Humor gráfico en el aula de las Matemáticas

EL HUMOR GRÁFICO COMO RECURSO DIDÁCTICO EN EL AULA DE MATEMÁTICAS 1. Introducción Cuando amenazamos a alguien con contarle un chiste matemático corremos el riesgo de que se aleje, que se ría de (no con) nosotros. Y es que parece que los chistes matemáticos hacen gala de un humor intelectual, que sólo entienden los que conocen los significados y conceptos matemáticos que se utilizan en esos chistes. Pero, además, adivinan que tendrán poca gracia, ya que los matemáticos no suelen tener fama de “graciosos”, sino todo lo contrario. Puede que con este rechazo se estén vengando de los fracasos matemáticos escolares, o nos estén diciendo que el humor tiene que ser más Fig 1-1 llano. Si caemos en la trampa de contarles el clásico chiste de la fiesta de funciones, seguro que corroboraremos su idea, su estereotipo de lo que es el chiste matemático. ... Esto era una fiesta de funciones. Todas estaban bailando, menos la función y = ex. Y le dice otra función: - ¿Por qué no te integras? - ¿Para qué?. Si yo soy exponencial. No podemos esperar que los demás disfruten con este chiste, que además de pedante (supone que el interlocutor conoce las propiedades de la función exponencial) basa su humor en que los interlocutores emplean el verbo “integrar” con dos sentidos diferentes (incorporarse a.., o determinar una función primitiva). Una situación similar a la anterior se presenta con este chiste de Desclosseaux. Los autores franceses son pioneros en el empleo del humor en sus textos. Parecen compartir la idea de que el humor ayuda a hacerse una representación sugerente sobre los conceptos. En esta línea cabe pensar en la afirmación que hace Desclosseaux sobre la “Curva de Jordan”. ¿No es Fig 1-2 evidente....?. En este caso el autor lleva su caracterización al ridículo, haciéndonos ver que las afirmaciones matemáticas no son evidentes ni para los matemáticos. Sin embargo, en este chiste, el grado de elaboración es mayor, ya que incide en el propio concepto matemático implicado, y no sólo en el nombre. En esta otra viñeta, el mismo Desclosseaux nos Fig 1-3 muestra diversas formas de contemplar un mismo objeto. Frente a la forma en que los hombres perciben las curvas femeninas (que suelen destacar la curvatura y su grado), Desclosseaux imagina a los distraídos matemáticos fijándose en la silueta de la mujer como un enlace matemático. Parece retratar al matemático como un buen chico, algo distraído, pero por estar embelesado con la erótica de su conocimiento. Y si no vean el chiste de Gary Larson de la figura 1.4, que pone de Fig 1-4 manifiesto directamente la erótica de las fórmulas matemáticas. Además del empleo del humor para matemáticos en medios matemáticos encontramos que los humoristas no matemáticos emplean las matemáticas en sus chistes, dirigiéndose al gran público. Cuando el gran Perich emplea el término obtuso está reconociéndole un uso cotidiano que contrasta con el término matemático, que considera suficientemente extendido como para que los lectores sean cómplices de su doble uso del término. De Fig 1-5 nuevo, como en la figura 1.2, el término se ve acompañado de su significado. Aunque el gran Sidney Harris ha hecho grandes chistes para todos, en el de la figura 1.6 se dirige al público conocedor de la Sucesión de Fibonacci, y con ello restringe el ámbito de lectura y complicidad humorística. (Figura 1-6) (La casa cuyo número es 112358, debe ser la de Fibonacci). Fig 1-6 Sin embargo, en este otro, referido a la misma sucesión, Bound y Gagget crean una situación que despierta el interés por la misma. ¿Cómo es posible que 1+1 sea igual a seis mil millones? ¿Por qué el profesor y los alumnos son conejos? ¿Qué tendrá que ver este número con la extendida cualidad prolífica de los conejos? Fig 1-7 La mala imagen del chiste matemático no está en que sean incompatibles matemáticas y humor, sino en que los malos chistes matemáticos, siguen siendo “malos” aunque nos los contemos entre matemáticos o profesores de matemáticas, y si logramos que los alumnos se rían con ellos será porque están cumpliendo su papel de alumnos, es decir, “hacer lo que el profesor espera que hagan”. Frente a estos malos chistes matemáticos, hay otros buenos, dirigidos a matemáticos, pero además hay buenos chistes que utilizan la matemática para hacer reír a todos, ya que las matemáticas forman parte de la sociedad, son susceptibles de ridiculización, pero también pueden ayudar a mirar con una visión sarcástica aspectos sociales. Sintámonos orgullosos de que la matemática sea objeto de chanza, ya que ello significa que tiene un papel social. Los chistes gráficos se convierten entonces en un indicador del significado que se le atribuye a las matemáticas desde la sociedad no matemática, de las características que se le conceden, sus logros, sus fallos, etc. Por ello, en estas páginas queremos mostrar que el humor gráfico puede emplearse en el aula, como indicador de la imagen social de las matemáticas, de su utilidad, de la forma en que el alumno, individuo social, se plantea las matemáticas. Gracias a esta visión podremos captar otras formas de contemplar las matemáticas que no sean las que compartimos entre nosotros los profesores. Estas situaciones pueden constituirse en un punto de partida de problemas reales, y nos permitirán reflexionar sobre el papel que desempeñan las matemáticas cuando las resuelven. Ello nos llevará a diseñar actividades para el aula, en las que podamos compartir con los alumnos viñetas que encierran un ánimo lúdico y satírico. Pero también las matemáticas nos permiten contemplar la sociedad con una visión concreta y crítica, tal como lo hace Paulos en sus numerosos libros. La relación que hemos tenido con las matemáticas nos ha creado hábitos sobre la forma de presentar los argumentos, sobre la forma de establecer la verdad, nos ha imbuido unos procedimientos de deducción, una predisposición a prescindir de algunos detalles para fijarnos en la estructura de lo que observamos, etc. Por ello, a los que hemos estudiado matemáticas, y tenemos la tarea social de emplearla para educar, las matemáticas nos pueden aportar una visión matemática de la realidad que se refleja en los chistes. Claro que para ello Fig 1-8 hay que tener cierta disposición a percibir las matemáticas en los chistes, a ver los chistes con ojos matemáticos, a mirar las matemáticas con humor, con ironía, en resumen, a tomarse la vida con humor. Esperemos que este libro contribuya a crear esta actitud favorable hacia la sociedad, la matemática y la educación matemática. Es innegable que John Davis hace una ilusión simétrica muy interesante en el encabezamiento de esta tira cómica de su conocido personaje el gato Gardfiel. La simetría central aplicada le genera un bonito encabezamiento de su historieta, que además colabora a que nos formemos una imagen adecuada del personaje. ¿Hace matemáticas Davis? ¿Emplea las matemáticas? ¿Ve las cosas del entorno con instrumentos variados entre los que cabe escudriñar algún tipo de matemáticas?. Queremos mostrar que sea cual sea la respuesta, todas son valiosas si somos capaces de sacar de ellas partido educativo. En esencia, queremos responder a la cuestión que da título al libro: ¿Cómo emplear el humor gráfico, como recurso didáctico, en la clase de matemáticas?. Y lo queremos hacer de manera distendida, pero no por ello desprovista de fundamento y seriedad (bien entendida). Para ello el libro comenzará por analizar que entendemos por humor gráfico, diferenciando lo cómico de la astracanada (que como tal puede formar parte de cualquier manifestación humana, por supuesto también de la enseñanza). El humor que presentamos tiene que tener cierta elaboración y permitirnos extraer elementos educativos que nos ayuden en esta difícil tarea de educar matemáticamente a nuestros alumnos. La enseñanza de las matemáticas debe hacerse de manera seria, pero no tiene que ser aburrida. Posteriormente examinaremos las funciones que puede realizar el humor en la sociedad, y nos detendremos en las funciones sociales relacionadas especialmente con la enseñanza. Estas funciones constituirán los siguientes capítulos del libro. Para finalizar cerraremos con algunas conclusiones, que podemos resumir en las siguientes premisas encadenadas: P1: El humor refleja la sociedad P2: En la sociedad hay matemáticas P3: Las matemáticas aparecen en el humor P4: Podemos reírnos con las matemáticas P5: Podemos hacer matemáticas riendo P6: La enseñanza es una actividad social Conclusión final: La enseñanza de las matemáticas debe hacerse de manera seria, pero no tiene que ser aburrida. Para tener una actitud humorística hay que estar abierto a los elementos sugerentes y a implicarse emotivamente con ellos. Esto nos puede inducir a pensar que el papel educativo del humor se circunscribe a edades en las que los alumnos son más propensos a estas actitudes “desenfadadas”. Con ello llegaríamos a pensar que la escolaridad obligatoria es el lugar indicado para emplear recursos didácticos que ayuden al alumno a hacerse una idea más completa (conceptual y motivacional) de los acontecimientos, especialmente de los resultados y procesos matemáticos. Fig 1-9 Nuestra pretensión va más lejos. Queremos que se vea el humor como un recurso didáctico adecuado a todas las edades. La dificultad está en seleccionar adecuadamente los estímulos, la ligazón entre las premisas y la conclusión de la viñeta humorística y la profundidad de la argumentación que se suele hacer en el desarrollo de la situación humorística. Fig 1-10 Si bien la mayor parte de nuestra reflexión va dirigida a profesores de matemáticas de enseñanza obligatoria (ver figura 1-10), trataremos de dar algunas puntadas con aportes válidos para profesores universitarios (figura 1-11). Fig 1-11 Reconocemos que la gran dificultad está en suministrar recursos humorísticos para la enseñanza infantil, en la que el humor adquiere otros sentidos, a nuestro juicio más complejos. En la actualidad hay una gran cantidad de estudios y de propuestas que sugieren emplear el humor con alguna intención que sobrepasa la puramente lúdica. Barren desde la función curativa fisiológica a la curativa psicológica, pasando a la creación de puentes de comunicación y confort. El humor acompaña al individuo en su devenir histórico, y a veces es el único recurso en situaciones de estrés. De todas estas funciones, nos ha llamado especialmente la atención la función cognitiva del humor. Desde una perspectiva constructivista social, el humor constituye una forma distendida de compartir lógicas supuestamente en conflicto, facilitando con ello que seamos capaces de relacionarnos con otras formas de atender, interpretar y resolver los problemas, que de otra forma seríamos incapaces de percibir. Trataremos de realzar esta labor cognitiva del humor, especialmente cuando el humor se constituya en un recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas. La intención del libro es motivar hacia el empleo del humor gráfico como recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas y facilitar la labor al profesor que se sienta dispuesto a ello. Para intentar lograrlo vamos a presentar tareas que pueden ser utilizadas directamente en clase, dando directrices para su empleo. Ejemplos que presentar: se van a 1. Ejercicios para realizar los profesores 2. Ejercicios para emplearlas en el aula de matemáticas Pero para llegar a dominarlas y para percibir la riqueza educativa, vamos a presentar ejemplos que están destinados a que los profesores analicen el papel de los chistes. Posteriormente presentaremos los chistes, historietas y viñetas que pueden utilizarse en el aula, junto con algunas indicaciones para hacerlo. Resumen Los chistes matemáticos parecen indicados sólo para los matemáticos. Pero las matemáticas aparecen en los chistes, ya que las matemáticas forman parte de la sociedad. En todas las ramas y ambientes se puede hacer humor de calidad (situaciones humorísticas), o situaciones exageradas (situaciones cómicas). La intención de este libro es doble: a) Mostrar que el humor gráfico es un recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas. b) Facilitar la labor del profesor de matemáticas, aportándole tareas para el aula, en las que se emplea el humor gráfico. Ejercicios para profesores I.1. Recordar chistes matemáticos que conozcáis y juzgar quién los puede comprender y en qué consiste su toque humorístico. I.2. Recordar el último chiste que hayáis utilizado en clase de matemáticas, y analizar con qué intención lo empleasteis. I.3. Recordar el último chiste que os hayan contado y que os ha parecido “gracioso”, “ocurrente”, etc. Analizar las razones por las que le dais este calificativo. 