Geraldine Cisneros

3 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1. INTEGRALES DOBLES En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆ 2 → . La integral doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área. 1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA El nombre de Suma de Riemann se debe al matemático alemán: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del intervalo cerrado [a, b] , donde P = {x0 , x1 , x 2 , , xi −1 , xi , , x n −1 , x n }. Una suma de Riemann de la función f para la partición P , denotada por RP es un número real obtenido como: RP = ∑ f ( xi* ) ∆xi n Sus contribuciones destacaron en las áreas de análisis y geometría diferencial, la fisicomatemática y la teoría de funciones de variables complejas. Su nombre también está relacionado con la función zeta. i =1 xi* ∈ [ xi −1 ,xi ] y ∆xi (I.1) donde: n es el número de subintervalos de la partición P , es la longitud del subintervalo genérico (también llamado subintervalo i-ésimo). En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera: ∆xi = xi − xi −1 cerrado [a, b] . Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 4 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Significado geométrico de la suma de Riemann [ ] f positiva ∀x ∈ a, b , entonces la suma de Riemann corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la Si la función es gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b . Figura 1.1 Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función positiva en el intervalo cerrado [a, b ] . f En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b . En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo cerrado [a, b ] . Decir que la norma de la partición P tiende a cero, P → 0 , es equivalente a decir que el número de subintervalos de la partición P tiende a infinito, n → ∞ . ∫ El símbolo lo introdujo el matemático alemán Si la norma de una partición P, denotada como P , se define como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición de la Integral Definida. DEFINICIÓN: integral definida de f en [a ,b ] von Leibniz Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] . (1646, 1716). La integral definida de f desde a hasta b , denotada por Gottfried Wilhelm ∫ f (x )dx , esta dada por: b a ∫ b a f ( x ) dx = Lím ∑ f ( xi* )∆x si el límite existe. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. n p →0 i =1 (I.2) 5 Geraldine Cisneros ∫ f (x )dx La b Integral Definida es un número Donde: ∫ Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones es el signo de integración, a y b son los límites de a real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x y entre las rectas x = a y x = b , si la función es positiva. integración inferior y superior, respectivamente; f ( x ) es el integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por dx , indica que la variable de integración es x. 1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS Sea f : 2 → una función definida sobre la región rectangular cerrada D , dada por: D = [ a,b ] × [ c,d ] = intervalo [a, b] es un conjunto finito de elementos, donde se cumple: Una partición Px {( x, y ) ∈ 2 } a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d (I.3) Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el del producto cartesiano de las particiones Px y Py de los intervalos [a, b] y [c, d ] , respectivamente, como se muestra a continuación: Px = {x 0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n } a = x0 < x1 < … < xi −1 < xi < … < xn = b (I.4) Py = {y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m } (I.5) P = Px × Py (I.6) entonces Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ] de longitud ∆xi = xi − xi −1 , y la partición Py tiene m + 1 elementos y [ m subintervalos y j −1, y j ] de longitud ∆y j = y j − y j −1 , entonces la región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅ m rectángulos denominados Dij , tal como se muestra en la figura 1.2. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 6 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.2, se aprecia que: xi −1 ≤ xi ≤ xi * y j −1 ≤ y j ≤ y j * Figura 1.2 Partición P de una región rectangular D . Figura 1.3 Subrectángulo El punto (x * i El subrectángulo denotado Dij , es un elemento de la partición P , Dij , y j ) ∈ Dij por lo tanto existen diferentes alternativas para su selección las más comunes son: ( Esquina inferior izquierda * xi , y j * = xi −1 , y j −1 ) ( ( Esquina inferior derecha xi * , y j * = xi , y j −1 ( Esquina superior izquierda xi * , y j * = xi −1 , y j ) ( ( ) ) ) ( ) ) ( ) Esquina superior derecha * * xi , y j = x i , y j (x i  x + x y j −1 + y j  , y j * ) =  i −1 i ,  2  2  Punto medio * cuya área, denotada ∆Aij se calcula como: * ∆Aij = ∆xi ⋅ ∆y j (I.7) Al tomar un punto arbitrario (xi * , y j * ) en el subrectángulo Dij , se puede establecer la doble suma de Riemann para la función f en la partición P , denotada como S D : ( ) S D = ∑∑ f xi , y j ∆Aij n m i =1 j =1 * * (I.8) Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene cada punto arbitrario (xi * , y j * ) y el área de cada rectángulo Dij . Al al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en expandir la expresión (I.8) se obtiene: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 7 Geraldine Cisneros ( ) ( Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ) )∆A ( + f (x S D = f x1 , y1 ∆A11 + f x1 , y 2 ∆A12 + ( ) * * ( * f x 2 , y ∆A21 + f x 2 , y 2 ( * * 1 ) ( * * ) 22 + ( f x n , y1 ∆An1 + f x n , y 2 ∆An 2 + * * * * ) )∆A + f x1 , y m ∆A1m + * * * * * 2 , ym ) 2m + (I.9) + f x n , y m ∆Anm * * Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos Dij y se hace que P → 0 , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se puede plantear: ( ) Lim S D = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij n P →0 P →0 m i =1 j =1 * * (I.10) Todo esto permite establecer la definición de la integral doble. 