Espaço conexo

A é um espaço conexo e B é desconexo, tendo 4 componentes conexas

Uma cisão de um subconjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ é uma decomposição $X=A\cup B$, onde $A\cap B=\varnothing$ e os conjuntos $A,B$ são ambos abertos em $X$.

Todo conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ admite pelo menos a cisão trivial $X=A\cup \varnothing$.

Um conjunto $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ chama-se conexo quando não admite outra cisão além da trivial. Assim quando $X$ é conexo, se existirem conjuntos $A,B$ tais que $X=A\cup B$ com $A\cap B=\varnothing$ então $A=\varnothing$ ou $B=\varnothing$.

Quando exitir uma cisão não-trivial $X=A\cup B$, diremos que $X$ é desconexo.

Do ponto de vista da topologia dizemos que, um espaço topológico é desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Os subconjuntos $\varnothing \,$ e X são, ao mesmo tempo, abertos e fechados em qualquer topologia de X. Se eles são os únicos conjuntos abertos e fechados, então X é conexo. Por outro lado, se existe A aberto e fechado com $\varnothing \,\subset A\subset X\,$, então X é desconexo.

Propriedades

• A união de qualquer família de subespaços conexos de X, cuja intersecção é não vazia, é um subespaço conexo de X.

• A imagem de um conjunto conexo por uma aplicação contínua é um conjunto conexo.

• Todo conjunto homeomorfo a um conjunto conexo é também um conjunto conexo.

Componentes conexas

• Uma componente conexa de um espaço topológico é um subespaço conexo maximal.

Exemplos

Um espaço conexo que não é conexo por arcos.

• $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ são conexos.
• $\mathbb {N}$, $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Q}$ são desconexos.
• No $\mathbb {R} ^{2}\,$, o gráfico da função

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\mbox{sen}}{\frac {1}{x}},&{\mbox{se }}x\neq 0\\0,&{\mbox{se }}x=0\end{matrix}}\right.$

é conexo. Este é o contra-exemplo padrão de um espaço conexo que não é conexo por arcos.

Ver também

• conexidade por arcos
• conexidade simples.

Referências

• Lima, Elon L. (2006), Curso de Análise Vol.2, ISBN 85-244-0049-8, Rio De Janeiro: IMPA