Nieskończoność

Nieskończoność (symbol: ∞) – byt nieograniczony (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku $\infty$, podobnego do „przewróconej ósemki” (lemniskata).

Historia

Nieskończoność rozważana była już od czasów starożytności. Przez długi czas podchodzono do niej bardzo nieufnie - szybko zorientowano się, że pojęcie to prowadzi do wielu paradoksów (z których najbardziej znane to paradoksy Zenona z Elei). Zauważano także takie absurdy, jak fakt, że liczb naturalnych i kwadratów liczb naturalnych jest tyle samo, co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

Badania pojęcia nieskończoności ograniczano jedynie do przypadku tak zwanej nieskończoności potencjalnej - zbiór jest nieskończony potencjalnie, jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n zawiera więcej niż n elementów. Z takim rozumieniem nieskończoności mamy do czynienia na przykład w analizie matematycznej, kiedy mówimy o granicy. Mówiąc, że ciąg (a_n) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że wyrazy (a_n) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie nieustającą możliwość powiększania (i analogicznie: nieustającą możliwość pomniejszania).

Proklos Diadochus w V wieku naszej ery wyrażał to w taki sposób:

wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że aktualnie byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko potencjalnie; to ostatnie daje nieskończoności istnienie substancjalne, tamto przyznaje jej tylko stawanie się.

Jednak nie tylko starożytni czuli się niepewnie obcując z pojęciem nieskończoności. Gottfried Wilhelm Leibniz w XVII wieku pisał:

nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby właściwie nieskończonej.

Symbol

Symbol nieskończoności ∞ w różnych krojach pisma.

Symbol nieskończoności $\infty$ (UTF-8. ∞) – został zaproponowany przez Johna Wallisa w De sectionibus conicis 1655 i konsekwentnie używany przez niego w późniejszych pracach (np. Arithmetica infinitorum - 1655 lub 1656).

W książce „Zero to Lazy Eight” Alexander Humez, Nicholas Humez i Joseph Maguire twierdzą, że Wallis był typowym uczonym i jest całkiem prawdopodobne, że wywiódł on symbol $\infty$ z rzymskiego znaku oznaczającego $1000$ – (oznaczanego również przez $M$), chociaż jest też prawdopodobne, że zainspirował go znak $\omega$ - symbol małej litery greckiej omega, która będąc ostatnią literą greckiego alfabetu, jest metaforą końca i ostateczności.

Symbol nieskończoności w systemach komputerowych:

Nazwa	Znak	Unicode	HTML
Nieskończoność	∞	U+221E	∞ lub ∞ lub ∞

Matematyka

A jednak - w XIX wieku niemiecki matematyk Georg Cantor poważnie potraktował ideę aktualnej nieskończoności, a więc nieskończoności istniejącej jako samodzielny i konkretny byt. W tym rozumieniu nieskończoność jest pewnym obiektem, na którym możemy dokonywać operacji i który możemy porównywać z innymi obiektami. W istocie Cantora skłoniło do tych rozważań właśnie odkrycie, że jeżeli w pewien sposób zdefiniuje się dla zbiorów pojęcie równej liczby elementów, to niektóre zbiory nieskończone są liczniejsze niż inne (patrz rozumowanie przekątniowe).

Nieskończoności w tym rozumieniu nie tylko istnieją, ale też różnią się od siebie liczbą elementów. Istnieje właściwie nieskończenie wiele nieskończoności. Ściślej mówiąc, rozważać można nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię liczb kardynalnych. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery alfabetu hebrajskiego alef indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:

$\aleph _{0}<\aleph _{1}<\aleph _{2}<\dots <\aleph _{k}<\dots$

Liczby kardynalne można nie tylko porównywać, ale także przeprowadzać na nich operacje: dodawania, mnożenia czy potęgowania. Zaawansowana teoria potęgowania liczb kardynalnych (teoria PCF - possible cofinalities) została stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha.

Z początku wielu matematyków bardzo nieufnie podchodziło do rozważań Cantora i jego stosunku do nieskończoności aktualnej, uważając, że są one zbyt oddalone od intuicji. Okazało się jednak, że dzięki rozwojowi teorii mnogości, a w szczególności teorii mocy zbiorów nieskończonych, nastąpił gwałtowny rozwój podstaw matematyki. Z jednej strony dlatego, że Cantor uporządkował chaos definicyjny zastępując nieścisłe pojęcia wielkości i liczby pojęciami zbioru i mocy. Z drugiej strony, systematyczne i ścisłe badanie nieskończoności aktualnych szybko doprowadziło do problemów takich jak hipoteza continuum, które wymagały zrewidowania całego aparatu logiki matematycznej. Z kolei opozycjoniści zgłaszali zastrzeżenia do teorii mnogości wskazując na rozmaite paradoksy, związane zwłaszcza z koncepcją nieskończoności rozwijaną na jej gruncie. Doprowadziło to do rozwinięcia takich prądów jak konstruktywizm czy finityzm, których celem była przebudowa podstaw matematyki w sposób usuwający pojęcie nieskończoności aktualnej i przeformułowanie wszystkich twierdzeń w celu likwidacji paradoksów.

Zobacz też

• wieczność,
• Georg Cantor,
• hipoteza continuum,
• paradoks Hilberta,
• twierdzenie o nieskończonej liczbie małp
• teoria mnogości,
• arytmetyka liczb kardynalnych,
• regularna liczba kardynalna,
• duże liczby kardynalne.