1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D Así como la suma de Riemann es una aproximación de la integral definida, la doble suma de Riemann es una aproximación de la integral doble. DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D Sea f : 2 → una función real definida sobre un rectángulo D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por ∫∫ f (x , y )dA , se define como: D ∫∫ Otras notaciones para la integral doble son: ∫∫ f (x , y )dxdy ∫∫ f (x , y )dydx D D ( ) f ( x , y )dA = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij n P →0 m i =1 j =1 * * (I.11) si el límite existe. D Decir que el límite existe significa que: ∫∫ f (x , y )dA = L D donde L ∈ UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. (I.12) 8 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que Definición del límite de una función: Lim f ( x ) = L El límite f es integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto significa que para todo ε > 0 existe un número δ > 0 , tal que: ∑∑ f (x x → x0 existe si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que f ( x ) − L < ε n m i =1 j =1 * i ) , y j ∆Aij − L < ε * (I.13) siempre que 0 < x − x0 < δ Siempre que: P <δ Observe que la condición 0 < P no se coloca ya que la norma partición P de la es una longitud por lo tanto ya (x ) en el subrectángulo D (I.14) Para cualquier partición P del rectángulo D , y para cualquier * i , yj * ij . es positiva. 1.2.2 INTEGRABILIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUA TEOREMA: Integrabilidad de una función continua Sea f : D 2 → una función real definida sobre un rectángulo del plano acotada, y continua, excepto quizás en un número finito de curvas suaves en D , entonces la función f es integrable en D . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 9 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.3 INTERPRETACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN 2 → D = [a ,b]× [c , d ] , la cual es continua y positiva en D . Entonces la Sea f : una función real definida sobre un rectángulo gráfica de f es una superficie definida por la ecuación: z = f (x , y ) (I.15) En la figura 1.4 se aprecia la gráfica de una función f : definida sobre un rectángulo D . 2 → z = f ( x, y ) D Figura 1.4 Gráfica de una función f : 2 → definida sobre un rectángulo D Sea S el sólido que está definido sobre la región D y bajo la superficie definida por la gráfica de f . En la figura 1.5 se aprecia el sólido S . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 10 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones x y Figura 1.5 Sólido S definido sobre la región D y bajo la gráfica de f volumen de los paralelepípedos base Dij y altura es f (xi * , y j * ), tal El volumen V del sólido S puede aproximarse como la suma del como indica la expresión (I.16). V ≈ ∑∑ Vij n m i =1 j =1 (I.16) llamado paralelepípedo aproximante, y cuya altura es f (xi * , y j * ) . El donde Vij es el volumen del paralelepípedo de base Dij , también punto (xi * , y j * ) pertenece al subrectángulo genérico. El volumen de ( ) este paralelepípedo o caja rectangular viene dado por: Vij = f xi , y j ∆Aij * ∑∑ f (x * (I.17) ) Al sustituir (I.17) en (I.16) se obtiene la doble suma de Riemann n planteada en (I.8) como m i =1 j =1 * i , y j ∆Aij por lo tanto esta doble * suma es una aproximación del volumen del sólido S , es decir: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 11 Geraldine Cisneros ( Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ) V ≈ ∑∑ f xi , y j ∆Aij n m i =1 j =1 * * (I.18) La figura 1.6 muestra la gráfica de un paralelepípedo aproximante del volumen del sólido S sobre la región D . (x * i , y j* , f ( xi* , y j* ) ) z = f ( x, y ) D y = y j −1 y = yj x = xi −1 x = xi Dij y altura f ( xi* , y j* ) , empleado para Figura 1.6 Paralelepípedo de base aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D La figura 1.7 muestra los paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S , el cual se encuentra limitado por la gráfica de la función f y por el rectángulo D . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 12 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Figura 1.7 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S definido sobre la región D Cuando P → 0 , la partición P se hace más fina y por lo tanto la región R queda dividida en muchos más rectángulos, por lo cual el límite Lim ∑∑ f ( xi* , y j * ) ∆Aij representa el volumen del sólido n P →0 m i =1 j =1 S , es decir: V = Lim ∑∑ f ( xi* , y j * ) ∆Aij = ∫∫ f ( x, y ) dA n P →0 m i =1 j =1 D (I.19) En la figura 1.8 se observan los paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S , pero ahora con una partición más refinada sobre el rectángulo D . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 13 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Figura 1.8 Paralelepípedos empleados en la aproximación del volumen del sólido S con una partición refinada sobre EJEMPLO 1.1 D. Estime el volumen del sólido que se encuentra debajo de la z = x2 + 4y D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 3}. Utilice una suma de Riemann con superficie y arriba del rectángulo n = 2 y m = 3 y considerando el punto de muestra como: a) La esquina superior derecha de cada subrectángulo. b) El punto medio de cada subrectángulo Figura 1.9 Sólido del ejemplo 1.1 Solución: a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = x 2 + 4 y y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: V = ∫∫ ( x 2 + 4 y )dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij 2 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 3 i =1 j =1 14 Geraldine Cisneros donde (x * i Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones , y j* ) es el punto perteneciente a Dij donde será evaluada la función. El enunciado de este ejercicio exige que el ( ) subrectángulo, por lo cual xi , y j = (xi , y j ) . punto de muestra sea la esquina superior derecha de cada * * La región D y su partición se muestran en la siguiente figura. Si m=3 y n = 2, entonces ∆x = ∆y = b−a 2−0 = =1 2 n d −c 3−0 = =1 m 3 ( ) ( Como xi* , y j* = xi , y j ), entonces se debe expresar xi = x0 + i∆x = 0 + i(1) = i y j = y0 + j∆y = 0 + j(1) = j en función de i y j: Figura 1.10 Partición empleada para el ejemplo1.1 Y además: ∆Aij = ∆x∆y = (1)(1) = 1 Luego, la aproximación del volumen es: V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij = ∑∑ f ( i, j )(1) 2 3 2 i =1 j =1 3 i =1 j =1 Para