Riemann-integrál

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészelés).

Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület

Riemann-összegek egy sorozata az integrálási intervallum fölötti szabályos felosztású partíción. A felül lévő szám a téglalapok területeinek az összegét mutatja, ami a függvény integráljához konvergál.

A partíciónak ugyanakkor nem kell szabályosnak lennie. A szükséges kritérium a partíciósorozatra (amely fölött vesszük a Riemann összegek sorozatát) az, hogy minden részintervallum hosszának 0-hoz kell tartania.

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Riemann-integrál definíciója

Riemann definíciója

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

Integrálható (azon belül folytonos) függvény.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen $F_{n}=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ halmazzal, ahol $a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b$. Ezt az F_n halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: $d(F_{n})$

Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása

Mindegyik [x_i-1, x_i] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξ_i elemet.

Állítsunk f(ξ_i) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})$

Ezt a $\Delta x_{i}=(x_{i}-x_{i-1})$ jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

$\sigma (F_{n})=\sum _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}=f(\xi _{1})\Delta x_{1}+f(\xi _{2})\Delta x_{2}+\,\cdots \,+f(\xi _{n})\Delta x_{n}$

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: $\{F_{n}\}=F_{1},F_{2},F_{3},F_{4},\ldots$. Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a $\{d(F_{n})\}=d(F_{1}),d(F_{2}),\ldots$ sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ vagy röviden: $\int \limits _{a}^{b}f$.

$d(F_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (F_{n})\to \int \limits _{a}^{b}f$

Összefoglalva:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$

ahol

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b$

$x_{i-1}\leq \xi _{i}\leq x_{i}$

$\lim _{n\to \infty }\max \left\{x_{i}-x_{i-1}|1\leq i\leq n\right\}=0$

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Jellemzés a Darboux-integrálokkal

Ha a $\sigma _{n}$ összegben az $f(\xi _{i})$ helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$, ahol $M_{i}$ a függvény felső határa (supremuma) az $[x_{i-1},x_{i}]$ intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: $s_{n}=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$, ahol $m_{i}$ az függvény alsó határa (infimuma) az $[x_{i-1},x_{i}]$ intervallumon.

A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:

${\underline {\int _{a}^{b}}}=\sup \limits _{a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b}\,\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1}})$,

és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál:

${\overline {\int _{a}^{b}}}=\inf \limits _{a=x_{1}<\ldots <x_{n}=b}\,\sum _{i=1}^{n}{M_{i}(x_{i}-x_{i-1}})$.

Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.

A Riemann-integrál tulajdonságai

Kapcsolata a folytonossággal

Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.

Ha $f$ Riemann-integrálható $[a,b]$-n, és

$F(t)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt$,

akkor $F$ folytonos $[a,b]$-n.

Linearitás

Ha $f,g$ az $[a,b]$ intervallumon Riemann-integrálható függvények, $c$ valós konstans, akkor $f\pm g$ és $cf$ is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:

$\int _{a}^{b}f(x)\pm g(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\pm \int _{a}^{b}g(x)\,dx$

$\int _{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Az integrációs határok felcserélése

Ha $f$ Riemann-integrálható $[a,b]$ intervallumon, akkor

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx$

Az integrációs intervallum felbonthatósága

Legyen $a<b<c$. Ha $f$ Riemann-integrálható $[a,c]$ intervallumon, akkor Riemann-integrálható $[a,b]$ és $[b,c]$ intervallumokon is, valamint:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{a}f(x)\,dx=0$

Háromszög-egyenlőtlenség

Ha $f$ az $[a,b]$ intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor $|f|$ is az, és teljesül a következő:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx$

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

Ha $f,g$ az $[a,b]$ intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right|\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}}{\sqrt {\int _{a}^{b}g^{2}(x)\,dx}}$

Newton–Leibniz-formula

A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel az Isaac Barrow által felfedezett Newton–Leibniz-formula:

Ha $[a,b]$-n $F'=f$, akkor

$\int _{a}^{b}f(x)dx={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.

Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha $f$ Riemann-integrálható $[a,b]$-n, és $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ (azaz $F$ határozatlan integrálja f-nek), akkor $F'(x)=f(x)$, az intervallum minden $x$ pontjára.

Parciális integrálás

A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,dx={\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,dx$

Helyettesítéses integrálás

Legyen $x=\varphi (t)$, ahol $\varphi$ folytonosan differenciálható, és $f$ folytonos $[a,b]$ $\varphi$ általi képén. Ekkor

$\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt$

A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma

Egy $[a,b]$ intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és $[a,b]$ majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Egyéb integrálok

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

• Banach-integrál
• Burkill-integrál
• Daniell-integrál
• Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
• Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
• Dirichlet-integrál
• Euler-integrál
• Fejér-integrál
• Haar-integrál
• Henstock–Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
• Henstock–Kurzweil–Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
• Itô-integrál
• Itô–Stieltjes-integrál
• Lebesgue-integrál
• Lebesgue–Stieltjes-integrál (Lebesgue–Radon-integrál néven is)
• mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
• Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
• Poisson-integrál
• Radon-integrál
• Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann–Stieltjes-integrálnak is nevezik)
• sztochasztikus integrál
• Wiener-integrál
• Young-féle integrál

További információk

• Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel. Szerző: David M. Harrison

Források

• Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
• Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
• Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
• Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.