Matriz adjunta

Em álgebra linear uma matriz adjunta de uma matriz quadrada é a transposta de sua matriz dos cofatores.

A é a matriz transposta da matriz que se obtém substituindo cada termo ${A}_{i,j}$ pelo determinante da matriz resultante de retirar de A a linha $i$ e a coluna $j$ (isso é, o determinante menor) multiplicado por ${(-1)}^{i+j}$ (isso é, alternando os sinais).

Exemplos

Matrizes 2x2

Para toda matriz de ordem 2:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Construindo a adjunta passo-a-passo

Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "$\mathbf {M}$".

$\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\det {d}&\det {c}\\\det {b}&\det {a}\end{bmatrix}}$

Agora multiplicamos todo $\mathbf {M} _{i,j}$ por $(-1)^{i+j}$ para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "$\mathbf {C}$". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "$i+j$" é ímpar.

${\mbox{C}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

Em seguida, transpomos a matriz para chegar a matriz adjunta:

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Matrizes 3x3

Para toda matriz na forma:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$

Fazendo a matriz dos cofatores de A, temos que:

${\mbox{cof}}(A)={\begin{bmatrix}+\left|{\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}}\right|\end{bmatrix}}$

e, transpondo, temos a matriz adjunta de A:

${\mbox{adj}}(A)={\begin{bmatrix}+\left|{\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}}\right|\end{bmatrix}}$

Onde as barras verticais simbolizam determinante.

Propriedades

As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes $K^{n\times n}$

$\operatorname {adj} (I)=I$, em que $I$ é a matriz identidade.

$\operatorname {adj} (0)=0$, em que 0 é a matriz nula.

$\operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\cdot \operatorname {adj} (A)$

$\operatorname {adj} (A^{T})=\operatorname {adj} (A)^{T}$

$A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I$

$\operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)$ em que $\lambda \in \mathbb {R}$

$\det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}$

$\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-2}A$, para o caso particular de $A$ ser $2\times 2$ resulta em $\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A$

Aplicações da adjunta

Determinação da matriz inversa

Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A} )}}.$

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

Observação: Alguns matemáticos desaconselham a notação acima em favor da seguinte:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ).$

Vale reforçar que só é invertível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

Ver também

• Teorema de Laplace (simplificação de determinantes)
• Regra de Cramer
• Fórmula de Jacobi (diferenciação de determinantes)