Աբստրակտ հանրահաշիվ

Աբստրակտ հանրահաշիվը (նաև բարձրագույն հանրահաշիվ կամ ընդհանուր հանրահաշիվ), մաթեմատիկայի բաժին է, որն ուսումնասիրում է հանրահաշվական համակարգերը (նաև կոչվում են հանրահաշվական կառուցվածքներ), ինչպիսիք են խմբերը, օղակները, դաշտերը, մասնակի կարգավորված բազմությունները, ցանցերը, ինչպես նաև արտապատկերումները այդ կառուցվածքների միջև։

Պատմականորեն հանրահաշվական կառուցվածքները նախ առաջացել են մաթեմատիկայի այլ ոլորտների մեջ։ Աբստրակցիայից և աքսիոմատիկ սահմանումների ձևակերպումից հետո նրանք դառնում էին աբստրակտ հանրահաշվի հետազոտման առարկա։ Այդ իսկ պատճառով աբստրակտ հանրահաշիվը կիրառություն է գտնում մաթեմատիկայի բազմաթիվ այլ ոլորտներում։

Ստորև թվարկվում են աբստրակտ հանրահաշվի հիմնական հարաբերությունների և կառուցվածքների սահմանումները։ Բերվում են գրաֆային օրինակներ։ Բազմություն, բազմության պատկանելիություն, գործողություններ բազմությունների հետ և բազմությունների հետ կապված այլ հասկացությունների մեկնաբանությունը կարելի է գտնել Բազմությունների տեսություն բաժնում։

Բինար Հարաբերություններ և գործողություններ նրանց հետ

• Հարաբերություն - $A\times B$ դեկարտյան արտադրյալի $\alpha \subseteq A\times B$ ենթաբազմությունն անվանում ենք բինար հարաբերություն $A$ և $B$ բազմությունների տարրերի միջև։ $A$ և $B$ բազմությունները կոչվում են բինար հարաբերության հենքային բազմություններ։ $\alpha \subseteq A\times B$ հարաբերության պրոյեկցիան i-րդ առանցքի վրա կանվանենք այն բազմությունը, որի տարրերն են i-րդ առանցքի վրա $\alpha$- ի տարրերի պրոյեկցիանները և միայն նրանք. $pr\alpha =\{pr{\underline {i}}(a,b)/a\alpha b\}$
• Ֆունկցիոնալ հարաբերություն - $\alpha \subseteq A\times B$ հարաբերությունն անվանենք ֆունկցիոնալ հարաբերություն, եթե ստույգ է $\forall x(x\in A)|\alpha (x)|\leq 1$ պնդումը։ $\alpha \subseteq A\times B$ ֆունկցիոնալ հարաբերությունը անվանենք ամենուրեք որոշված, եթե $\forall x(x\in A)|\alpha (x)|=1$, կամ որ նույնն է, եթե $A=pr{\underline {1}}\alpha$։ Ամենուրեք որոշված $\alpha \subseteq A\times B$ ֆունկցիոնալ հարաբերությանն անվանում են ֆունկցիա կամ $A$ բազմության արտապատկերում $B$ բազմության մեջ և գրում $\alpha :A\to B$։ $A=pr{\underline {1}}\alpha$ բազմությանն անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ, իսկ $pr{\underline {2}}\alpha \subseteq B$ բազմությանը՝ ֆունկցիայի արժեքների բազմություն։
• Արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք $A$ բազմության արտապատկերում $B$ բազմության վրա կամ սուրյեկտիվ արտապատկերում, եթե $pr{\underline {2}}\alpha =B$, կամ որ նույնն է, եթե ստույգ է $\forall y(y\in B)\exists x(x\in A)(x\alpha y)$ պնդումը։
• Միարժեք արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք ինյեկտիվ արտապատկերում, եթե $\alpha -1$-ը ֆունկցիոնալ հարաբերություն է, կամ որ նույնն է, եթե ստույգ է $\forall (x1,x2\in A)((\alpha (x1)=\alpha (x2))\Rightarrow (x1=x2)$։
• Փոխմիարժեք արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք բիեկտիվ արտապատկերում, եթե այն միաժամանակ ինյեկտիվ և սուրյեկտիվ արտապատկերում է։

Հարաբերությունների որոշ դասեր

• Ռեֆլեքսիվ հարաբերություն
• Սիմետրիկ հարաբերություն
• Տրանզիտիվ հարաբերություն
• Կարգի հարաբերություն
• Մասնակի կարգի հարաբերություն
• Լրիվ կարգի հարաբերություն
• Խիստ կարգի հարաբերություն
• Էկվիվալենտության հարաբերություն
• Գործողություն
• Դիստրիբյուտիվ գործողություններ

Հանրահաշվական համակարգեր

• Խմբակերպ կամ խմբոիդ
• Կիսախումբ
• Միավոր էլեմենտը բազմության հատուկ էլեմենտ է, որը բավարարում է բինար գործողությանը այդ բազմության վրա և թողնում է մյուս էլէմենտներն անփոփոխ, երբ հարաբերվում է դրանց հետ։
• Մոնոիդը աբստրակտ հանրահաշվի կառուցվածք է ասոցիատիվ բինար գործողությամբ և միավոր էլեմենտով։
• Խումբ
• Տեղափոխելի կամ Աբելյան խումբ
• Վերջավոր խումբ է կոչվում այն խումբը, որի էլեմենտները վերջավոր են։
• Ցիկլիկ խումբ է կոչվում այն խումբը, որի էլեմենտները մասնավոր $a$ էլեմենտի աստիճաններ են։
• Խմբի Ծնիչ կամ Բազիս
• Օղակ
• Տարածությունն իրենից ներկայացնում է բազմություն լրացուցիչ կառուցվածքով։ Կախված կառուցվածքի տեսակից տարածության էլեմենտը կոչվում է կետ, վեկտոր, պատահար։
• Ենթատարածություն
• Մետրիկական տարածություն է կոչվում այն բազմությունը, որտեղ սահմանված է հեռավորություն կամայական երկու էլեմենտի միջև։
• Տոպոլոգիական տարածություն
• Նորմավորված տարածություն
• Գծային կամ վեկտորական տարածություն
• Նորմավորված վեկտորական տարածություն
• Նորմավորված տարածություն
• Էվկլիդյան տարածություն
• Բանախյան տարածություն
• Հիլբերտյան տարածություն
• Ռեֆլեքսիվ տարածություն

Այլ հանրահաշիվներ

Հանրահաշվական տերմինների միջոցով կարելի է նկարագրել նաև համակարգեր մաթեմատիկայի այլ ոլորտներից, ինչպես օրինակ գրաֆների տեսությունից։

• Կողմնորոշված գրաֆ

Կողմնորոշված գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար հարաբերություն (V$\subseteq$GxG)։

• Գրաֆ (Չկողմնորոշված)

Գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար սիմետրիկ հարաբերություն։

• Պարզ գրաֆ

Պարզ գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար անտռեֆլեքսիվ և սիմետրիկ հարաբերություն։

• Բաշխիչ (կամ դիստրիբյուտիվ) ցանց

Բաշխիչ (կամ դիստրիբյուտիվ) ցանցը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար տրանզիտիվ և անտիսիմետրիկ հարաբերություն։

• Կոմբինատոր օպտիմիզացիա