得到；除咗噉，簡諧運動仲有得用嚟大致上 噉模擬到好多其他嘅自然現象 ，包括咗係擺 嘅擺動同埋係分子 嘅震動呀噉。因為噉，簡諧運動嘅概念喺物理學 同工程學 嘅多個領域上都會用到[ 3] [ 4]
簡諧運動喺英文入便個名叫 simple harmonic motion ，簡稱 SHM 。
簡諧運動定義 上係郁動 嘅一種，而呢種郁動涉及[ 1]
一件物體 沿住一條直線 （打橫、打棟定係打鈄都得），喺條直線嘅兩個極點之間來來去去噉郁動；而且
喺成個過程入面，件物體都會一路受住一股力 ，呢股力喺方向上永遠都向住兩個極點之間嘅某個定死咗嘅點（平衡點 ；equilibrium position）嗰度，而且股力喺數值上同件物體離平衡點嘅位移 成正比 嘅。 例如一嚿駁住條彈弓嘅嘢彈嚟彈去就係簡諧運動嘅一個例子。好似下圖噉嘅樣：
根據胡克定律 （Hooke's law），一條彈弓嘅長度離自己嘅自然長度愈遠（即係俾人拉長或者撳短得愈犀利），條彈弓就會施股愈勁嘅力嚟回復原本嗰個長度。呢條定律用數學方程式 嚟表達嘅話係[ 5] [ 6]
F
=
−
k
x
{\displaystyle F=-kx}
喺呢條式入面，
F
{\displaystyle F}
牛頓 做單位 ；
x
{\displaystyle x}
米 做單位；而
k
{\displaystyle k}
常數 就反映咗條彈弓嘅剛度 （stiffness），
k
{\displaystyle k}
用胡克定律分析一嚿物體用條彈弓吊住喺度唔郁：嚿物體維持唔郁就表示速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
a
=
0
{\displaystyle \mathbf {a} =0}
F
n
e
t
=
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=0}
F
n
e
t
=
m
g
−
k
x
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=mg-kx}
m
g
{\displaystyle mg}
重量 ，簡化講即係會令嚿物體向下加速嘅力 ；因為
F
n
e
t
=
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=0}
m
g
=
k
x
{\displaystyle mg=kx}
k
x
{\displaystyle kx}
想像而家有一件俾人擺喺一個平面上嘅波，個波嘅質量 係
m
{\displaystyle m}
平衡位置 －嗰陣，條彈弓喺正佢嘅自然長度，所以根據胡克定律，條彈弓施喺個波身上嘅力會係[ 6]
F
=
−
k
(
0
)
=
0
{\displaystyle F=-k(0)=0}
然後有股外來嘅力 拉個波，將個波移離平衡位置，去到離平衡位置
x
o
{\displaystyle x_{o}}
x
max
{\displaystyle x_{\text{max}}}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
摩擦力 （包埋空氣阻力）可以忽略嘅話，喺股外來拉力啱啱放手嘅嗰一刻：
F
n
e
t
=
−
k
s
x
o
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=-k_{s}x_{o}}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
忽略咗空氣阻力同埋摩擦力，而嗰股外來力啱啱放咗手。
F
n
e
t
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }}
淨力 （net force；指作用喺個波身上嘅力嘅總和），而
k
s
{\displaystyle k_{s}}
x
o
≠
0
{\displaystyle x_{o}\neq 0}
F
n
e
t
≠
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }\neq 0}
牛頓第二定律 ，個波嘅加速度
a
o
{\displaystyle a_{o}}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
F
n
e
t
=
m
a
o
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=ma_{o}}
[
2
]
{\displaystyle [2]}
F
n
e
t
≠
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }\neq 0}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
考慮加速度嘅定義－
a
=
d
v
d
t
{\displaystyle \mathbf {a} ={\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!}
[
3
]
{\displaystyle [3]}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
[
2
]
{\displaystyle [2]}
d
v
d
t
≠
0
{\displaystyle {\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!\neq 0}
當中
d
v
d
t
{\displaystyle {\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!}
速度 （
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
時間 （
t
{\displaystyle t}
導數 」－即係速度隨時間改變嘅率。
順帶一提，因為條彈弓施喺個波身上嗰股力傾向令後者返去平衡位置嗰度（回復平衡），所以又嗌做回復力 （restoring force）。
跟住落嚟會發生以下嘅事：
當個波愈嚟愈近個平衡位置但仲未去到嗰度（
0
<
x
o
<
x
max
{\displaystyle 0<x_{o}<x_{\text{max}}}
x
o
{\displaystyle x_{o}}
F
n
e
t
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }}
a
o
{\displaystyle a_{o}}
[ 7]
F
n
e
t
≠
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }\neq 0}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
F
n
e
t
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }}
v
o
≠
0
{\displaystyle v_{o}\neq 0}
v
o
{\displaystyle v_{o}}
當個波終於返到去個平衡位置嗰陣，
x
o
=
0
{\displaystyle x_{o}=0}
F
n
e
t
=
