Apostila de geometria analitica

Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecânica – Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) (Fevereiro 2005) Geometria Analítica Capítulo I. Introdução A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade. Infelizmente isto só foi conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, digase de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes. Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse outra maneira de preencher o seu tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugir à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros. A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos (1636 no máximo) que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica. O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabia que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica. HYGINO H. DOMINGUES 1 Capítulo II. Introdução ao ฀2 e estudo do ponto. Sejam os conjuntos B = {1, 2} e A = {3, 4} . De certo, são conjuntos finitos, de números reais e com o auxílio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos. É conhecida uma operação entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado um outro conjunto, em que os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por duas partes, uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B. A × B = {(3,1) , (3, 2) , (4,1) , (4, 2)} . Veja que nos elementos de A × B , o primeiro número no par ordenado é advindo do conjunto A enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos definir uma maneira de representar o conjunto A × B e para isso utilizaremos também retas reais, porém numa disposição diferente. Veja!!! Utilizando-se de retas reais podemos representar esse resultado do conjunto A × B , porém a questão é que essas retas reais estão dispostas convenientemente, uma perpendicular à outra. A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados. Na reta que está na posição horizontal, representaremos os elementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro elementos do conjunto A × B foram representados fazendo-se o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A = {x ∈ R / 3 ≤ x ≤ 4} e que o conjunto B seja expresso da forma B = {x ∈ R /1 ≤ x ≤ 2} . Fazendo agora a operação A × B , chega-se em uma nova figura mostrada a seguir: Como podemos perceber o resultado dessa operação foi uma região, um contorno geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece se definirmos o conjunto A como sendo os reais e o conjunto B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto cartesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais, teremos o que chamamos de plano cartesiano ou ainda de ฀ 2 . A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultado do produto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos não vazios. O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa posição num dado plano. Como se pode representar pontos com pares de números reais, é possível definir operações algébricas com esses pontos. B é um ponto qualquer, do plano XOY e para cada B está assossiado um par ordenado, par esse que é representado da seguinte forma: (xb ,yb) onde xb é a posição relativa ao eixo X e yb é a posição relativa ao eixo Y. Como dito acima, o ponto é representado no eixo cartesiano por uma coordenada x, denominada de abscissa e uma coordenada y, 2 chamada ordenada. Dizemos que dois pontos são iguais quando acontece a seguinte propriedade: A( x A , y A ) = B ( xB , yB ) ⇔ x A = xB e y A = yB II.1 - Distância entre dois pontos Sejam A(xA ,yA) e C(xC ,yC) dois pontos do plano. A distância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipotenusa do triângulo ABC mostrado abaixo. Logo se conseguirmos determinar o valor dos catetos, utilizando o Teorema de Pitágoras, será possível achar essa distância. Logo, como o cateto AB = xC − x A e o cateto BC = yC − y A , aplicando o Teorema de Pitágoras vêm: d A,C = ( x A − xC ) 2 + ( y A − yC ) 2 R1) Uma formiga está sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra é o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que a formiga andou. Solução: Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, chegamos à distância que a formiga andou. d P ,Q = ( xP − xQ ) 2 + ( yP − yQ ) 2 = (2 − (−6)) 2 + (3 − (−3)) 2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 10 R2) Duas circunferências são tangentes externamente. O centro de uma circunferência está no ponto C1(3, 5) e o centro da outra está no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferências. Solução: Foi dito que essas circunferências são tangentes externamente, logo a soma dos raios é exatamente a distância entre C1 e C2. d P ,Q = ( xC1 − xC2 )2 + ( yC1 − yC2 )2 = (3 − 0) 2 + (5 − 1) 2 = 9 + 16 = 25 = 5 P1-) Calcule a distância entre os pontos abaixo: a) P(0, 0) e Q(3, 4) b) P(1, 13) e Q(6, 1) c) P(7, 0) e Q(1, 8) d) P(-6, 13) e Q(-1, 1) P2-) Dado um triângulo ABC, com vértices A(0, 0), B(12, 5) e C(3, 4). Calcule o seu perímetro. P3-) Seja um hexágono, tal que, A(10, 0), B(5, 5 3 ), C(-5, 5 3 ), D(-10, 0), E(-5, - 5 3 ) e F(5, 5 3 ), são seus vértices. Determine os valores das 3 diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que podese concluir sobre esse hexágono? P4-) Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: a) A(1+ x, y - 2x + 2) e B(-3, -1 + 3y). b) A(2x + y, y - 5 ) e B(x2 – 4, 2y - 9). c) A(x – y – 3 , x + y – 3) e B(2x , 3y). P5-) Sabe-se que as coordenadas do baricentro de um triângulo qualquer são dadas por: x + x B + xC y + y B + yC e . xG = A yG = A 3 3 Calcule as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, com vértices A(-6, 0), B(6, 0) e C(0, 6 3 ). Mostre que GA = GB = GB = 4 3 . II.2 - Razão de secção Esse assunto tem sido pouco explorado nas provas em geral, mas em contra partida, embora seja um assunto relativamente simples, quando é cobrado poucos candidatos acertam a questão. Isso a acontece devido principalmente à falta de rigor e didatismo dos livros que esse assunto. A idéia aqui é que você perceba o conceito que está por trás desse assunto e assim a sua compreensão vai ser automática. Tem-se um dado segmento AC de extremos A(xa ,ya) e C(xc ,yc). Queremos determinar um ponto B, sobre a reta que contêm o segmento AC (veja que B está sobre a reta e não necessariamente no segmento), tal que a relação escrevemos que AB BC =r AB BC seja mantida. Vamos explicar o que essa relação apresentada quer dizer: quando =r, estamos querendo passar a informação de que o tamanho AB é “r” vezes maior que o tamanho BC . O problema é que em algumas provas oficiais, foi cobrado esse conceito, porém, com um valor negativo para “r”. A partir desse momento essa notação “ AB BC =r” se torna, na verdade, um abuso de linguagem e uma falta de rigor, porque o que significa a divisão entre dois tamanhos ser negativa ? De fato, quando se pensa em tamanhos se trata de um absurdo, porém podemos dar um tratamento mais elegante à essa questão considerando AB , não como segmento mas sim como um vetor. Ainda assim a expressão “ AB BC =r”é uma heresia matemática, pois não se defini uma divisão de vetores, logo, uma maneira mais formal de se uuur uuur formular esse enunciado é usando a expressão AB = r.BC . Fazendo desse jeito, até a questão é simplificada, pois é possível resolver o problema de uma só vez (tanto para o termo em “x” como para o termo em “y”). uuur uuur r  1 r  r r r r r r Veja: AB = r.BC . Assim, temos: B − A = r (C − B) isolando B chegamos a B =  C . A +  1+ r  1+ r  4 Esse resultado significa que a relação entre xB , x A e xC é dada por:  r   1  xB =   xC x A +  1+ r  1+ r  (I) Da mesma forma achamos a relação entre y B , y A e y C é dada por:  r   1  yB =   yC yA +  r 1 + 1+ r    (II) II.3 - Coordenadas do ponto médio Seja B o ponto médio de AC . Para acharmos as coordenadas de B, basta ver que: BC = AB então fazendo r = 1 nas equações (I) e (II) temos que: xB = x A + xC 2 yB = e y A + yC 2 AB BC = 1 , ou seja, . R3) Dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contêm AC), tal que AB = 2 BC . Solução: Temos que, B − A = 2(C − B) ⇒ 3B = A + 2C ⇒ B = A + C . Assim, temos, x B = x A + xC = (1) + (2) = yB = 1 2 1 2 14 y A + y C = ( 2) + ( 6) = 3 3 3 3 3 5 14  . 3 3  , logo B  , 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 2 3 5 3 e R4) Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Dados, A(0, 8), B(2, 2). Solução: Seja M o ponto médio de AB. Temos: x M = x A + xB 0 + 2 = =1 2 2 e yM = y A + yB 8 + 2 = = 5 , logo, M(1, 5). 2 2 R5) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB. Solução: N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A base média é o e segmento MN. xM = x B + xC 4 + 6 y + yC 2 + 4 = = 5 . yM = B = = 3 , assim, M(5, 3). 2 2 2 2 5 xN = x A + xC 0 + 6 y + yC 0 + 4 = = 3 . yN = A = = 2 , assim, 2 2 2 2 N(3, 2). O comprimento de MN é dado pela distância de M à N. P7-) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao segmento AB com A(1,3) e B(2,5), tal que: 5 AB = 3 AC + 2CB . P6-) Sejam os pontos A(1,3) e B(2,5). Determine as coordenadas de um ponto C tal que C divida o segmento AB nas seguintes proporções: a-) d-) AB BC AB BC =3 b-) = e-) 1 5 AB BC AB BC = −4 = −2 7 c-) AB BC = d M , N = ( x M − x N ) 2 + ( y M − y N ) 2 = (5 − 3) 2 + (3 − 2) 2 = 5 4 3 P8*-) Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(2, 2) e C(6, 8). Determine o valor da base média relativa ao lado AB. II.4 - Condição de alinhamento de pontos Esse assunto é mostrado nos livros convencionais de uma forma que lhe permite verificar a condição de alinhamento de três em três pontos. Esse dispositivo prático que será apresentado, o OCAP (Operador Condição de Alinhamento entre Pontos), é capaz de verificar se “n” pontos estão alinhados ao mesmo tempo. Veremos mais a frente que o resultado numérico que é gerado por esse operador tem um significado muito importante e poderoso. Veja como se aplica o OCAP: sejam P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), P3 ( x3 , y3 ) e P4 ( x4 , y4 ) , pontos do plano. P1 , P2 , P3 , P4 , estarão alinhados ⇔ OCAP = 0. Veja a figura abaixo: colocar os pontos, numa ordem à sua escolha, um embaixo do outro e fazer as multiplicações nos sentido das setas (primeiro para cima) e quando forem feitas as multiplicações no sentido para baixo, troca-se o sinal do número resultante. No final soma-se tudo e esse é o resultado do OCAP. OCAP = = ( x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 − x1 y2 − x2 y3 − x3 y4 − x4 y1 ) . P8-) Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: a) P1 ( 0, 1), P2 (-1, 0), P3 (4, 5) . b) P1 ( 0, 2), P2 ( 1, 3), P3 (4, 4) d) P1 ( 10, 0), P2 (-1, -1), P3 (4, -5) . e) P1 ( 8, 1), P2 (-10, 0), P3 (5, 5) . f) P1 ( 0, 1), P2 (-1, 10), P3 (14, 5) . c) P1 ( 0, 0), P2 (-1, 5), P3 (4, -20) . 6 P9-) Dados os pontos A(0, 0) e B(5, 5). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P13-) Dados os pontos A(3, 2) e B(2, 4). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. P10-) Dados os pontos A(0, 2) e B(2, 0). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. *P14-) O ponto P(r,s) é tal que está alinhado com Q e R. Q é o baricentro do triângulo formado por C(0, 0), D(3, 3) e E(6, 9). B é um ponto sobre o P11-) Dados os pontos A(-1, 2) e B(1, 1). