Algebra dyskowa

Algebra dyskowa – w analizie funkcjonalnej i zespolonej zbiór funkcji holomorficznych (zwykle oznaczany $A\left(\mathbb {D} \right)$)

$f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C} ,$

gdzie $\mathbb {D}$ jest otwartym kołem jednostkowym $(z\in \mathbb {D} \Leftrightarrow |z|<1)$ w płaszczyźnie zespolonej $\mathbb {C} ,$ a $f$ przedłuża się do funkcji ciągłej na domknięciu tego okręgu ${\overline {\mathbb {D} }}$. Inaczej mówiąc,

$A(\mathbb {D} )=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap C({\overline {\mathbb {D} }}),$

gdzie $H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right)$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ograniczonych, analitycznych na kole jednostkowym $\mathbb {D}$ (tzw. przestrzeń Hardy’ego). Innymi słowy jest to przestrzeń funkcji holomorficznych na otwartym kole jednostkowym i ciągłych na domkniętym kole jednostkowym. Jeśli dodatkowo wyposażymy tę przestrzeń w punktowe dodawanie dane wzorem $\left(f+g\right)(z)=f(z)+g(z)$ oraz mnożenie $\left(fg\right)(z)=f(z)g(z),$ przestrzeń ta staje się algebrą nad $\mathbb {C} ,$ ponieważ jest zamknięta na dodawanie i mnożenie.

Definiując na algebrze dyskowej normę supremum:

$\|f\|=\sup\{|f(z)|\mid z\in \mathbb {D} \}=\max\{|f(z)|\mid z\in {\overline {\mathbb {D} }}\},$

tak skonstruowana algebra jest przemienną algebrą Banacha będącą algebrą jednostajną.

Z konstrukcji algebry dyskowej wynika, że jest ona domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego $H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right),$ wystarczy bowiem zauważyć, że $A\left(\mathbb {D} \right)\subseteq H^{\infty }\left(\mathbb {D} \right)$ oraz jest to przestrzeń domknięta (bo jest przestrzenią Banacha), więc tym samym z zamkniętości na dodawanie i mnożenie jest domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego.

Bibliografia

• Przemysław Wojtaszczyk: Banach spaces for analysts. Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-35618-0. (ang.).