2. Lo humorístico y lo cómico. Qué es el humor. Los expertos destacan que el término “humor” es polisémico. Se emplea en muchos sentidos. El diccionario de María Moliner diferencia el “estado de ánimo” de la “cualidad de descubrir o mostrar lo que hay de cómico o ridículo en algo”. El sentido con el que aquí lo empleamos es el segundo, la disposición a descubrir lo cómico de una situación, y, para ello hay que tener un ánimo propenso. Vigara Tauste, estudiosa del humor en los textos, dice: Se dice que es cómico todo aquello que muestra capacidad de divertir o de excitar la risa, incluso si no tenía intención inicial de hacerlo. (..). En lo cómico trasladamos la comicidad del terreno de la abstracción al de la realización. (Vigara Tauste, 1994). Actualmente los medios de comunicación están haciendo gala de un humor basado en la ridiculización, en la extravagancia. ¿Es esto el humor? Parece importante distinguir entre lo cómico y lo humorístico. Mingote y Forges lo diferencian en la siguiente definición: “Uno va por la calle, se cae: eso es cómico. Lo humorístico es lo que dice después el tío...”. Chumy Chúmez dice que humor es lo que hace que un señor que acaba de recibir un tortazo diga “ahí me las den todas”, pero no son humorísticas (serían cómicas) las frases irónicas que dicen sus amigos y familiares. (Chumy-Chúmez, 1992, p. 180) De manera paralela debemos diferenciar dos situaciones: La situación cómica que despierta la risa por la sorpresa del acontecimiento, por la ridiculez de la situación creada. Y la situación humorística que tiene la intención de Fig 2-1 despertar la sonrisa, mediante la puesta en juego de una estrategia intelectual que toma en cuenta los significados de los objetos que aparecen en ella. Es frecuente identificar el humor con las situaciones cómicas, como en las exageraciones. En la figura 2-1 de Ibáñez, el Jefe de la T.I.A. calcula de manera compulsiva una cantidad de pesetas en euros. Puede estar mostrando la dificultad que tiene esta operación, pero la intención humorística se basa principalmente en la alteración y confusión de la postura del personaje. Para alguien que no conozca el entorno de la historieta (agencia de inteligencia, personajes, etc.), la situación creada puede parecerle extraña más que humorística. Fig 2-2 Sin caer en la expresión de posturas extravagantes, Mesamadero (figura 2-2) también quiere mostrarnos la dificultad de una tarea tan familiar como es la conversión de euros a pesetas, utilizando elementos que lindan en lo irreverente, para exagerar el efecto. Lo cómico prevalece sobre lo humorístico, ya que la situación presentada no añade significación a la tarea que se está planteando, salvo la coincidencia en el tiempo (la navidad de 2001-2002 coincide con la implantación del euro). El término “parábola” ha generado muchos chistes matemáticos, en este caso presentamos dos. El primero (figura 2-3) consiste en la escenificación de un chiste clásico, hecha por estudiantes de matemáticas, empleando un cuadro de la Santa Cena. Fig 2-3 En él se emplea como elemento cómico el doble sentido de la palabra, en un contexto en el que prevalece el significado retórico, que se ha relacionado siempre con el ambiente religioso. Del sentido matemático sólo queda la consideración formal (la gráfica de la función enunciada es una parábola), pero esto sólo es conocido por los eruditos matemáticos. Sin embargo en el segundo, Lombilla (figura 2-4) utiliza el mismo juego de palabras dándole sentido a ambos significados. María Moliner identifica el origen de parábola en el término Fig 2-4 latino boller, lanzar, pero también poner junto, comparar. El primero está relacionado con la curva que describe un objeto lanzado hacia arriba. El segundo, con la figura retórica que compara, habla de algo por medio de ejemplos, por caminos indirectos. En este caso estamos ante una situación humorística que emplea, de manera consciente, los dos sentidos del término, relacionados de una manera imaginativa, con fines críticos. En la situación de la figura 2-5, Forges emplea las matemáticas con una función distractora para intercalar un mensaje subliminal de lo mas cotidiano. Las matemáticas se hacen valiosas socialmente de una manera sutil. Una alusión cómica frecuente referida a las matemáticas se hace cuando se enfatiza su dificultad. Si bien estas viñetas (figura 2-6) llaman la atención sobre el peso extraordinario que se conceden a las matemáticas en el mundo escolar, su empleo es en general burdo, exagerado, sin aludir a causas que nos lleven a reflexionar sobre ello. La crítica depende, pues, del contexto en el que aparezca la viñeta. Cierto es que la figura 2-7 de Mesamadero nos trae a colación elementos de la matemática que son recordados como pesadillas (la raíz, las ecuaciones, etc.), que han generado el derrumbe de muchos niños. Con ello hace un signo de complicidad con el lector que despierta la sonrisa. Fig 2-5 Fig 2-6 Fig 2-7 Fig 2-8 Mingote es más sutil criticando la abstracción, en la figura 2-8, en la que denuncia lo irreal de las matemáticas, más que su dificultad, de una manera humorística: “Los libros de texto no reflejan la realidad que presenta la tele”. Resumen del capítulo: . El término humor se emplea con diversos sentidos . Lo humorístico surge cuando se establecen relaciones entre los significados de los elementos que aparecen, mientras que lo cómico se basa en el disparate, la ironía. . En este libro buscaremos principalmente situaciones humorísticas que estén relacionadas con las matemáticas. Ejercicios para el profesor II.1. Recordar situaciones que han despertado la risa de los concurrentes de una clase de matemáticas. Analizar cuáles han sido cómicas y cuáles humorísticas y estudiar el efecto producido por ambas. II.2. Analizar los siguientes chistes matemáticos, estudiando en qué ambientes generarían situaciones humorísticas: a. ¿Quién inventó las fracciones?: Enrique Octavo b. 5 de cada 10 matemáticos están de acuerdo en que son la mitad de diez c. ¿Qué es un oso polar?: Un oso rectangular con las coordenadas cambiadas. 3. Funciones del humor En la actualidad se le reconocen al humor muchas funciones sociales. En un libro que es clásico sobre el papel psíquico del humor, Buckman (1994), reconoce las siguientes funciones del humor: a) Ayuda a liberar la tensión y las disposiciones agresivas b) Facilita la realización de las funciones del yo c) Facilita la comunicación entre sujetos. Nos parece especialmente importante esta última función, ya que la enseñanza es sobre todo comunicación, por lo que los medios que la faciliten son útiles herramientas educativas. En el texto de Buckman se hacen unas consideraciones clínicas básicas sobre el humor, que nos pueden ayudar a decidir qué tipo de humor queremos emplear en nuestra enseñanza. Las distintas teorías y análisis sobre el humor lo sitúan en varias dimensiones, cada una de ellas representada por una consideración extrema tal como aparecen en el cuadro adjunto: Dimensiones entre las puede situarse el humor: que Universal Selectivo Innato Aprendido Bueno Malo Real Irreal Sano Insano Expresión creativa Represión defensiva (Buckman, 1994) Nuestra intención es aproximarnos a un humor bueno, basado en situaciones reales, con una intención sana y que promueva la creatividad. El grado de universalidad del texto estará ligado a la colectividad que se interesa por el problema planteado en el libro: la educación matemática. Ello llevará a que algunas viñetas estén dirigidas a profesores, aunque progresivamente iremos proponiendo viñetas y tareas destinadas a los alumnos, con objeto de que puedan emplearse en clase. No querríamos posicionarnos sobre si el humor es innato o se aprende, pero en línea con nuestro planteamiento cognitivo, defendemos que el humor se educa junto con otras potencialidades humanas, por lo que consideramos como un objeto de atención del profesor el ayudar al alumno a moldear sus objetos de regocijo, entre ellos el humor gráfico. Quizás de esta manera se pueda evitar la universalización de las situaciones cómicas como prototipos de situaciones humorísticas, y en detrimento de ellas. Es bastante conocida la corriente propedéutica que propone utilizar el humor con fines terapéuticos. Hay una corriente clínica que aboga por el empleo del humor con estos fines. El Dr. Raymond Moody (1996) ha establecido aspectos fisiológicos, psicológicos y sociales de la risa, y examinado las condiciones de su uso con intención curativa. Desde entonces son frecuentes los cursos y numerosos los libros que abordan este aspecto. Los animadores socioculturales saben bien del papel del humor en su trabajo. Alfonso Francia y Jesús Fernández establecen las funciones del humor que aparecen en la tabla adjunta, relativas a su labor profesional. En este texto vamos a distinguir las siguientes funciones del humor, con objeto de desarrollar el papel que puede desempeñar en el aula de matemáticas. Funciones del humor . Fisiológica . Placentera . Afectiva . Agresiva . Social . Defensiva . Intelectual . Transformadora . Pedagógica (Francia y Fernández, 1995) El humor con Función Intelectual El humor con Función Afectiva y Social El humor con Función Pedagógica En el primer punto trataremos de mostrar el papel cognitivo del humor, para lo que mostraremos con ejemplos que el humor encierra en sí mismo un contraste de lógicas, lo que permite que los interlocutores puedan contemplar, de manera distendida otras perspectivas sobre el acontecimiento tratado en la viñeta. El humor: . Acrecienta la recepción de ideas creando participación activa . Tiene efectos motivadores . Reduce distancias entre la gente, con lo que tiene una función igualadora (Buckman, 1994) El carácter distendido y lúdico del humor permite apelar a su función afectiva y social. Si el profesor es capaz de emplear humor de manera sana, creativa y buena, habrá favorecido la comunicación en el aula. En línea con la función cognitiva, veremos que el humor permite que afloren en clase las creencias y mitos de los alumnos, aunque también debe ayudar a los profesores a hacer aflorar sus propias creencias, con objeto de poder examinarlas. Entendemos que junto a estas dos tareas cognitiva y social del humor hay también una función didáctica, más próxima a la realización de tareas concretas por parte del profesor en el aula. Por eso a partir del capítulo 6 del libro destacaremos la función pedagógica del humor. Entendiendo la relación en el aula como una relación educativa, con fines instruccionales, trataremos de mostrar ejemplos y proponer tareas para facilitar al profesor el diseño de actividades que lleven al aprendizaje de conceptos matemáticos en el aula. Para diseñar unidades de acción en el aula que favorezcan el aprendizaje de un contenido matemático, el profesor Luis Rico (1998), propone que se