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. segmento AC tal que AB BC = 3 em que A(3, 12). Determinar uma relação entre r e s. P12-) Dados os pontos A(2, 4) e B(2, 8). Seja um ponto Q(r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Determine uma relação entre r e s. Capítulo III. Estudo da reta. Podemos definir uma reta como sendo uma sucessão de infinitos pontos, distintos, alinhados. O fato de estarem alinhados confere a existência de uma direção constante. Assim sendo pode-se afirmar que para existir uma reta é necessário da existência de dois pontos distintos, ou ainda um ponto e uma direção. A reta não tem fim e divide o plano que a contém em duas partes. III.1 - Equações da reta A partir do enunciado acima podemos determinar a equação de uma reta se soubermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as suas coordenadas integralmente, já sabemos que por eles vai passar uma reta única, e é justo que cada ponto que esteja nessa reta a relação do seu “x” com seu “y” seja constante. Veja a figura: A no segmento formado por A e B todos os pontos estão alinhados, assim, podemos fazer o OCAP com os pontos dados e um ponto genético (x, y) e esse OCAP tem que resultar zero. Achar a equação de uma reta é relacionar as coordenadas genéricas x e y de tal forma que aplicando nessa relação a ordenada tem-se como resultado a abcissa ou vice versa. xa , ya xb , yb x, y = x b y a + x a y b + x a y- x a y b - x b y -xy a = 0 xa , ya 7 ⇒ ( yb − ya ) x + ( xa − xb ) y + ( xb ya − xa yb ) = 0 . 1 424 3 1 424 3 14 4244 3 a b c ax + by + c = 0 equação geral da reta . Vamos agora partir da equação encontrada acima e isolar o termo “y”, ou seja, vamos escrever o y como uma função de “x”:  y − ya   xa yb − xb ya  y= b x+  xb − xa   xa − xb  14 24 3 144244 3 m n Esse novo formato de equação é muito utilizado e tem um nome específico, o chamamos de equação reduzida da reta. y = mx + n equação reduzida da reta Da figura acima, pode-se ver que foi construído um triângulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que formam os pontos A e B. O ângulo α que aparece como ângulo interno do triângulo ABC é exatamente o ângulo que a reta AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas retas paralelas cortadas por uma mesma transversal que forma ângulos correspondentes. O cateto oposto a α , BD, tem valor yb − ya e o cateto adjacente AD tem valor xb − xa . Podemos então achar o valor da tangente de α da seguinte maneira: yb − ya ∆y = = m. Veja que interesante, o valor do coeficiente que multiplica o “x” xb − xa ∆x na equação reduzida é numéricamente igual à tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente recebeu um nome conveniente, m é chamado de COEFICIENTE ANGULAR. Trata-se da parte da reta que dá a sua direção. O outro coeficiente da equação reduzida “n” é chamado de coeficiente linear e ele tem um significado; veja que se substituirmos “x = 0” na equação reduzida, resulta-se em “y = n”, ou seja, esse “n” é exatamente o ponto em que a reta corta o eixo Oy, é chamado de COERICIENTE LINEAR. Assim sendo, conhecendo-se o coeficiente angular e um ponto P( x0 , y0 ) em que uma reta passa é possível encontrar sua equação da seguinte maneira: tan α = cat. oposto à α = cat. ajacente à α (y - yo) = m (x - xo) ⇒ y = mx + (yo – mxo). A partir da equação geral da reta ou da equação reduzida da reta, podemos chegar a outro tipo de equação chamado equação segmentaria da reta. Vejamos: ax + by + c = 0, c ≠ 0 ⇒ ax + by = − c . Dividindo toda a equação por (-c) tem-se: 8 − c c ax by x y − =1 ⇒ + = 1, fazendo p = − e q = − ⇒ − − c c c c a b a b x y + = 1 equação segmentária da reta p q . R6) Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos P(0, 6) e Q(6, 0). Solução: Aplicando o “L” aos pontos P e Q, temos: 0 6 6 0 x y = 36 + 0 + 0 − 0 − 6 y − 6 x = 0 ⇒ x + y − 6 = 0 0 6 R7) Dados dos pontos, A(0, 2) e B(-3, -1), determinar a equação da reta que contém o segmento AB. Solução: Como por dois pontos passa uma única reta, temos: y = ax + b. a = ∆y 2 − (−1) = = 1 , logo sua equação é: ∆x 0 − (−3) y = x + n. Como o ponto (0, 2) pertence à reta esse satisfaz a sua equação. 2 = 0 + n, n = 2. e a equação da reta é: y = x + 2. R8) Dadas as retas abaixo na forma geral. Passe para forma reduzida. a) 2 y + 8 x − 9 = 0 . b) 3 y + 18 x − 10 = 0 Solução: a) 2 y + 8 x − 9 = 0 . Basta isolar o y. 2 y = −8 x + 9 ⇒ y = 9 9 −8 x + ⇒ y = −4 x + 2 2 2 b) 3 y + 18 x − 10 = 0 . Isolando o y: 3 y + 18 x − 10 = 0 ⇒ y = 10 10 −18 ⇒ y = −6 x + . x+ 3 3 3 R9) Sejam os pontos A(0, 0), B(0, 4), C(4, 4) e D(4, 0) os vértices de um quadrilátero. Determine: a) A reta suporte que contem a diagonal AC b) A reta suporte que contem a diagonal BD c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto A e o ponto médio do lado CD. d) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo ponto médio do lado BC e o ponto médio do lado CD. 9 Solução: a)Reta suporte de um segmento é a reta que contem esse segmento. Assim, basta fazer o L com os pontos A(0,0), C(4, 4) e um ponto genérico (x, y). 0 0 4 4 x y 0 0 = 4 x − 4 y = 0 ⇒ y = x. b) Fazemos o mesmo feito no item a só que agora com os pontos B(0, 4), D(4, 0) e um ponto genérico (x, y). Aplicamos o L e obtemos que a equação da reta é: y = − x + 4. c) Vamos achar o ponto médio de CD. C(4, 4) e D(4, 0). x M = xC + x D 4 + 4 y + yD 4 + 0 = = 4 e yM = C = = 2. 2 2 2 2 Assim, M(4, 2). Vamos fazer o L com os pontos A(0, 0), M(4, 2) e um ponto genérico (x, y). achamos a equação: y = . x 2 0+4 4+4 d) Determinando os ptos médios de BC e CD, M e N respectivamente. M  ,  = M(2, 4).  2 2  4+4 4+0 ,  = N(4, 2). Fazendo L com M, N e um ponto genérico (x, y) encontramos a equação: 2   2 y = − x + 6. N  P14-) Determine as equações das retas que passam pelos pontos indicados abaixo: a) A(0, 0) B(2, 4) b) A(-1, 1) B(5, 5) c) A(0, 3) B(-2, 1) d) A(2, 7) B(-2, -13) e) A(8, 3) B(-6, -4) f) A(0, 0) B(-3, 0) e) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice C. f) A equação da reta suporte da base média relativa à base BC. g) A equação da reta suporte da base média relativa à base AB. P15-) Dado o triângulo com vértices A(0, 0), B(2, 3), C(1, 0). Determine: a) As coordenadas do baricentro. b) Os pontos médios dos lados AB, BC e CA. c) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice A. d) A equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice B. *P16-) Dados os pontos A(-10, 0), B(10, 0), C(0, 10 3 ). Ache um ponto E, sobre AC, tal que ligando B e E, cortamos o triângulo ABC em dois triângulos BCE e BAE, com ABCE =2. ABAE III.2 - Intersecção entre retas Lembra quando, lá na 7º série do primeiro grau, aprendemos a resolver sistemas de equações do primeiro grau? Ali era dado um sistema de duas equações do 1ª grau e duas incógnitas e tínhamos que descobrir os valores das incógnitas que satisfaziam ao mesmo tempo, as duas equações. Pois é, vimos no item III.1, que as retas tem equação da forma ax + by + c = 0 , que são equações do 1º grau. Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes se interceptam uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar a sua 10 intersecção é determinar o x e o y, que satisfazem ao mesmo tempo as duas equações, ou seja, voltamos à 7º série e vamos agora resolver sistemas de primeiro grau, de duas equações e duas incógnitas. a x + b y + c = 0 1 1 , temos que resolver esse sistema e achar o ponto (x, y) A intersecção de r com s é: r ∩ s =  1 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 que satisfaz essas duas equações ao mesmo tempo. Obs.: Em alguns casos será necessário fazer intersecção com o eixo Ox ou com Oy. Nesses casos agimos da seguinte forma: Intersecção com o eixo Oy: Qualquer ponto do eixo Oy tem abscissa 0, logo basta substituir o x da equação conhecida por 0 e ver o valor de y correspondente. Ex: fazer a intersecção entre a reta y = 3x + 5 com o eixo Oy: y = 3.(0) + 5 = 5 . Logo essa reta corta o eixo Oy no ponto (0, 5). Intersecção com o eixo Ox: Qualquer ponto do eixo Ox tem ordenada 0, logo basta substituir o y da equação conhecida por 0 e ver o valor de x correspondente. Ex: fazer a intersecção entre a reta y = 3x + 5 com o eixo Ox: 0 = 3x + 5 ⇒ x = −5 Ox no ponto  , 0   3 −5 . Logo essa reta corta o eixo 3  Algumas considerações importantes Nesse momento vale à pena discutirmos uma questão proposta pelo vestibular da Academia da Força Aérea de 2001/2002. Acabamos de estudar a maneira de se proceder para determinar a intersecção de duas retas e como foi dito, trata-se da resolução de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas. O vestibular da AFA propôs uma análise menos braçal e mais filosófica do assunto quando expandiu para a análise de um sistema de três equações e três incógnitas. Foi dito no enunciado que uma equação do tipo ax + by + cz + d = 0 , equivale a uma equação de um plano, assim sendo, quando resolvemos um sistema desses, na verdade estamos analisando o resultado da intersecção de três planos. Veja a questão proposta: (AFA-2001)O conjunto de soluções de uma única equação linear a 1 x + a 2 y + a 3 z = b é representado por um plano no sistema de coordenadas retangulares xyz (quando a1, a2, a3 não são todos iguais a zero). Analise as figuras a seguir. (I) Três planos se cortando numa reta (II) Três planos se cortando num ponto (III) Três planos sem interseção 11 Assinale a opção verdadeira. a) A figura I representa um sistema de três equações com uma única solução. b) A figura III representa um sistema de três equações cujo conjunto solução é vazio. c) A figura II representa um sistema de três equações com uma infinidade de soluções. d) As figuras I e III representam um sistema de três equações com soluções iguais. Como pode ser vista, a figura (I) mostra três planos se interseccionando numa reta, ou seja, trata-se de um sistema que gera como solução muitas ternas (x, y, z) o que dá um caráter de infinitas soluções para o sistema, logo estamos diante de um sistema possível e indeterminado. Com relação à figura (II) têm-se três planos que se interseccionam num único ponto (x, y, z), o que confere um status de sistema possível e determinado. Já a figura (III) mostra uma intersecção dos planos gerando dois conjuntos disjuntos, ou seja, surgiram duas retas, paralelas que, por conseguinte não vão se cruzar, logo não se tem uma solução para esse sistema sendo ele um sistema impossível. Com essa análise podemos configurar como correta a opção “b” pois diz que (III) se trata de um sistema com três equações que tem conjunto solução representado pelo conjunto vazio. 