Quaternião

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

William Rowan Hamilton

Os quaterniões ^{(português europeu)} ou quatérnios ^{(português brasileiro)} são uma extensão ${\textstyle \mathbb {H} }$ do conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$. Mais precisamente, o conjunto $\mathbb {H}$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma $u+xi+yj+zk\,\!$, onde $u,x,y,z\in \mathbb {R}$ e $i\,\!$, $j\,\!$ e $k\,\!$ são unidades imaginárias ($i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,\!$). Além disso, temos que $ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j\,\!$, de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.

$u\!\,$ é chamada de parte escalar do quaternião e $xi+yj+zk\,\!$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que $u\!\,$ é a parte real e $xi+yj+zk\,\!$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números $u\!\,$, $x\,\!$, $y\,\!$ e $z\,\!$ denominamos coeficientes.

Conceitos

Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( $q=\,\!$ $u\,\!$ ).

Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( $q=xi+yj+zk\,\!$ ).

Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico $q=u+xi+yj+zk\,\!$, seu conjugado é então:

${\overline {q}}=u-xi-yj-zk\,\!$.

Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número $q=u+xi+yj+zk\,\!$, seu módulo é então:

$\left|q\right|={\sqrt {u^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Operações elementares

Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

$q=u+xi+yj+zk\,\!$

e

$p=a+bi+cj+dk\,\!$

temos:

• $q+p=\,\!$ $(u+a)+(x+b)i+(y+c)j+(z+d)k\,\,$

• $q-p=\,\!$ $(u-a)+(x-b)i+(y-c)j+(z-d)k\,\,$

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$, o produto interno entre eles é dado por:

$qp=pq=au+bx+cy+dz\,\!$

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

Sejam $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$ números quaterniônicos, então o produto exterior $qp\,\!$ (usualmente, $qp\neq pq\,\!$) é definido como:

$qp=\,\!$ $(u+xi+yj+zk)\,\!$ $(a+bi+cj+dk)\,\!$

$=ua+ubi+ucj+udk+xia+xibi+xicj+xidk+yja+yjbi+yjcj+yjdk+zka+zkbi+zkcj+zkdk\,\!$

$=ua+ubi+ucj+udk+xai-xb+xck-xdj+yaj-ybk-yc+ydi+zak+zbj-zci-zd\,\!$

$=(ua-xb-yc-zd)+(ub+xa+yd-zc)i+(uc-xd+ya+zb)j+(ud+xc-yb+za)k\,\!$

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que $qp\neq pq\,\!$.

Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão $p^{-1}q\,\!$ e $qp^{-1}\,\!$. Isso significa que a notação $q \over p\,\!$ não pode ser usada a menos que $p\,\!$ ou $q\,\!$ seja um escalar.

${\frac {a}{b}}={\frac {a{\bar {b}}}{|b|^{2}}}$ b ≠ 0.

Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}$

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

• Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
• O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
• O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

• Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S³ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

${\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;-c&-d\\\;\;b&\;\;a&-d&c\\\;\;c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}$

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então

$q=u+jv\,$

é um quaternião.

Se u = a + i b e v = c + i d, então

$q=a+ib+jc+jid\,$.

Além disso, seja:

$ji=-ij\,$,

tal que:

$q=a+ib+jc+ij(-d)\,$,

e também seja o produto dos quaterniões associativo.

Com estas regras, pode-se agora derivar a tabela da multiplicação para i, j e ij, os componentes imaginários de um quaternião:

$ii=-1,\,$

$ij=(ij),\,$

$i(ij)=(ii)j=-j,\,$

$ji=-(ij),\,$

$jj=-1,\,$

$j(ij)=-j(ji)=-(jj)i=i,\,$

$(ij)i=-(ji)i=-j(ii)=j,\,$

$(ij)j=i(jj)=-i,\,$

$(ij)(ij)=-(ij)(ji)=-i(jj)i=ii=-1.\,$

Note que a díade i j se comporta exatamente como o k na definição.

Para todo o número complexo v = c + i d, seu produto com j têm a seguinte propriedade:

$jv=v^{*}j\,$

Já que:

$jv=jc+jid=jc-(ij)d=(c-id)j=v^{*}j\,$.

Seja p um quaternião com componentes complexos w e z:

$p=w+jz\,$.

Então o produto qp é:

$qp=(u+jv)(w+jz)=uw+ujz+jvw+jvjz\,$

Visto que o produto de números complexos é comutativo, temos:

$(u+jv)(w+jz)=(uw-zv^{*})+j(u^{*}z+wv)\,$

que é precisamente como a multiplicação de quaterniões é definida pela construção de Cayley-Dickson.

Note que se u = a + i b, v = c + i d, e p = a + i b + j c + kd então a construção de p de u e v é de preferência:

$p=u+vj=u+jv^{*}\,$.

Aplicações

Rotações de vetores em 3D

A rotação de vetores em 3D pode ser compactamente representada através de quaterniões.

Sejam v e w vetores, $w\neq 0\,$, e $\alpha \,$ um ângulo. Então a rotação de v, no sentido anti-horário, em torno do eixo dado por w é dada por:

$R(v)=qvq^{-1}\,$

em que q é o quaternião (de módulo 1):

$q=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\ {\frac {w}{\|w\|}}\,$

Ver também

• Quaterniões hiperbólicos
• Números complexos
• Números complexos hiperbólicos
• Octoniões