Nästan-primtal

Inom talteorin är ett naturligt tal k-nästan-primtal om den har exakt k primtalsfaktorer, räknade med multiplicitet. Mer formellt, ett tal n är k-nästan-primtal om och endast om Ω(n) = k, där Ω(n) är det totala antalet av primtal i primtalsfaktoriseringen av n:

$\Omega (n):=\sum a_{i}\qquad {\mbox{if}}\qquad n=\prod p_{i}^{a_{i}}.$

Ett naturligt tal är således primtal om och endast om det är ett nästan-primtal, och semiprimtal om och endast om det är ett 2-nästan-primtal. Mängden av k-nästan-primtal brukar betecknas P_k.

De första k-nästan-primtalen är:

k	k-nästan-primtal	OEIS
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …	A000040
2	4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, …	A001358
3	8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, …	A014612
4	16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, …	A014613
5	32, 48, 72, 80, 108, 112, …	A014614
6	64, 96, 144, 160, 216, 224, …	A046306
7	128, 192, 288, 320, 432, 448, …	A046308
8	256, 384, 576, 640, 864, 896, …	A046310
9	512, 768, 1152, 1280, 1728, …	A046312
10	1024, 1536, 2304, 2560, …	A046314
11	2048, 3072, 4608, 5120, …	A069272
12	4096, 6144, 9216, 10240, …	A069273
13	8192, 12288, 18432, 20480, …	A069274
14	16384, 24576, 36864, 40960, …	A069275
15	32768, 49152, 73728, 81920, …	A069276
16	65536, 98304, 147456, …	A069277
17	131072, 196608, 294912, …	A069278
18	262144, 393216, 589824, …	A069279
19	524288, 786432, 1179648, …	A069280
20	1048576, 1572864, 2359296, …	A069281

Talet π_k(n) av positiva heltal mindre än eller lika med n med högst k primtalsdelare (inte nödvändigtvis distinkta) är asymptotiskt till:

$\pi _{k}(n)\sim \left({\frac {n}{\log n}}\right){\frac {(\log \log n)^{k-1}}{(k-1)!}},$

ett resultat av Landau. Se även Hardy–Ramanujans sats.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Almost prime, 12 november 2013.

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Almost prime", MathWorld. (engelska)