Մակերես

Այս երեք երկրաչափական պատկերների ընդհանուր մակերեսը կազմում է մոտավորապես 15.59 վանդակ։

Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տրված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։

Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ² է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։

Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։

Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։

Մակերես հասկացողության սահմանում

Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

• Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
• Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
• Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
• Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։

Չափի միավորներ

Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։

Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝

1մ²=100սմ²=1000000մմ²=10^-6կմ²:

Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ²։

Այլ միավորներ

1ար=100 քառակուսի մետր

Չնայած նրան, որ արը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտարը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝

1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ²)

Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակրը՝

1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։

Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր

Հիմնական հոդված՝ Մակերեսների բանաձևեր

Պատկերը	Բանաձևը	Փոփոխականները
Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն	${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$-ը եռանկյունու կողմի երկարությունն է։
Եռանկյունի	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$-ը կիսապարագիծն է, $a$-ն, $b$-ն և $c$-ն կողմերի երկարություններն են։
	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$-ն և $b$-ն երկու որևէ կողմերն են, $C$-ն՝ նրանց կազմած անկյունը։
	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$-ն և $h$-ը եռանկյունու հիմքն ու բարձրությունն են։
Շեղանկյունի	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$-ն և $b$-ն անկյունագծերն են։
Զուգահեռագիծ	$bh\,\!$	$b$-ն հիմքի երկարությունն է, $h$-ը՝ բարձրությունը։
Սեղան	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$-ն և $b$-ն զուգահեռ կողմերն են (հիմքերը) $h$-ը՝ նրանց միջև եղած հեռավորությունը։
Շրջան	$\pi r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$-ը շառավիղն է, $d$-ն՝ տրամագիծը։
Շրջանի սեկտոր	${\frac {\theta }{2}}r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$	$r$-ը $\theta$-ն շառավիղն ու անկյունը ռադիաններով, $L$-ը պարագիծն է։
Էլիպս	$\pi ab\,\!$	$a$-ն և $b$-ն կիսաառանցքներն են։

Մակերեսների բանաձևեր

Շրջան

$\mathrm {S} =\pi r^{2}.\,$ $\mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,$ որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը

Քառակուսի

$\mathrm {S} =a^{2}.\,$

Եռանկյուն

1. $\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh$# $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$, քանի որ $\ h_{b}=a\sin \gamma$, ուստի
2. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
3. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr$
4. $S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}$
5. $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$ - Հերոնի բանաձև
6. $S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$
7. $S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
8. $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=$
   $={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}$
9. $S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR$ - ուղղանկյուն եռանկյան համար
10. $S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}$ - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

Որտեղ

• $\ h_{b}$ - $\ b$ կողմիին տարված բարձրությունն է,
• $p={\frac {a+b+c}{2}}$ - պարագծի կեսն է,
• $\ r$ - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ R$ - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
• $\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։

Սեղան

$a$ և $b$ սեղանի հիմքերի $m$ միջին գծի և $h$ — բարձրության միջոցով՝

$S={\frac {(a+b)}{2}}h=\displaystyle mh$

սեղանի մակերեսը $a$, $b$ հիմքերի և $c$ և $d$ ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

$S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.$

հավասարակողմ սեղանի մակերեսը $r$ ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից $\alpha$ անկյան միջոցով՝

$S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}$

մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

$S=\displaystyle 8r^{2}$