lleven a cabo los siguientes análisis sobre el contenido: - Estudiar los fenómenos relacionados con ese contenido - Analizar los errores y las dificultades de aprendizaje más frecuentes - Establecer las formas en que se representa el contenido - Buscar los materiales didácticos más adecuados para su enseñanza - Analizar la historia de los conceptos matemáticos relacionados con el contenido Veremos como el humor nos puede ayudar a realizar estos análisis de los contenidos del currículo de matemáticas, y a elaborar situaciones que faciliten la enseñanza de los conceptos matemáticos, al menos de dos formas: - Mirando el humor con ojos matemáticos Haciendo y enseñando matemáticas a partir del humor. En efecto, el humor gráfico nos suministra situaciones reales que pueden ser analizadas con herramientas matemáticas, con lo que pueden utilizarse en clase para dar significatividad a los contenidos matemáticos, tal como preconizan los currículos actuales (Ferrini-Mundy, 2001; MEC, 1991). Pero además, las viñetas pueden convertirse en manifestaciones de los conceptos matemáticos, permitiendo desarrollar la creatividad de los alumnos, o bien dando informaciones que pueden formar parte de la decoración del aula, en forma de carteles que faciliten la relación de los alumnos con los contenidos matemáticos (figura 3-1). Fig 3-2 Fig 3-1 Resumen del capítulo . Los expertos conceden varias funciones del humor . En este texto vamos a destacar tres funciones principales: - Función intelectual: el humor ayuda a formarse conceptos - Función afectiva: el humor facilita la comunicación - Función pedagógica: el humor ayuda en la relación didáctica Ejercicios para el profesor III.1. Goscinny y Uderzo, creadores de Asterix son además de buenos dibujantes unos excelentes humoristas. Recordar alguna situación humorística de sus álbumes y analizar la función que desempeña el humor en esa situación, tomando como ejemplo el fragmento de la figura 3-2. III.2. Estudiar la función del humor en los siguientes chistes relacionados con las matemáticas: a. 9 de cada 10 médicos está de acuerdo en que 1 de cada 10 médicos es un idiota. b. Mesamadero y la matemática no es sólo pizarra (Figura 33) c. Límites de “e”. (figura 3-4, de Gordo y Estrada) Fig 3-3 Fig 3-4 4. Función Intelectual En el análisis psicoanalítico que Freud (1969) hace del humor enfatiza su carácter espontáneo, con lo que, al surgir de una situación no planificada por el oyente, influye directamente en el subconsciente. Se ha continuado este análisis desde la perspectiva clínica, proponiéndose emplear el humor para tratar de incidir en aspectos no previstos por el interlocutor, especialmente en el campo de la psiquiatría. Un autor especialmente propenso al empleo de elementos evocadores con intención curativa es el psiquiatra americano de origen polaco Paul Watzlawick. En los tratamientos psiquiátricos se pretende que los pacientes experimenten un cambio de su conducta. También en la enseñanza pretendemos que los alumnos experimenten un cambio en su conocimiento y como consecuencia en su conducta. Watzlawick diferencia dos tipos de cambio y recurre a metáforas de tipo matemático para ejemplificar los tipos de cambio que él establece. Fig 4-1 Llama cambio de tipo 1 al que genera más de lo mismo. Es decir, altera algún resultado aparente, pero dentro de las conductas esperadas por el sujeto, lo que da lugar a un círculo vicioso, sin salida aparente. En el terreno de la enseñanza, este cambio tipo 1 tiene lugar cuando un alumno, que no ha sido capaz de resolver un problema de álgebra, estudia más de lo mismo, con la expectativa de que, en una nueva ocasión, llegará a rendir mejor ante otro problema. Ahora bien, si el alumno no comprende la función del álgebra, si su estudio consiste en retener expresiones algebraicas que han resultado de traducir los enunciados de otros problemas, así como reglas de resolución de ecuaciones, este alumno podrá volver a tener dificultades cuando se enfrente a problemas que alteren algo en los enunciados (figura 4-1). El alumno reteniendo y fracasando en un “más de lo mismo”. También podemos ejemplificar el cambio tipo 1 con el alumno que aprende las matemáticas reteniendo fórmulas o realizando ejercicios mecánicos. Supongamos, por ejemplo, que el alumno tiene dificultades para calcular funciones primitivas, y como remedio se aprende tablas de funciones primitivas y de cambios de variables. Es probable que este alumno esté en mejores condiciones que antes para resolver integrales nuevas, al menos por similitud. Pero si no se ocupa de dar sentido a lo que hace, también es probable que aplique los principios de las que conoce a las nuevas, cayendo en errores de cálculo o de aplicación, con lo que recurrirá a memorizar más, en un ejercicio de “más de lo mismo”. El sujeto que trata de aprender a resolver problemas repitiendo procedimientos “tipo”, parte de la creencia de que aprender es retener procedimientos, y se aplica a llevarla a la práctica. Los fracasos que coseche en el futuro los justificará achacándose que no ha resueltos suficientes, sin alterar su creencia. Identifica Watzlawick (1976) el cambio 1 con el que se produce al cambiar los elementos de un grupo algebraico por otro elemento (por medio de la operación que configura como grupo), en una ley interna. En la viñeta de Bouvier (figura 4-2) vemos una “clasificación de grupos finitos”, concebida de manera superficial, lo que encierra el cambio de tipo 1. El sujeto cree que clasificar grupos es lo mismo que clasificar documentos. Fig 4-2 Si el alumno que fracasa ante los problemas, y que por tanto se considera a sí mismo como incapaz de resolver problemas y necesitado de ayuda para ello, se dedica a mirar libros de problemas resueltos, puede que llegue a retener muchos procedimientos para resolverlos, pero reforzará su creencia de que a él nunca se le van a ocurrir los procedimientos nuevos. Su preparación es más de lo mismo en el sentido de que no rompe con su imagen de sí, ni con la forma en que él considera la situación. Para romper el círculo vicioso que supone su razonamiento necesita que se presente una situación en la que se rompa su creencia de partida, o que se ponga en cuestión. Sólo entonces estará en condiciones de llevar a cabo un cambio de tipo 2. El cambio de tipo 2 lo equipara Watzlawick al que hace pasar de un conjunto a otro de distinto tipo o nivel, según la idea de Russell. Fruto de la paradoja del barbero (En un pueblo hay un barbero que sólo afeita a los que no se afeitan a si mismos ¿Quién afeita al barbero?), Russell vio tambalearse los fundamentos de su Principia Matemática, lo que le llevó a establecer varios niveles de agrupación en los elementos, diferenciando por órdenes: los conjuntos de nivel 1 sólo pueden tener como elementos a objetos. Los conjuntos de nivel 2 tienen como elementos a los objetos o los conjuntos de nivel 1. Así sucesivamente, los conjuntos de nivel n sólo pueden tener como elementos a los conjuntos de los niveles anteriores. Establecer niveles de conjuntos impide definir conjuntos paradójicos, como el formado por todos los que no se contienen a sí mismos como elementos. MAS DE LO MISMO . No sé resolver problemas . Aprender a resolver es aprender procedimientos que otros emplean . Cuando los aprendo me doy cuenta de que nunca se me van a ocurrir estos procedimientos . Nunca sabré resolver problemas Conjuntos Paradójicos P = {x/ xx} PP  PP Si el barbero se afeita a sí mismo, estará afeitando a alguien que se afeita a sí mismo. Si no se afeita, el barbero no estará afeitando a alguien que no se afeita a si mismo Los niveles permiten diferenciar los conjuntos entre sí. Los conjuntos de un nivel son de naturaleza diferente a los del nivel siguiente. Así, el conjunto vacío (, de nivel 1, sin elementos), cuando pasa a ser elemento de un conjunto (de nivel 2), genera un conjunto con un elemento (al mismo vacío: {}), y este puede generar conjuntos de mayor número de elementos ({, {}}, de nivel 3, tiene dos elementos). Luego los niveles dan lugar a cambios en los conjuntos. El conjunto {} no puede ser miembro del club de los conjuntos de nivel 1 Fig 4-3 (figura 4-3). Watzlawick quiere destacar con esta metáfora matemática, que en el cambio de tipo 2 la conducta final no forma parte de las expectativas del que ha cambiado, ya que su cambio se ha efectuado en procesos más profundos, que pueden incluso afectar a las creencias. El cambio no ocurre dentro del mismo conjunto de conductas, sino que se altera algo de otro nivel, como creencias, expectativas, etc. Así, el estudiante de nuestro ejemplo efectuará un cambio de tipo 2 si altera alguna de sus premisas. Con ello puede que no llegue a resolver los problemas, pero puede romper su autoconcepto negativo. Puede darse cuenta de que si se limita a ver como otros resuelven problemas va a generar una visión negativa sobre sus capacidades. Sólo si alcanza este estado podrá poner en juego sus propios recursos para resolver problemas, dándole valor a sus procedimientos, aunque no coincidan con los que hacen los expertos. Para CAMBIO TIPO 2 . No sé resolver problemas . La ejercitación perjudica mi autoestima . Yo puedo resolver por procedimientos artesanos . Prefiero resolver los problemas por mis procedimientos y con ello Mejoro mi autoestima Entiendo mejor la resolución Aunque no llegue a resolver con elegancia. convertirse en experto tiene que aprovechar sus cualidades, y esto no puede hacerse desde la minusvaloración de las mismas. Este análisis del cambio es especialmente pertinente en enseñanza, ya que el alumno no siempre es consciente del aprendizaje. Aprender matemáticas es algo más que retener datos (cambio esperado por el alumno, cambio tipo 1). Es mirar el mundo con ojos matemáticos (cambio inesperado por el alumno, que antes no sabía que era eso). Fig 4-4 Igualmente, la enseñanza que pretende que el alumno se eduque matemáticamente para comportarse como ciudadano, no se puede conformar con transmitirle y hacer que ejercite una serie de destrezas mecánicas, por muy sofisticadas que sean (aunque ésta sea la expectativa que tienen el propio alumno o sus padres). No se trata de que aprenda a resolver ecuaciones complicadísimas, sino de cambiar su percepción del aprendizaje, para hacer que incorpore a su conducta ciudadana recursos del razonamiento matemático, que le permitan contemplar el mundo con otros ojos. Abogamos, entonces por cambios del tipo 2 de Watzlawick. Frato ha visto muy claramente esta situación, cuando diferencia entre “saber hacer” y “saber lo que es un sumando”, tal como aparece en esta viñeta. En este caso el alumno sabe hacer, y espera del colegio que le suministren nuevos saber hacer (cambio 1). Sin embargo, la escuela le presenta una nueva exigencia que desconcierta al alumno, el saber escolar como saber intelectual (aunque aquí Frato critica este saber por su descontextualización). Para el niño que se incorpora a la escuela “saber” es un “saber hacer”, y espera que la escuela le acreciente ese “saber hacer” (cambio 1). La escuela le ofrece unos hábitos diferentes, en los que “saber” es abstraer (o recitar). Para llegar a adquirir los hábitos escolares los niños tienen que realizar un cambio 2. Una vez instalados en la cultura de la escuela, los cambios demandados son del tipo 1. Se le pide a los alumnos que aumenten conocimiento del “saber escolar”. En la viñeta adjunta, Frato nos muestra como el alumno que ha adquirido los hábitos ligados al “saber escolar” es capaz de diferenciar lo que él cree de lo que “le han enseñado” (¿Tu qué me preguntas, lo que me han enseñado o lo que creo?). Fig 4-5 Cuando, posteriormente, un profesor pretende relacionar el “saber escolar” con el “saber hacer para la vida”, los alumnos se desconciertan, sus padres