この項目「
補群 」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：
19:22, 18 February 2022 ）
修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。
ノートページ や
履歴 も参照してください。
（2023年4月 ）
この記事には
複数の問題があります 。
改善 や
ノートページ での議論にご協力ください。
信頼性について検証 が求められています情報源 が必要です。（2023年4月 ）
補群 （ ほぐん 、（ 英 : complement ） とは、数学 （特に群論 として知られる代数学 の分野) において、部分群 に対して定義される補集合 のような概念である。
群 G に於ける部分群 H の補群 とは、
G の部分群 K で以下の二条件を満たすものをいう[要検証 – ノート
H
K
=
G
,
{\displaystyle HK=G,}
H
∩
K
=
{
e
}
.
{\displaystyle H\cap K=\{e\}.}
ここで HK は部分集合 { hk | h ∈ H , k ∈ K } を、また e は単位元を表す。
なお、同じことであるが、
「任意の
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
h
∈
H
,
k
∈
K
{\displaystyle h\in H,k\in K}
g
=
h
k
{\displaystyle g=hk}
[ 訳注 1]
この関係は対称性がある。すなわち、K が H の補群ならば、H は K の補群である
[ 訳注 2]
ここで、H および K については、必ずしも G の正規部分群 である必要はない。
補群は必ずしも存在するとは限らない。
もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K 1 および K 2 があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。
もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類 の完全代表系 を成す（下記補足説明も参照）。
H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G /H と同型 である[ 訳注 3] G /H と同型である。シューア–ツァッセンハウスの定理 （英語版 ） 有限群 の正規ホール部分群 の補群の存在を保証する。三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。
⋃
k
∈
K
H
k
=
G
{\displaystyle \bigcup _{k\in K}Hk=G}
この性質は以下のように簡単に証明できる。 [要出典
最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。
二番目の条件は、もし
H
k
1
∩
H
k
2
≠
∅
{\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}\neq \emptyset }
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
h
1
,
h
2
∈
H
{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}
g
=
h
1
k
1
=
h
2
k
2
{\displaystyle g=h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}}
[ 訳注 1]
この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。
この節の
加筆 が望まれています。
（2023年4月 ）
G
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
{\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5\}}
6を法とする加法 とする。H と K をそれぞれ、
H
=
{
0
,
2
,
4
}
,
K
=
{
0
,
3
}
{\displaystyle H=\{0,2,4\},K=\{0,3\}}
H と K は G の部分群であり、互いに他方の補群になっている [ 注釈 1] 以下は、ある部分群に対して、補群が複数存在する例である。 群 G を、複素数全体に演算を加法とした
G
:=
(
C
,
+
)
{\displaystyle G:=(\mathbb {C} ,+)}
H
:=
R
{\displaystyle H:=\mathbb {R} }
G の部分群である。ここで
K
1
:=
{
b
i
|
b
∈
R
}
{\displaystyle K_{1}:=\{bi|b\in \mathbb {R} \}}
K
1
{\displaystyle K_{1}}
G の部分群であることはすぐに確かめられる。
H
∩
K
1
=
{
0
}
{\displaystyle H\cap K_{1}=\{0\}}
c
=
a
+
b
i
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )}
a
∈
H
,
b
i
∈
K
1
{\displaystyle a\in H,bi\in K_{1}}
H
K
1
=
G
{\displaystyle HK_{1}=G}
K
1
{\displaystyle K_{1}}
H の補群である。
K
2
:=
{
b
+
b
i
|
b
∈
R
}
{\displaystyle K_{2}:=\{b+bi|b\in \mathbb {R} \}}
G の部分群であることと、
H
∩
K
2
=
{
0
}
{\displaystyle H\cap K_{2}=\{0\}}
c
=
a
+
b
i
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )}
c
=
(
a
−
b
)
+
(
b
+
b
i
)
{\displaystyle c=(a-b)+(b+bi)}
a
−
b
∈
H
,
b
+
b
i
∈
K
2
{\displaystyle a-b\in H,b+bi\in K_{2}}
H
K
2
=
G
{\displaystyle HK_{2}=G}
従って、
K
2