evaluar esta doble suma de Riemman se pueden emplear las Recuerde: ∑ k = kn n i =1 ∑i= n i =1 ∑i n i =1 2 si k ∈ n ( n + 1) 2 = n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) 6 fórmulas y propiedades de la notación sigma: V ≈ ∑∑ f ( i, j )(1) = ∑∑ ( i 2 + 4 j ) = ∑ ( 3i 2 + 24 ) = 15 + 48 = 63 2 3 i =1 j =1 2 3 2 i =1 j =1 i =1 V = ∫∫ ( x 2 + 4 y )dA ≈ 63 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 15 Geraldine Cisneros (x ) , y j = (xi , y j ) , Cuando * i * se Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones selecciona en el cálculo de la doble suma de Riemann del ejemplo 1.1 parte aproximación a, la del volumen obtenida es por exceso ya que el volumen del sólido S es inferior al volumen de las cajas rectangulares. Figura 1.11 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte a En la figura 1.11, se aprecia la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes de volumen. superficie z = x 2 + 4 y y arriba del rectángulo D en donde ( xi* , y j * ) b) Cuando se desea estimar el volumen V del sólido debajo de la xi−1 = x0 + ( i −1) ∆x = i −1 y j −1 = y0 + ( j −1) ∆y = j −1 es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene: (x i *  x + x y + y j   i −1+ i j −1 + j   1 1 , y j * ) =  i −1 i , j −1 , =  = i − , j −  2 2   2 2  2   2 Luego: 2 3 2 3 1  1 V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij = ∑∑ f  i − , j −  (1) 2  2 i =1 j =1 i =1 j =1 (x , y j * ) en la función A continuación esta doble suma de Riemann se resolverá calculando la imagen de cada posteriormente se efectuará la suma. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. i * f y 16 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones (x * i i j 1 2 3 1  1 , y j* ) =  i − , j −  2  2 2 1 2 1 1  ,  2 2 3 1  ,  2 2 9 4 17 4 1 3  ,  2 2 3 3  ,  2 2 25 4 33 4 1 5  ,  2 2 3 5  ,  2 2 41 4 49 4 ( V≈ (x , y j * ) como el punto b, cuando se selecciona i * medio de cada subrectángulo se puede Por lo tanto 2 1 ) empleados en el ejemplo 1.1 (b) Cuadro 1.1 * Valores de f xi , y j En el ejemplo 1.1 parte f ( xi* , y j * ) = ( xi* ) + 4 y j * * 9 25 41 17 33 49 + + + + + = 43,5 4 4 4 4 4 4 V = ∫∫ ( x 2 + 4 y ) dA ≈ 43,5 D apreciar en la figura 1.12 que la gráfica de la función f atraviesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar si la aproximación volumen del sólido del S es por exceso o por defecto. Figura 1.12 Paralelepípedos empleados para aproximar el volumen del sólido S descrito en el ejemplo 1.1 parte b En la figura 1.12, se observa la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes de volumen. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 17 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones D = [ 0, 4] × [ 0, 4] y abajo del paraboloide elíptico z = 36 − x 2 − y 2 . Sea EJEMPLO 1.2 el sólido que se encuentra arriba del cuadrado S Estime el volumen del sólido tomando como punto de muestra la esquina superior derecha de cada subcuadrado y dividiendo a la región D en: a) Cuatro cuadrados iguales. Figura 1.13 Sólido del ejemplo 1.2 b) Diez mil cuadrados iguales. Solución: a) Sea V Como D = [ 0, 4 ] × [ 0, 4 ] y se divide subcuadrados, n=m=2 ∆x = ∆y = en b−a 4−0 = =2 n 2 d −c 4−0 = =2 m 3 z = 36 − x 2 − y 2 y arriba del rectángulo D . Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij 4 entonces el volumen del sólido debajo de la superficie 2 ( ) D donde xi , y j = (xi , y j ) * * 2 i =1 j =1 La región R y su partición se muestran en la siguiente figura. Figura 1.14 Partición empleada para el ejemplo 1.2 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 18 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∆Aij = ∆x∆y = ( 2 )( 2 ) = 4 ( ) ( Como xi* , y j* = xi , y j ), xi = x0 + i∆x = 0 + i ( 2) = 2i entonces yj = y0 + j∆y = 0 + j ( 2) = 2 j Luego, la aproximación del volumen es: 2 2 V ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij = ∑∑ f ( 2i, 2 j )( 4 ) = 4∑∑ 16 − ( 2i ) − ( 2 j )    i =1 j =1 i =1 j =1 i =1 j =1 2 3 2 3 2 3 Resolviendo de manera análoga al ejemplo anterior: V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 256 D En el ejemplo 1.2 parte a, la aproximación del volumen obtenida es por defecto ya que las cajas rectangulares empleadas se encuentran dentro del sólido S. Figura 1.15 Volumen aproximado en el ejemplo 1.2 parte a En la figura 1.15, se observa la superficie definida por la función f y los paralelepípedos aproximantes empleados. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 19 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones b) Ahora la región D , está dividida en diez mil subcuadrados iguales; es decir, n = m = 100 . Por lo tanto, la estimación del volumen del sólido viene dada por: V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j * )∆Aij 100 100 i =1 j =1 D Realizar este cálculo como se ha ilustrado en los ejemplos 1.1 y la parte a de éste, es muy largo pues el número de subcuadrados es elevado. Entonces para resolver la doble suma de Riemann planteada es necesario emplear un software matemático. A continuación se presenta los resultados obtenidos, con un software matemático, para el ejemplo 1.2 parte b. También se incluye otra aproximación empleando una partición aún más refinada. ∑∑ f (x , y j * )∆Aij Número de subcuadrados n m Diez mil 100 100 402, 7648 Un millón 1.000 1.000 405, 077248 n m i =1 j =1 i * Cuadro 1.2 Aproximaciones del volumen del sólido planteado en el ejemplo 1.2 En el ejemplo 1.2 parte Con b, se aprecia que la aproximaciones: aproximación del volumen del sólido S aumenta a medida que se incrementa el número de subcuadrados. la ayuda del software se obtuvo V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 402 , 7648 D V = ∫∫ ( 36 − x 2 − y 2 ) dA ≈ 405, 077248 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. las siguientes 20 Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.3 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones D = [0 ,3]× [− 1,1] y bajo el plano de ecuación z = 1 − y . Estime el Sea S el sólido que se encuentra arriba del cuadrado volumen del sólido considerando: a) n = 3 , m = 2 y el punto de muestra como el punto medio de cada subrectángulo. b) n = 6 , m = 8 y el punto de muestra como el punto medio