Complemento (teoria dei gruppi)

In algebra, e in particolare in teoria dei gruppi, un complemento di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ è un sottogruppo $K$ di $G$ tale che

• $G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$
• $H\cap K=\{e_{G}\}$

Questo equivale a dire che ogni elemento $g$ di $G$ ha un'espressione unica come prodotto $g=hk$ dove $h\in H$ e $k\in K$. Né $H$ né $K$ devono necessariamente essere sottogruppi normali di $G$.

Teorema

Sia $G$ un gruppo e $H,K$ sottogruppi di $G$, se

• $H\cap K=\{e_{G}\}$,
• $G=HK$,
• $H,K$ sottogruppi normali di $G$,

allora abbiamo che $G\cong H\times K$ e dunque anche $HK\cong H\times K$.

Bibliografia

• N.S. Gopalakrishnan, University algebra, New age international, 1986, ISBN 0-85226-338-4

Voci correlate

• Sottogruppo normale
• Gruppo (matematica)