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=0}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
a
o
=
0
{\displaystyle a_{o}=0}
[
2
]
{\displaystyle [2]}
v
o
≠
0
{\displaystyle v_{o}\neq 0}
d
v
d
t
=
0
{\displaystyle {\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}\,\!=0}
因為個波向另一個方向郁（
x
min
<
x
o
<
0
{\displaystyle x_{\text{min}}<x_{o}<0}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
F
n
e
t
≠
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }\neq 0}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
F
n
e
t
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }}
v
o
≠
0
{\displaystyle v_{o}\neq 0}
個波減速到咁上下，個波個速度會變咗做 0。喺個波嘅速度變 0 嗰一點（
x
o
=
x
min
{\displaystyle x_{o}=x_{\text{min}}}
x
o
≠
0
{\displaystyle x_{o}\neq 0}
[
1
]
{\displaystyle [1]}
[
2
]
{\displaystyle [2]}
F
n
e
t
≠
0
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }\neq 0}
a
o
≠
0
{\displaystyle a_{o}\neq 0}
F
n
e
t
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }}
v
o
=
0
{\displaystyle v_{o}=0}
上述嘅過程重重複複噉就會令到件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去，而且如果冇能量 散失嘅話（睇埋熱力學第二定律 ），呢個過程永遠都唔會停[ 1] [ 7]
根據相關嘅物理定律 ，喺一場簡諧運動當中是但一個時間點 ，以下呢幾條式都會成立[ 8]
F
n
e
t
=
−
k
s
x
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=-k_{s}x}
[
4
]
{\displaystyle [4]}
－根據胡克定律 ，而且假設空氣阻力 同摩擦力 細到可以忽略；
F
n
e
t
=
m
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
[
5
]
{\displaystyle [5]}
－根據牛頓第二定律 ；
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
位移 嘅導數 嘅導數」，即係加速度 。
m
d
2
x
d
t
2
=
−
k
s
x
{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k_{s}x}
[
6
]
{\displaystyle [6]}
－將
[
4
]
{\displaystyle [4]}
[
5
]
{\displaystyle [5]}
[
6
]
{\displaystyle [6]}
微積分 方法解咗佢嘅話就會搵到（睇正弦 同餘弦 ）[ 8]
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
t
)
+
v
0
ω
sin
(
ω
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \left(\omega t\right)}
[
7
]
{\displaystyle [7]}
呢條式又有得寫做
x
(
t
)
=
A
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)}
[
8
]
{\displaystyle [8]}
當中
ω
=
k
m
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
tan
φ
=
c
2
c
1
{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}
A
=
c
1
2
+
c
2
2
{\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}
按照呢啲式，將
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
[ 9]
下圖噉嘅動畫顯示，如果將一場簡諧運動入面嘅
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
振幅 （amplitude）－
A
{\displaystyle A}
位移 。由畫出嚟嗰個圖嗰度睇到，件物體喺兩個極點之間郁嚟郁去，
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
斜率 反映）嘅數值喺
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
A
{\displaystyle x=A}
=
0
{\displaystyle =0}
[ 10]
v
(
t
)
=
d
x
d
t
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}
定義 ）；
[
9
]
{\displaystyle [9]}
代咗
[
8
]
{\displaystyle [8]}
[
9
]
{\displaystyle [9]}
v
(
t
)
=
−
A
ω
sin
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle v(t)=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}
[
10
]
{\displaystyle [10]}
最大速度：
A
ω
{\displaystyle A\omega }
a
(
t
)
=
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}
[
11
]
{\displaystyle [11]}
代咗
[
8
]
{\displaystyle [8]}
[
11
]
{\displaystyle [11]}
a
(
t
)
=
−
A
ω
2
cos
(
ω
t
−
φ
)
{\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )}
[
12
]
{\displaystyle [12]}
a
(
x
)
=
−
ω
2
x
.