3 x − y + 5 = 0 − x + 3 y − 7 = 0 R9) Determinar o ponto de intersecção entre as duas retas dadas:  Solução: equação de cima temos que y = 3x + 5 . Substituindo na equação − x + 3(3x + 5) − 7 = 0 ⇒ − x + 9 x + 15 − 7 = 0 ⇒ 8 x = −8 ⇒ x = −1 ⇒ y = 3(−1) + 5 = 2 Da P16-) Ache as intersecções entre os pares de retas abaixo: a) y = 3x – 4 e y – x + 6 = 0; b) y – 4x + 5 = 0 e o eixo Ox; c) y + 8x – 4 = 0 e y + x + 7 = 0; d) y – 5x + 2 = 0 e o eixo Oy; e) y – x + 2 = 0 e 3x – y + 1 = 0; f) x – 2y + 6 = 0 e 2x + 2y – 3 = 0; g) 5x – 3y + 2 = 0 e x + 3y – 2 = 0; de baixo, tem-se: b) 3x – 6y + 7 = 0 c) 2x – y = 0 d) 3x – 6y – 12 = 0 *P18-)Mostre que as retas e x+ y =0 2x + 3 y −1 = 0 , concorrem no mesmo ponto. de equação 3x + 4 y − 1 = 0 *P19-) Demonstre que x − 2 y = 0 , x + 2 y = 8 e (1 + k ) x + 2(1 − k ) y − 8 = 0 concorrem no mesmo ponto, para qualquer valor de k. P17-) Ache as intersecções entre as retas abaixo e os eixos Ox e Oy: a) 2x + 3y – 2 = 0 III.3 - Ângulo entre retas Nessa seção vamos estabelecer uma relação que expressa exatamente uma informação sobre o menor ângulo formado por duas retas concorrentes. Como vimos antes, a parte da equação de uma reta que está vinculada 12 com a sua direção é o coeficiente angular, assim sendo, nada mais justo que esse resultado que estamos querendo saia em função desses coeficientes, que são de antemão conhecidos. São dadas duas equações de r r reta r : y = mr x + nr e s : y = ms x + ns . ms = tgθ e mr = tg β . Da geometria plana: α = θ + (π − β ) ⇒ tgα = tg (θ + (π − β ) ) = tg (π + (θ − β ) ) = =0 } tgπ + tg (θ − β ) π .tg (θ − β ) 1 − tg { =0 = tg (θ − β ) = tgθ − tg β . Como 1 + tgθ .tg β queremos o menor ângulo entre essas retas, temos que garantir que o resultado encontrado é positivo, assim, aplicamos o módulo sobre a expressão encontrada. tgα = ms − mr 1 + ms mr Para o caso particular em que se têm retas perpendiculares, α = 90º e tg (90) → ∞ . Logo, a única maneira de se ter uma fração (com numerador finito) tendendo para o infinito é fazendo o denominador tender a zero. r r Assim, Se r ⊥ s ⇒ 1 + ms mr = 0 ⇒ ms mr = −1 Condição para que r ⊥ s: ms .mr = −1 III.4 - Condições de paralelismo entre retas Sejam r1 e r2 retas contidas no plano. r1 : y = m1 x + n1 e r2 : y = m2 x + n2 . As condições expressas abaixo, são expressamente para equações na forma reduzida. • m1 = m2 • direção da reta seja igual para ambas as retas. m1 = m2 e n1 = n2 ⇒ Re tas coincidentes ; Aqui além de se ter a mesma direção elas devem passar pelo mesmo ponto, assim, tanto os “m’s” quando os “n’s” são iguais. m1 ≠ m2 ⇒ Re tas concorrentes ; Basta que as direções sejam diferentes que em algum lugar essas retas vão se cruzar. • ⇒ Re tas paralelas ; Veja que é necessário e suficiente que o componente responsável pela 13 Sejam r1 e r2 retas contidas no plano. r1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 e r2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0 . Essas retas estão na sua forma geral, assim, veja como ficam as condições de paralelismo: • a1 a 2 = b1 b2 • a1 a 2 = b1 b2 ⇒ Re tas paralelas ; c1 c 2 = b1 b2 e ⇒ Re tas coincidentes Para entender essas condições basta colocar r1 e r2 no formato reduzido e aplicar as condições que vimos para o formato reduzido. ⇒ Para que se tenha um feixe de retas concorrentes, basta que todos os coeficientes angulares sejam distintos, dois a dois, e que exista um único ponto que satisfaça as equações de todas as retas ao mesmo tempo. R11) Determine o ângulo entre as retas abaixo: a) r : x + y + 2 = 0 e s : 2 x + y + 2 = 0 Solução: a)primeiramente vamos passar as equações para o formato reduzido. r : y = − x − 2 e s : y = −2 x − 2 (−2) − (−1) −1 1 assim, tgα = m s − m r = = ms = −2 e mr = −1 . Aplicando na fórmula, temos: tgα = 1 + ( −2)(−1) 3 3 1 + ms mr 1 1 Logo, o ângulo entre as retas r e s é tal que a sua tangente é . Então: α = arctg   3 3 R11) Dadas as equações de r: (m − 2) x + (m − 3) y + 2 = 0 e s: (m − 1) x + (m − 5) y + 5 = 0 , determinar os valores de m para que sejam paralelas. Solução: Como estão na forma reduzida, para serem paralelas, ⇒ 3m − 7 = 0 ⇒ m = m − 2 m −1 = ⇒ m 2 − 4m + 3 = m 2 − 7 m + 10 ⇒ m−3 m−5 7 3 R12) (AFA-94) Para que a reta x − 5 y + 20 = 0 seja paralela à reta determinada pelos pontos M(t, s) e N(2, 1), deve-se ter t igual a: a) 5s 5 − 2 2 b) -5s + 7 c) -5s +3 d)5s – 3 Solução: Primeiro temos que determinar a equação da reta formada por M e N. Vamos usar o “OCAP”. 2 1 t s x y 2 1 = t + sx + 2 y − 2s − ty − x = 0 ⇒ x(s − 1) + y(2 − t ) + (t − 2s) = 0 14 −5 s + 5 = 2 − t ⇒ t = 5 s − 3 ⇒ ⇒ Letra s −1 2 − t = ⇒ 1 −5 d. R13) Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de equação y – 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 3). Solução: Foi dito que r é paralela a s, logo a equação de r vai ser: y – 3x + n = 0. Para determinar o n, usamos que r passa por P(2, 3), então esse ponto deve satisfazer a sua equação. Assim: (3) – 3.(2) + n = 0, n = 3. Logo: r: y – 3x + 3 = 0 R13) Verificar se as retas abaixo são ou não perpendiculares: a) r : −2 x + y + 2 = 0 e s : x + 2 y + 2 = 0 b) r : x + 3 y = 0 e s : y = −3x + 11 = 0 Solução: a)Para ver se as retas são perpendiculares ou não, basta achar o coeficiente angular de cada uma e multiplicá- los. Se o resultado for -1, são perpendiculares. Vejamos: ms = Logo r e s são perpendiculares. b) Da mesma forma: m s = −3 e mr = −1 2 e mr = 2 . Logo, ms mr = −1 −1 . Logo, m s mr = ( ).(−3) = 1. 3 3 −1 . 2 = −1. 2 Logo, r e s não são perpendiculares. P22-) Dê a equação de r. Sabe-se que r // s, s: 2x – y + 5 = 0 e que r passa pela origem. P18-) Determine os valores de m para que as retas r e s sejam retas coincidentes. r: 3x + 2y + (3m-5) = 0 s: 9x + 6y + (m2-m+2) = 0 P19-) Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de equação 2y – 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 1). P23-) Dê a equação de r. Sabe-se que r passa por T(0, 1) e é perpendicular à s e que s passa por P( 2, 1) e por Q(1, 2). P24-) u: y = x + 5, v: y = 2x + 7, r: y – 3x + 1 = 0 e s: 2y – 8x + 2 = 0. Determine a reta que passa pela intersecção entre u e v e pela intersecção entre r e s. P20-) Determinar a equação da reta r que é perpendicular à reta s de equação 3y + 2x – 6 = 0 e que passa pelo ponto de intersecção entre as retas t: y – 2x + 5 = 0 e u: x = 3. P25-) Dados A(0, 1), B(2, 3). Determine C e D tais que os triângulos ABC e ABD são eqüiláteros. P21-) Calcule o menor ângulo entre os pares de retas abaixo: a) y +3x – 2 = 0 e y = 2x – 1 b) y – 2x + 6 = 0 e 2y – 4x + 9 = 0 c)2y – x + 5 = 0 e 2x – y – 6 = 0 d) y – 2x + 1 = 0 e y = 5x – 1 e) 2y – 2x + 7 = 0 e 3y +x – 1 = 0 P26-) Dados A(0, 1) e C(2, 3) tais que AC é a diagonal de um quadrado ABCD. Determine B e D, tal que BD é a outra diagonal. 15 *P27-) Discuta em função de p e m a posição relativa entre as retas (r) mx + y − p = 0 e (s) 3x + 3 y − 7 = 0 *P28-) Mostre que todas as retas de equações (m + 2) x − my − 4 + m = 0 concorrem num mesmo ponto. III.5 - Distância de ponto à reta Sejam r: ax + by + c = 0 e P( x 0 , y 0 ) tal que P ∉ r , conforme a figura abaixo: Traçamos um par de eixos auxiliares, X’OY’, a fim de que as contas sejam minimizadas, pois para esse novo par de eixos, o ponto P( x 0 , y 0 ) passa ser a origem. Logo temos que x = x '+ x0 e y = y '+ y0 . Substituindo essas relações na equação da reta r vem: a ( x '+ x0 ) + b( y '+ y0 ) + c = 0 resultando em ax '+ by '+ (ax0 + by0 + c) = 0 . Essa é a nova equação de r, agora tendo como referência o nosso novo sistema de eixos. Vamos achar a equação da reta s, perpendicular à r, passando pela origem (no novo sistema de eixos). Passando a equação de b  ax + by0 + c  a r para o formato reduzido temos: y ' = −   x '−  0 . Logo o ms = , pois s ⊥ r . A equação de s  a b b   b fica é dada por y ' =   x ' . Fazendo a intersecção de r com s resulta no ponto Q. a  −(ax0 + by0 + c)a −(ax0 + by0 + c)b  Logo Q  ,  . Calculando a distância de P até o ponto Q, lembrando que a2 + b2 a 2 + b2    −(ax0 + by0 + c)a   −(ax0 + by0 + c)b  agora P se torna a origem (0, 0) chega-se que d P ,Q =   +  = a 2 + b2 a 2 + b2     2 d P ,Q = (ax0 + by0 + c) 2 (a 2 + b 2 ) (a + b ) 2 2 2 = ax0 + by0 + c a 2 + b2 2 . Logo, dá-se por distância de P a r a seguinte expressão: d P ,r = ax0 + by 0 + c a2 + b2 16 No caso particular em que, no sistema original XOY, o ponto P seja a origem (0,0), a expressão fica reduzida à: d P,r = c a + b2 2 . III.6 - Distância entre duas retas paralelas. Sejam r1 e r2 de equações ax + by + c1 = 0 e ax + by + c 2 = 0 respectivamente. Para se obter a distância entre r1 e r2 , basta pegar um ponto que pertença a uma das retas e calcular a distância desse ponto até a outra reta. Seja P( x0 , y 0 ) ∈ r1 . Assim, ax0 + by 0 = −c1 . d P,r = d r1 ,r2 = ax 0 + by 0 + c 2 a +b 2 2 = c 2 − c1 a2 + b2 . Logo, c 2 − c1 a2 + b2 01) (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8 movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: a) − 2 b) − 1 c) 0 d) 1 e) 2 e) 8/5 04) (UFMG) O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (−2,4). A equação da reta s é a) x + 2y = 6 b) x − 2y + 10 = 0 c) y + 2x = 0 d) 2y − x = −10 e) y + 2x = 6 02) (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: b) (2b, − b) a) (− b, − b) c) (4b, − 2b) d) (3b, − 2b) e) (2b, − 2b) 05) (VUNESP) Seja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x, e s, de equação y = 4x − 2. Se B e C são as intersecções respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC é: a) ½ b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 03) (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é: 06) (FGV) Um polígono do plano é determinado pelas inequações x ≥ 0, y ≥ 0, 5x + 2y ≤ 20 e x + y ≤ 7. Seus vértices são: a) (0, 0), (4, 0), (0, 7) e (2 ,5) b) (0, 0), (4, 0) e (0, 7) c) (0, 0), (7,0) e (2 ,5) d) (0, 0), (7,0), (2 ,5) e (0, 10) a) 2 b) 3/2 c) 6/5 d) 7/5 17 13) (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x2 + y2 = 10y. Se A é o ponto (3,1), então B é o ponto: b) (3, 9) c) (0, 10) a) (−3, 9) d) (−3, 1) e) (1, 3) e) (4, 0), (7, 0), (0, 10) e (0, 7) 07) (FATEC) Se A = (-1, 3) e B = (1, 1), então a mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz dos quadrantes pares no ponto: a) (-1,1) b) (-3/4, 3/4) c) (- 2 /2, 2 /2) d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4) 14) (FUVEST) A reta y = mx (m >0) é tangente à circunferência (x − 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo que a reta forma com o eixo x:. a) 1/5 b) 1/2 c) ( 3 )/2 e) 5 d) ( 2 )/2 08) (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente, pelas equações x + y = 3 e x - y = - 3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A,B) = d(A,C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada pela equação: a) 2x + 3y = 1 b) y = 1 c) y = 2 d) x = 1 e) x = 2 09) (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência (x − 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por: a) y = 2x − 3 b) y = x − 1 c) y = − x + 3 d) y = 3x/2 − 2 e) y = − (1/2)x + 2 15) (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x − y = 37 e tangentes à circunferência x2 + y2 − 2x − y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a: b) 15 c) 7 a) 12 d) 10 e) 5 16) (FGV) Num triângulo ABC são conhecidos o vértice A = (3,5) e as retas y − 1 = 0 e x + y − 4 = 0, suportes de duas medianas do triângulo. A reta que passa pelos vértices B e C tem equação: a) 2x + 3y − 2 = 0. b) 3x + y − 1 = 0. c) x + 2y − 1 = 0. d) 2x + y − 1 = 0. e) x + 3y − 1 = 0. 