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Identidade de Parseval

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Na análise matemática, a identidade de Parseval, em homenagem a Marc-Antoine Parseval, é um resultado fundamental na somatória da série de Fourier de uma função. Geometricamente, é um teorema de Pitágoras generalizado para espaços de produtos internos (que podem ter uma infinidade incontável de vetores de base). A identidade do Parseval também é chamada de teorema da energia ou teorema da energia de Rayleigh.[1]

Informalmente, a identidade afirma que a soma dos quadrados dos coeficientes de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da função, onde os coeficientes de Fourier de são dados por

Mais formalmente, o resultado é válido conforme declarado fornecido é uma função quadrada integrável ou, mais geralmente, no espaço Lp Um resultado semelhante é o teorema de Plancherel, que afirma que a integral do quadrado da transformada de Fourier de uma função é igual à integral do quadrado da própria função. Em uma dimensão, para

Seja um conjunto ortonormal de vetores em um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja um vetor qualquer nesse espaço.[2] Temos que,

Essa expressão é a famosa igualdade de Parseval. A mesma expressão também pode ser usada indicando uma desigualdade, a chamada desigualdade de Bessel.[3]

No caso das séries de Fourier, essa igualdade é dada por

Seja uma função diferenciável continuamente por partes em [-π,π], então seu desenvolvimento em serie de Fourier converge pontualmente em [-π,π] e assume em o valor

Note que ao escrevermos a série de Fourier da função na forma abaixo estamos implicando que a série converge em média para .

Entretanto, o teorema apresentado explicita as condições nas quais ocorre a convergência pontual. Ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função entre [-π,π] diferenciável continuamente por partes converge para quando é um ponto de continuidade da função em questão.

Referências

  1. «Adam Dziedzic|Parseval's identity». adam-dziedzic.com. Consultado em 18 de setembro de 2022 
  2. «Maio 2009». Problemas e Teoremas. Consultado em 18 de setembro de 2022 
  3. «Bessel inequality - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Consultado em 18 de setembro de 2022 
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