Pagrindinė aritmetikos teorema

Pagrindinę aritmetikos teoremą 1801 metais įrodė Gausas. Gausas panaudojo šią teoremą Ležandro simbolių aritmetikoje.

Pagrindinė aritmetikos teorema, teigia, kad bet kuris sveikasis skaičius gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga (faktorizuotas) vieninteliu būdu. Pavyzdžiui,

1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2

Teorema teigtų, kad 1200 gali būti išskleistas pirminių skaičių sandauga. Ir visada tame skleidinyje bus tik keturi 2, vienas 3, du 5, kitų variantų nėra.

Jei daugikliai nebūtų pirminiai skaičiai, faktorizavimas gali nebūti vienintelis (pvz., 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Ši teorema yra vienintelė priežastis, kodėl 1 nėra laikomas pirminiu skaičiumi. Jei jis toks būtų, faktorizavimas nebūtų vienintelis, pavyzdžiui 2 = 2×1 = 2×1×1 = ...

Praktiniai taikymai

Kanoninis skaidinys

Kiekvieną natūralųjį skaičių n vieninteliu būdu išskaidome pirminių skaičių sandauga:

n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}

kur p₁ < p₂ < ... < p_k yra pirminiai skaičiai, o n yra natūralieji skaičiai. Šis skaidinys tinka visiems teigiamiems skaičiams, tarp jų ir 1. Pagal susitarimą, jei daugiklių nėra (situacija k = 0), $p_{0}=1$ .

Tokio tipo skaidinys vadinamas kanoniniu n skaidiniu arba kartais standartine n forma, o skaičiaus n kanoninio skaidinio radimas vadinamas skaičiaus n faktorizacija,^[1] pavyzdžiui:

999 = 3³×37,

1000 = 2³×5³,

1001 = 7×11×13.

Jei postuluosime, kad galimi ir neigiami laipsniai, tokiu būdu galėsime apibrėžti ir racionaliųjų skaičių kanoninius skaidinius.

Aritmetinės operacijos

Kanoninis sandaugos skaidinys, dviejų skaičių a ir b didžiausias bendrasis daliklis (DBD) ir mažiausias bendras kartotinis (MBK) gali būti išreikštas a ir b kanoniniais skaidiniais:

{\begin{alignedat}{2}a\cdot b&{}={}2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&{}={}\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\operatorname {DBD} (a,b)&{}={}2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&{}={}\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {MBK} (a,b)&{}={}2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&{}={}\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}

Žinoma, dideliems skaičiams šios formulės praktinės naudos turi mažai.

Įrodymas

Skaidinio egzistavimas

Mes norime parodyti, kad bet kokį natūralųjį skaičių, didesnį už 1 galime išskaidyti pirminių skaičių sandauga. Panaudojame matematinę indukciją. Tarkime, kad prielaida teisinga visiems skaičiams tarp 1 ir n. Jei n yra pirminis tai daugiau nieko įrodinėti nebereikia. Jei ne, tai visada yra a ir b, tokie, kad n = ab ir 1 < a ≤ b < n. Tuomet, a = p₁p₂...p_j ir b = q₁q₂...q_k yra pirminių skaičių sandaugos. Iš to seka, kad n = ab = p₁p₂...p_jq₁q₂...q_k irgi yra pirminių skaičių sandauga.

Skaidinio vienatis

Tarkime, kad s > 1 galima išreikšti pirminių skaičių sandauga dviem būdais:

{\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}

Mes norime parodyti, kad m = n, o kiekvienam q_j atitinka vienas p_i.