se quejan ya que esperan otra cosa. De nuevo el profesor se ve obligado a promover un cambio de tipo 2. Otro ejemplo de Frato nos muestra como los alumnos viven desde su expectativa de cambio 1, y no siempre la escuela consigue que el aprendizaje genere un cambio de tipo 2. El niño de la viñeta concibe un tomate como un fruto que viene en lata (puede que incluso triturado, sin piel, etc.). Cuando el maestro le dice que nacen en matas tiene que relacionar lo que conoce con la nueva información, y surgen las “matas de latas de tomate”. ¿Qué pensarán de los criaderos de pollos los niños que sólo hayan visto pollos en los asaderos o en el plato? Fig 4-6 Para lograr cambios de tipo 2 no basta con pedir a los interlocutores que cambien, ya que ellos no pueden saber qué se espera de ellos. Tenderían a cambiar dentro de sus expectativas, favoreciendo un “más de lo mismo”. Si se pretende que los alumnos vean las matemáticas con ojos críticos y traten de buscarle la utilidad en su vida, no basta con que se ejerciten en procedimientos, ni que los retengan en la memoria. Hay que promover además situaciones que les lleven a conseguir un cambio de tipo 2. Para producir este cambio, los autores citados recomiendan emplear elementos evocadores, situaciones que permitan distanciarse de lo acontecido, tratándolo de manera crítica y distendida. El humor satisface estas exigencias, ya que, distancia de manera lúdica e inconsciente del plano de lo esperado, para permitir elevar a otros planos con los que también se puede contemplar la realidad. Watzlawick señala: Precisamente porque el golpe de ingenio, el chiste, se alza soberanamente por encima del sentido y de la lógica de una determinada concepción del mundo, sacude el orden de cualquier mundo y puede por ende convertirse en un instrumento del cambio. (1980, p. 54). Una de las características que permite esta función de cambio es la cualidad del chiste de encerrar en su argumentación jocosa varias lógicas en contraste. La fórmula de validez general subyacente a todas las formas de humor y agudeza consiste en “la percepción de una situación en dos marcos de referencia al mismo tiempo, ambos consistentes por sí mismos, pero mutuamente incompatibles”. (Koestler, 1990). Componentes de una situación humorística: 1. Una lógica familiar (planteamiento) 2. Unas expectativas (nudo) 3. Una lógica inesperada (desenlace inesperado). Flores, 1997 Está muy extendida la caracterización de las situaciones humorísticas que alude a que en ellas hay una confrontación de lógicas. Freud ya la hacía notar en sus análisis; Watzlawick la vuelve a destacar y en este apartado vamos a considerarla como la forma en que el humor contribuye a la formación de una imagen más completa de la realidad, desde una perspectiva cognitiva. Para ello vamos a ver en algunos ejemplos como se ponen en juego varias lógicas, cómo se produce un choque entre ellas. El humor aparece justamente cuando se contemplan las lógicas y se perciben los límites de validez de cada una, con lo que se está en disposición de aceptar presupuestos que en un principio estaban lejos de ser admitidos. Vamos a ver algunos ejemplos de chistes en los que se pone de manifiesto la aparición de varias lógicas en contraste. Analizaremos estos chistes mostrando los aportes que pueden hacernos para comprender conceptos matemáticos. Ejemplo 1: X tendiendo a infinito Fig 4-7 Un chiste matemático clásico es aquel que pregunta: - ¿Qué pasa cuando x tiende a infinito? - Que infinito se seca En este chiste aparecen contrastadas una lógica matemática y otra cotidiana, ambas ligadas al verbo tender y al concepto de infinito. Desde un punto de vista matemático, el razonamiento puede ser el siguiente: Premisa A: X tiende a infinito Conclusión esperada C: Se obtiene un límite Conclusión inesperada X: Infinito se seca Aunque he sido testigo de que algunos profesores de matemáticas tenían dificultad para entender el razonamiento implícito en el chiste, podemos afirmar que la solución propuesta no es disparatada, sino que guarda una lógica inesperada ligada a los dos sentidos que tiene el verbo tender y a cómo se considera el concepto de infinito. Como se ve en la Fig 4-8 figura 4-8, el matemático utiliza tender en el sentido de tender hacia (C), y el infinito como infinito potencial (cantidad más grande que cualquier otra), y la “x” como una variable. Fig 4-9 Sin embargo, el verbo tender también tiene un uso como verbo transitivo, indicando tender algo (X). En este caso ese “algo” es “el infinito”, que pasa a ser considerado como un objeto, representado por el símbolo que empleamos para ello (Figura 4-9), y la “x” como un sujeto. Ejercicios para el aula Analizar las lógicas en conflicto en el siguiente chiste: “Tender a tender es acercarse infinitamente a poner ropa a secar” Ejemplo 2: Calculo mental y calculadoras El Gato filósofo es una creación del genial artista belga Geluck. Su éxito en Bélgica ha hecho que aparezca en la revista PLOT, destinada a los profesores de matemáticas. El gato es un personaje polifacético, que pone al descubierto razonamientos lógicos de muy diverso sentido. La siguiente tira de 3 viñetas es un ejemplo paradigmático en el que se emplea un contraste entre lógicas, que nos permite reflexionar sobre varios conceptos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. La historieta arranca de uno de los problemas más manidos de los últimos años en la enseñanza de las matemáticas, Calculadora en la enseñanza de las matemáticas, ¿si o no?. Geluck afina más y establece la dicotomía: calculadora / cálculo mental, que se supone que es la que se utiliza para cuestionar el empleo de la calculadora en clase. Veamos las lógicas que aparecen en esta historieta diferenciando dos partes. Fig 4-10 Primera parte, viñetas 1 y 2: Premisa A: La calculadora es una máquina que da el resultado, actuando como una “cámara oscura”, ya que no informa sobre la forma de obtenerlo Premisa B: Para aprender cálculo mental (conceptual) hay que saber cómo se obtiene el resultado a partir de los datos. Conclusión C: Utilizando la calculadora el alumno llega al resultado sin saber cómo, luego no desarrolla el cálculo conceptual Conclusión X: Las calculadoras son objetos, con ellos se puede materializar la suma conceptualmente. En este caso la segunda viñeta nos muestra una lógica perfectamente coherente con el planteamiento que se ha hecho del problema. Pero dicha lógica es inesperada, ya que estábamos pensando en la calculadora como máquina de calcular, no como objeto que se puede contar. Fig 4-11 Fig 4-12 Fig 4-13 Segunda parte, viñetas 2 y 3: Premisa A: Sumar es reunir, el resultado de la suma es el cardinal del conjunto unión Conclusión B: 2+3 = 5, ya que al reunir 2 calculadoras con 3 calculadoras resultan 5 Conclusión X: Para verificar si la suma está bien el gato utiliza la calculadora Ejercicios para el aula: Plantear en clase un debate sobre las siguientes cuestiones: ¿Quién controla la calculadora? ¿Se puede demostrar un teorema con la calculadora? ¿Y con el ordenador? ¿Y resolver un problema? Nos encontramos ahora con un argumento válido pero pervertido, que refleja hábitos ingenuos de la comunidad escolar: utilizar la calculadora para comprobar el resultado tanto del cálculo mental como del conceptual. Parece que detrás de estos hábitos está el siguiente razonamiento conceptual: 2+3=5 - Por definición de suma 2+3 es igual a 5 - La calculadora aplica correctamente la La calculadora hace definición de las operaciones lo que dicen los expertos - La calculadora nos informa si las operaciones se han realizado correctamente. Con ello se está creando un círculo vicioso: 2+3=5, por que 2+3=5. Esta situación nos lleva a preguntarnos: ¿Quién controla la calculadora?, cuestión que puede utilizarse en clase para abrir el debate sobre el papel de los medios tecnológicos y sus posibilidades en relación al avance científico. ¿Se puede demostrar algo con la calculadora? ¿Y con el ordenador? Fig 4-14 La historieta del Gato y la calculadora es tan rica que permite abordar otras cuestiones: a) ¿Cómo se puede llegar a obtener el resultado de una operación? . Una primera forma sería mediante Cálculo Manipulativo, que llega al resultado de una manera empírica (construye dos conjuntos disjuntos y cuenta el número de elementos del Lo dice la calculadora, conjunto unión) . Cuando se hacen muchos de estos cálculos se está en condiciones de anotar los resultados en forma de tabla. Para llegar al resultado nos basta con buscar en la tabla o recordar el valor que le corresponde. En este caso estaríamos haciendo Cálculo con los números, pero sin utilizar soportes, por lo que sería un verdadero Cálculo Mental (figura 4-14). . Como no se puede hacer una tabla con todas las sumas, se suele obtener la suma de los números de una sola cifra y buscar formas de combinar estos cálculos para obtener otras sumas de números de varias cifras. Esta operación se puede hacer utilizando soportes variados (como el lápiz y papel), o por simple ejercicio mental. En ambos casos estamos aplicando un Cálculo Algorítmico. En la figura 4-15 de Harris, los frailes aplican el algoritmo de la suma con “la nueva matemática”. Sugerimos al lector que intente aplicar este algoritmo a la notación romana (figura 4-15). Ejercicios para el profesor Responder las siguientes cuestiones: ¿Cómo caracterizar el cálculo calculadora? con ¿Con qué tipo de cálculo interfiere positivamente o negativamente el empleo de la calculadora? ¿Cómo formularías la primera viñeta del chiste de manera más adecuada? Ejercicio para el profesor Escribir el proceso de obtención de la suma 23 + 45 con la calculadora como si fuera un algoritmo, continuando el siguiente: 1. Encender la calculadora (ON) 2. Introducir el 2 3. Introducir el 3 4. Pulsar el + ............ Fig 4-15 Sólo el cálculo manipulativo emplea el concepto de suma para obtener el resultado. El cálculo algorítmico requiere del cálculo mental, pero además añade el aprendizaje de una serie de destrezas operativas para llegar a obtener el resultado de una operación. La prioridad que se le suele conceder en la comunidad escolar al cálculo algorítmico sobre todos los demás, es debida a que se ha identificado con un conocimiento escolar típico, de manera que se llega a identificar “aprender a sumar” con “aprender el algoritmo vertical de la suma”. Desde este punto de vista no es de extrañar que en la escuela y en la sociedad se enfatice el cálculo algorítmico sobre Ejercicio: ¿Es igual introducir el 23 en la calculadora que introducir el 2 y el 3? ¿Por qué? cualquier otro, y que se identifique al que no lo maneja con el analfabeto numérico. Fig 4-16 Ejercicio Analizar las formas del cálculo que se propone en las historietas de las figuras 4-16 de Kalonki, 4-17 de Scott y Borgman y 4-18 de Cullum. Fig 4-17 Fig 4-18 Frato nos muestra el contraste entre el cálculo conceptual y el cálculo algorítmico, en la viñeta 4-19. Fig 4-19 Esta diferenciación de las formas de cálculo nos deja ver que, en el desarrollo de la historieta analizada (figura 4-10), se están poniendo en juego diversos conceptos distintos, lo que muestra que para poder responder a la cuestión que da origen al debate (¿calculadora o cálculo mental?) hay que aclarar los términos que se emplean. b) ¿Qué significa sumar? La suma que lleva a cabo el gato filósofo se representa manipulativamente por la reunión de dos conjuntos (reunión del conjunto de las 3 calculadoras con el de las 2). Obedece a un problema del tipo: A. Antonio tiene 2 calculadoras y Juan 3, ¿cuántas tienen entre las dos? Pero también pueden plantearse otras tareas para llevar a cabo lo que representamos por 2 + 3, como las siguientes: B. Yo tengo 2 calculadoras y me regalan 3 más, ¿cuántas tengo? C. Juan tiene 2 