Endomorfismo

Em matemática, um endomorfismo é um morfismo (ou homomorfismo) de um objeto matemático nele mesmo. Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vetorial V é uma transformação linear f: V → V, e um endomorfismo de um grupo G é um homomorfismo de grupos f: G → G. Em geral, pode-se falar de endomorfismos em qualquer categoria. Na categoria dos conjuntos, endomorfismos são funções de um conjunto S nele mesmo.

Em qualquer categoria, a composição de dois endomorfismos quaisquer de X é novamente um endomorfismo de X. Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monoide, denotado End(X) (ou End_C(X) para enfatizar a categoria C).

Automorfismos

Uma endomorfismo inversível de X é chamado de automorfismo. O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de End(X) com uma estrutura de grupo, chamado de grupo de automorfismos de X e denotado por Aut(X). No diagrama a seguir, as setas denotam implicação:

automorfismo	⇒	isomorfismo
⇓		⇓
endomorfismo	⇒	(homo)morfismo

Anel de endomorfismos

Quaisquer dois endomorfismos de um grupo abeliano A podem ser adicionados conforme a regra (f + g)(a) = f(a) + g(a). Sob esta adição, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um anel (o anel de endomorfismos). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de Zⁿ é o anel de todas as matrizes n × n com entradas inteiras. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou modulo também formam um anel, do mesmo modo que os endomorfismos de qualquer objeto em um categoria pré-aditiva. Os endomorfismos de um grupo não abeliano geram uma estrutura algebrica conhecida como um quase anel. Todo anel com unidade, é um anel de endomorfismos de seu modulo regular, e como tal é um subanel de um anel de endomorfismos de um grupo abeliano,^[1] no entanto há anéis que não são um anel de endomorfismos de nenhum grupo abeliano.

Teoria dos operadores

Em qualquer categoria concreta, especialmente em espaços vetoriais, endomorfismos são aplicações de um conjunto nele mesmo, e podem ser interpretados como operadores unários neste conjunto, agindo nos elementos, e permitindo definir a noção de órbitas de elementos, etc. Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão (topologia, métrica, ...), tais operadores podem ter propriedades como continuidade, ser limitada e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre teoria dos operadores.

Endofunções

Uma endofunção é uma função cujo domínio é igual ao seu contradomínio. Uma endofunção homomórfica é um endomorfismo.

Seja S como um conjunto arbitrário. Entre as endofunções de S encontramos permutações de S e funções constantes associando a cada $x\in S$ um certo $c\in S.$ Cada permutação de S tem o contradomínio igual ao seu domínio, e é bijetiva e inversível. Uma função constante em S, se S tem mais de um elemento, tem um contradomínio que é um subconjunto próprio desse domínio, não é bijetiva (e não é invertível). A função que associa a cada inteiro natural n o piso de n/2 tem seu contradomínio igual ao domínio e não é invertível.

Endofunções finitas são equivalentes a pseudoflorestas orientadas. Para conjuntos de tamanho n, existem nⁿ endofunções no conjunto.

Um tipo particular de endofunções bijetivas são as involuções, isto é, as funções que coincidem com suas inversas.

Notas

↑ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

Ver também

Ligações externas

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Endomorphism», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Endomorphism, PlanetMath.org.

[1] Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

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