10) (FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Então a equação de s é: a) x − 2y = − 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y − x = 3 e) 2x + y = 6 17) (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale: a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5 11) (UFRS) Um círculo com centro C = (2, −5) tangencia a reta de equação x − 2y − 7 = 0. O valor numérico da área da região limitada pelo círculo é a) 4π b) 5π c) 6π d) 7π e) 8π 18) Determinar as equações das retas t que são paralelas a (s): 12x + 5y + 1 = 0 e tangentes a (α): x2 + y2 - 2x - 4y - 20 = 0. 12) (UECE) Sejam Q1(x1,y1) e Q2(x2,y2) os pontos de intersecção da reta de equação y + 2 = 0 com a circunferência de centro no ponto P(- 4,1) e raio r centímetros. Se x1<x2 e Q1Q2 = 8 cm, então a equação dessa circunferência é: a) x2 + y2 + 8x - 2y - 7 = 0 b) x2 + y2 + 8x - 2y - 8 = 0 c) x2 + y2 + 8x - 2y - 15 = 0 d) x2 + y2 + 8x - 2y - 19 = 0 19) Determinar as equações das retas t que passam por P(2,3) e são tangentes a (α): x2 + y2 - 2x - 2y 3=0 20) Obter as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas: r: 3x + 4y - 1 = 0 s: 12x 5y = 0 18 GABARITO 01) C 02) C 03) C 08) D 09) C 10) B 15) E 16) C 17) B 87=0 19) x + 2y - 8 = 0 + 27y - 13 = 0 04) B 05) A 06) A 07) A 11) B 12) B 13) A 14) B 18) 12x+5y+43=0, 12x+5y 20) 21x - 77y + 13 = 0 e 99x Capítulo IV. Lugar Geométrico Lugar Geométrico (L.G.) é uma região do plano ou uma geometria em que todos os pontos obedecem a uma lei ou propriedade. IV.1 - Bissetrizes e sua equação Vimos em Geometria plana que bissetriz é a reta que corta um ângulo em duas partes iguais. Vamos estender esse conceito para algo mais geral. Na verdade a bissetriz é algo mais forte que isso e essa definição é apenas uma conseqüência da definição formal de bissetriz. Bissetriz é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de duas retas concorrentes dadas. Sejam r1 e r2 de equações a1 x + b1 y + c1 = 0 e a 2 x + b2 y + c 2 = 0 , respectivamente, tal que ambas sejam concorrentes. Vamos determinar as equações das bissetrizes do ângulo formado por r1 e r2 . Assim, seja P( x0 , y 0 ) um ponto qualquer dessa bissetriz, então basta calcularmos a distância desse ponto P à uma das retas e igualarmos com a distância desse mesmo ponto a outra reta. Logo temos: d P ,r = d P ,r Logo: d P,r = 1 2 a1 x 0 + b1 y 0 + c1 1 a1 + b1 2 a1 x0 + b1 y 0 + c1 a1 + b1 2 2 = d P ,r = a 2 x 0 + b2 y 0 + c 2 a 2 + b2 2 2 = 2 a 2 x0 + b2 y 0 + c 2 a 2 + b2 2 2 2 assim, chegamos a seguinte equação: ⇒ Equação das bissetrizes Resolvendo essa equação (equação modular), obteremos duas respostas (uma equivalente à bissetriz interna e outra equivalente à bissetriz externa). Resolvemos essa equação da seguinte forma: a1 x0 + b1 y 0 + c1 a1 + b1 2 2 a x +b y +c = ± 2 0 2 2 0 2 2  a 2 + b2  Exercícios resolvidos: R10) Determinar as equações das bissetrizes de duas retas dadas: 19     a) r: 5 x + 12 y + 5 = 0 e s: 3x + 4 y + 2 = 0 Solução: Aplicando a definição de bissetriz temos: d P ,r = d P ,s . Seja P(x0, y0). 5 x0 + 12 y 0 + 5 = 3x0 + 4 y 0 + 2 ⇒ 5 x0 + 12 y 0 + 5 3 x 0 + 4 y 0 + 2 = ⇒ 13 5 5 + 12 3 +4 5 x + 12 y 0 + 5 3 x 0 + 4 y 0 + 2 1º caso: 0 = ⇒ 25 x 0 + 60 y 0 + 25 = 39 x 0 + 52 y 0 + 26 ⇒ 14 x0 − 8 y 0 + 1 = 0 13 5 7 1 ⇒ y 0 = x0 + 4 8 2 2 2 2 5 x 0 + 12 y 0 + 5  3x + 4 y 0 + 2  = − 0  ⇒ 25 x 0 + 60 y 0 + 25 = −39 x 0 − 52 y 0 − 26 ⇒ 64 x 0 + 112 y 0 + 51 = 0 13 5   51 −4 ⇒ y0 = x0 + 7 112 7 −4 . Como já era esperado, OBS.: Repare que o coeficiente angular do 1º caso é e o do 2º caso é 4 7 7 −4 que . = −1 , logo, realmente, as bissetrizes interna e externa formam um ângulo de 90º. 4 7 2º caso: veja  x = sent   y = cos t P27-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 6x + 8y – 1 = 0 é igual a distância desse mesmo ponto até à reta s: 5x – 12y + 2 = 0. P32-) Determinar a equação do lugar geométrico determinado pelas equações abaixo:  x = sent   π   y = 1 + sen 2 − t     P28-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 4y + 3x + 2 = 0 é igual a distância desse mesmo ponto até à reta s: 7x + 24y – 5 = 0. Verifique que as retas encontradas nesse LG são perpendiculares. P29-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam 5 unidades do ponto P(0, 0). P33-) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam de dois pontos fixos dados. P(0, 0) e Q(5, 5). P30-) Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano determinado pelas equações: P34-) Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano em que a distância de um ponto qualquer desse LG até a reta r: 3x + 4y – 1 = 0 é igual a n vezes a distância desse mesmo ponto até à reta s: 5x – 12y + 2 = 0. P31-) Determinar a equação do lugar geométrico determinado pelas equações abaixo: P35-) Um menino está sentado na mesa para almoçar. De repente ele vê uma formiga andando sobre a mesa e repara que o inseto anda 2 cm para a direita e sobe 3 cm. Cada vez que a formiga subia  x = 2t − 5  y = t 20 x = t + 2 .  2  y = t + t −1 os 3cm o menino fazia um furinho na mesa da cozinha (tentando matar a formiga e nunca conseguia porque quando ele furava a toalha a formiga já tinha saído do lugar). Determine o lugar geométrico marcado pelos furos na toalha da mesa. Suponha que a origem do sistema de coordenadas estava no primeiro furo que o garoto fez na toalha da mesa. Faça um esboço desse lugar geométrico. P37-) São dadas duas retas, r: 3x + 4y – 3 = 0 e s: 7x + 24y – 1 = 0. Determine o lugar geométrico dos pontos do plano tais que duas vezes a distância desses pontos até a reta r é três vezes a distância desses pontos à reta s. P36-) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano que são determinados pelas equações: 2º Desafio Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que possuem iguais potências em relação à duas circunferências dadas. C1 é uma circunferência centrada em O1(0, 0) e de raio R1 igual a 5. C2 é outra circunferência com centro O2(10, 0) e de raio R2 igual a 3. Obs.: A potência de um ponto externo à uma circunferência é dado por: Pot (O) = (d P ,O )2 − R 2 em que O é o centro dessa circunferência. 21 Capítulo V. Outras considerações para o OCAP Lembra do “OCAP”? Como vimos acima, se aplicássemos alguns pontos no “OCAP” e se o resultado fosse zero os pontos estariam alinhados? E se o “OCAP” ≠ 0 ? O que significaria esse valor ? O valor de OCAP representa a área do polígono formado pelos pontos aplicados, quando é obedecida uma ordem de 2 aplicação dos pontos no OCAP. Vamos demonstrar esse resultado. Vamos supor a existência de um polígono de n lados, com vértices A1 ( x1 , y1 ) , A2 ( x2 , y2 ) , …, An ( xn , yn ) . Fazendo o OCAP com todos esses pontos nessa ordem se obtém a expressão: OCAP = x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x5 y4 + ... + xn yn −1 + x1 yn − ( x1 y2 + x2 y3 + ... + + xn −1 yn + xn y1 ) . É possível provar, usando o produto vetorial entre dois vetores, que o dobro da área de um triângulo é dada pelo x1 y1 1 determinante: x2 y2 1 = x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 − ( x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 ) . x3 y3 1 Aplicando nesse determinante os pontos A1 A2 A3 , A1 A3 A4 , A1 A4 A5 , ..., A1 An −1 An e somando todos os resultados, chega-se a expressão: 2 S = ( x3 + ... + xn −1 ) y1 + x1 ( y3 + ... + yn −1 ) + ( x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + ... + xn yn −1 ) − − ( x3 + ... + xn −1 ) y1 − x1 ( y3 + ... + yn −1 ) − ( x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + ... + xn −1 yn ) + x1 yn − xn y1 = OCAP . Logo S = OCAP . Esse resultado é muito poderoso e mostra que se for feito o OCAP com os pontos 2 num determinado sentido, de forma que se feche o polígono, o resultado desse OCAP é o dobro da área desse polígono. Ex.: Seja o polígono de 6 lados com vértices em: A(0,0), B(0,2), C(2,4), D(6,4), E(7,2), F(7,0). Determinar a sua área. Jeito trabalhoso de solução: Desenhar o polígono, dividi-lo em figuras conhecidas, calcular cada área e depois somá-las. Modo prático de resolução: Aplicar o “OCAP”, tirar o módulo e dividir por dois. Veja: 0 0 0 2 2 4 6 4 = 0 + 4 + 24 + 28 + 14 + 0 − 0 − 0 − 8 − 12 − 0 − 0 = 50 ⇒ L = 50 ⇒ 7 2 L 2 = 25 que é o valor da área desse polígono estranho. 7 0 0 0 22 P38-)Verifique se os pontos abaixo estão alinhados. Caso não estejam, determine a área do polígono formado. Lembre-se que para determinar a área, deve-se colocar os pontos no plano, escolher um desses pontos e adotar uma ordem (sentido horário ou anti-horário) para o “L”. a)A(0, 0), B(0, 3), C(1, 4), D(3, 5), E(5, 5), F(5, 2) b)A(-1, 0), B(0, 4), C(2, 4), D(3, 5), E(-2, 5) c)A(5, 0), B(4, 3), C(1, 2), D(0, 3) d)A(1, 2), B(-1, 0), C(4, 5), D(-8, -7) e)A(2, 1), B(5, 4), C(-3, -4), D(0, -1) f)A(0, 0), B(1, 2), C(3, 3), D(3, 2) g)A(-1, 0), B(-1, 1), C(0, 2), D(3, 3) h)A(1, 1), B(2, 2), C(1, 0 ), D(2, -2) P39-) Dado o hexágono A(0, 0), B(1, 2), C(2, 2), D(3, 0), E(2, -2), F(1, -2). Sejam M, N, P os pontos médios de AB, CD, EF respectivamente. Determine: a)A área do triângulo MNP b)As coordenadas do baricentro de MNP c)Angulo entre MN e NP d)A área do hexágono. P40-) Uma curva de equação x 2 + ( y − 3) 2 = 25 corta os eixos coordenados nos pontos A, B, C e D. Determine a área desse quadrilátero formado por esses quatro pontos. P41-) Uma curva de equação x2 y2 + =1 9 16 corta os eixos coordenados nos pontos A, B, C e D. Determine a área do quadrilátero formado por esse quatro pontos. Capítulo VI. Cônicas Nesse capítulo vamos estudar alguns tipos particulares de lugares geométricos. Esse nome cônicas, realmente, não vem à toa, ele surge pois as figuras que vamos estudar são resultados de cortes de planos em cones duplos. Veja as figuras abaixo: Veja que quando se toma um cone duplo e se faz um corte através de um plano paralelo à base desse cone, a figura resultante é o que chamamos de circunferência. Ao inclinarmos esse plano de secção, o corte 23 resultante gera outra figura que é chamada de elipse. No caso de se fazer um corte nesse mesmo cone através de um plano paralelo à geratriz do cone obtém-se como figura resultante uma parábola. No último caso, fazse um corte usando um plano perpendicular ao plano da base do cone, assim se obtém dois ramos de hipérbole. VI.1 - Circunferência É o L.G. dos pontos PL ( x, y ) plano que eqüidistam de um ponto dado fixo P0 ( x0 , y 0 ) . Essa distância fixa é chamada raio. Veja sua equação!!! d P , P = r. L O ⇒ ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r ⇒ elevando ambos os membros ao quadrado ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 Equação reduzida da circunferência Desenvolvendo a equação reduzida, encontramos a equação geral da circunferência. x 2 + y 2 − 2 x0 x − 2 y 0 y + ( x0 + y 0 − r 2 ) = 0 ⇒ Equação geral da circunferência. 