calculadoras, Antonio tiene 3 más que Juan, ¿cuántas tiene Antonio? En todos estos casos estoy planteando un problema que se resuelve por la suma, por lo que no puedo identificar la suma sólo con los problemas de un tipo. Puede que para algunos alumnos sea más fácil identificar la suma en problemas como el A, mientras que para otros lo sea para los tipo B. Establecer el grado de dificultad de la resolución de estos problemas constituye una cuestión de investigación en Educación Matemática. Hay además más razones para diferenciar estos problemas. Si bien el problema A se resuelve conceptualmente de manera natural por la reunión de dos conjuntos y el posterior conteo de los elementos del conjunto unión, el problema B puede resolverse avanzando a partir del primer sumando tantas unidades como indica el segundo, tal como hace Sally en la viñeta de la figura 4-20, de Schulz. Fig 4-20 Continuando con el análisis vemos que en todos estos problemas estamos utilizando los números como Definición de suma cantidades de objetos (ya que estamos hablando de cantidades de calculadoras). También podrían emplearse los números con un sentido ordinal, como por ejemplo en el siguiente problema: . Esta es mi segunda calculadora. Después me han regalado 3 más, ¿cuántas calculadoras he tenido?. Observemos que para hacer esta operación de manera manipulativa no necesitamos tener las 5 calculadoras, sino que puede partirse de contar la primera calculadora de las añadidas como la tercera, la siguiente como la cuarta, y la última como la quinta, lo que nos daría el resultado. Ejemplo 3: Manolito y la propiedad conmutativa Quino nos propone una historieta en la que se aborda la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Sugerimos al lector que antes de leer el análisis, trate de realizarlo por su cuenta. Ejercicio Analizar la historieta de la figura 4-21 de Quino, buscando la premisa, la conclusión esperada y la inesperada, antes de leer este apartado. Fig 4-21 En esta historieta hay que diferenciar la lógica del profesor de la del alumno, lo que permite afrontar un tema tan sutil como es la diferencia entre enseñanza y aprendizaje. Podemos resumir el argumento en el siguiente esquema: Premisa A: Para “saber” hay que estudiar Premisa B: Manolito “sabe” la propiedad conmutativa, pues “saber” es “saber decirla” Ley: El orden de los sumandos se puede alterar sin cambiar el resultado. 4+3=3+4=7 a+b=b+a=c (Propiedad conmutativa en Heise, K. (1985). Aritmética. Madrid, Mediterráneo. (El autor explica de forma intuitiva toda la Aritmética.... p. 1) Conclusión C: El alumno “sabe” porque ha estudiado Conclusión X: “Sabe” porque es “vox populi”, porque es una frase familiar. Se puede “saber” por otras razones. Observamos en este caso un contraste entre argumentos que es muy frecuente, y que nos debe hacer pensar a los profesores. Los argumentos son coherentes, ambos, lo que nos lleva a cuestionar sobre: en qué consiste “saber” y “cómo se llega a saber”. Recordemos lo que sugería la viñeta de Frato de la figura 4-19, sobre el “saber hacer” y el “saber escolar”. Quizás esta diferencia nos pueda ayudar a comprender la diferencia entre “saber fruto del estudio” y el derivado de la experiencia, y ambos con el “saber de todo el mundo” o vox populi. Además de inducirnos a preguntarnos sobre en qué consiste saber, y especialmente, qué significa “saber una propiedad algebraica (la conmutativa)”, y para qué enseñamos dicha propiedad, esta viñeta nos permite afrontar otros temas de reflexión. Ejercicio para la clase: Justificar cuál de las afirmaciones es correcta: R: Como 3x4=4x3 entonces multiplicación es conmutativa la S: Como la multiplicación es conmutativa entonces 3x4=4x3 El primero se refiere a la justificación de la propiedad. ¿En qué razones nos podemos basar para justificar la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales?. ¿Cuál es el antecedente y cuál el consecuente entre las dos aseveraciones trabajadas en la historieta?: P: 3x4 = 4x3 Q: la multiplicación es conmutativa ¿Como P entonces Q, o como Q entonces P?. ¿Cómo es conmutativa entonces 3x4 = 4x3? Sugerimos que se debata esta secuencia de viñetas en clase para que los alumnos discutan sobre cuándo se dice que se verifica una propiedad, para qué se estudia y se afirma esta propiedad y qué función tiene estudiarla y aprenderla. Ejercicio para el aula: Debatir con los alumnos sobre las siguientes cuestiones, a partir de la viñeta de Quino: ¿Para qué sirven las propiedades de las operaciones? ¿En qué situaciones cotidianas han aplicado alguna propiedad de las operaciones? Otro tema que se suscita a partir de esta historieta es qué significa saber una propiedad. ¿Es saber decirla? (el orden de los factores no altera el producto) ¿Es saber aplicarla? (en lugar de hacer 7x9 recuerdo cuanto es 9x7 y puedo saber el resultado) ¿Es saber utilizarla cuando convenga? De hecho esta viñeta nos ha hecho plantearnos qué función tiene trabajar con las propiedades de las operaciones en la enseñanza de las matemáticas previa al estudio del álgebra. En la tercera viñeta la profesora alaba la respuesta de Manolito, y la pone como ejemplo a sus compañeros. Esto nos trae a colación el papel de las críticas y alabanzas en la enseñanza, y su repercusión en el aprendizaje. Hay corrientes psicológicas que apoyan el empleo de las críticas positivas para reforzar conductas adecuadas, con objeto de estimular al alumno en su aprendizaje. Actualmente se debate sobre si esta alabanza ha llevado a un ensalzamiento excesivo de los alumnos. El papel de los refuerzos en los alumnos es otro elemento de debate que se introduce en esta historieta, y que no vamos a desarrollar. Resumen: . El humor tiene una función intelectual, ya que, de una manera distendida, permite poner en contacto una lógica natural con otros argumentos inesperados. . Hemos mostrado que el humor gráfico permite:  Abrir el debate sobre algunas cuestiones relacionadas con las matemáticas y su enseñanza y aprendizaje. En este capítulo hemos destacado algunas cuestiones que están aun vigentes: o ¿Qué papel desempeña la calculadora en las matemáticas? ¿Cómo incorporarla a la clase de matemáticas? ¿Qué función tiene? o ¿Qué es sumar? ¿De qué formas se puede sumar? ¿Cómo obtener el resultado? o ¿Qué significado tienen las propiedades algebraicas de las operaciones? ¿Para qué y cómo estudiarlas y aprenderlas?  Formarse una idea más completa sobre algunos conceptos matemáticos: o ¿Qué es “tender” cuando se habla de límites? ¿Qué relación tiene con otros significados del término tender? o ¿Qué significa que la multiplicación es conmutativa? o ¿Qué es el infinito? ¿Qué relación hay entre el concepto y su representación? Ejercicios para el aula: IV.1. Analizar las historietas siguientes, indicando las premisas de las que parten las primeras viñetas, las conclusiones naturales de las mismas y las conclusiones que plantean las viñetas. Posteriormente estudiar si hay relación entre las conclusiones y las premisas o el humor consiste en una situación cómica que roza la exageración. Nivel Primaria: Fig 4-22 y 4-25, de Blake Nivel Secundaria: Fig 4-23 de McNelly y 4-24 de Martínmorales IV.2. Analizar las historietas de las figuras 4-24 y 4-25, relacionadas con la propiedad conmutativa, indicando premisas de las que parten, conclusiones naturales de las mismas y conclusiones que plantean las viñetas. Estudiar si hay relación entre las conclusiones y las premisas. Fig 4-22 Fig 4-23 Fig 4-24 Fig 4-25 5. Función Afectiva del Humor El humor empleado con habilidad consigue un clima amable. Vigara Tauste dice: [El humor] Remite generalmente, a un saber compartido y reconocido por los comunicantes sobre el mundo que se inserta en el discurso. Se instaura así entre ambos una especie de acuerdo-cooperación. “El humor es la distancia más corta entre dos personas” Mario Satz, experto en Risoterapia Para que una historieta resulte humorística para alguien, ese alguien tiene que compartir los significados que aparecen en ella, por lo que exige y favorece que exista comunicación con una finalidad lúdica. Por tanto, cuando el otro siente que se está creando una situación cómica, o humorística, se predispone a compartir esa situación, con lo que relaja las defensas y se abre a vivir una experiencia compartida. Freud nos dice que el empleo del humor libera energía, ya que se reemplaza la ansiedad, que está mantenida durante largos períodos de tiempo, por la risa de un momento. El doctor Moody, impulsor de la curación por medio del humor, ha estudiado las relaciones entre humor y salud. Descubre hasta seis significados de la expresión sentido del humor. Se dice que una persona tiene sentido del humor si: 1) “Él entiende lo divertido que soy” 2) Sentido convencional: se ríe con las mismas cosas que otros consideran divertidas 3) Es el “alma del grupo” 4) Tiene sentido creativo 5) Manifiesta sentido deportivo Ejercicio 6) Tiene “perspectiva cósmica” Recordar Los dos primeros indican que hay coincidencia entre el individuo poseedor de este sentido y los demás, el grado de sintonía. Sentido del humor (Moody) 1. Él entiende lo divertido que soy” 2. Identifica lo que otros consideran divertido 3. Es el “Alma del grupo” 4. Tiene disposición para inventar situaciones humorísticas 5. Se toma la vida con deportividad 6. Tiene disposición a distanciarse de los problemas para afrontarlos a una persona de la que se puede decir que tiene sentido del humor. Analizar las razones que os llevan a asignarle esta calificación positiva Los tres últimos señalan una actitud ante el mundo: es capaz de distanciarse de los acontecimientos para afrontarlos con buena disposición. Los humoristas son personas que tienen un sentido del humor creativo, deportivo y con Fig 5-1 perspectiva cósmica, es decir, pueden ver la realidad desde una perspectiva alterada, exagerada, haciendo abstracción de algunos acontecimientos para buscar similitudes con otros, pero permaneciendo en contacto de forma positiva y emocional con los demás. Si además tienen disposición para crear imágenes que evocan en los demás esa forma distorsionada pero real, y de mostrar que esa es su actitud dominante, habrán conseguido compartir su visión desenfadada, pero al mismo tiempo positiva del mundo y la humanidad. El autor de la viñeta de la figura 5-1 ha creado una imagen visual de la realidad, basándose en las primeras destrezas numéricas de los niños, con lo que genera una expresión deformada, pero que despierta la sonrisa. El humor facilita la comunicación en el aula Las cualidades del humor que hemos descrito nos permiten decir que el humor facilita la comunicación, de manera distendida, ya que hace alejarse de los acontecimientos inmediatos mostrando su generalidad. Gracias a ello el sujeto que vive ese acontecimiento se siente cómplice de la humanidad, y con ello rompe su sentido de soledad. Frato retrata esta función del humor de manera magistral en la historieta de la figura 5-2. Los profesores se sienten cómplices de la visión humorística del autor. Pero ¡atención!, también pueden sentirse objeto de ella, y en ese momento se rompe la coordinación de intenciones. El humor facilita la comunicación en el aula Y es que la función afectiva del humor puede no ser siempre positiva, es decir, el humor puede generar tensiones si el interlocutor siente que se está ironizando sobre su actuación. Fig 5-2 Ya hemos comentado que “los chistes matemáticos” pueden generar más una ruptura de la comunicación que una comunicación real. Y es que para que exista comunicación tiene que haber un mundo y un lenguaje común. No se trata de que el profesor altere su mundo para sumergirse en el mundo del alumno como ocurre en la figura 5-3. Se trata de tener una buena disposición a mirar con ojos humorísticos los