Przejdź do zawartości

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Zasadnicze twierdzenie arytmetyki[1][2], podstawowe twierdzenie arytmetyki[potrzebny przypis], fundamentalne twierdzenie arytmetyki[3] – twierdzenie teorii liczb o rozkładzie liczb naturalnych na czynniki pierwsze. Mówi ono, że każda liczba złożona to iloczyn liczb pierwszych i rozkład ten jest jednoznaczny[4] – zapisy mogą się różnić jedynie kolejnością czynników. Krótkie sformułowanie w języku algebry abstrakcyjnej mówi, że pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczność rozkładu – jest pierścieniem Gaussa.

Na przykład:

czynniki pierwsze pogrupowano tu rosnąco – od najmniejszych do największych.

Pełne sformułowanie i ścisły dowód tego twierdzenia podał najpóźniej Carl Friedrich Gauss, choć fakty wykorzystywane w dowodzie znał wcześniej Euklides[3]. Nazwa pojawiła się najpóźniej w 1915 roku, kiedy użył jej Eric Temple Bell[5].

Lemat I

[edytuj | edytuj kod]

Każda liczba naturalna większa od 1 posiada przynajmniej jeden dzielnik będący liczbą pierwszą.

Niech Ponieważ więc zbiór dzielników liczby większych od 1 jest niepusty. Niech będzie najmniejszym z nich. Gdyby nie było pierwsze, to istniałby jego dzielnik i byłby to zarazem dzielnik Przeczy to jednak określeniu jako najmniejszego dzielnika Ostatecznie jest pierwszym dzielnikiem

Lemat II

[edytuj | edytuj kod]

Każda liczba naturalna większa od 1 daje się przedstawić jako skończony iloczyn samych liczb pierwszych.

Indukcyjnie. Twierdzenie jest prawdziwe dla

Niech będzie dowolną liczbą naturalną >2 i niech twierdzenie będzie prawdziwe dla wszystkich

Jeśli jest pierwsze, to twierdzenie zachodzi.

Jeśli jest złożone, to Wówczas jednak oraz . Na mocy założenia indukcyjnego każde z i jest skończonym iloczynem liczb pierwszych, stąd także jest takim iloczynem.

Lemat III

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest liczbą całkowitą, a liczbą pierwszą, to albo jest podzielne przez albo i są względnie pierwsze

jako liczba pierwsza, posiada tylko dwa dzielniki naturalne: i Zatem albo albo W pierwszym wypadku i względnie pierwsze, w drugim dzieli

Z tego lematu bezpośrednio wynika inne twierdzenie:

Jeżeli i są liczbami pierwszymi, to albo albo

Dowód twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie liczbą naturalną większą od jednego. Na mocy lematu II da się rozłożyć na czynniki pierwsze. Niech

Gdyby żadna z liczb nie była równa to, ze względu na lemat III wszystkie byłyby pierwsze względem Liczba byłaby zatem iloczynem samych liczb pierwszych względem więc sama byłaby pierwsza względem co jest niemożliwe, gdyż dzieli w związku z pierwszym z wypisanych rozwinięć. Wynika z tego fakt, iż wśród liczb znajduje się liczba Analogicznie można udowodnić, że wśród liczb znajduje się każda liczba ze zbioru i na odwrót.

Zbiory liczb i są zatem identyczne i jeżeli uporządkujemy je na przykład rosnąco, to będziemy mieli

przy czym Na koniec wystarczy udowodnić, że dla każdego Otóż niech na przykład Wtedy Zatem:

Dzieląc obydwie strony równości przez otrzymujemy:

Prawa strona zawiera czynnik więc jest przez niego podzielna, lewa strona z kolei, jako iloczyn liczb pierwszych różnych od jest względnie pierwsza z co jest sprzecznością. Niemożliwe jest zatem, by W ten sam sposób można udowodnić, że niemożliwe jest również jak również dla każdego

Ciągi i są równe, jak również ciągi i co znaczy, że obydwa rozkłady są identyczne, co było do pokazania.

Uogólnienia

[edytuj | edytuj kod]

Własność tę posiadają także pierścienie wielomianów – tam rolę elementów pierwszych odgrywają wielomiany nierozkładalne. Dla pierścienia jedynymi takimi wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego – jest to treść zasadniczego twierdzenia algebry.

Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu jest podstawą wielu metod matematyki i kryptografii.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Sierpiński 1950 ↓, s. 5.
  2. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Justyna Cybulska, Twierdzenie o odcinkach stycznych. Wprowadzenie, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-05].
  3. a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Paweł Idziak, Bartłomiej Bosek i Piotr Micek, Matematyka dyskretna 1. Wykład 10: Teoria liczb, 3. Liczby pierwsze, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-05].
  4. Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-10-29] (ang.).
  5. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller, Fundamental theorem of arithmetic, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-08-05].
  6. Sierpiński 1950 ↓, s. 8–10.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]