2 2 Dada uma equação geral da circunferência, queremos identificar o raio e o centro C(x0, y0). Basta dividir o coeficiente do termo em x por -2 (pronto achamos o x0), fazendo o mesmo com o coeficiente do termo em y, achamos o y0. Para determinar o raio, fazemos o seguinte: R = x 0 2 + y 0 2 − n onde n é o termo independente de x e y dado na equação. R11) Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : b) x 2 + y 2 − 5 x + 11y + 1 = 0 a) x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 10 = 0 Solução: a) Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x. Basta dividi-lo por -2 e obtemos o x0. Fazemos o mesmo com o coeficiente do termo em y. Assim: x c = basta calcular: R = 4 2 + 3 2 − 10 = 15 b) x 0 = −5 5 = −2 2 y0 = −8 −6 = 3 , logo C(4, 3). Para achar o raio, = 4 e yc = −2 −2 11 −11 5 − 11   5   − 11  logo C  , =  −1 =  e R =   + 2 2 2 −2 2  2    2 24 2 71 2 c) x2 + y2 + 5x = 1 d) x2 + y2 - 5y – 5x = 0 P42-) Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar o raio e as coordenadas do centro : a) x 2 + y 2 + 8 x + 2 y + 5 = 0 b) 2 2 2 2 c) x + y − 2 x − 4 y + 2 = 0 x + y + 7x − 9 y + 3 = 0 P45-) Dê a área da região hachurada. P43-) Monte as equações das circunferências: a) C(0, 0), r = 5 b) C(1, -3), r = 8 c) C(-1, -1), r = 1 d) C(0, 5), r = 2 P44-) Indique o centro C e o raio das circunferências abaixo. a) x2 + y2 + 2x = 3 b) x2 + y2 - 5x + 2y = 0 VI.1.1 - Posições relativas entre ponto e circunferência Dada a circunferência C: ( x − xC ) 2 + ( y − y C ) 2 = R 2 e o ponto P( x 0 , y 0 ) . Substituímos o ponto P na equação da circunferência, calculamos o resultado e tiramos a seguinte conclusão: • • • Se ( x0 − xC ) 2 + ( y 0 − yC ) 2 < R 2 , P é interior; Se ( x0 − xC ) 2 + ( y 0 − y C ) 2 = R 2 , P ∈ C ; Se ( x0 − xC ) 2 + ( y 0 − y C ) 2 > R 2 , P é exterior; VI.1.2 - Posições relativas entre reta e circunferência Dada a circunferência C: ( x − xC ) 2 + ( y − y C ) 2 = R 2 e a reta r: ax + by + c = 0 . Isolando y ou x e substituindo em C, encontraremos uma equação do 2º grau em x ou y, respectivamente. Logo, para que r seja secante a C, basta que essa equação tenha duas soluções reais distintas; para que r seja tangente a C deve haver uma solução real; para que r seja exterior à C, a equação não pode ter solução real. • r é secante: ∆ > 0 ; • r é tangente: ∆ = 0 ; • r é exterior: ∆ < 0 ; R12) Determinar a posição relativa entre a circunferência C: x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 10 = 0 e a reta r: -2x + y + 1 = 0. Determine também a sua intersecção se houver. Solução: 25 Vamos isolar o y na equação da reta: y = 2 x − 1 . Substituindo na equação da circunferência temos: x 2 + (2 x − 1) 2 − 8 x − 6(2 x − 1) + 10 = 0 ⇒ 5 x 2 − 24 x + 17 = 0 ⇒ ∆ = 576 − 340 = 236 > 0 , logo r é secante à C. 12 ± 59 . De fato temos dois valores de x, pois são dois pontos 5  12 + 59  12 + 59  − 1 = 19 + 59 de intersecção entre a reta e a circunferência. Para x = temos y = 2  5 5 5    12 − 59  12 + 59  − 1 = 19 − 59 . Logo os pontos de intersecção entre a circunferência e a temos y = 2 Para x =  5 5 5     12 + 59 19 + 59    e P2  12 − 59 , 19 − 59  . reta são: P1  ,    5 5 5 5     Continuando a resolver a equação, temos x = P46-) Indique a posição relativa entre as retas e as circunferências abaixo, bem como suas intersecções (se tiverem): c) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 9 e Ox a) x2 + y2 = 25 e y = x + 1 b) x2 + y2 = 25 e y = x – 10 2 2 2 2 d) x + y + 2x = 8 e 2y – 4x + 6 = 0 e)(x – 1) + y – 2y = 15 e y = 3x VI.1.3 - Posições relativas entre circunferências Seja d C1C2 a distância entre os centros das circunferências e r1 e r2 os seus raios. Semelhantemente ao feito com as intersecções de retas e circunferências, podemos fazer entre circunferências, ou seja, isolamos o x ou o y das equações e as igualamos. Resolvendo a nova equação podemos encontrar uma, duas ou nenhuma solução, assim, podemos dizer se são tangentes, secantes ou sem pontos em comum, respectivamente. O problema é que apenas a solução da equação não é suficiente para saber se são tangentes exteriores ou interiores, por exemplo. Assim fazemos as seguintes análises abaixo: • d C1C2 > r1 + r2 ⇒ d C1C2 = r1 + r2 + d , d > 0, trata-se de circunferências exteriores; • d C1C2 = r1 + r2 ⇒ d = 0, trata-se de circunferências tangentes exteriores; 26 • d C1C2 = r1 − r2 , temos circunferências tangentes interiormente; • r1 − r2 < d C1C2 < r1 + r2 , temos circunferências secantes; • d C1C2 < r1 − r2 , caso em que a circunferência de raio menor é interior à outra; P47-) Dadas as equações abaixo, determine a posição relativa entre as circunferências. Lembre-se que não é necessário desenhar as circunferências, basta calcular a distância entre os seus centros e comparar com a soma dos raios e a diferença dos raios. a) x2 + y2 = 1 e (x – 1)2 + y2 = 1. b) (x – 1)2 + (y – 5)2 = 1 e (x – 2)2 + (y – 3)2 = 1 c) x2 + (y – 2)2 = 1 e x2 + y2 + 6y – 2x + 6 = 0 d) x2 + y2 – 2y = 3 e x2 + y2 – 10y + 21 = 0 e) x2 + y2 = 121 e x2 + y2 – 4y – 4x = 8 VI.2 – Elipse A elipse é o nome dado ao LG dos pontos do plano tais que a soma das distâncias de qualquer ponto desse LG a dois pontos fixos, chamados focos, é constante e igual a 2a. Vamos achar a equação de uma elipse. 27 PF1 + PF2 = 2a ⇒ d P , F + d P , F = 2a ⇒ 1 ⇒ 2 ( x − c) 2 + ( y − 0) 2 + ( x − (−c)) 2 + ( y − 0) 2 = 2a ⇒ membros ao quadrado 644elevando 444ambos 44os 47 444444448 2 2 2 2    ⇒  ( x − c) + y  =  2a − ( x + c) 2 + y 2      ⇒ ⇒ ( x − c ) 2 + y 2 = 4a 2 + ( x + c ) 2 + y 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 ( elevando ⇒ − 2cx = 4a + 2cx − 4a ( x + c) + y 2 ⇒ c 2 x 2 + a 4 + 2a 2 cx = a 2 y 2 + a 2 x 2 + 2a 2 cx + a 2 c 2 2 2 ⇒ a 2b 2 2 ⇒ a2 + ( y − yc ) 2 b2 membros ao ⇒ quadrado ⇒ ⇒ b2 a 2b 2 a2 = 2 2 y2 + 2 2 x2 ⇒ 2 2 a b a b a b x2 y2 + = 1 ⇒ equação da elipse a2 b2 ( x − xc ) 2 ) os 644444 47444444 8 2 2 2 2 2   cx + a =  a ( x + c) + y    ⇒ a 4 − a 2c 2 = a 2 y 2 + a 2 x 2 − c 2 x 2 dividindo ambos os membros por =b =b 67 8 67 8 644474448 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ a ( a − c ) = a y + x (a − c ) ⇒ a 2b 2 = a 2 y 2 + x 2b 2 2 2 ambos = 1 ⇒ equação completa . da elipse OBS.: Repare que se a = b, caímos na equação de uma circunferência: ( x − xc ) 2 + ( y − y c ) 2 = a 2 , logo concluímos que toda circunferência é um caso particular de uma elipse. VI.2.1 - Caso particular da elipse sobre Ox e seus elementos Equação: x2 y2 + =1 a2 b2 Semi-eixo maior: 2a Semi-eixo menor: 2b c Excentricidade: e = , sempre <1, pois c < a. a Relação fundamental: a 2 = b 2 + c 2 Focos: F1=(-c, 0) e F2=(c, 0) Vértices: A=(-a, 0) e D=(a, 0) Centro: C = (0, 0) 28 VI.2.2 - Caso geral da elipse com eixo focal paralelo ao eixo Ox e seus elementos Equação: ( x − xc ) 2 ( y − y c ) 2 + =1 a2 b2 Semi-eixo maior: 2a Semi-eixo menor: 2b Excentricidade: e = c a Relação fundamental: a 2 = b 2 + c 2 Focos: F1 = ( −c + xc , y c ) e F2 = (c + xc , y c ) Vértices: A = ( − a + xc , y c ) e D = ( a + xc , y c ) Centro: C = ( xc , y c ) OBS.: Um jeito mais fácil de entender a diferença entre esse VI.2.1 e VI.2.2 é: No caso de VI.2.1,o centro da elipse era a origem, C = (0, 0). No segundo caso passou a ser C = ( x c , y c ) , logo, foi somado xc ao x do centro antigo (que era 0). O mesmo aconteceu com o y do centro antigo que também era 0, foi somado a ele y c . Logo a todos os x’ses da elipse devem-se somar xc e a todos os y’ons devem-se somar y c . Alguns bizus de elipses!!! • Para identificar se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo Ox ou Oy, basta olhar para a equação. Se o a2 (o maior de todos os elementos) estiver embaixo do termo x, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Ox. Se o a2 estiver embaixo do termo y, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Oy. ( x − 2) 2 ( y + 5) 2 + = 1 , determine o valor do semi-eixo maior, do semi-eixo 25 9 menor, as coordenadas dos focos, dos vértices, do centro e o valor da excentricidade. Solução: Da equação temos que o semi-eixo maior( que é igual a a) vale a = 25 = 5 o semi eixo menor vale: b = 9 = 3. Da relação fundamental tiramos que c 2 = a 2 − b 2 = 25 − 9 = 16 ⇒ c = 4 . Como o 25 que é o maior parâmetro está em baixo do termo de x, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Ox. As coordenadas do centro são: C = (2, -5) logo temos: Coordenadas dos focos: F1 = (−4 + 2 , 0 − 5) = (−2 , − 5) e F2 = (4 + 2 , 0 − 5) = (6 , − 5) Coordenadas dos vértices: V1 = (−5 + 2 , 0 − 5) = (−3 , − 5) e V 2 = (5 + 2 , 0 − 5) = (7 , − 5) c 4 Para calcular a excentricidade basta fazer: e = = = 0,8 a 5 R13-) Dada a equação da elipse 29 R14-) Encontrar a equação de uma elipse que está centrada na origem, com eixo focal coincidente com o eixo Ox , de excentricidade 0,5 e que passa pelo ponto (10,0). Solução: Foi dado que a excentricidade vale 0,5 então temos 1 c = ⇒ a = 2c . Sabemos que a 2 = b 2 + c 2 então temos 2 a que: (2c) 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = 4c 2 − c 2 ⇒ b 2 = 3c 2 ⇒ b = c 3 . Foi dito que a elipse está centrada em (0, 0) e que x2 y2 está sobre Ox, logo a sua equação é da forma: 2 + 2 = 1 ⇒ substituindo a = 2c e b = c 3 na equação temos: a b y2 y2 x2 x2 + = 1 ⇒ 2 + 2 = 1 ⇒ como 2 4c 3c ( 2c ) (c 3 ) 2 o ponto (10, 0) está na elipse, ele satisfaz a sua equação, então, aplicando esse ponto na equação achamos o valor de c. elipse é: y2 x2 + =1 100 75 10 2 02 + = 1 ⇒ 100 = 4c 2 ⇒ c = 5 . 4c 2 3c 2 Assim, a equação da R15) Seja a elipse de equação 4 y 2 + 8 y + 9 x 2 + 18 x = 49 . Identificar as coordenadas dos focos, dos vértices do centro, o valor da sua excentricidade e determine também os valores de t para que a reta de equação y = tx seja tangente à essa elipse. Solução: ( x − xc ) 2 ( y − y c ) 2 + =1 a2 b2 Partindo da equação dada temos: 4( y 2 + 2 y ) + 9( x 2 + 2 x) = 49 → 4( y 2 + 2 y + 1) + 9( x 2 + 2 x + 1) = 49 − 4 − 9 ⇒ . Primeiramente, vamos escrever a equação da elipse na sua forma reduzida: 4( y + 1) 2 + 9( x + 1) 2 = 36 ⇒ dividindo ambos os membros por 36 temos: ( y + 1) 2 ( x + 1) 2 + = 1 ⇒ agora é só 9 4 analisar: Da equação, o centro C = (-1, -1). a = 3, b = 2 e da relação fundamental c = 5 . Como a está sob o termo do y, o eixo focal da elipse está paralelo ao eixo Oy. Logo, os focos são: F1(-1, -1- 5 ) e F2(-1, -1 + 5 ). Os vértices são: V1(-1, -4) e V2(-1, 2). A excentricidade é dada por: e = c 5 . Vamos agora achar os valores = 3 a de t para que a reta y = tx seja tangente à elipse. Vamos substituir o y da equação da elipse por tx. 4(tx ) 2 + 8(tx ) + 9 x 2 + 18 x = 49 ⇒ (4t 2 + 9) x 2 + (8t + 18) x − 49 = 0 . Para que a reta seja tangente à elipse deve haver apenas uma raíz real para essa equação do segundo grau. Então ∆ = 0. ∆ = (8t + 18) 2 − 4.(4t 2 + 9).(−49) = (8t + 18) 2 + 196.(4t 2 + 9) que é uma soma de números positivos, logo é sempre positivo e não pode ser zero. Assim, concluímos que não existe valor de t tal que uma reta da forma y = tx , seja tangente à essa elipse. P48-) Dada a equação ( x − 2) 2 ( y − 3) 2 + = 1 . Determine: 25 16 da elipse a)As coordenadas do centro, dos focos e dos vértices. b) Dada a reta y = mx, determine os valores de m para que essa reta seja tangente à elipse. 30 uma elipse centrada no centro da circunferência e que possui a mesma área dessa circunferência. Atente que foi pedida uma equação, pois esse problema tem infinitas respostas. c) Faça a intersecção dessa elipse com os eixos coordenados. Determine a área desse polígono formado. P49-) Seja a elipse de equação ( x − 1) 2 y 2 + =1 144 169 . P54-) Determine as coordenadas dos focos, dos vértices e do centro de cada elipse abaixo. a) 9 x 2 + 25 y 2 − 50 x − 18 y − 191 = 0 b) 25 x 2 + 9 y 2 − 18 x − 50 y − 191 = 0 c) x 2 + 2 y 2 − 4 x − 4 y + 3 = 0 Determine: a)As coordenadas dos vértices, dos focos e do centro. b)A excentricidade. c)A equação da circunferência que circunscreve essa elipse. d)A equação da circunferência que está inscrita nessa elipse. P55-) Determine a equação e identifique o lugar geométrico dos pontos do plano que são determinados pelos sistemas abaixo.  