Kadangi p₁ yra skaičiaus s daliklis, iš Euklido lemos išplaukia, kad vienas iš q_j taip pat dalinasi iš p₁; Jei reikia, pakeičiame q_j indeksus taip, kad p₁ dalijasi iš q₁. Tačiau q₁ yra pirminis skaičius, todėl jo vieninteliai dalikliai yra jis pats ir 1. Tuo būdu, p₁ = q₁,

{\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}}}&=p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}

Panašiai samprotaudami padarysime išvadą, jog, p₂ turi būti lygus vienam iš likusių q_j. Jei būtina, pakeičiame indeksus taip, kad p₂ = q₂. Tuomet

{\begin{aligned}{\frac {s}{p_{1}p_{2}}}&=p_{3}\cdots p_{m}\\&=q_{3}\cdots q_{n}.\end{aligned}}

Taip galime padaryti kiekvienam skaičiaus m daugikliui p_i, parodydami, kad m ≤ n, o kiekvienam p_i atitinka q_j. Pritaikydami tokius pat argumentus $p$ ir $q$ kita tvarka, gautume n ≤ m (taigi iš to seka m = n), o kiekvienam q_j atitinka p_i.

Apibendrinimai

Pirmasis apibendrinimus pateikė Gausas savo antrojoje 1832 metų monografijoje. Joje jis nagrinėjo kompleksinius skaičius a + bi, kai a ir b yra sveikieji skaičiai. Šiuolaikinėje matematikoje tos struktūros vadinamos žiedais ir žymimos $\mathbb {Z} [i].$ Gausas parodė, kad tokiame žiede yra keturi vienetai ±1 and ±i, o nenulinius ir nevienetinius žiedo elementus taip pat galima suskaidyti į dvi klases - pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Pastarieji gali būti vieninteliu būdu išskaidyti pirminių skaičių sandauga.

Panašiai, 1844 metais Eizenšteinas nagrinėjo žiedą $\mathbb {Z} [\omega ]$ , kuriame $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}},$ $\omega ^{3}=1$ ir yra šeši vienetiniai elementai $\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}$ . Tame žiede taip pat galima vienintelė bet kokio nenulinio žiedo elemento faktorizacija.

Tačiau yra žinoma žiedų, kur ši teorema negalioja. Jei turime, pavyzdžiui, žiedą $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ . Jame

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).

Tokie pavyzdžiai privertė peržiūrėti pirminio skaičiaus sąvoką žieduose. Daugikliai čia gali netenkinti Euklido lemos. Pavyzdžiui, 2 nėra (1 + √−5) arba (1 − √−5) daliklis, nors iš 2 dalijasi jų sandauga 6. Todėl 2 žiede $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ vadinamas neredukuojamu (dalinasi iš savęs ir 1), bet nėra pirminis $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ . Tačiau bet kuris pirminis skaičius žiede turi būti neredukuojamas.

Nagrinėdamas tokius žiedus 1843 metais Ernestas Kumeris įvedė idealiojo skaičiaus sąvoką, kurią vėliau vystė Ričardas Dedekindas 1876.

Taip pat žiūrėkite

Šaltiniai

↑ K.Bulota, P.Survila. Algebra ir skaičių teorija. II dalis. – Vilnius: Mokslas, 1990. – 44 p. ISBN 5-420-00613-8

Literatūra

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition). Vertė Clarke, Arthur A. New York: Springer. ISBN 978-0-387-96254-2.
Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition). Vertė Maser, H. New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

Gauss, Carl Friedrich (1828). Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima. Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6.
Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

Baker, Alan (1984). A Concise Introduction to the Theory of Numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28654-1.
Euclid (1956). The thirteen books of the Elements. 2 (Books III-IX). Translated by Thomas Little Heath (Second Edition Unabridged leid.). New York: Dover. ISBN 978-0-486-60089-5.
A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004). „Fundamental theorem of arithmetic“. Formalized Mathematics. 12 (2): 179–185.
Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd leid.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77-171950..
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77-81766..
Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.
Weil, André (2007) [1984]. Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre. Modern Birkhäuser Classics. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64565-6.

Nuorodos

Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
"Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Pirminiai skaičiai^{[neveikianti nuoroda]}

[1] K.Bulota, P.Survila. Algebra ir skaičių teorija. II dalis. – Vilnius: Mokslas, 1990. – 44 p. ISBN 5-420-00613-8

[1]