de Figura 1.16 cada subrectángulo. Sólido del ejemplo 1.3 Solución: a) Sea V el volumen del sólido debajo de la superficie z = 1 − y y arriba del rectángulo D . La región D y su partición se muestran en la siguiente figura Figura 1.17 Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte a UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 21 Geraldine Cisneros Si m=2 y n = 3, entonces b − a 3−0 ∆x = = =1 3 n ∆y = d − c 1 − (− 1) = =1 m 2 ∆Aij = (∆x )(∆y ) = 1 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces se desea estimar a V de la siguiente manera: V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij , donde 3 2 i =1 j =1 D y j = y0 + j∆y = −1+ j i * , y j * ) es el punto medio de cada subrectángulo, entonces se tiene: ( * f xi , y j y j −1 = y0 + ( j − 1)∆y = j − 2 (x * )= 1− y * j  2 j − 3 5 = 1−  = − j  2  2 Luego, la aproximación del volumen es: 3 2 3 5  V ≈ ∑∑  − j (1) = ∑ 2 = 6  i =1 j =1  2 i =1 V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6 D En la figura 1.18, se observa la superficie definida por la función f y la aproximación del volumen. En el ejemplo 1.3 parte a, en la aproximación del volumen, se observa que la gráfica de la función f atraviesa a los paralelepípedos, por lo cual no se puede asegurar si la aproximación es por exceso o por defecto. Figura 1.18 Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte a UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 22 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones b) Se desea estimar el volumen V pero ahora con una partición refinada, donde n = 6 y m = 8 . En la figura 1.19 se aprecia esta partición. Figura 1.19 Partición empleada para el ejemplo 1.3 parte b Si n=6 m=8 y ∆y = b−a 1 = n 2 y j = y0 + j∆y = j −4 4 i =1 j =1 más fina, entonces: ( )  2 j − 9  17 j * * * f xi , y j = 1 − y j = 1 −  − =  8  8 4 1 8 y j −1 = y0 + ( j − 1)∆y = 2 el punto medio de cada subrectángulo, pero como la partición es d −c 1 = 4 m ∆A ij = 3 D entonces ∆x = V = ∫∫ (1 − y )dA ≈ ∑∑ f ( xi* , y j* )∆Aij , donde ( xi* , y j * ) sigue siendo j −5 4 Entonces el volumen aproximado es: 6 8  17 j  1  1 6 V ≈ ∑∑  −   = ∑ 8 = 6 4  8  8 i =1 i =1 j =1  8 V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 23 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.20 se aprecia la aproximación del volumen del sólido S empleando la partición más refinada. Figura 1.20 Aproximación del volumen para el ejemplo 1.3 parte b UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 24 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.4 INTEGRALES ITERADAS Para evaluar una integral definida en un intervalo cerrado se Segundo Teorema Fundamental del tienen dos alternativas: la definición, donde se emplean fórmulas y Cálculo propiedades de la notación sigma y además, la resolución de un Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y si F es una antiderivada de entonces: f , límite; la otra opción para resolver una integral definida de una función real de variable real, es el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, el cual consiste en encontrar una antiderivada y evaluarla en los extremos del intervalo de integración. El primer ∫ f ( x ) dx = F ( x ) ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) método, la definición como el límite de una suma suele ser un b b a a b a procedimiento más riguroso en comparación con el segundo. Análogamente, la resolución de una integral doble por definición es un cálculo muy complejo, ya que es el resultado del límite de una doble suma de Riemann. A continuación se expone un método que consiste en expresar una integral doble como una integral iterada, lo cual implica la evaluación sucesiva de dos integrales simples. DEFINICIÓN: La Integral Iterada 2 → definida en la región rectangular D = [a, b ]× [c, d ] . La integral Sea f : iterada ∫ ∫ d b c a de una función real y continua de dos variables, la función f ( x, y )dxdy ó O también ∫ ∫ d b c a ∫ ∫ b d a c ∫ ∫ b d a c f sobre D, denotada f ( x, y )dydx , se define como: d b f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx  dy  a c   b d f ( x, y ) dydx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx  c a   UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. por (I.20) (I.21) 25 Geraldine Cisneros ∫ f ( x, y) dx , la Recuerde integral Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones que en la b Entonces, la integral iterada es la evaluación sucesiva de dos integrales simples. En la ecuación (I.20), la integral que debe a dx indica que la variable de integración es x, por lo tanto la variable y se considera constante en esta integral. Esto se conoce como integración parcial con respecto a x ∫ resolverse primero es la que se encuentra dentro del corchete; es decir, ∫ f ( x,y) dx . El resultado de esta integral es una función de b a y, ya que y se considera constante. Tal como se ilustra: ∫ f ( x,y) dx = A( y) f ( x, y ) dy se integra Entonces para resolver d c parcialmente respecto a la variable y; es decir x es considerada constante. b (I.22) a Finalmente: ∫ ∫ f ( x, y ) dxdy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx  dy = ∫ En ∫ ∫ d b d b d c a c a c forma b d a c análoga, en la expresión (I.21), A ( y ) dy (I.23) la integral f ( x, y ) dydx se resuelve primero ∫ f ( x, y ) dy , resultando una d c función de x, como sigue: ∫ f ( x,y) dy = A( x) d (I.24) c para luego integrar respecto a y: ∫ ∫ EJEMPLO 1.4 b d a c b d b f ( x, y ) dydx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy  dx = ∫ A ( x ) dx  a  c a   Evalúe las siguientes integrales iteradas: a) ∫ c) ∫ e) ∫ 3 0 4 0 1 ∫ (x 2 2 + 4 y ) dxdy ∫ ( 36 − x −1 0 4 0 2 − y 2 )dxdy ∫ (1 − y ) dxdy 3 0 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. b) ∫ d) ∫ f) ∫ 2 0 4 0 3 0 ∫ (x 3 2 + 4 y ) dydx ∫ ( 36 − x 0 4 0 2 − y 2 )dydx ∫ (1 − y ) dydx 1 −1 (I.25) 26 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Solución: Recuerde que en el ejemplo 1.1 se aproximó la integral doble de dos a) Para resolver la integral ∫ ∫ (x 2 2 0 + 4 y ) dxdy , primero se integra parcialmente respecto a x,  x3  x + y dx = 4 )  3 + 4 xy  ∫0 (   V = ∫∫ ( x + 4 y ) dA ≈ 63 maneras diferentes: 2 2 D V = ∫∫ ( x + 4 y ) dA ≈ 43,5 