環同態

在環論或抽象代數中，環同態是指兩個環R與S之間的映射f保持兩個環的加法與乘法運算。

更加精確地，如果R和S是環，則環同態是一個函數f : R → S，使得：

如果我們不要求環具有乘法單位元，則最後一個條件不需要。

性質

直接從這些定義，我們可以推出：

f(0) = 0
f(−a) = −f(a)
如果a在R內具有乘法逆元，則f(a)在S內具有乘法逆元，且有f(a⁻¹) = (f(a))⁻¹。
f的核，定義為ker(f) = {a in R : f(a) = 0}，是R內的一個理想。每一個交換環R內的理想都可以從某個環同態用這種方法得出。對於具有單位元的環，環同態的核是一個沒有單位元的子環。
環同態f是單射，當且僅當ker(f) = {0}。
f的像，im(f)，是S的一個子環。
如果f是雙射，那麼它的逆映射f⁻¹也是環同態。在這種情況下，f稱為同構。在環論的立場下，同構的環不能被區分。
如果存在一個環同態f : R → S，那麼S的特徵整除R的特徵。這有時候可以用來證明在一定的環R和S之間，不存在環同態R → S。
如果R是一個域，則f要麼是單射，要麼是零函數。（但是，如果f保持乘法單位元，則它不能是零函數）。
如果R和S都是域，則im(f)是S的一個子域（如果f不是零函數）。
如果R和S是交換環，S沒有零因子，則ker(f)是R的一個素理想。
如果R和S是交換環，S是一個域，且f是滿射，則ker(f)是R的一個最大理想。
對於每一個環R，都存在一個唯一的環同態Z → R。這就是說，整數環是環範疇中的始對象。

函數f : Z → Z_n，由f(a) = [a]_n = a mod n定義，是一個滿射的環同態，它的核為nZ。
當n > 1時，不存在環同態Z_n → Z。
如果R[X]表示變量為X的所有實係數多項式的環，C表示複數域，則函數f : R[X] → C，由f(p) = p(i)定義（在多項式p中用虛數單位i來代替變量X），是一個滿射的環同態。f的核由R[X]內所有能被X² + 1整除的多項式組成。.

在環範疇中，單射的環同態與單同態是相等的：如果f:R→S是單同態而不是單射，則它把某個r₁和r₂映射到S的同一個元素。考慮從Z[x]到R的兩個映射g₁和g₂，分別把x映射到r₁和r₂；f o g₁和f o g₂是相等的，但由於f是單同態，這是不可能的。

然而，在環範疇中，滿射的環同態與滿同態是非常不同的。例如，Z ⊆ Q是滿同態，但不是滿射。