acontecimientos. La comunicación es un elemento Fig 5-3 importante de la enseñanza. El profesor tiene que transmitir al alumno todo un mundo de conocimientos, procedimientos y actitudes, y esta transmisión tiene que basarse en que existe una disposición adecuada por parte del alumno. Pues bien, el humor puede facilitar la creación de un ambiente en el que exista comunicación, tratando de generar un clima de confianza entre profesor y alumno. Confianza en que se va a utilizar un lenguaje común, en que van a prevalecer las intenciones comunicadoras sobre las distanciadoras, y que no se va a hacer uso de las diferencias para herir, como sienten los alumnos algunas veces (figura 5-4). El humor puede contribuir a crear esta confianza. Fig 5-4 La relación didáctica que se da en la enseñanza obligatoria se ve influenciada por el hecho de que los alumnos son adolescentes. La ironía, o el destacar los errores que cometen los alumnos, pueden resultar contradictorio con la intención comunicativa. Esta situación se puede ver agravada si se busca la complicidad de los compañeros para realzar lo risible de la situación generada. Por tanto, en línea con la llamada anterior, hay que ser conscientes de que el humor puede también afectar negativamente al alumno, si se ve reflejado en una situación que despierta risa, a menos que sienta que todos somos susceptibles de ello. Fig 5-5 Las famosas “antologías del disparate” muestran errores de los alumnos en los exámenes y en situaciones escolares. Despiertan la risa de los “conocedores” de la “respuesta correcta”. Pero desde luego generan sentido de ridículo y sentimientos negativos en los que han caído en esos errores, que “todos” los demás reconocen, y de los que se mofan. En la viñeta 5-5, el alumno demuestra la lógica cotidiana de los enunciados de los problemas del examen (poner nombre a los polígonos), con lo que nos llama la atención a los profesores sobre las características de la terminología escolar. Su crítica implícita podría herirnos, aunque los profesores somos personas adultas que no estamos formando nuestra autoestima en la relación didáctica. Hemos destacado, por tanto la función afectiva del humor, para que seamos conscientes de que puede tener influencias positivas y negativas en la enseñanza. Si queremos extraer del humor sus cualidades didácticas, tenemos que hacer uso de las que facilitan la comunicación, cuidando en no caer en situaciones que la entorpezcan. Los chistes y el humor gráfico pueden facilitar la comunicación de manera evidente, si conseguimos con ellos amenizar la relación didáctica. Pero eso no significa que los profesores debamos ser humoristas. Se trata de realizar tareas que estén al alcance de todos los que estén dispuestos a dedicar un tiempo a fortalecer las relaciones de comunicación en el aula. El humor permite distender el ambiente Hay una gran cantidad de chistes y viñetas gráficas que despiertan la sonrisa inmediata de quien las recibe o lee. Un ejemplo de éstas es la adjunta, de Geluck (figura 5-6). El personaje del Gato filósofo suele aparecer en situaciones que exigen una disposición y unos conocimientos para interpretarlos. Pero en general presenta alguna chispa que a veces salta en una historieta como ésta, de una sola viñeta. Independientemente de la utilización didáctica que se pueda hacer de la misma (¿qué porción de creencia, o de cerebro se pone en juego?) el juego verbal despertará la sonrisa de todo aquel que identifique 50% con “a medias”. Rozando la astracanada, el dibujo de Vera d’Augusta, en El País Semanal, que acompañó al artículo de Pablo Carbonell sobre el Teorema de Pitagol (figura 5-7), despierta la sonrisa de aquellos en los que evoca el famoso teorema de Pitágoras. Aparecen ángulos rectos por todas partes, Fig 5-6 Fig 5-7 (como no podría ser menos en un campo de fútbol), y sugiere las líneas que dibujan en la pizarra los profesores de matemáticas. Aunque su autor no tuvo intención de hacer un chiste, su viñeta es suficientemente sugerente para que pueda ejemplificar el papel amenizador del humor. Fig 5-8 El humor manifiesta sentimientos. En la historieta de Quino (figura 5-8) se muestra el estado de humor que atraviesa Felipe cuando observa el papel de los números en la sociedad. Los números dominan al pobre Felipe, que por otra parte se deja dominar fácilmente por tantas situaciones y personas. Con estas viñetas se trata de evitar que los números sean seres que nos persiguen, como muestra Elisabeth Marie en la figura 5-9, en la que Le Monde de l’Education ha querido mostrar el papel que, con demasiada frecuencia, ha jugado la matemática en la enseñanza. Fig 5-9 - Jugar con formas Hay toda una serie de viñetas del genial John Hart sobre las ruedas que debería ocupar una plaza central en el aula de matemáticas. Nos sitúa Hart en el nacimiento de la humanidad, el personaje se llama BC, Before Christ, y por tanto aun no se han producido los grandes descubrimientos. La rueda fue uno de los descubrimientos más importantes. BC la va descubriendo de manera progresiva, y justifica sus avances, basándose en las propiedades de las figuras. La rueda cuadrada impide que el vehículo ruede hacia atrás en las cuestas (figura 5-10), la triangular da un salto menos (figura 5-11), etc. Esta serie antológica puede usarse para la enseñanza de las propiedades de las figuras geométricas, favoreciendo una relación distendida con las matemáticas. Fig 5-10 Fig 5-12 Fig 5-11 Fig 5-13 Ejercicios para el aula 1) Empleando las viñetas, analizar las cualidades que tiene que tener un cuerpo para poder rodar. 2) Analizar la función que tienen los radios de una rueda y qué significan geométricamente (posición, longitud, etc.) Como se observa en esta serie de chistes, las cualidades matemáticas de las formas puede emplearse con fines humorísticos, pero no por ello desprovistos de significación matemática. Estos chistes pueden utilizarse en la introducción de conceptos geométricos, lo que nos lleva a caracterizar los polígonos por su forma y por la repercusión que tiene esa forma para su utilización práctica. Estudiar las características que tiene que tener una rueda nos da pie para introducir la fenomenología de la circunferencia: cualidades que permiten el giro (tiene infinitos ejes de simetría, es invariante respecto a cualquier giro alrededor de su centro, etc.). Los chistes de BC tienen la particularidad de presentar a BC “inventando” utensilios actuales de forma incipiente. Ello nos da la oportunidad de sugerir a los alumnos que ilustren humorísticamente otros inventos, basándose en algunas cualidades de lo inventado, sin tener pretensiones eruditas. Con ello estamos favoreciendo el desarrollo de la creatividad en un clima distendido, facilitando además que el alumno se relacione en el aula con el humor. Fig 5-14 Si revisar los inventos es una fuente de humor y de creatividad, también lo es el cambiar las formas del entorno, analizando sus consecuencias, como en la figura 5-14, de Johnn Long, en la que se propone complicar un poco el basket, dada la cantidad de puntos que se suelen conseguir en cada partido. Esta situación nos permite estudiar las cualidades de las formas de manera distendida, pero pudiendo llegar a los límites que permita la audiencia y la propia inventiva e investigación geométrica del profesor, como Thaves en la figura 5-15.. Ejercicio para el aula A partir de la viñeta de la figura 5-14, analizar las consecuencias de jugar al baloncesto con un balón cúbico y un hueco cuadrado (dimensiones, botes, posición respectiva, etc.) Fig 5-15 - Jugar con palabras El juego comunicativo lúdico, que hemos visto que Hart establece con las formas, puede extenderse a otras manifestaciones. En el humor se requiere el manejo de un vocabulario amplio, reconociendo diferentes sentidos a las palabras. Pero además permite inventar palabras, inventar situaciones en las que aplicarlas, etc. Proponemos algunos juegos con palabras que pueden ayudar a que el alumno se relacione con el lenguaje de manera distendida, ganando vocabulario y precisión. Hay muchas palabras que se emplean en matemáticas con un sentido, pero que tiene otro sentido en el lenguaje cotidiano, como por ejemplo límite, derivada, primitiva, etc. El empleo simultáneo de los sentidos matemático y cotidiano puede dar lugar a situaciones humorísticas que ponen de manifiesto esta diferencia. La primera condición para ello es aceptar que algunos términos matemáticos son, al menos, chocantes, tal como muestra Thaves en la figura 5-16. Fig 5-16 Así parecen entenderlo José Gordo y Pau Estrada, en el libro de texto Factor-2, en el que acompañan los temas El humor permite establecer una relación afectiva con el lenguaje con viñetas humorísticas de creación propia, algunas de las cuales aparecen en las figuras 5-17 y 5-18. Fig 5-17 Fig 5-18 Siguiendo este modelo, podemos proponer a los alumnos que inventen chistes a partir de palabras que tengan distinto sentido en matemáticas y en el lenguaje cotidiano, como círculo (de amigos, de socios, frente a superficie interior de la circunferencia), integral (completa, que abarca el todo, frente a primitiva de una función), cateto (de pueblo frente a lado de un triángulo rectángulo). Para ello se pueden presentar ejemplos, como los de las viñetas de las figuras 519, 5-20 de Bonet y 5-21 de Perich, relacionados con los números primos. Fig 5-19 Ejercicio para el aula Inventar chistes que utilicen las siguientes palabras, mostrando el sentido que se le atribuye en le lenguaje cotidiano y en el matemático: - Límite (aproximación / cota) - Círculo (figura / asociación) - Cateto (lado / de pueblo) - Primo (número / pariente) Fig 5-21 Fig 5-20 En algunos de los términos presentados están relacionados sus significados matemático y cotidiano. Bien de manera evidente (asociativa y asociar, por ejemplo), o porque han adquirido un uso cotidiano a partir de su creación en matemáticas (línea, círculo, etc.). En la mayoría de los casos la matemática ha recurrido a los términos cotidianos para nombrar nuevos conceptos (números felices, grandes números, etc.). Para aprender matemáticas hay que manejar un vocabulario amplio, y saber emplearlo cuando sea preciso. Se puede aprovechar la función lúdica que el humor hace del lenguaje para que los alumnos se relacionen de manera más significativa y fundamentada con el lenguaje matemático y cotidiano. Un buen ejercicio consiste en buscar expresiones y términos matemáticos derivados o relacionados con términos de uso cotidiano y estudiar los significados y la forma en que se relacionan. Ejercicio para el aula 1) Buscar términos que se emplean en matemáticas y en la vida cotidiana y tratar de relacionar los significados que se le atribuyen en uno y otro, como por ejemplo: Asociativa (derivado de asociar; en matemáticas una operación es asociativa si se obtiene el mismo resultado realizando la operación asociando los números de cualquier manera) 2) Inventar una viñeta en la que se relacione la propiedad asociativa de la suma con la asociación de números. 