x = 9 sent a)  π   y = 1 + 2 sen 2 − t     P50-) Determine todos os valores de m tais que a reta y = mx seja tangente à elipse de equação ( x − 10) 2 y 2 + =1 9 4 .  x = 2 + 3 cos(3t − 3) c)   y = 7 sen(3t − 3) P51-) Dada a expressão que determina a área de uma elipse: A = πab Determine a equação da elipse de área 20π, que possui excentricidade 0,6 e centro C(0,0). P52-) Determine o comprimento de uma elipse de excentricidade zero e valor de a igual a 10.  x = 5sen2t b)   y = −1 + cos 2t  x = sen2t d)  2 2  y = 3(cos t − sen t ) P56-) A reta x-y-5=0 é tangente a uma elipse de focos F(3,0) e F’(-3,0). Determine uma equação desta elipse. P53-) Dada a equação de uma circunferência. x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 10 = 0 . Determine a equação de 3º Desafio São dadas as equações de duas elipses fixas. E1 : ( x − xc ) 2 x2 + y 2 = 1 . Sabe+ y 2 = 1 e E2 : 2 2 se que a expressão do coeficiente angular da reta tangente à uma elipse de equação ( x − xc ) 2 a2 + ( y − yc ) b2 2 = 1 para qualquer ponto dessa curva é dada por m = − ( x − x c )b 2 ( y − y c )a 2 . Determine o valor de xc da equação de E2, para que ambas as elipses dadas sejam ortogonais. Dado: uma elipse é ortogonal a outra elipse se e somente se as retas tangentes à essas elipses (no ponto de intersecção entre elas) forem perpendiculares. 31 Capítulo VII. Questões de Vestibular x ≥ 0; y ≥ 0; x – y + 1 ≥ 0; x2 + y2 ≤ 9, é: (A) (B) 01.(FUVEST - 2000) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: (A) –2 (B) 0 (C) 2 (D) 1 1 (E) 2 (C) (E) nda 02.(FUVEST - 2000) Um circunferência passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distância do centro dessa circunferência à origem é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 (D) 06.(FUVEST - 1999) Um pirata enterrou um tesouro numa ilha e deixou um mapa com as seguintes indicações: o tesouro está enterrado num ponto da linha reta entre os dois rochedos; está a mais de 50 m do poço e a menos de 20 m do rio (cujo leito é reto). 03.(FUVEST - 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (a, 0). B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é: (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 a) Descreva, usando equações e inequações, as indicações deixadas pelo pirata, utilizando para isto o sistema de coordenadas mostrado na figura. b) Determine o menor intervalo ao qual pertence a coordenada x do ponto (x,0) onde o tesouro está enterrado. 04.(FUVEST - 2000) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = log10x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos é: (A) log102 (B) log103 (C) log104 (D) log105 (E) e)log106 07.(FUVEST - 1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P = (1,2) e é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente, a) Determine a equação de s. b) Calcule a área do triângulo ABC. 05.(FUVEST - 2000) Das regiões hachuradas na seqüência, a que melhor representa o conjunto dos pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo o conjunto de desigualdades 08.(FUVEST – 2003) A) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no 32 12.(UERJ - 1997) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que satisfazem o sistema de inequações abaixo: eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? B) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C.  y ≤ x +1  y ≥ −x   2 2 x + y ≤ 4  x ⋅ y ≤ 0 09.(FUVEST – 2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se interseptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes angulares é 1 e a reta s intersepta o eixo dos y no ponto (0, 3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Calcule: A- o ângulo formado entre as retas r e s. B- a área total das regiões hachuradas. 13.(UNESP – 2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é A) equilátero. B) isósceles, mas não equilátero. C) escaleno. D) retângulo. E) obtusângulo. x + (c + 1) y = 0 10.(FUVEST – 2003) O sistema cx ,  + y = −1 onde 0 c ≠ 0 , admite uma solução (x , y) com x = 1. Então, o valor de c é: A) -3 B) -2 C) -1 D) 1 E) 2 14.(UNESP – 2002) Considerando-se que o ponto (1,1) pertence a uma circunferência de raio r e centro em (0,2) pede-se determinar (A) O raio da circunferência (B) Os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo dos Y 11.(FUVEST – 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale: A) 1 − p12 B) 1 − p12 C) 1 − p16 D) E) 15.(EN – 2001) São dadas a reta r de equação x y + 2 = 0 e a elipse α de equação 9x2 + 4y2 – 18x 3 – 16y = 11. A equação da reta s que passa pelo centro de α e é perpendicular à reta r é: (A) 3y + x – 7 = 0 (B) 3y + x – 5 = 0 (C) 3y – x – 5 = 0 (D) 3y – x + 8 = 0 1− p 4 1+ p2 1− p 2 16.(UFRJ – 2000) Existe um único b ∈ R para o qual a reta de equação y = 2x + b divide o triângulo de vértices A (0,0), B (1,0) e C (0,1) em dois polígonos de áreas iguais. Determine b. 1 − p16 1+ p2 1 − p 20 1− p4 33 17.(UFRJ – 1999) Considere os pontos P 1 ( 0, 0 ) , P 2 ( 1, 1 ) e P 3 ( 2, 6 ). a) Determine a equação da parábola que passa por P1 , P2 e P3 e tem eixo de simetria paralelo ao eixo Y das ordenadas; b) Determine outra parábola que passe pelos pontos P1 , P2 e P3 . 18.(UFRJ – 1998) Sejam A (1,0) e B(5, 4 ) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2º quadrante. Determine suas coordenadas. a) A reta AD divide a peça numa razão k = Área (ADEF)/Área (ABCD) Determine o valor de k. b) Uma reta r, passando pelo ponto A, divide a peça metálica em duas partes de mesma área. Determine a equação da reta r. 19.(UFRJ – 1997) Sejam M1 = (1,2), M2 = (3,4) e M3 = (1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 22.(Unicamp -1996) Uma elipse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto (0,-3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma pergunta para o ponto (5/2,13/5). Justifique suas respostas. 20.(UFRJ – 1997) Três cidades A, B e C estão representadas no mapa a seguir. Escolhendo uma cidade como origem, é possível localizar as outras duas usando um sistema de coordenadas (d,q) em que d é a distância, em quilômetros, entre a cidade considerada e a origem e q é o ângulo, em graus, que a semi-reta que une a origem à cidade considerada faz com o vetor norte N; q é medido a partir do vetor N no sentido horário. 23.(Unicamp -1997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de módulos constantes. O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação 4y – 3x – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela equação x2 + y2 – 6x – 8y = 0. As trajetórias estão no mesmo plano e a unidade de medida de comprimento é o km. Pergunta-se: a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde haverá cruzamento das duas trajetórias? b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual deverá ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo instante ao ponto Q? Usando A como origem, as coordenadas de B nesse sistema são (50, 120) e as coordenadas de C são (120, 210). 24.(Unicamp -1998) a) Encontre as constantes a , b , e c de modo que o gráfico da função ax2 + bx + c = 0 passe pelos pontos (1,10) , (−2,−8) e (3,12) . b) Faça o gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais. a) Determine a distância entre as cidades B e C. b) Determine as coordenadas da cidade B, se escolhermos C como origem. 21.(UFRJ – 1997) Considere uma peça metálica cuja forma é representada pela figura a seguir, com vértices nos pontos A(0,0), B(0,3), C(3,3), D(3,1), E(5,1) e F(5,0). 25.(Unicamp -1999) Uma reta intersecciona nos pontos A ( 3,4 ) e B (– 4,3 ) uma circunferência centrada na origem. 34 a) Qual é o raio dessa circunferência? b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos A e B e seus simétricos em relação à origem. A) C) 26.(Unicamp -2000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x2 com a circunferência de centro na origem e raio 2 . a) Quais as coordenadas dos pontos A e B ? b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para os ângulos APB . B) D) E) 31.(UFMA – 2003) Considere a família de retas representada por fk(x) = x – k . Seja dK a distância entre o ponto PK (0,...) de abscissa igual a zero e ponto Qk de ordenada igual a 1, pertencentes a reta por fk. Determine o valor de (d0 + d1 + ... + d100). 32.(UFMA – 2003) Dadas a circunferência x 2 + y 2 − 4 x − y + 1 = 0 e a reta 3x + 2 y − 500 = 0 , encontre a área do triângulo inscrito na circunferência, cujos lados são paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada. 27.(Unicamp -2001) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0. a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas? b) Qual é a área do triângulo ABC ? 33.(UFPR – 2003) Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a 1 e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que 1. Assim, é correto afirmar: ( ) A equação da circunferência C é x² + y² + 1 = 0. ( ) O ponto P(cos ω, sen ω) pertence à circunferência C, qualquer que seja o número real ω. ( ) A reta y = x + 1 intercepta a circunferência C em dois pontos. ( ) A reta y + 1 = 0 é tangente à circunferência C. ( ) O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C. ( ) O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior da circunferência C. 28.(Unicamp -2003)As equações ( x + 1) 2 + y 2 = 1 e ( x − 2) 2 + y 2 = 4 representam duas circunferências cujos centros estão sobre o eixo das abscissas. a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas circunferências. b) Encontre o valor de a ∈ R , 0 ≠ a , de modo que duas retas que passam pelo ponto (a,0) sejam tangentes às duas circunferências. 29.(UFPE – 2003) Cada um dos círculos limitados pelas circunferências de equações x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 e x2 + y2 - 10x - 2y + 22 = 0 fica dividido em duas regiões de mesma área por uma reta de equação y = mx + n. Calcule 3n. 30.(UFES – 2003) Em um sistema de coordenadas cartesianas com origem O, considere a circunferência C dada pela equação , cujo centro indicamos por P. A reta OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é o mais próximo da origem. 34.(UERJ – 2002) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, está representado o triângulo ABC. Em relação a esse triângulo, (A) demonstre que ele é retângulo; (B) calcule a sua área. A equação da reta que tangencia a circunferência C no ponto A é 35 35.(UFF – 1996) Na figura, a reta s é paralela à reta r e passa pelo vértice V da parábola. Sabendo que ON = 8, determine a distância entre os pontos M e N. 38.(UFF – 1997) Considere a parábola de equação y = x2 – 6x + 5. Determine a equação da circunferência que passa por seu vértice e por suas interseções com o eixo x. Determine a equação da reta s. 39.(UFF – 1997) Identifique, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano definido pela equação x2 – y2 – 4x + 8y = 12. 36.(UFF – 1996) Na figura abaixo a circunferência C tem equação x2 + y2 − 4x − 8y = 0 . 40.(UFF – 1997) Determine a área da região do plano limitada pelas retas y = 3x, x + y = 4 e y = 0. 41.