Kartio

Kartio on geometrinen kappale, joka syntyy kun puolisuoraa liikutetaan pitkin tasossa olevaa suljettua (ja itseään leikkaamatonta) käyrää siten, että puolisuoran päätepiste pysyy koko ajan paikallaan. Puolisuora muodostaa liikkuessaan kartion vaipan (kartiopinnan) ja tasossa oleva suljettu käyrä sisältää kartion pohjan. Mainittu puolisuoran päätepiste on kartion kärki eli huippu. Kärjen ja pohjan kohtisuora välijana on kartion korkeus. Kärjen ja pohjan välinen osa muodostajasuorasta on sivujana.

Kartio

Ympyräkartio on kartio, jonka pohja on ympyrä. Sen akseli on pohjan keskipisteen ja kärjen välinen yhdistysjana.

Suora ympyräkartio (kreik. κώνος) muodostuu, kun suorakulmaista kolmiota pyöräytetään toisen lyhyen sivunsa ympäri. Tästä tulee kartion akseli (ja samalla korkeus) ja toisen lyhyen sivun piirtämä ympyrä muodostaa kartion pohjan. Näin syntyvää kartiota kutsutaan myös pyöräyskartioksi. Käytännössä suora ympyräkartio voidaan valmistaa ympyrästä leikkaamalla siitä sektori ja yhdistämällä leikatut reunat toisiinsa.

Pyramidi eli särmäkartio on kartio, jonka pohja on monikulmio.

Katkaistu kartio on kartio, jonka huippu on leikattu pois pohjan suuntaisella tasolla. Leikkauskuvio ja pohja ovat tällöin yhdenmuotoiset ja niiden alojen suhde on pienemmän kartion ja koko kartion korkeuksien suhteen neliö.

Kaavoja

Kartion tilavuus $V$ lausuttuna sen pohjan pinta-alan $A$ ja korkeuden $h$ avulla on

$V={1 \over 3}Ah$

Suoran ympyräkartion tilavuus, $V$, kun sen korkeus on $h$ ja pohjan säde $r$, on 1/3 vastaavan mittaisesta sylinteristä:

$V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}$

Tasaista kiinteää massaa olevan suoran ympyräkartion painopiste sijaitsee sen akselilla 1/4 korkeudella pohjasta.

Suoran ympyräkartion pohjan ja vaipan yhteispinta-ala $A$ on

$A=\pi r(r+s)\,$

missä $s\,$ on kartion pintaa pitkin pituus pohjan reunasta huippuun, $\pi r^{2}\,$ on pohjan pinta-ala ja $\pi rs\,$ on vaipan pinta-ala; $s$ voidaan laskea kaavalla $s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$.

Katkaistun kartion tilavuus on

$V={1 \over 3}h(A+{\sqrt {AA'}}+A')$

missä $h$ on korkeus ja $A$ ja $A'$ pohjien alat.

Katkaistun ympyräkartion tilavuus on

$V={1 \over 3}\pi h(r^{2}+rr'+r'^{2})$

kun $h$ on korkeus ja $r$ ja $r'$ pohjien säteet.

Katkaistun suoran ympyräkartion vaipan pinta-ala on

$A=\pi (r+r')s$

missä $s$ on sivujanan pituus ja $r$ ja $r'$ pohjien säteet. Vaipan ala on aina suurempi kuin kartion pohjien pinta-alojen erotus.

Suora ja kalteva kartio

Katso myös

• Kartioleikkaus

Lähteet

Markku Ekonen, Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Timo Taskinen: Lukion lyhyt matematiikka, Sigma 2 Geometria. Helsinki: Sanoma Pro, 2012.

Aiheesta muualla

• Opetus TV: Kartio