3 0 2 2 0 8 = + 8y 3 2 D Al comparar Luego se evalúa la segunda integral 8  8 2 ∫ 0  3 + 8 y  dy =  3 y + 4 y  estas 3 3 aproximaciones con el valor de la integral, en efecto se puede comprobar que la primera Por lo tanto: ∫ ∫ (x estimación es por exceso, mientras que la segunda es una mejor 3 2 0 0 aproximación. b) Se desea resolver ∫ ∫ (x 3 2 0 ∫ ( 3x 2 0 2 2 ∫ (x 3 2 2 + 4 y ) dxdy = 44 + 4 y ) dydx : + 4 y ) dy =  x 2 y + 2 y 2  0 0 + 18 ) dx =  x 3 + 18 x  ∫ ∫ (x 2 3 0 0 = 8 + 36 = 44 0 2 2 0 3 0 = 3 x 2 + 18 = 8 + 36 = 44 + 4 y ) dydx = 44 c) Para resolver la integral ∫ 4 0 ∫ ( 36 − x 4 0 2 − y 2 )dxdy , primero se integra parcialmente respecto a x:   x3 − x − y dx = x − − y2 x 36 36 ( )  ∫0 3   4 2 4 2 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 0 = 144 − 64 368 − 4 y2 = − 4 y2 3 3 27 Geraldine Cisneros Recuerde que en Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones el ejemplo 1.2 parte a se obtuvo una aproximación por defecto de: V = ∫∫ ( 36 − x − y ) dA ≈ 256 2 Luego se resuelve la segunda integral, cuya variable es y 4 3  368  368 2 ∫ 0  3 − 4 y  dy =  3 y − 3 y  Por lo tanto: ∫ ∫ ( 36 − x Mientras que en la parte b, se obtuvo: V ≈ 402,7648 y V ≈ 405,077248 Al observar el valor real la integral ∫ ∫ ( 36 − x 4 4 0 0 2 = 0 1472 256 1216 − = ≈ 405,3 3 3 3 2 D de 4 4 doble, − y 2 )dxdy = 405,3 se puede concluir que las aproximaciones de la parte b son mejores que la estimación de la parte a. d) Resolviendo 4 4 0 0 ∫ ∫ ( 36 − x 4 4 0 0 2 2 − y 2 )dxdy = 405,3 − y 2 )dydx 1 3  2 ∫ 0 ( 36 − x − y ) dy = 36 y − x y − 3 y  4 2 = 144 − 4 x 2 − 4 2 4 3  368  368 2 ∫ 0  3 − 4 x  dx =  3 x − 3 x  0 4 4 ∫ ∫ ( 36 − x En el ejemplo 1.3, se aproximó doble la integral mediante dos diferentes, V = ∫∫ (1 − y ) dA ≈ 6 0 2 − y 2 )dydx = 405,3 ∫ ∫ (1 − y ) dxdy , 1 −1 3 0 ∫ 0 (1 − y ) dx = (1 − y ) x  3 particiones ambos casos se obtuvo: 0 0 1472 256 − = 405,3 3 3 primero se integra respecto a x como sigue: una donde 4 e) Para resolver la integral doble suma de Riemann con 4 = 3 0 = 3 (1 − y ) en Seguidamente se resuelve la integral: 3 2 ∫ −1 3 (1 − y )dy = − 2 [1 − y ] −1 = 6 D 1 Es decir: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 64 368 = − 4 x2 3 3 1 28 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∫ ∫ (1 − y ) dxdy = 6 1 3 −1 f) Ahora se resuelve 0 ∫ ∫ (1 − y ) dydx 3 1 −1 0 en el orden de integración inverso, primero respecto a la variable x:   1  3  y2  − = − =  −  −  = 2 1 y dx y ( )   ∫−1 2  −1  2  2    1 1 Ahora respecto a la variable y: ∫ 3 0 2dx = 6 ∫ ∫ (1 − y ) dydx = 6 3 0 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 1 −1 29 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.5 TEOREMA DE FUBINI El nombre de Teorema de Fubini se debe al matemático italiano: El siguiente teorema proporciona un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada Guido Fubini (1879, 1943). TEOREMA de Fubini para Integrales Dobles 2 → D = [a, b]× [c, d ] , entonces: Sea f : También resaltó por sus contribuciones en los campos de geometría diferencial, ecuaciones diferenciales, funciones analíticas y funciones de varias variables. El principio de Cavalieri se debe al matemático italiano Bonaventura FrancescoCavalieri (1598, 1647). una función real y continua en el rectángulo ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ D d b c a f ( x, y ) dxdy = ∫ b a ∫ d c f ( x, y ) dydx (I.25) Demostración intuitiva: Considere que la función f es positiva, es decir, f (x, y ) ≥ 0 , por lo cual la integral doble ∫∫ f ( x, y ) dA D representa el volumen del de la superficie definida por z = f ( x, y ) . sólido S que se encuentra arriba del rectángulo D y por debajo El volumen del sólido S también puede ser calculado empleando el principio de Cavalieri, donde el volumen de secciones transversales conocidas se calcula mediante una integral simple. Célebre por introducir en Italia el cálculo logarítmico y por su teoría de indivisibles, la cual es el principio del cálculo de una integral definida pero sin la rigurosidad moderna del límite. V = ∫ A ( x ) dx b a (I.26) En la figura 1.21 se ilustra una sección transversal del sólido S . UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 30 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones z = f(x,y) A(x) D a x = x0 b Figura 1.21 Interpretación geométrica del Teorema de Fubini donde A(x ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje x y al plano xy , entonces A(x ) se puede obtener como: A ( x ) = ∫ f ( x, y ) dy d (I.27) c Sustituyendo la ecuación (I.27) en (I.26), se obtiene: V = ∫∫ f ( x, y ) dydx = ∫ D b a ∫ d c f ( x, y )dydx (I.28) En forma análoga, el volumen del sólido S se puede obtener como: V = ∫ A ( y ) dy d c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. (I.29) 31 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde A( y ) es el área de la sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje y y al plano xy , como se ilustra en la figura 1.22; es decir: Figura 1.22 A( y) Interpretación geométrica del teorema de Fubini A( y) sección transversal del sólido S que es perpendicular al eje y y al plano xy . A ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx b (I.30) a Al sustituir la expresión de A( y ) en la ecuación (I.29) se tiene: V = ∫∫ f ( x, y ) dydx = ∫ D es el área de la d c ∫ b a f ( x, y )dxdy (I.31) Finalmente, se concluye que la integral doble de f sobre D es igual a la integral iterada de la función f ; es decir: ∫∫ f ( x, y ) dA = ∫ ∫ D b d a c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. f ( x, y ) dydx = ∫ d c ∫ b a f ( x, y ) dxdy (I.32) 32 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.6 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALES En esta sección se amplía la definición de la integral doble de una función f , sobre regiones más generales que rectángulos, para posteriormente explicar cómo se resuelven este tipo de integrales. En la figura 1.23 se presenta una región D de una forma más general. Figura 1.23 Región D con una forma más general Entre las regiones más generales se tienen las de tipo 1 y las de tipo 2. DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 1 Sean g , h : [ a, b ] → Como las funciones f y g son