昨日のエントリーで言及した論文を、著者3人の頭文字と発表年で略して [DDR2009] として参照することにします。
- Title: Cartesian effect categories are Freyd-categories
- Authors: Jean-Guillaume Dumas, Dominique Duval, Jean-Claude Reynaud (2009)
- URL: http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/39/48/54/PDF/seqArxivV3.pdf
- Pages: 23
「デカルト作用圏によるプログラムの意味論 （たぶん、その1）」の最後で「これ、面白いですね。」と書いたのですが、[DDR2009]の方法は僕の好みにあうというか、どうでもいい趣味的なところでも共感したりするのです。
で、どうでもいいことを、脈絡もなく書きます。
単なる作用圏（effect category）は、一般的過ぎてとりとめもなく、使いにくい気がします。やっぱり、デカルト構造を載せたデカルト作用圏（Cartesian effect category）のほうが実用には向いているでしょう。デカルト作用圏の純射（pure morphism）からなる部分圏は、普通の意味でデカルト圏です。純部分圏に限定したデカルト積は、純積（pure product）ってことなのでしょう。
一般に（デカルト積に限らず）モノイド積は純積といっていいでしょう。モノイド積はその定義から、必ず交替律（interchange law）を満たしています。交替律は、ある種の可換性の主張だと解釈できます。その意味で、積が純粋（pure）であるとは交替律を満たす／可換である*1ことだと言ってもいいと思います。まとめると、次の簡単な定義になります。
- 純積 ＝ 交替律を満たす積 ＝ モノイド積
- 不純な積 ＝ 交替律を満たさない積 ＝ モノイド積じゃない積
[DDR2009]では半純積（semi-pure product）って積を定義しているのですが、完全に不純じゃないのは次の理由のようです。
半純積は左右の2つがあり、これらから K×K で定義された順次積（sequentical product）を構成できます。順次積は交替律を満たさないので、その意味では不純な積です。非可換な積ともいえます。もちろんモノイド積にはなりません（正確には、「なるとは限らない」）。でも、モノイド積から極端に離れているわけではなくて、プレモノイド積（premonoidal product）と呼ばれる範囲に収まっています。
デカルト作用圏が楽しいのは、純粋な射だけではなくて、不純な輩＜やから＞がイッパイ住んでいることです。純部分圏Cは純粋な世界ですが、その外にも広大な（かどうかはホントは分からないが）不純な汚濁した土地が広がっています。
デカルト作用圏では、純粋／不純以外に射の二項分類法があります。射の作用（effect）が定義できるので、作用があるなしで射を分類できます。[DDR2009]では、作用を持たない射をズバリ無作用（effect-free）と呼んでますが、衛生的とか清潔（sanitary, clean）と呼んだら良さそう。純粋な射はもちろん清潔です。清潔でない射は汚い（dirty）射かな？ -- 悪乗りしてます。
順次積を非可換な掛け算と思って、どんな射とも可換となる射は中心射（central morphism）と呼びます。この形容詞「中心（的）」の用法は割と普通です。中心射は、純射／清潔射よりも広い概念で、作用を持つ中心射の例を作れます。中心射は、ほとんど純粋射と同じように扱えて、温厚で礼儀正しい住人ということになるでしょう。
結局、中心にいない周縁射（marginal morphism）の扱い方が問題になります。「ヒャッハー」とか叫んでいる連中です*2。
今日気がついたのですが、純部分圏に、デカルト積（直積）だけではなくてデカルト和（直和）も入れて、デカルト和を周縁部まで拡張することができます。要するに、デカルト半環構造（Cartesian semiringal structure）を作用圏の上に載せることができます。
デカルト積とは違って、デカルト和は、そのまま何もしなくても作用圏の全域に拡張できます。純粋なまま拡張できます。つまり、デカルト半環作用圏（Cartesian semiringal effect category）では、デカルト和は純粋な和であり、交替律を満たすモノイド圏を定義できます。この事実は、タプル成分が副作用を持つなら評価順序に影響されるが、場合分けには副作用の影響が及ばないことに対応します。
以上の事実から、デカルト作用圏 → デカルト半環作用圏 という拡張にはほとんどコストがかからないことになります。足し算（デカルト和）があれば便利な状況は多いので、これはラッキーだと思います。半環圏は、ステファネスク師匠の道具であり、シャイ・ハランがエフイチ（一元体）へのアタックにも使っています。意味のある構造なんじゃないかなー、と思えるのです。
