Malthus' lov

Under optimale betingelser vokser en population af bakterier eksponentielt.

Malthus' lov er en af de simpleste modeller for populationsvækst og opkaldt efter Thomas Malthus. Ifølge loven vokser populationer eksponentielt.

Loven

Modellen kan skrives som:

${\frac {dN}{dt}}=\alpha N$

hvor $N$ er populationens størrelse, $t$ er tid, og $\alpha$ er en konstant vækstrate. Hvis populationen til tiden 0 har størrelsen $N_{0}$, er løsningen:

$N(t)=N_{0}e^{\alpha t}$

Denne form er kontinuer og dækker derfor kun tilfælde, hvor populationen er stor og generationstiden er kort. For små populationer med lange generationstider kan den diskrete version benyttes:

$N_{t+1}=\lambda N_{t}$

hvor $\lambda$ er en konstant.

Udledning

Modellen bygger på en antagelse om, at der altid er en given procentdel $a$ af populationen, der formerer sig og en procentdel $b$, der dør. Effektivt vokser populationen derved med procentdelen $\alpha$:

$\alpha =a-b$

Den totale ændring per tid er derfor proportional med populationsstørrelsen:

${\frac {dN}{dt}}=\alpha N$

Dette er en differentialligning.