continuas en [a , b] , entonces son acotadas, por lo cual la región D del tipo 1 es una región acotada del plano. , dos funciones reales de variable real, continuas en [a ,b] , de modo que g ( x ) ≤ h ( x ) ,∀x ∈ [ a,b ] . Una región de tipo 1, es una región definida como: D= { ( x, y ) a≤ x≤b ∧ } g ( x) ≤ y ≤ h ( x) (I.33) En otras palabras, la región D está limitada por la izquierda por la recta x = a , por la derecha por la recta x = b , inferiormente por la UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 33 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones gráfica de la función g y superiormente por la gráfica de la función h. En la figura 1.24 se observan algunas regiones de tipo 1. En una región de tipo 1 ó de tipo 2, las curvas y segmentos de rectas que limitan a la región D , constituyen la frontera de D y se denota como ∂D . Figura 1.24 Regiones de tipo 1 Sean g , h : [ c, d ] → DEFINICIÓN: Regiones de Tipo 2 , dos funciones reales de variable real, continuas en [ c, d ] , de modo que g ( y ) ≤ h ( y ) , ∀y ∈ [ c, d ] . Una región de tipo 2, es una región definida como: D= { ( x, y ) g ( y) ≤ x ≤ h( y) ∧ c ≤ y ≤ d } (I.34) Entonces toda región D está limitada por la izquierda por la gráfica de la función g , por la derecha por la gráfica de la función h , y superior e inferiormente por las rectas y = d y y = c , respectivamente. En la figura 1.25 se aprecian algunas regiones de tipo 2. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 34 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Algunas regiones pueden ser del tipo 1 del tipo 2 simultáneamente, a estas regiones se les clasifica como de tipo 3. Ejemplo: y = 1 − x2 Figura 1.25 Regiones de tipo 2 y = − 1 − x2 Una vez explicadas las regiones de tipo 1 y de tipo 2, se presenta Figura 1.26 El círculo unitario como una región tipo 1 la siguiente definición: DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones generales x = 1− y2 Sea f : 2 → una función real y continua de dos variables, definida en una región general D . x = − 1− y2 Figura 1.27 Sea R un rectángulo que contiene a la región D . Sea F una función definida en el rectángulo R como: si ( x, y ) ∈ D  f ( x, y )  F ( x, y ) =    0 si ( x, y ) ∉ D ∧ ( x, y ) ∈ R El círculo unitario como una región tipo 2 La integral doble de f sobre D , denotada (I.35) ∫∫ f ( x, y ) dA , está D dada por: ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA D R Ahora bien, para resolver la integral ∫∫ f ( x, y )dA , D identificar si la región D es de tipo 1 o de tipo 2. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. (I.36) se debe 35 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se ilustra en la Si la región D es de tipo 1, se debe seleccionar un rectángulo siguiente figura. Figura 1.28 Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 1 Luego, como ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini D R resulta: ∫∫ F ( x, y )dA = ∫ ∫ R b d a c F ( x, y ) dydx (I.37) Y según la definición de la función F , se tiene que F ( x, y ) = 0 si y < g ( x ) ∨ y > h ( x ) , entonces: ∫ d c F ( x, y ) dy = ∫ h( x ) g ( x) F ( x, y ) dy = ∫ h( x ) g ( x) f ( x, y ) dy (I.38) Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de tipo 1 de la siguiente manera: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 36 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 1, tal que D= { ( x, y ) } g ( x) ≤ y ≤ h ( x) a≤ x≤b ∧ (I.39) La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada ∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D ∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ ( ) f ( x, y )dydx D b h( x ) a g x (I.40) un rectángulo R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar muestra en la figura 1.29. y x = h(y) d D R c x = g(y) a b x Figura 1.29 Rectángulo R que contiene a la región D de tipo 2 Como ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini se D tiene: R ∫∫ F ( x, y )dA = ∫ ∫ R UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. d b c a F ( x, y ) dxdy (I.41) 37 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde F ( x, y ) = 0 si x < g ( y ) ∨ x > h ( y ) , entonces: ∫ b a F ( x, y ) dx = ∫ h( y ) g( y) F ( x, y ) dx = ∫ h( y ) g( y) f ( x, y ) dx (I.42) La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir como: DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 2, tal que D= { ( x, y ) g ( y) ≤ x ≤ h( y) ∧ c ≤ y ≤ d } (I.43) La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada ∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D ∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ ( ) f ( x, y )dxdy D COMENTARIO d h( y ) c g y (I.44) De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida de la flecha, respectivamente. En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se obtiene como ∫ ∫ b a h( x ) g ( x) f ( x, y )dydx , de acuerdo a la ecuación (I.40), esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se ilustra en la siguiente figura: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 38 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones : Indica cual es el valor de la variable y a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable y a la entrada de la región D (límite inferior). Figura 1.30 Orden de integración para la integral doble de f sobre una región tipo 1 Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo 2, la integral doble de la función ∫ ∫ d c h( y ) g( y) se obtiene como f f ( x, y )dxdy , lo que indica que la primera integración se realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la región D como se muestra a continuación: y : Indica cual es el valor de la variable x a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable x a la entrada de la región D (límite inferior). x = h(y) d D R c x = g(y) a b x Figura 1.31 Orden de integración para la integral doble de UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. f sobre una región tipo 2 39 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones EJEMPLO 1.5 Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos. a) ∫ c) ∫ 1 0 2 0 ∫ ∫ x2 0 b) dydx 4− y2 − 4− y 2 d) dxdy ∫ ∫ 3 x +1 2 1 2x 1 ∫ ∫ ey 0 y dydx xdxdy Solución: a) Para resolver la integral ∫ 1 