3) Hacer lo mismo con otros términos (Polígono de viviendas, cuadrar una cuenta, etc.) El magnífico libro de Pimm (1990), en el que se analiza la relación entre matemáticas y lenguaje, permite ampliar este repertorio de actividades, para jugar con las palabras de manera lúdica, empleando para ello el humor en un sentido amplio. Un error frecuente entre alumnos es hablar de recta cuando están pensando en resta. Como éste, hay otros usos de palabras que tienen fonética parecida pero significado distinto (intersección e intercesión, por ejemplo). Esta coincidencia se presta también al humor, lo que permite inventar chistes con palabras que tengan coincidencia fonética pero no conceptual. No es bueno que en un examen de matemáticas se “interceda” en lugar de “intersecar”. Se suele producir pena, pero no se obtienen conjuntos Ejercicio para el aula 1) Inventar un chiste en el que se relacione la resta de números con la línea recta. (Por ejemplo: El camino más corto para llegar a fin de mes sin un euro es la línea resta) 2) Buscar un dibujo para representar el chiste inventado. En todas estas actividades hacemos que los alumnos utilicen el lenguaje matemático, que aprendan vocabulario y revisen los conceptos, y todo ello de manera lúdica. De esta forma se promueve un buen clima de comunicación, ya que se relativiza el papel de la equivocación (la “recta” de 5 y 3 es 2), sin condenarla, y sin quitarle importancia (da igual, te entiendo). El humor permite afrontar de manera “deportiva” que todos nos equivocamos, y que, para evitarlo, hay que profundizar en el significado de los términos, pero de manera relajada. Sugerimos recurrir al Diccionario de José Luis Coll, (1975) para inspirarse en la creación de términos que encierren conceptos matemáticos y sus acepciones cotidianas. (Kilomuerto: un difunto que mide mil metros de longitud. Coll, 1975, p. 113). El clásico Teorema del Punto Fig 5-22 Gordo (“Por un punto exterior a una recta pueden pasar tantas rectas como permita el tamaño del punto”) nos sugiere que se pueden inventar términos, definiciones o teoremas, con intención humorística. En la viñeta 5-22 Forges establece su Teorema de Pitágoras de la audiencia, basado en el enunciado escolar clásico (“el cuadrado de la hipotenusa ...”). Recordemos de nuevo el Teorema de Pitagol de Pablo Carbonell, para ayudar a los alumnos a que inventen otros teoremas. Esta actividad va a permitir que se pongan de manifiesto las concepciones que tienen los alumnos sobre determinados conceptos (no es sencillo el concepto de punto), favoreciendo que se las cuestionen cuando aparecen en situaciones humorísticas. Ejercicio para el aula 1) Buscar un dibujo que represente de manera humorística el Teorema del Punto Gordo. 2) A partir de un resultado matemático escolar clásico (“el orden de los factores no cambia el producto”, por ejemplo), enunciar un nuevo teorema y escenificarlo con una historieta. Hay toda una serie de chistes matemáticos clásicos, de palabras, que se pueden ampliar para jugar con los términos de manera lúdica, y de esta forma facilitar la comunicación positiva en clase. El primero de la serie es aquel que dice: - ¿Cuál es el animal que tiene entre 3 y 4 ojos?. El piojo. Fig 5-23 En esta frase se está poniendo de manifiesto el abuso de lenguaje que cometemos en matemáticas al leer el producto de dos expresiones como si fueran palabra consecutivas (dos equis), que en el lenguaje oral se lee igual que sílabas consecutivas de la misma palabra (dosequis). Además se utiliza el término PI como la constante que representamos con la letra griega del mismo nombre. En la viñeta 5-23 hemos tratado de reflejar de manera gráfica esta ocurrencia verbal. Sugerimos como ejercicio buscar otros términos similares y crear chistes (frase, dibujo, dialogo, etc.). Para animar a los alumnos se pueden emplear algunas ideas, que Melchor Gómez ha convertido en las figuras 5-24 y 5-25. Ejercicios para el aula 1) Buscar palabras que se compongan de PI y algo con sentido (como Pi ojo). 2) Enunciar una pregunta y redactar su respuesta, para hacer un chiste similar a los anteriores 3) Sugerir la imagen que debería acompañar a estos chistes Fig 5-24 Fig 5-25 - Jugar con las gráficas De la misma forma que se pueden tomar las palabras y las formas como sujetos de chanza creativa, los elementos matemáticos pueden servir para jugar y alterar creativamente. Las gráficas se prestan a interpretación lúdica, e incluso crítica. En la figura 4-8, José Gordo y Pau Estrada, en Factor-2, bromean sobre la forma de las gráficas. Fig 5-26 Adornar las gráficas permite identificar los elementos notables de las mismas. Todos recordamos la famosa regla mnemotécnica que permite decir que una función es convexa cuando en ella se puede dar un beso (con beso), tal como aparece en la figura 526. Cierto es que la regla sólo sirve si se recuerda desde dónde se puede dar el beso (actualmente se prefiere caracterizar la curvatura indicando desde dónde se mira). Jean-Pierre Pétit, en el Géometricon, hace una representación alegórica a la forma de las curvas digna de resaltarse (Figura 5-27). Fig 5-27 Un error bastante extendido consiste en confundir las gráficas de las funciones con las trayectorias. Así, por ejemplo, se suele confundir la trayectoria que sigue una pelota que se lanza hacia arriba con la gráfica de la función espacio/tiempo del movimiento uniformemente acelerado que rige su trayectoria. En este caso la confusión es mayor, ya que se puede identificar la trayectoria con una parábola, que es a su vez la gráfica de la función de segundo grado, y la función del movimiento uniformemente acelerado que lleva es una función cuadrática. El juego con las gráficas puede ayudarnos, por ejemplo, a diferenciar “trayectoria” y “función”, sin más que buscar dibujos que establezcan esta diferencia. Ejercicio para el aula Adornar gráficas de las funciones elementales con dibujos alegóricos a los puntos y regiones que aparecen en ellas (por ejemplo, la cuadrática con un coche sobre el vértice, la función inversa con un móvil en la proximidad a la discontinuidad, etc.) En las gráficas estadísticas se suelen emplear dibujos para construir los pictogramas. Pero también cabe hacer dibujos alegóricos más imaginativos, con idea lúdica, como hace Frato en la figura 5-28 (Estadística de las meriendas). Fig 5-28 Ejercicio para el aula Buscar diagramas estadísticos en los medios de comunicación y transformarlos en diagramas con objetos, tratando de que la representación sea alegórica al fenómeno que se está estudiando Soria, en la figura 5-29 aparecida en el diario IDEAL de Granada, destaca el papel preponderante que juegan los “servicios” en la vida granadina. Para elaborar el chiste emplea el término servicio en dos sentidos: escatológico y socieconómico. Fig 5-29 También se puede jugar con los signos matemáticos. De nuevo José Gordo y Pau Estrada, en Factor-2 dibujan alegorías a los signos del análisis de manera jocosa, invitando a que los alumnos ejerciten su creatividad inventando nuevas escenas (figuras 5-30 y 5-31). Fig 5-30 Fig 5-31 Calvin, en las historietas de Bill Watterson, es un especialista en buscar alegorías de los números, tal como aparece en esta de la figura 5-32. Fig 5-32 Resumen El humor permite crear un clima agradable en clase, ya que para que exista humor tiene que haber significados comunes entre los interlocutores. El humor ayuda a establecer la comunicación en el aula. Se puede utilizar el humor para crear ese clima amable, generando situaciones que estimulen la creatividad de los alumnos: - Jugando con palabras (significados y sonidos) - Jugando con formas - Jugando con los elementos matemáticos (gráficas, símbolos, etc.) Ejercicios para el aula V.1. Buscar términos del lenguaje cotidiano que se utilicen en matemáticas. Buscar en el diccionario los significados de esos términos. Inventar enunciados de chistes que contengan a esos términos. Diseñar y dibujar una situación en la que se representen estos enunciados. V.2. Diseña un dibujo para escenificar el siguiente chiste verbal de Juan Carlos Contreras: Es falso el rumor sobre los números primos. Su producto no da como resultado un número tonto. V.3. Repasar un texto de Antología del Disparate y buscar las definiciones o propiedades matemáticas que aparezcan, como por ejemplo: Polígono es un señor que se ha casado con varias mujeres. Buscar la lógica que ha llevado a responder de esa manera. Representar la situación con un dibujo. V.4. Analizar las relaciones entre los números y los términos cotidianos que emplean Millás y Forges en la siguiente canción: El 1 es único. El 6 es puntual. El 2 es dual. El 7 tiene magia. El 3 es trifásico. El 8 es colosal. El 4 no está mal. El 9 me lo callo El 5 anda torcido. Y el 10 es decimal. Millás y Forges (2001). Números pares, impares e idiotas. Barcelona, Alba Editorial. 6. Función Pedagógica 1 Aunque ya hemos destacado aspectos del humor que pueden facilitar la enseñanza de las matemáticas (elementos cognitivos, §4, y afectivos §5), en esta parte del libro vamos a centrarnos en funciones puramente didácticas. Para ello vamos a indicar algunas actividades que se pueden hacer en el aula, para que los alumnos utilicen, desarrollen, recuerden, refuercen, descubran, comprendan, etc., conceptos matemáticos. Supongamos que tenemos que enseñar un concepto matemático, como por ejemplo los relacionados con el álgebra elemental (ecuaciones, lenguaje algebraico y problemas relacionados con ello). ¿Qué tareas pueden facilitarnos su enseñanza? Luis Rico ha analizado los referentes que el profesor tiene que tener en cuenta al diseñar una unidad didáctica para enseñar un contenido matemático, llegando a establecer unos organizadores curriculares que permiten analizar distintos aspectos del contenido. En esta sección del libro vamos a utilizar los organizadores didácticos para analizar la función pedagógica del humor en el aula de matemáticas. Organizadores (Rico, 1997) Curriculares - Fenomenología del concepto - Errores y dificultades - Representaciones y modelos - Materiales didácticos - Historia de los conceptos Si queremos que el álgebra sea significativa para los alumnos, tenemos que buscar fenómenos de la vida cotidiana y de la ciencia en los que se vea la utilidad del álgebra. Para ello podemos usar algunas situaciones particulares, o bien analizar de manera sistemática el significado del álgebra elemental y asociarla a los tipos de fenómenos a los que se aplica. De ello se encarga la fenomenología didáctica, desarrollada especialmente por Freudenthal en la Educación Matemática. Pues bien, el humor nos va a ayudar en este trabajo, ya que el humor emplea situaciones cotidianas y/o científicas, en algunas de las cuales se emplea el álgebra. Nuestra experiencia como profesores nos ha suministrado toda una colección de errores que suelen cometer los alumnos cuando aprenden álgebra (no tener en cuenta el signo menos delante de un paréntesis, despejar cambiando de signo aunque esté multiplicando, no saber resolver ecuaciones cuando la incógnita no es la x, etc.). Estos errores y dificultades que hemos recopilado empíricamente nos ayudan al preparar la clase, aunque no siempre podemos lograr que los alumnos no los cometan. En cualquier caso, analizar los posibles errores y dificultades que tienen los alumnos al aprender un concepto es una ayuda para el profesor. El conocerlos permite entender la forma en que los alumnos aprenden. El humor gráfico nos puede ayudar haciéndonos ver situaciones de error y dándonos sugerencias para proponer tareas para la enseñanza. Los conceptos matemáticos son abstractos, aunque en el entorno podemos ver manifestaciones y fenómenos que nos los sugieren. Podemos percibir el número 2 viendo los ojos de una persona, pero no podemos “ver” sino intuir una recta, ya que no podemos asegurar que será recto un hilo tenso, y además este hilo tiene una dimensión mayor a 1. Para manejar los conceptos matemáticos recurrimos a representaciones de los mismos. Para aprender un concepto hay que manejar con soltura varias de sus representaciones y ser consciente de que ninguna de ellas es el concepto. El humor gráfico nos permite analizar algunas representaciones de los conceptos, y realizar tareas para que los alumnos las manejen y sean conscientes de ellas. La enseñanza se vale de recursos y materiales didácticos. El argumento fundamental de este libro es que el humor gráfico es un recurso para el aula de matemáticas. Trataremos de explotar y fundamentar este