{\displaystyle K_{2}}
H の補群である。(性質の二番目でも述べたが) 補群が複数存在する例である。
以下では逆に補群が存在しない例を示す。 整数全体の加法群
G
=
(
Z
,
+
)
{\displaystyle G=(\mathbb {Z} ,+)}
H
{\displaystyle H}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
[ 注釈 2]
n
a
:=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏞
n
t
i
m
e
s
∈
H
{\displaystyle na:=\overbrace {a+a+\cdots +a} ^{ntimes}\in H}
もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ
a
∈
H
,
b
∈
K
{\displaystyle a\in H,b\in K}
a
b
∈
H
,
b
a
∈
K
{\displaystyle ab\in H,ba\in K}
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
H か K のいずれかが
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
H
∩
K
=
{
0
}
{\displaystyle H\cap K=\{0\}}
(
Z
,
+
)
{\displaystyle (Z,+)}
補群は、直積 および 半直積 の一般化である。
一般の補群に対応する積を Zappa–Szép 積 （英語版 ） H と K が非自明な場合
[ 注釈 3] 補群は、群 G を小さな部分群に分解する。 [訳語疑問点
上に述べたように、補群は必ずしも存在するとは限らない。
p -補群（英 : p -complementシロー p -部分群 の補群である。
Frobenius の定理や Thompson の定理によって、
群が正規 p-補群 （英語版 ） Hall （英語版 ） 可解群 を任意の素数 p に対して、p -補群を持つものとして特徴付けた。シロー系 の構成にも p -補群は利用される。
フロベニウス群 （英語版 ） フロベニウス核 （英語版 ） フロベニウス補群 （英語版 ）
Complemented group （英語版 ）
^ 実際、
0
=
0
+
0
,
1
=
4
+
3
,
2
=
2
+
0
,
3
=
0
+
3
,
4
=
4
+
0
,
5
=
2
+
3
{\displaystyle 0=0+0,1=4+3,2=2+0,3=0+3,4=4+0,5=2+3}
H
K
=
G
{\displaystyle HK=G}
H
∩
K
=
{
0
}
.
{\displaystyle H\cap K=\{0\}.}
^ 今考えているのは環ではなく群であり、従って演算は加法しかない。倍数と言っても積 n a が (直接) 定義されているわけではないが、ここでは a を n 回足し算したものを n a と書くことにする。当然、通常の意味の掛け算と一致する
^ 一般に、G 自身と {e } を自明な部分群という。
この時、明らかに、
{
e
}
G
=
G
{
e
}
=
G
,
{
e
}
∩
G
=
{
e
}
{\displaystyle \{e\}G=G\{e\}=G,\{e\}\cap G=\{e\}}
e } と G は常に互いに補群の関係になる。
^ a b 実際、
h
1
,
h
2
∈
H
,
k
1
,
k
2
∈
K
{\displaystyle h_{1},h_{2}\in H,k_{1},k_{2}\in K}
(
g
=
)
h
1
k
1
=
h
2
k
2
{\displaystyle (g=)h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}}
h
2
−
1
{\displaystyle h_{2}^{-1}}
k
1
−
1
{\displaystyle k_{1}^{-1}}
h
2
−
1
h
1
=
k
2
k
1
−
1
{\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}}
h
2
−
1
h
1
∈
H
{\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}\in H}
k
2
k
1
−
1
∈
K
{\displaystyle k_{2}k_{1}^{-1}\in K}
H
∩
K
=
{
e
}
{\displaystyle H\cap K=\{e\}}
h
2
−
1
h
1
=
k
2
k
1
−
1
=
e
{\displaystyle h_{2}^{-1}h_{1}=k_{2}k_{1}^{-1}=e}
h
1
=
h
2
,
k
1
=
k
2
{\displaystyle h_{1}=h_{2},k_{1}=k_{2}}
^
実際、K が H の補群とする
任意の
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
g
−
1
∈
G
{\displaystyle g^{-1}\in G}
h
∈
H
,
k
∈
K
{\displaystyle h\in H,k\in K}
g
−
1
=
h
k
{\displaystyle g^{-1}=hk}
g
=
k
−
1
h
−
1
,
k
−
1
∈
K
,
h
−
1
∈
H
{\displaystyle g=k^{-1}h^{-1},k^{-1}\in K,h^{-1}\in H}
G
⊂
K
H
{\displaystyle G\subset KH}
G
⊃
K
H
{\displaystyle G\supset KH}
K
∩
H
=
H
∩
K
=
{
e
}
{\displaystyle K\cap H=H\cap K=\{e\}}
^ 実際、
∀
k
∈
K
{\displaystyle \forall k\in K}
φ
(
k
)
=
k
H
{\displaystyle \varphi (k)=kH}
φ
(
k
1
)
φ
(
k
2
)
=
φ
(
k
1
k
2
)
{\displaystyle \varphi (k_{1})\varphi (k_{2})=\varphi (k_{1}k_{2})}
φ
{\displaystyle \varphi }
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