Пятиячейник

Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3}
Ячеек	5
Граней	10
Рёбер	10
Вершин	5
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Стереографическая проекция пятиячейника

Развёртка

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник, или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем.

Описание

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен $\arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75{,}52^{\circ }.$

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах

Первый способ расположения

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(1;1;1;0),$ $(1;-1;-1;0),$ $(-1;1;-1;0),$ $(-1;-1;1;0),$ $(0;0;0;{\sqrt {5}}).$

При этом точка $\left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)$ будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения

Если разместить пятиячейник так, чтобы его вершины имели координаты $\left({\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),$ $\left({\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(-{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(0;0;0;-1\right),$ то они будут лежать на гиперсфере радиуса $1$ с центром в начале координат.

Третий способ расположения

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: $(1;0;0;0;0),$ $(0;1;0;0;0),$ $(0;0;1;0;0),$ $(0;0;0;1;0),$ $(0;0;0;0;1).$

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка $\left({\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}}\right).$

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если пятиячейник имеет ребро длины $a,$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},$

$S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

$R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0{,}6324555a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0{,}3872983a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

$\rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0{,}2581989a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

$r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0{,}1581139a.$

Неправильные пятиячейники

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Пятиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.