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態射

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態射(英語:Morphism)在數學中是指兩個數學結構之間保持結構的一種映射

許多當代數學領域中都有態射的身影。例如,在集合論中,態射就是函數;在群論中,它們是群同態;而在拓撲學中,它們是連續函數;在泛代數(universal algebra)的範圍,態射通常就是同態

對態射和它們定義於其間的結構(或物件)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中,態射不必是函數,而通常被視為兩個物件(不必是集合)間的箭頭。不像映射一個集合的元素到另外一個集合,它們只是表示域(domain)和對應域(codomain)間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的,多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子,在那裡物件就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。

定義

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一個範疇C由兩個給定:一個物件的類和一個態射的類。

有兩個操作定義在每個態射上,(domain,或源)和對應域(codomain,或目標)。

態射經常用從域到他們的對應域的箭頭來表示,例如若一個態射f域為X而對應域為Y,它記為f : XY。所有從XY的態射的集合記為homC(X,Y)或者hom(X, Y)。(有些作者採用MorC(X,Y)或Mor(X, Y))。

對於任意三個物件XYZ,存在一個二元運算hom(X, Y)×hom(Y, Z) → hom(X, Z)稱為複合。f : XYg : YZ的複合記為gf(有些作者採用fg)。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如

態射必須滿足兩條公理

  • 存在恆等態射:對於每個物件X,存在一個態射idX : XX稱為X上的恆等態射,使得對於每個態射f : AB我們有
  • 滿足結合律在任何操作有定義的時候。

C是一個具體範疇的時候,複合只是通常的函數複合,恆等態射只是恆等函數,而結合律是自動滿足的。(函數複合是結合的。)

注意域和對應域本身是決定態射的資訊的一部分。例如,在集合的範疇,其中態射是函數,兩個函數可以作為有序對的集合相等,但卻有不同的對應域。這些函數從範疇論的目的來說被視為不同。因此,很多作者要求態射類hom(X, Y)是不交的。實際上,這不是一個問題,因為如果他們不是不交的,域和對應域可以加到態射上,(例如,作為一個有序三元組的第二和第三個分量),使得它們不交(互斥,disjoint)。

態射的類型

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  • 同構(isomorphism):令f : XY為一個態射。若存在態射g : YX使得成立,則f稱為一個同構g稱為f的逆態射,逆態射g如果存在就是唯一的,而且顯而易見g也是一個同構,其逆為f。兩個物件之間有一個同構,那麼這兩個物件稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。[1][2]
  • 滿同態英語epimorphism(epimorphism):令態射f : XY,如果對於所有YZ的態射g1g2,稱態射f為滿同態。這也稱為epiepic.具體範疇中的滿同態通常是滿射(surjective)函數,雖然並不總是這樣。[3][2]
  • 單同態英語monomorphism(monomorphism):令態射f : XY,如果對於所有ZX的態射g1g2成立,則稱f為單同態。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射(injective)函數。[4][2]
  • 雙同態(bimorphism):若f既是滿同態也是單同態,則稱f為雙同態(bimorphism)。

注意每個同構都是雙同態,但不是每個雙同態都是同構。例如,交換環的範疇中,包含映射Z → Q是一個雙同態,但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構,則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如,集合是一個平衡範疇。

  • 自同態(endomorphism):任何態射f : XX稱為X上的一個自同態
  • 自同構(automorphism):若一個自同態也是同構的,那麼稱之為自同構。
  • f : XYg : YX滿足可是證明f是滿的而g是單的,而且 : XX冪等的。這種情況下,fg稱為分割(split). f稱為g的收縮(retraction)而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射,或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

例子

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更多的例子參看範疇論條目。

參看

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腳注

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  1. ^ isomorphism - 同構頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Group Homomorphisms頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),大學基礎代數李華介頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),國立台灣師範大學數學系
  3. ^ epimorphism - 蓋同態頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院
  4. ^ monomorphism - 嵌型同態;單同態 網際網路檔案館存檔,存檔日期2013-10-20.,雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網,國家教育研究院