0 ∫ x2 0 dydx , se evalúa primero la integral interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se mantendrá la integral externa, como sigue: Figura 1.32 Sólido del ejemplo 1.5 parte a ∫ ∫ 1 x2 0 0 1 x dydx = ∫  ∫ dy dx = ∫  y 0 0   0  1 2 ∫ ∫ 1 x2 0 0 x2 0 dydx = 3 dx = 1 x 2 dx = x ∫0  3 1 0 = 1 3 1 3 La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se puede definir como: Figura 1.33 Función f definida en la región D del ejemplo 1.5 parte a Región tipo 1: D = Región tipo 2: D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 {( x, y ) } } y ≤ x ≤1 ∧ 0 ≤ y ≤1 La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se muestra en la siguiente figura: UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 40 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D y = x2 ∫ ∫ En el ejemplo 1.5 a la integral 1 x dydx = 1 , lo 0 2 0 3 cual quiere decir que el sólido definido sobre D bajo la gráfica de f , tiene como volumen 3 1 (UL) , donde UL son D 3 unidades de longitud. Valor de y a la entrada de D y=0 Figura 1.34 Región D del ejemplo 1.5 a b) Se desea resolver la integral ∫ ∫ ∫ 2 1 3 x +1 2x 2 1 ∫ 3 x +1 2x dydx 2 3 x +1 2 2 3 x +1 dy dx = ∫  y 2 x dx = ∫ ( x + 1)dx dydx = ∫  ∫  2x  1  1  1  ( x + 1) ∫ 1 ( x + 1)dx = Figura 1.35 Sólido del ejemplo 1.5 parte b 2 2 2 2 ∫ ∫ 2 1 3 x +1 2x dydx = 1 = 5 2 5 2 La región D es una región de tipo 1, definida como: Figura 1.36 Función f definida en la región D del ejemplo 1.5 parte b D= {( x, y ) 1≤ x ≤ 2 ∧ } 2 x ≤ y ≤ 3x + 1 La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 41 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D y = 3x + 1 x=2 x =1 D Valor de y a la entrada de D y = 2x Figura 1.37 Región D del ejemplo1.5 b c) Resolviendo la integral doble ∫ ∫ ∫ 2 0 Figura 1.38 Sólido del ejemplo 1.5 parte c − Esta 2 0 ∫ 4− y2 − 4− y2 2 4− y 2 2   dxdy = ∫ 0  ∫ − 4− y2 dx dy = ∫ 0  x 4− y2 4− y2 integral se resuelve dxdy , se tiene: 4− y2 − 4− y2 2  2 dy = 2∫ 0 4 − y dy empleando una sustitución trigonométrica: ∫ ∫ 2 0 Figura 1.39 Función f definida en dxdy = 2∫ 2 4− y 2 − 4− y 2 0 4 − y 2 dy = 4∫ Al sustituir el cambio de variable se tiene: la región D del ejemplo 1.5 parte c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 2 0  y 1 −   dy 2 2 42 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones CV: Cambio de Variable y = senθ 2 0 dy = 2 cos θ dθ CLI: Cambio de los límites de integración y = 2 → θ = arcsen1 = ∫ ∫ 2 LI: y = 0 → θ = arcsen0 = 0 LS: ∫ ∫ 2 0 − 4− y2 − 4− y2 dxdy = 4 ∫ 1 − ( senθ ) 2 cos θ dθ = 8∫ 2 cos 2 θ dθ π 2 2 0 π 0  1 + cos ( 2θ ) sen ( 2θ )  dxdy = 8∫ 2 dθ = 4 θ +  2 4− y 0 2 2   π 4− y2 ∫ ∫ π 2 0 2 4− y2 − 4− y 2 π = 2π 2 0 dxdy = 2π La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se {( x, y ) puede definir como: De radio = 2 y altura = 1 por lo tanto se puede calcular su volumen como: 2 π ( 2 ) (1) V= = 2π 2 lo que coincide con la integral: ∫ ∫ 2 0 4− y2 − 4− y2 Región tipo 1: D = Región tipo 2: D = dxdy = 2π {( x, y ) − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2 − 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2 } } ∧ 0≤ y≤2 La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: Valor de x a la entrada de D Valor de x a la salida de D x = 4 − y2 x = − 4 − y2 D Figura 1.40 Región D del ejemplo 1.5 c UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. y =0 43 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones ∫ ∫ d) La integral 1 ey 0 y xdxdy es diferente a las tres partes anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad. ∫ ∫ Figura 1.41 Sólido del ejemplo 1.5 parte d 1 ey 0 y ∫ ∫ 1 ey 0 y e xdxdy = ∫  ∫ 0  y 1 12 3 xdx  dy = ∫  x 2 0 3   y 2  2 3y 2 5  xdxdy =  e 2 − y 2  3 3 5  ∫ ∫ Figura 1.42 Función f definida en 1 ey 0 y 1 0 = ey y  1 2  3y 3   dy = ∫ 0 e 2 − y 2  dy 3   2  2 3 2 2  2  4 3 2 32  e − −  = e − 3  3 5  3 9 45 4 3 32 xdxdy = e 2 − 9 45 La región D es una región de tipo 2, definida como: D= la región D del ejemplo 1.5 parte d {( x, y ) } y ≤ x ≤ ey ∧ 0 ≤ y ≤ 1 La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: y=1 D Valor de x a la entrada de D Valor de x a la salida de D x= y x = ey y=0 Figura 1.43 Región D del ejemplo 1.5 d UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 44 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE A continuación se presentan las propiedades de la integral doble de una función f : 2 → real de dos variables sobre una región general D. 1.7.1 Propiedad de linealidad 2 Sean f : → y g: 2 → dos funciones reales y continuas definidas en una región D , y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces: ∫∫ D α f ( x, y ) + β g ( x, y ) dA = ∫∫ α f ( x, y ) dA + ∫∫  β g ( x, y ) dA D D (I.45) 1.7.2 Propiedad de orden 2 Sean f : → y g: 2 → dos funciones reales y continuas definidas en una región D , tales que f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces: ∫∫ f ( x, y )dA ≥ ∫∫ g ( x, y )dA D D (I.46) 1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f : 2 → una función real y continua definida en una región general D . Si la región D está dividida en dos subregiones D1 y D2 (es decir D = D1 ∪ D2 ), entonces: ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. D1 f ( x, y )dA + ∫∫ f ( x, y )dA D2 (I.47) 45 Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.6 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D . ∫∫ ( x + y + 1) dA , D D= { ( x, y ) y ≥ x 2 + 2x ∧ y≤3 ∧ } y ≤ 3x + 6 Solución: El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D . Figura 1.44 Función f definida en la región D del ejemplo 1.6 y=3 y = 3x+6 Nótese como en este ejemplo la función f no es estrictamente positiva. y = x2+2x Figura 1.45 Región D del ejemplo 1.6 La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la propiedad señalada en la ecuación (I.47). Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A continuación se analizan ambas situaciones. i) Cuando la región D es dividida por la recta x = −1 , se obtienen dos subregiones de tipo 1; es decir, D = D1 ∪ D2 , donde: D1 = {( x, y ) D2 = } − 2 ≤ x ≤ −1 ∧ x 2 + 2 x ≤ y ≤ 3 x + 6 y {( x, y ) } −1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 + 2 x ≤ y ≤ 3 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 46 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones tipo 1. x = −1 Valor de y a la salida de D2 y =3 Valor de y a la salida de D1 y = 3x + 6 D2 D1 Valor de y a la entrada de D1 y = x2 + 2 x Valor de y a la entrada de D2 y = x2 + 2 x Figura 1.46 Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1 Por lo tanto: I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = ∫ D ( x + y + 1)dydx + ∫ −1 ∫ x + 2 x ( x + y + 1)dydx −2 ∫ x + 2 x −1 3 x+6 1 2 3 2 1  15 −1    5x2 x4 x4 I = ∫  −24 − − 3 x3 + + 25 x  dx + ∫  − − 3 x3 + 5 x 2 + x  dx −2 −1 2 2 2 2     I= 29 172 + 60 15 I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = D 239 20 ii) Cuando se traza la recta y = 0 , la región D se divide en dos subregiones de tipo 2; es decir, D = DA ∪ DB , donde: DA = {( x, y ) − 1 − 1 + y ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧  DB = ( x, y )  y−6  ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧ 0 ≤ y ≤ 3  3  UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. } −1 ≤ y ≤ 0 y 47 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2. Valor de x a la entrada de DB Valor de x a la salida de DB y −6 x= 3 x = −1 + 1 + y DB y=0 Valor de x a la entrada de DA x = −1 − 1 + y Valor de x a la salida de DA x = −1 + 1 + y DA 1 Figura 1.47 Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 2 Entonces, siendo I = ∫∫ ( x + y + 1) dA , se tiene que: D I =∫ 0 −1 ∫ ( x + y + 1)dxdy + ∫ 0 ∫ y −6 −1− 1+ y −1+ 1+ y 3 −1+ 1+ y 3 Resolviendo se obtiene I = − ( x + y + 1)dxdy 8 749 + , luego: 15 60 I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 239 20 48 Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.7 Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D . ∫∫ (10 + 4 x 2 D − y ) dA , D = { ( x, y ) y−x ≤2 ∧ } x2 + y 2 ≤ 4 Solución: Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la Figura 1.48 Función f definida en la región D del ejemplo 1.7 región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben estudiar las inecuaciones que definen a la región D . La solución de la inecuación y − x ≤ 2 es la intersección de las i) y − x ≤ 2 (si y ≥ x ) inecuaciones: ii) x − y ≤ 2 (si y < x ) Según la definición del valor absoluto:  y − x si  y−x =  x − y si  y≥x y<x La solución de la inecuación x 2 + y 2 ≤ 4 es el conjunto de pares ordenados ( x, y ) que se encuentran dentro y sobre la circunferencia de radio 2 y con centro en el origen del sistema de coordenadas. La región D del ejemplo 1.7 se muestra en la figura 1.49 y = x+2 x2 + y 2 = 4 D y = x−2 Figura 1.49 Región UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. D del ejemplo 1.7 49 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura anterior se aprecia que la región D no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se emplea la propiedad aditiva respecto a la región de integración, señalada en 1.7.3. Por lo que la región D se divide en dos regiones tipo 1, esto es: D = D1 ∩ D2 , las cuales se detallan en la figura 1.50. Valor de y a la salida de D2 x=0 y = 4 − x2 Valor de y a la salida de D1 y = x+2 D2 D1 Valor de y a la entrada de D1 Valor de y a la entrada de D2 y = x−2 y = − 4 − x2 Figura 1.50 Región D del ejemplo 1.7 dividida en dos regiones tipo 1 {( x, y ) − 2 ≤ x ≤ 0 ∧ − 4 − x ≤ y ≤ x + 2} y D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2 ∧ x − 2 ≤ y ≤ 4 − x } Donde: D1 = 2 2 2 Por lo tanto: I = ∫∫ (10 + 4 x 2 − y ) dA = ∫∫ (10 + 4 x 2 − y ) dA + ∫∫ D D1 I =∫ 0 −2 ∫ x+2 − 4− x 10 + 4 x 2 − y )dydx + ∫ 2 ( D2 2 ∫ 4− x2 x−2 (10 + 4 x (10 + 4 x 2 2 − y ) dA − y )dydx (8x + 20 + 10 4 − x + 4 x + 7 x + 4 x 4 − x ) dx + + ∫ ( −12 x + 20 + 10 4 − x − 4 x + 9 x + 4 x 4 − x ) dx I =∫ 0 −2 2 0 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 2 0 3 2 2 3 2 2 2 2 2 50 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 80   I = 14π +  + (14π + 24 ) 3   ∫∫ (10 + 4 x 2 D EJEMPLO 1.8 − y ) dA = 28π + 152 3 Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D . ∫∫ D x + y dA , D = { ( x, y ) y≥0 ∧ } x2 + y 2 ≤ 9 Solución: La región D es una región tipo 1 tal como se muestra en la siguiente figura. y = 9 − x2 Figura 1.51 Función f definida en la región D del ejemplo 1.8 D y=0 Figura 1.52 Región D del ejemplo 1.8 Sin embargo, como la función integrando es un valor absoluto, también llamado módulo, se tiene que:  x + y si x + y ≥ 0  f ( x, y ) = x + y =  − ( x + y ) si x + y < 0  A continuación se debe verificar si existe intersección entre la región y las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0 . Este resultado se muestra en la figura siguiente. UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 51 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones y = 9 − x2 D1 x+ y ≥0 y = -x x+ y <0 D2 y=0 Figura 1.53 D con las inecuaciones x + y ≥ 0 y x + y < 0 Intersección de la región Entonces se tiene: Donde: D1 =  x + y si ( x, y ) ∈ D1  f ( x, y ) =  − ( x + y ) si ( x, y ) ∈ D 2  { ( x, y ) D2 = { ( x, y ) y≥0 ∧ y≥0 ∧ x2 + y2 ≤ 9 ∧ } x+ y ≥0 y x2 + y 2 ≤ 9 ∧ } x+ y <0 Por lo tanto la integral doble se resuelve como: I = ∫∫ x + y dA = ∫∫ D D1 ( x + y ) dA + ∫∫D 2  − ( x + y )  dA En las figuras 1.54 y 1.55, se muestra el orden de integración para resolver las integrales dobles anteriores. Valor de y a la salida de D1 .A y = 9− x En la figura 1.54, se tiene que: D1 = D1.A ∪ D1.B x=0 Valor de y a la salida de D1 .B 2 y = 9 − x2  3 3  , −  2 2  D1.A D1.B Valor de y a la entrada de D1.A y = −x Valor de y a la entrada de D1.B Figura 1.54 y=0 Región D1 del ejemplo 1.8 UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 52 Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Entonces: ∫∫ D1 ( x + y ) dA = ∫ ∫ 0 − 3 2 −x ( x + y )dydx + ∫  ∫∫ ( x + y ) dA = ( 9 1 2 3 0 ∫ 9− x2 0 ( x + y )dydx 3 9 9 x2  9 − x 2 +  dx + ∫  x 9 − x 2 + −  dx 0 2 2 2   ∫∫D ( x + y ) dA = ∫ − 3  x 0 9− x2 D1 ) 2 − 9 + 18 Ahora para la región D2:  3 3  , −  2 2  D2 Valor de x a la entrada de D2 Valor de x a la salida de D2 x = −y x = − 9 − y2 y=0 Figura 1.54 Región D2 del ejemplo 1.8 Así: ∫∫D2 − ( x + y ) dA = − ∫0 ∫∫ 3 2 D2 ∫ −y − 9− y ( x + y )dxdy = − ∫ 0 2  3 2  − ( x + y )  dA = 9 2 − 9 Por lo tanto I = ∫∫ x + y dA = 18 2 D UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática. 9  − y 9 − y 2  dy 2 