(UFF – 1998) A figura representa a reta r que intercepta o eixo y no ponto P(0, m), formando com esse eixo o ângulo α. Determine: a) a equação da reta s b) a equação da reta r que é perpendicular à reta s e passa pelo centro da circunferência 37.(UFF – 1996) A circunferência C representada na figura tem centro na reta y = 2x e passa pela origem O dos eixos coordenados. A equação de r é dada por: (A) y = (cotg α)x + 1 (B) y = (tg α)x + m C) y = – (cotg α)x + m (D) y = (cotg α)x + m (E) y = (tg α)x + 36 1 m m 49.(UECE – 1980) Dois vértices de um quadrado estão nos pontos A(3,-4) e B(9,-4). Determine a soma das abscissas dos outros dois vértices. 42.(UFF – 2000) A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x2 + y2 = 5. A reta y = – x +p intercepta C nos pontos M e Q. Determine: a) o valor de p; b) as coordenadas dos pontos M e Q. 50.(UECE – 1991) Se P e M são os pontos de interseção dos gráficos de f(x) = x2 – 3 e g ( x) = x2 + x 2 , então a medida do comprimento do segmento PM é: 43.(UFF – 2000) Determine o(s) valor(es) que r deve assumir para que o ponto (r, 2) diste cinco unidades do ponto (0, -2). 51.(UECE – 1992) Seja ( r ) a reta que passa pelos pontos P1(-2,1) e P2(5,3). Se ( r ) intercepta os eixos coordenados nos pontos M(m,0), e N(0,n), então o valor de 44.(UFF – 2002) Cada ponto P(x, y) de uma curva C no plano xy tem suas coordenadas descritas por:  x = 1 + cos t 3<t <4   y = 2 + sent 52.(UFC – 1991) Considere a família de retas cuja equação é (a4 – 1)x + (a2 + 1)y – 1 = 0. Então o número de retas da família que são paralelas ao eixo das abscissas é igual a: a)Escreva uma equação de C relacionando, somente, as variáveis x e y. b)Calcule o comprimento de C. 53.(UECE – 1980) O perímetro do triângulo formado pelas interseções das retas x + y – 6 = 0, x = 1 e y = 1 é igual a: 45.(UFC – 2001) Encontre uma equação da reta tangente à curva x2 – 2x + y2 = 0 no ponto (1, 1). 54.(UNIFOR – 1982) Se f: R Æ R é dada por f(x) = Ax + B, onde A e B são números reais, a expressão [ f(p) – f(q) ] / ( p – q ) , onde p e q são reais distintos, fornece: 46.(UFC – 2001) O número de pontos de interseção das curvas x2 + y2 = 4 e igual a: (A)0 (D)5 x2 y2 + =1 é 15 2 (B)3 (E)6 (C)4 55.(UECE – 1991) Se as alturas do triângulo de vértices nos pontos P1(6,-6), P2(6,4) e P3(-10,2) se interceptam no ponto (n1, n2), então n1 + n2 é igual a: 47.(UECE – 2003) Num sistema cartesiano ortogonal usual, as interseções dos gráficos da circunferência x2 + y2 – 10x – 8y + 16 = 0 com a reta 3x – y + 4 = 0 são os pontos P e Q. O ponto médio da corda PQ é: A) ( 11 1 , ) 2 2 (C) ( (B) ( 1 1 , ) 2 2 (D) ( 14 ( n − m) é: 11 56.(UNIFOR – 1982) A área da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = x + 1, g(x) = x – 1 , h(x) = - x + 1 e q(x) = - x – 1 vale, em unidades de área: 1 11 , ) 2 2 11 11 , ) 2 2 57.(UECE – 1991) Se a reta de equação y = 2x –1 intercepta a circunferência de equação x2 + y2 + 5x – 7y = 2 nos pontos P e Q, então a medida do comprimento do segmento PQ é: 48.(UFBA – 2000) A circunferência, de centro na intersecção das retas 2x + 3y = 4 e 3x + 5y = 6 e tangente à reta 2x − y + 5 = 0, tem para equação Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0. Calcule A + B + C + D + E . 58.(UNIFOR – 1981) Considere as circunferências x2 + y2 = 25 e (x -3)2 + y2 = 4. Podemos afirmar que elas são: 37 66.(UFRR – 2003) Considere a reta r, paralela à reta de equação y = 2x – 4, e que contém o ponto (1,1). As coordenadas do ponto P, interseção da reta r com o eixo y, são: 59.(UNIFOR – 2000) Na circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0, o ponto que tem maior abscissa é: a) (5,1) b) (5,0) c)(2,4) d) (2,2) e) (2,1) (A) (-4,0) (D)(0,-4) Para responder às questões de números 60 e 61, use os dados seguintes. - (B)(3,0) (E)(0,3) (C)(0,0) 67.(UFRR – 2003) Os vértices de um triângulo no plano cartesiano são os pontos (-6,3), (0,11) e (6,3). Inscreve-se um círculo neste triângulo, cujo centro encontra-se no eixo das ordenadas. A equação desta circunferência inscrita é: Pontos do plano cartesiano: A(2,0) e B(0,2) Reta r, de equação 2x – y + 4 = 0 Circunferência λ de centro (a,b) e raio r. 60.(UNIFOR – 2000) Se AB é um diâmetro da circunferência λ, então a equação de λ é: (A) x2 + y2 – 2x + 2y = 0 (B) x2 + y2 – 2x - 2y = 0 (x) (C) x2 + y2 – 2x + 2y = 2 (D) x2 + y2 – 2x - 2y = 2 (E) x2 + y2 + 2x - 2y = 2 (A) x2 + y2 – 12y + 27 = 0 (B) x2 + y2 – 6y = 0 (C) x2 + y2 – 18y + 36 = 0 (D) x2 + y2 – 12y = 0 (E) x2 + y2 – 12y – 85 = 0 68.(UNESP – 2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é F) eqüilátero. G) isósceles, mas não eqüilátero. H) escaleno. I) retângulo. E) obtusângulo 61.(UNIFOR – 2000) A equação da reta paralela a r, traçada pelo ponto A, é: (A) 2x + y – 4 = 0 (B) 2x – 2y – 1 = 0 (C) x – 2y – 4 = 0 (D) x + 2y – 4 = 0 (E) 2x – y – 4 = 0 (x) 69.(UFMG – 1997) Sejam t e s as retas de equações 2x – y – 3 = 0 e 3x – 2y + 1 = 0, respectivamente. A reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de interseção de t e s. A equação de r é (A) 5x – y - 24 = 0 (B) 5x + y - 26 = 0 (C) x + 5y – 10 = 0 (D) x - 5y = 0 70.(UFMG – 1997) Observe a figura. 62.(UNIFOR – 2000) A reta de equação √3 .x 3y + 3 = 0 forma, com o eixo das abscissas, um ângulo de medida: 63.(UFC – 2000) Seja r a reta tangente à circunferência x2+ y2 = 2 no ponto (a,b). Se a área do triângulo limitado por r e pelos eixos coordenados é igual a 2 u.a. e se a e b são positivos, o valor de a + b é: 64.(UFPR – 1985) Um ponto P divide o segmento orientado MN na razão PM / PN = - 2. Sendo P(3,0) e M(-3,2), então N é o ponto de coordenadas: 65.(UFGO – 1984) Se os pontos A(1,0), B(a,b) e C(0,1) estão alinhados, então determine uma relação entre a e b: 38 AD estão contidos, respectivamente, nas retas de Nessa figura, estão representadas duas retas perpendiculares que são gráficos de y = f(x) e y = g(x). O valor máximo da função h(x) = f(x).g(x) é (A) 5 4 9 (B) 4 (C)3 equações y = x + 14 e y = 4x – 2. 2 Nesse caso, as coordenadas do ponto B são 35 (A)  7,   (D)4 2  (B)  9,  37   2  (C) (8,18) (D) (10,19) 71.(UFMG – 1998) A reta r é paralela à reta da equação 3x - y -10 = 0 . Um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y = x2 - 4 tem abscissa 1. A equação de r é (A) x + 3y + 8 =0 (B) 3x - y + 6 = 0 (C) 3x - y - 6 = 0 (D) x - 3y - 10 = 0 74.(UFMG – 2000) Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6). O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim sendo, a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C é (A) 7 17 (B) 10 23 C) 3 20 (D) 12 25 75.(UFMG – 2001) A reta r passa pelo ponto (16, 72.(UFMG – 1999) Considere a região delimitada pela parábola da equação y=-x2+5x-4 e pela reta de equação x+4y-4=0. Assinale a alternativa cujo gráfico representa corretamente essa região. 11 ) e não intercepta a reta de equação y = x 2 - 5. Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é (A) (7, 6) (D)(7, (B)(7, 13 ) 2 (C)(7,7) 15 ) 2 76.(ITA - 1995) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem coeficiente angular 2a e tangência a parábola y = x2 - 1 no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, c) e (0, d) são as coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = -2d, então a/b é igual a : (A) -4/15 (B)-5/16 (C)-3/16 (D)-6/15 (E)-7/15 77.(ITA - 1995) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: (A) (-b, -b) (B) (-2b, -b) (C) (4b, -2b) (D) (3b, -2b) (E) (-2b, -2b) 73.(UFMG – 1999) Observe a figura. 78.(ITA - 1995) Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que AÔT = θ é um ângulo agudo. Sendo B o ponto Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6,10) e os lados AB e 39 (C) y = -x + 3 (D) y = 3x/2 - 2 (E) y = -x/2 + 2 de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT , então a área do trapézio OABT é igual a: (A) r2(2 cos θ - cos 2θ) (B) 2r2(4 cos θ - sen 2θ) (C) r2(4 sen θ - sen 2θ) (D) r2(2 sen θ + cos θ) (E) 2r2(2 sen 2θ - cos 2θ) 83.(ITA - 1997) Seja m ∈ ℜ *+ , tal que a reta x - 3y - m = 0 determina, na circunferência (x - 1)2 + (y +3)2 = 25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é: (A) 10 + 4 10 (C)5- 2 (B)2 + 3 (E)3 (D)6 + 10 79.(ITA - 1996) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y +144 = 0 considere uma elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de ε1 e cujos eixos têm mesma medida que os eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida no primeiro quadrante, o centro de ε2 é: (A) (7,3) (B)(8,2) (C)(8,3) (D)(9,3) (E)( 9,2) 84.(ITA - 1997) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s dadas, respectivamente pelas equações x + y = 3 e x + y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro quadrante com B ∈ r e C ∈ s. sabendo que d(A,B) = d(A,C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada pela equação: (A) 2x + 3y = 1 (B)y = 1 (C)y = 2 (D)x = 1 (E)x = 2 80.(ITA - 1996) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e p2: y = x2 - 3x + 11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é: (B) 7 (C) 7 (A) 5 26 26 (D) 17 50 (E) 11 85.(ITA - 1997) Considere os pontos A: (0, 0) e B: (2, 0) e C: (0, 3). Seja P: (x, y) o ponto da intersecção das bissetrizes internas do triângulos ABC. Então x + y é igual a: (A) 12/(5 + 13 ) (B)8/(2 + 11 ) (D)5 (E)2 (C)10/(6 + 13 ) 50 74 86.(ITA - 1998) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas equações são, respectivamente, 5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1). Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de P ao vértice da parábola T, é: 81.(ITA - 1996) São dadas as retas r: x - y + 1 + 2 = 0 e s: 3 x + y - 2 3 = 0 e a circunferência C: x2 + 2x + y2 = 0. Sobre a posição relativa desses três elementos, podemos afirmar que: (A) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à C. (B) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é tangente a C. (C) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é tangente à C. (D) r e s são concorrentes, s é tangente à C e r não é tangente à C. (E) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C. (A) a elipse de equação ( x − 3)2 ( y + 2)2 + = 1. 4 3 (B) a hipérbole de equação ( y + 1)2 ( x − 3)2 + = 1. 5 4 (C) O par de retas dadas por y = ±(3x - 1). (D) A parábola de equação y2 = 4x + 4. (E) A circunferência centrada em (9 , 5) e raio 120 . 82.(ITA - 1996) Sabendo que o ponto (2,1) é ponto médio de uma corda AB da circunferência (x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A e B é dada por: (A) y = 2x – 3 (B) y = x-1 87.(ITA - 1998) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área deste paralelogramo, em cm2, vale: 40 (A) (D) 36 5 48 3 C) 44 (B) 27 (E) 4 48 5 (D) 2 3 2 dada por: (A) y = b ( x − 1)2 , x ≥ a (B) y= (C) y= (D) y = (E) y= b a4 b a2 −b a2 a2 b 2 (D) ( x − 1)2 , x ≥ 1 2 ( x − 1), x ≥ 1 ( x − 1), x ≤ 1 3 3 8 ( 2 − 1)π 3 3 3 (E)n.d.a. 3 0, ela irá gerar um sólido cujo volume é igual a: (B) 2π (C) π (A) 4π (D) (C) (E)n.d.a. 15 3 7 3 (B)R= (D)R = 10 5 (E)n.d.a. (C) a = 2 1 2 e 10 10 (D) a = - 1 - (C)R= 10 3 -1 10 10 4b2 + 24b + 33 = 0 e b = 3a e b = 3a (E) n.d.a. 96.(ITA - 1992) A equação da reta bissetriz do ângulo agudo que a reta y = mx, m > 0, forma com o eixo dos x é: reta (r) é: 4 3 (A) R = (B) a = - 4 6 13 3 95.