Indipendenza lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di $n$ vettori in $\mathbb {R} ^{n}$ può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Dati $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ elementi di $V$, si dice che essi sono linearmente indipendenti su $K$ se in tale campo la relazione:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \qquad a_{i}\in K$

è verificata solo se gli elementi $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ sono tutti uguali a zero. Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ elementi di $V$ sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche a un insieme infinito di vettori di $V$: questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineari

Si consideri l'insieme $S$ costituito dai vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$. Si dice dipendenza lineare per $S$ un vettore $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ di $K^{n}$ diverso da $\mathbf {0} =(0,\dots ,0)$ tale che:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0$

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare $\mathbf {d}$ per un insieme $S$ di $n$ vettori, ogni vettore $\alpha \mathbf {d}$ proporzionale a essa, con $\alpha \neq 0$ appartenente a $K$, è una dipendenza lineare per lo stesso $S$. Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ è uno sottospazio dello spazio proiettivo $P(K^{n})$.

Esempi

Nel piano

I vettori $(1,1)$ e $(-3,2)$ in $R^{2}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, siano $a$ e $b$ due numeri reali tali che:

$a(1,1)+b(-3,2)\,=\,(0,0)$

allora:

$(a-3b,a+2b)=(0,0)$

cioè:

$a-3b=0\qquad a+2b=0$

risolvendo per $a$ e $b$, si trova $a=0$ e $b=0$.

Base canonica

Sia $V=\mathbb {R} ^{n}$ e si considerino i seguenti elementi in $V$:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&:=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&:=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}&:=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}$

allora $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots \mathbf {e} _{n}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ siano elementi di $\mathbb {R}$ tali che:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}\,=\,0$

Poiché:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

allora $a_{i}=0$ per ogni $i$ in $\{1,\dots n\}$.

Funzioni

Sia $V$ lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$. Indicando con $t$ la variabile reale, le funzioni $e^{t}$ ed $e^{2t}$ in $V$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a$ e $b$ siano due numeri reali tali che:

$ae^{t}+be^{2t}=0$

per ogni valore di $t$. Si deve dimostrare che $a=0$ e $b=0$. A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

$ae^{t}+2be^{2t}=0$

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

$be^{2t}=0$

e, considerando il valore particolare $t=0$, si ha $b=0$.

Dalla prima relazione allora:

$ae^{t}\,=\,0$

e di nuovo per $t=0$ si trova $a=0$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Stephen Friedberg, Arnold Insel e Lawrence Spence, Linear Algebra, 4ª ed., Pearson, 2003, pp. 48-49, ISBN 0-13-008451-4.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Completamento a base
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Indipendenza affine
• Indipendenza algebrica
• Matrice di cambiamento di base
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Indipendenza lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Indipendenza lineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Tutorial and interactive program on Linear Independence.
• (EN) Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.