{\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}
ω
2
=
k
m
{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}
[
13
]
{\displaystyle [13]}
最大加速度：
A
ω
2
{\displaystyle A\omega ^{2}}
只要呢個系統 冇因為空氣阻力呢啲嘢而搞到能量 流失走嘅話，呢件物體嘅簡諧運動會係噉持續到去永遠，所以簡諧運動係一種週期性 （periodic）嘅郁動 ，而一場簡諧運動嘅
頻率 （frequency；指每單位時間 入面場郁動重複幾多次）同週期 （period；指重複一次所需嘅時間）都有得靠上面嗰柞方程式搵出嚟[ 8] [ 11]
因為
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega =2\pi f}
f
=
1
2
π
k
m
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
[
14
]
{\displaystyle [14]}
當中
f
{\displaystyle f}
T
=
1
/
f
{\displaystyle T=1/f}
T
{\displaystyle T}
T
=
2
π
m
k
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}
[
15
]
{\displaystyle [15]}
上面呢兩條式表示咗，簡諧運動係等時 （isochronous）嘅－個頻率同週期同場郁動嘅振幅冇啦掕。
將
k
/
m
{\displaystyle k/m}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
系統 喺是但一點時間點
t
{\displaystyle t}
動能
K
{\displaystyle K}
[ 12] [ 13]
K
(
t
)
=
1
2
m
v
2
(
t
)
{\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)}
定義 ）；
[
16
]
{\displaystyle [16]}
跟手代頭先
[
10
]
{\displaystyle [10]}
K
(
t
)
=
1
2
m
ω
2
A
2
sin
2
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )}
[
17
]
{\displaystyle [17]}
K
(
t
)
=
1
2
k
A
2
sin
2
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )}
[
18
]
{\displaystyle [18]}
而是但一點時間點
t
{\displaystyle t}
位能
U
{\displaystyle U}
U
(
t
)
=
1
2
k
x
2
(
t
)
{\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)}
[
19
]
{\displaystyle [19]}
跟手代頭先
[
8
]
{\displaystyle [8]}
U
(
t
)
=
1
2
k
A
2
cos
2
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )}
[
20
]
{\displaystyle [20]}
假設冇能量流失，噉成個系統喺是但一點時間點
t
{\displaystyle t}
機械能 （動能同位能嘅總和）
E
{\displaystyle E}
E
=
K
+
U
{\displaystyle E=K+U}
[
21
]
{\displaystyle [21]}
代頭先
[
18
]
{\displaystyle [18]}
[
20
]
{\displaystyle [20]}
E
=
1
2
k
A
2
sin
2
(
ω
t
+
φ
)
+
1
2
k
A
2
cos
2
(
ω
t
+
φ
)
{\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )+{\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi )}
[
22
]
{\displaystyle [22]}
因為無論
θ
{\displaystyle \theta }
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
E
=
1
2
k
A
2
{\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}kA^{2}}
[
23
]
{\displaystyle [23]}
擺 （pendulum）係簡諧運動嘅一個實際應用例子。想像一個擺，個擺搵條繩吊咗喺天花板 度，個擺而家揈去左邊，去到左邊嘅最高點之後會揈返去右邊，去到右邊嘅最高點之後會揈去左邊... 如此類推，即係好似下圖噉嘅郁動[ 14] [ 15]
當中藍色箭咀表示速度 ，紅色箭咀表示加速度 。想像家陣個擺同垂直線 成嘅最大角度（
θ
{\displaystyle \theta }
[ 註 1] 大致上噉 當佢做一場打橫嘅簡階運動噉嚟睇，如果單擺條繩嘅長度係
ℓ
{\displaystyle {\displaystyle \ell }}
重力加速度 係
g
{\displaystyle {\displaystyle g}}
[ 14] [ 16]
T
=
2
π
ℓ
g
{\displaystyle {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}}
[
24
]
{\displaystyle [24]}
呢條式講嘅係，週期
T
{\displaystyle T}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
圓周率 兩倍）、
ℓ
{\displaystyle \ell }
g
{\displaystyle g}
標準重力 ），當中圓周率係常數 ，
g
{\displaystyle g}
地球 上會近乎係常數咁滯，而
ℓ
{\displaystyle \ell }
鐘 ，個鐘擺條繩嘅長度設好咗，令個鐘擺會每 1 秒擺一次，如果個鐘擺有用齒輪 等嘅機件 駁落去一支秒針嗰度，就會做得到用個鐘擺計時嘅效果[ 14] [ 17]
一個左右揈嘅鐘擺可以用嚟帶動一個齒輪 。
↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley.
↑ Galeriu, C., Edwards, S., & Esper, G. (2014). An Arduino investigation of simple harmonic motion. The Physics Teacher , 52(3), 157-159.
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