(ITA - 1991) Seja C a circunferência dada pela equação x2 + y2 + 2x + 6y + 9 = 0. Se P = (a , b) é o ponto em C mais próximo da origem, então: (A) a = - 3 e 4b2 + 24b + 15 = 0 91.(ITA - 1990) Considere a reta (r) mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta 2x - 3y + 7 = 0 intercepta os eixos coordenados. Então a distância do ponto ( 1 , 1 ) à (B) 3 4π 9 94.(ITA - 1991) Seja r a mediatriz do segmento de reta de extremos M = (-4 , -6) e N = (8 , -2). Seja R o raio da circunferência com centro na origem e que tangencia a reta r. Então: 90.(ITA - 1990) Seja C o centro da circunferência x2 + y2 - 6 2 y = 0. Considere A e B os pontos de interseção desta circunferência com a reta y = 2 x . Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices A, B e C é: (A) 6 2 + 3 (B) 4 3 + 2 (D) 5 3 + 2 (C) 2 + 3 (E)n.d.a. 5 3 2 2 93.(ITA - 1991) Considere a região ao plano cartesiano xy definido pela desigualdade: x2 + y2 2x + 4y + 4 < 0. Quando esta região rodar um ângulo de π radianos em torno da reta y + x + 1 = ( x − 1), ∀x ∈ ℜ 89.(ITA - 1990) Sejam as retas (r) e (s) dadas respectivamente pelas equações 3x - 4y + 12 = 0 e 3x - 4y + 4 = 0. Considere ( l ) o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente (r) e (s). Uma equação que descreve ( l ) é dada por: (A) 3x - 4y + 8 = 0 (B) 3x + 4y + 8 = 0 (C) x - y + 1 = 0 (D) x + y = 0 (E) 3x - 4y - 8 = 0 (A) (E) 92.(ITA - 1990) Considere a região do plano cartesiano xOy definida pelas desigualdades x-y < 1, x+y > 1 e (x-1)2+y2 < 2. O volume do sólido gerado pela rotação desta região em torno do eixo x é igual a: (A) 4 π (C) 4 (2 − 2 )π (B) 8 π 88.(ITA - 1990) Sejam a e b constantes reais positivas. Considere x = a2 tg t + 1 e y2 = b2 sec2t - b2 onde 0 ≤ t < π . Então uma relação entre x e y é a 3 7 (A) y = 1 + 13 41 1 + m2 x m (B) y= (C) y= (D) y = 1 − 1 + m2 x m 100.(ITA - 1994) Duas retas r e s são dadas, respectivamente, pelas equações 3x - 4y = 3 e 2x + y = 2. Um ponto P pertencente à reta s tem abscissa positiva e dista 22 unidades de medida da reta r. Se ax + by + c = 0 é a equação da reta que contém P e é paralela a r, então a + b + c é igual a : (A) –132 (B)–126 (C)–118 (D)–114 (E)–112 − 1 − 1 + m2 x m − 1 + 1 + m2 x m (E) n.d.a. 97.(ITA - 1992) Seja C a circunferência x2 + y2 2x - 6y + 5 =0. Considere em C a corda AB cujo ponto médio é: M: (2, 2). O comprimento de AB( em unidade de comprimento) é igual a: (A) 2 6 A (B) 3 M (C) 2 (D) 2 3 C r B (E) n.d.a. 101.(ITA - 1994) Um triângulo eqüilátero é tal que A: (0, 3), B: (3 3 ,0) e a abscissa do ponto C é maior que 2. A circunferência circunscrita a este triângulo tem raio r e centro em O: (a, b). Então a2 + b2 + r2 é igual a: (A) 31 (B)32 (C)33 (D)34 (E)35 102.(ITA - 1999) Considere a circunferência C de equação x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x2 + 4y2 - 4x + 8y + 4 = 0. Então: (A) C e E interceptam-se em dois pontos distintos. (B) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos. (C) C e E são tangentes exteriormente. (D) C e E são tangentes interiormente. (E) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam. 98.(ITA - 1992) Dados os pontos A: (0, 8), B: (-4, 0) e C: (4, 0), sejam r e s as retas tais que A, B ∈ r, B, C ∈ S. Considere P1 e P2 os pés das retas perpendiculares traçadas de P: (5, 3) às retas r e s , respectivamente. Então a equação da reta que passa por P1 e P2 é: (A) y + x = 5 (B) y + 2x = 5 (C) 3y - x = 5 (D) y + x = 2 (E) n.d.a. 103.(ITA - 1999) Pelo ponto C: (4, -4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x-4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é: (A) 6 12 (B) 12 (C)12 (D)8 (E)6 99.(ITA - 1992) Considere as afirmações: I- Uma elipse tem como focos os pontos F1: (-2, 0), F2: (2, 0) e o eixo maior 12. Sua equação é x2/36 + y2/32 = 1. II- Os focos de uma hipérbole são F1: (- 5 , 0), F2: ( 5 , 0) e sua excentricidade 10 / 2 . Sua Equação é 3x2 - 2y2 = 6. III- A parábola 2y = x2 - 10x - 100 tem como vértice o ponto P: (5, 125/2). Então: (A) Todas as afirmações são falsas. (B) Apenas as afirmações II e III são falsas. (C) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. (D) Apenas a afirmação III é verdadeira. (E) n.d.a. 104.(ITA – 2000) A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A: (2,1) e B: (3,-2). Sabendo que o terceiro vértice encontra-se sobre o eixo das abcissas, pode-se afirmar que suas coordenadas são (A)(-1/2,0) ou (5,0) (B)(-1/2,0) ou (4,0) (C)(-1/3,0) ou (5,0) (D)(-1/3,0) ou (4,0) (E)(-1/5,0) ou (3,0) 105.(ITA – 2000) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta 3x - y = 37 e tangentes à circunferência x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a origem e 42 d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 + d2 é igual a (A) 12 (C) 7 (D) 10 (B) 15 (E) 5 equação 3 3 3 (D) − 4 (B) − 1 2 2 (E) − 4 a2 + y2 b2 =1 tangencia internamente a 111.(IME - 1997) Dados os pontos A e B do plano, determine a equação do lugar geométrico dos pontos P do plano, de tal modo que a razão entre as distâncias de P a A e de P a B seja dada por uma constante k. Justifique a sua resposta analiticamente, discutindo todas as possibilidades para k. 112.(IME - 1999) ABCD é um quadrado de lado l , conforme figura abaixo. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD, determine: O valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual ocorre este mínimo; o lugar geométrico do ponto P para K = 4 l 2 . no primeiro quadrante (C) − x2 circunferência de equação x2 + y2 = 5 e que a reta de equação 3x + 2y = 6 é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas de P. e que corta o eixo das abscissas no ponto P = (8,0) é: (A) − (C) 2 2 110.(ITA – 2003) Sabe-se que uma elipse de 107.(ITA 2001) O coeficiente angular da reta x2 y2 + =1 16 9 (B) (D)3 106.(ITA 2001) Seja o ponto A = (r,0), r > 0. O lugar geométrico dos pontos P = (x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado da distância de P à reta y = -r é: (A) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r. (B) uma elipse centrada em (r,-2r) com semieixos valendo r e 2r. (C) uma parábola com vértice em (r, -r) (D) duas retas paralelas distando r 3 uma da outra. (E) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos valendo r. tangente à elipse 5 2 10 (E) 3 (A) 6 2 3 113.(IME - 2000) Calcule as coordenadas dos pontos de interseção da elipse com a hipérbole, representadas na figura abaixo, sabendo-se que: a) os pontos C e C' são os focos da elipse e os pontos A e A' são os focos da hipérbole; b) BB' é o eixo conjugado da hipérbole; c) OB = OB' = 3m e OC = OC' = 4m. 108.(ITA – 2003) Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy. Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em dois pontos, distantes entre si de 4cm. Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte: A) de uma elipse. B) de uma parábola. C) de uma hipérbole. D) de duas retas concorrentes E) da reta y = -x 109.(ITA – 2003) A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto {(x, y) ∈ R2 : 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual a: 114.(IME - 2001) Sejam r, s e t três retas paralelas não coplanares. São marcados sobre r dois pontos A e A’, sobre s os pontos B e B’ e sobre t os 43 pontos C e C’ de modo que os segmentos AA' = a , BB' = b e CC ' = c tenham o mesmo sentido. a) Mostre que se G e G’ são os baricentros dos triângulos ABC e A’B’C’, respectivamente, então GG ' é paralelo às três retas. b) Determine GG ' em função de a, b e c. equação e identifique o lugar geométrico dos pontos médios das subnormais dessa parábola. 116.(IME-89) Dada a equação: x 2 + y 2 − 2mx − 4(m + 1) y + 3m + 14 = 0 a)Determine os valores de m, para que esta equação corresponda a um circulo. b)Determine o lugar geométrico dos centros desses círculos. 115.(IME – 2002) Considere uma parábola de eixo OX que passe pelo ponto (0, 0). Define-se a subnormal em um ponto P da parábola como o segmento de reta ortogonal à tangente da curva, limitado pelo ponto P e o eixo focal. Determine a 44 CASD Vestibulares Geometria Analítica Filipe Rodrigues C Ca ap pííttu ullo o IIX X –– G Ga ab ba arriitto oss Respostas dos exercícios propostos P1. a)5 b)13 c)10 s = −2r + 8 d)13 *P14. 3r 5s + − 18 = 0 4 P2. 2 p = 18 + 82 AC = BD = CE = DF = EA = FB = 10 3 Esse hexágono é regular. P14. a) y – 2x = 0 c) y – x – 3 = 0 e) 2y – x + 2 = 0 P4. a)x = - 4; y = 5,5; b)x = 4 ou x = -2; y = 4; a)x = - 1; y = -2; P15. a) G(1, 1) b)MAB(1, 3/2), MBC(3/2, 3/2), MAC(1/2, 0) c) y = x. d) y = 2x – 1. e) x = 1. f) 2y – 6x + 3 = 0. g) 4y – 6x + 3 = 0. P3. P5. b)2x – 3y + 5 = 0 d) y – 5x + 3 = 0 f)y = 0 G = (0, 2 3 ) P6. 7 9 a) B =  ,  4 2  11 25  c) B =  ,  7 7   3 11  e) B =  ,  5 5  *P16.  − 20 10 3   , E =  3 3    7 17  b) B =  ,  3 3   7 10  d) B =  ,  6 3  P16. a) (-1, -7) d) (0, -2) g) (0, 2/3) b)(5/4, 0) c)(11/7, -60/7) e)(-3/2, -7/2) f) (-1, -8) P17-) Ache as intersecções entre as retas abaixo e os eixos Ox e Oy: a) Ox – (1, 0) Oy – (0, 2/3) b) Ox – (-7/3, 0) Oy – (0, 7/6) c) Ox – (0, 0) Oy – (0, 0) d) Ox – (4, 0) Oy – (0, -2) P7. C = (4, 9) P8. a) sim b) não c) sim d)não e) não f)não P9. s=r P18. P10. s = −r + 2 P19. r: 2y – 3x + 4 = 0. P11. P20. r: 2y – 3x - 3 = 0. s=− m = 5± 2 2 r 3 + 2 2 P21. a) θ = 45º b) θ = 0º c) θ = 90º d) θ = arctg(3/11) e) θ = arctg 2 P12. r=2 P13. 45 P22. r: y = 2x e) Sim. g) Não. S =3 P23. r: y = x + 1 P39. a) S = 3. b)G(3/2, 0) c) θ = arctg 3 d) S = 8 P24. t: y + 2x + 1 = 0 P40. S = 40 P25. C(1 + 3 , 2 - 3 ) D(1 - 3 , 2 + 3 ) P26. B(0, 3) f) Não. S = 3 h) Não. S = 5/2 P41. S = 24 P42. D(2, 1) a)C(-4, 1), raio: 10 .  −7 9 ,  , raio: b)C   2 2 P27. b1 : 28 x + 224 y − 33 = 0 b2 : 128 x − 16 y + 7 = 0 c)C(1, 2), raio: 118 . 2 3. P28. b1 : 4 y − 8 x − 15 = 0 b2 : 22 x + 44 y + 5 = 0 P43. b) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 64 a) x2 + y2 = 25 2 c) (x + 1) + (y + 1)2 = 1 d) x2 + (y – 5)2 = 2 P29. x2 + y2 = 25 P44. Resp. P30. 2y − x −5 = 0 b) C(5/2, -1) r = 29 2 c)C(-5/2, 0) r = 29 ; d) C(5/2, 5/2) r = 5 2 a)C(-1, 0) r = 2; 2 P31. x2 + y2 = 1 P45. S = 25π − 3( 5 − 1) 2 P32. x2 + (y - 1)2 = 1 P33. y = −x + 5 P46. a) secante A(-4, -3) e B(3, 4) b) Não há intersecção. c) Tangente A(1, 0)  5 + 20 − 5 + 2 20   e d) secante A  ,   5 5    5 − 20 − 5 − 2 20   B  ,   5 5    2 + 39 6 + 3 39     e B  2 − 39 , 6 − 3 39  e)secante A  ,     5 5 5 5     s : (39 + 25n) x + (52 − 60n) y − (13 − 10n) = 0 P34. s : (39 − 25n) x + (52 + 60n) y − (13 + 10n) = 0 P35. y= 3x 2 P36. y = x 2 − 3x + 1 P47. a) sec. b) sec. c) exteriores d) tangentes e) interiores P37. lg 1 : 9 x − 32 y − 27 = 0 lg 2 : 51x + 112 y − 33 = 0 P38. a) Não. S = 35/2 c)Não. S = 7 2 P48. a)C(2, 3), V1(-3, 3), V2(7, 3) b)Não. S = 9 d) Sim. 46 F1(-1, 3), F2(5, 3) b)Não existe me real tal que a reta y = mx seja tangente à essa elipse P54. ( x − 1) 2 ( y − 1) 2 + =1 9 25 P49. a) C(1, 0), V1(0, 13), V2(0, -13) F1(0, 5), F2(0, -5) 5 b) e = 13 c)(x – 1)2 + y2 = 169 d)(x – 1)2 + y2 = 144 P55. ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 2 P56. ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 1 2 P50. m=± 2 P57. x 2 ( y − 1) 2 a) + =1 81 4 x2 + ( y + 1) 2 = 1 b) 25 ( x − 3) 2 y 2 c) + =1 9 49 y2 d) x 2 + =1 9 91 P51. x2 y2 + =1 25 16 P52. L = 20π P53. ( x − 4) 2 ( y − 3) 2 + =1 25 9 47