argumento. Pero además, veremos como los chistes gráficos nos pueden ayudar a analizar el papel que juegan los materiales en la enseñanza de las matemáticas. De hecho ya hemos mostrado en el capítulo 5, como el humor gráfico permite hacer reflexiones didácticas calculadoras en el aula. sobre el papel de Claudi Alsina y Miguel de Guzmán escribieron un delicioso texto en 1996, en el que destacaban que Los matemáticos no son gente seria (figura 6-1). Según los autores, su intención al recoger anécdotas de matemáticos era humanizar la ciencia. Se trataba de mostrar que los conceptos no derivan de la frialdad de un libro, sino de la humanidad de las personas que los construyen, descubren, inventan, etc. La historia de los conceptos ayuda a humanizarlos, dándole cuerpo a los nombres que vemos a menudo en los libros de matemáticas. las Fig 6-1 Luis Rico considera que la historia de los conceptos puede ayudar al profesor a organizar su enseñanza, fijándose en aquellos aspectos que han sido conflictivos a lo largo de la historia, en las situaciones que los generaron, etc. Junto con los aspectos históricos, nosotros vamos a destacar aspectos epistemológicos (qué es la matemática, cuál es la verdad de los teoremas matemáticos, etc.), ayudándonos de chistes. Un autor como Thaves ha realizado toda una serie de chistes sobre las matemáticas en la Creación del Mundo, que nos hacen cuestionarnos sobre el origen de los conocimientos matemáticos, y su relación con el mundo físico. En este capítulo vamos a mirar el humor con ojos matemáticos, partiendo para ello de una premisa: hay matemáticas en el lenguaje gráfico humorístico. En el siguiente (§7) aprovecharemos el contenido de los chistes para que los alumnos aprendan algunos conceptos. Posteriormente nos detendremos en los aspectos cognitivos de los conceptos matemáticos, empleando para ello el §6. Humor y fenomenología 1 (Matemáticas en el lenguaje gráfico) §7. Humor y fenomenología 2 (Aprender matemáticas con el humor) §8. Humor y aspectos cognitivos 1: Errores y dificultades §9. Humor y aspectos cognitivos 2: Representaciones y modelos §10. Humor como recurso didáctico y humor sobre materiales didácticos §11. Humor e historia de las matemáticas. Humor y epistemología de las matemáticas §12. Humor para interpretar el currículo humor, es decir, el humor para descubrir y utilizar errores y dificultades de aprendizaje de los alumnos (§8), y para destacar las representaciones y modelos que se suelen emplear para trabajar con los conceptos matemáticos (§9). Tratar el papel del humor como recurso didáctico nos llevará todo el capítulo 10, y el 11 lo dedicaremos a la historia y la epistemología de las matemáticas. Para acabar, haremos un resumen de la utilización del humor, partiendo del supuesto de que tenemos que enseñar un contenido curricular del Decreto de Matemáticas de Secundaria. Fenomenología y humor o mirar el humor con ojos matemáticos Mirar el humor con ojos matemáticos consiste en utilizar las matemáticas cuando se escuchan, miran, cuentan, etc., chistes. No se trata de destrozar los chistes, sino de sacarles partido (figura 6-2). Fig 6-2 Este libro no hubiera aparecido si el autor no tuviera disposición a ver el humor con ojos matemáticos, o a ver las matemáticas con ojos humorísticos. Los TBOs de mi infancia, el humor que tuvo tanta importancia en la transición española, junto con el auge que ha tomado el lenguaje de los cómics, nos aportan suficiente energía para ver que el humor está en todas las manifestaciones de la vida, y que, también, tiene contacto con las matemáticas. De este interés surgió la primera colección de chistes matemáticos, que, el grupo LaX (llamado así por la importancia de la letra x en las matemáticas, pero también por reunirse en un bar sueco que tiene este nombre LAX –salmón), convertida en exposición, se ha encargado de llevar por diversos Congresos de Educación Matemática. Ahora bien, ¿qué entendemos por chistes matemáticos? ¿Es importante diferenciar los chistes que tienen relación con las matemáticas? Nuestra disposición hacia el humor, junto Características de los chistes matemáticos (LaX) con la inclinación profesional hacia las matemáticas educativas, nos lleva a ver 1.Utilizan la palabra “matemáticas” o matemáticas en chistes que para otros derivadas pueden estar muy alejados. Esto nos ha 2.Emplean términos matemáticos obligado a definir unas cualidades que (números, figuras, gráficos, signos) deben reunir los chistes para entrar en 3. Presenta situaciones resolubles con nuestra colección, que ya tiene cerca de 900 matemáticas ejemplares. Como se ve en ellas, la 4.Tratan la enseñanza de interpretación puede ser muy amplia. Hemos matemáticas puesto algunas restricciones, como que los chistes traten con números, no sólo con cantidades, o con figuras geométricas, pero no sólo con formas (todo tiene forma), etc. Aunque las matemáticas están en todas partes, no todos los chistes tratan de matemáticas, y es importante que vayamos delimitando lo que vamos a llamar chistes matemáticos. Esta delimitación es útil para la colección, dentro de la que hay buenos chistes, chistes malos, y malos chistes; chistes bien y mal intencionados, y sobre todo útiles e inútiles para la enseñanza de las matemáticas. Es decir, los chistes matemáticos no tienen por que ser los únicos ni los mejores para emplear en la enseñanza de las matemáticas, aunque muchos de ellos pueden ser una buena ayuda. Por tanto, en este libro proponemos emplear chistes que ayuden en la enseñanza de las matemáticas, aunque no sean considerados chistes matemáticos, y por tanto no aparezcan en nuestra colección. El hecho es que las matemáticas aparecen en el humor gráfico (chistes matemáticos), pero también que el humor gráfico es un recurso para la enseñanza de las matemáticas. Vamos a presentar algunas situaciones humorísticas que se pueden mirar con ojos matemáticos, y como tales, utilizarse en la enseñanza de las matemáticas. En este libro estamos hablando del humor gráfico, que reúne las cualidades de presentar un mensaje humorístico, empleando para ello recursos gráficos. El primer análisis matemático que podemos hacer de los chistes se refiere a la forma gráfica de expresión. Es innegable el valor informativo que tiene la expresión gráfica secuencial para transmitir ideas, en general, y por tanto para transmitir matemáticas. En las Jornadas que organizó la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas, sobre Materiales para la Enseñanza de las Matemáticas hicimos alusión a la riqueza que tenía el cómic y la historieta para la enseñanza de las matemáticas. Álbumes como los de Jean Pierre Petit, Iam Stewart, etc., así como la Historia de las Matemáticas en Cómic (Carlaville y Fernández, 1988), editada por la Consejería de Educación de Castilla la Mancha, la Estadística en Cómic (Gonick y Smith, 1993), etc., son exponentes de la riqueza didáctica de la historieta gráfica para la divulgación y enseñanza de la Fig 6-3 matemática. Pero la lista de textos se amplia con otros autores que emplean elementos matemáticos en su trabajo, como la serie de álbumes de Luc y François Shuiten sobre las Tierras Huecas (Norma, números 10 y 17, en la figura 6-3 una viñeta de Zara), o los trabajos que François Shuiten ha compartido con Benoit Peeters sobre las ciudades oscuras (editados en Norma y Eurocomic). Will Eisner, famoso dibujante, autor de las historietas de Spirit, es, sobre todo, un estudioso de la historieta gráfica. Según Eisner, para contar una historieta gráfica se emplean una diversidad de recursos que se relacionan con varias disciplinas y perspectivas. Vamos a detenernos por ahora en las matemáticas en el lenguaje gráfico, y luego veremos las matemáticas en el texto. 6.1. Función Pedagógica: Fenomenología: Matemáticas en el lenguaje gráfico Para mostrar la riqueza matemática que presenta el humor gráfico, vamos a hacer una lectura matemática de dos autores. El citado Will Eisner, quien ha escrito dos textos, editados por Norma, en los que se recopilan sus cursos de Arte Secuencial. El primero (Eisner, W. (1996), El cómic y el arte secuencial, Barcelona, Norma) se ocupa de todo el lenguaje del Cómic. En el segundo se centra en la historia que se relata (Eisner, W. (1998). La narración gráfica, Barcelona, Norma.). Scott McCloud, es un autor más joven, inspirado por Eisner, como él mismo confiesa, que ha hecho un análisis del cómic, empleando para ello el lenguaje de los cómics, en el libro: McCloud, S. (1995). Cómo se hace un cómic. Barcelona, Ediciones B. Estos autores nos hacen ver que el lenguaje de los cómic requiere una participación de los Matemáticas en el lenguaje gráfico: lectores. Para llegar a esta participación tienen a) Secuencia de viñetas que poner en juego algunas destrezas que están b) Lenguaje de formas de cerrados y globos relacionadas con los aprendizajes matemáticos. c) La perspectiva en la viñeta Si hacemos uso de esas destrezas, las ejercitamos en nuestros alumnos, se las destacamos como habilidades matemáticas, habremos ayudado a que tengan una mejor relación con las matemáticas, y con el lenguaje gráfico, empleando para ello un medio que suele ser bien aceptado por los jóvenes. a) Secuencia de viñetas: Una historieta gráfica se compone de viñetas, cada una de las cuales representa un solo momento en el tiempo. Para seguir la Ejercicio para el aula: historia hay que contemplar las viñetas en un orden Analizar la secuencia de determinado. viñetas que propone El orden de lectura de un cómic es completamente convencional, pero asumido (al menos en nuestro Watterson en la historieta de la figura 5-32 mundo occidental), siguiendo el mismo camino que la escritura. Se suele leer de izquierda a derecha, de arriba abajo. McCloud, recordando los jeroglíficos egipcios como precursores de los cómic, nos indica que en ellos el orden de lectura es el inverso. Fig 6-4 Sin embargo, a diferencia de la escritura, el arte secuencial se presta mucho más a la trasgresión, y una de las formas de trasgredir es alterar el orden de lectura. Will Watterson suele alterar el orden, especialmente cuando su personaje, Calvin, elucubra (ver figura 5-32). John Hart, también emplea recursos del lenguaje visual para sus historietas. En la historieta de la figura 6-4 se sigue un orden convencional, pero las viñetas ocupan distintas filas y columnas, con lo que consigue reducir el espacio de la historieta, adaptándolo al formato del libro. El aprendizaje de convenciones gráficas, junto con la orientación temporal y espacial son objetivos actuales de la enseñanza de las matemáticas. Por ello podemos proponer tareas de ordenación tiempo-espacial de viñetas para configurar una acción y una historieta gráfica. Fig 6-5 Ejercicio: 1) Separar las viñetas de la historieta de la figura 6-5. 2) Organizar una secuencia, según el movimiento que lleva el gatito alrededor de la bolsa. 3) Identificar el sentido de lectura que propone el autor. 4) Estudiar si se puede leer con otro sentido, y cómo cambia la historia al hacerlo. b) Lenguaje de formas de cerrados y globos: Se llama cerrado de una viñeta al Fig 6-6: Formas de recuadro en que se inserta. En el significado (Eisner) lenguaje de los cómic se llama globo o bocadillo al espacio que rodea al texto. La forma y líneas de los cerrados y A globos interesan para interpretar con más riqueza el mensaje que el autor pretende transmitir. Los Currículos de C Matemáticas de Educación Primaria y Secundaria proponen que se realicen tareas en las que se promueva que los alumnos se ejerciten en la identificación A: Acción en presente Pasado e interpretaciones de formas. Por medio B: C: Pasado o pensamiento de historias gráficas vamos a poner D: Emoción ejemplos de estas tareas, basadas en identificar las formas e interpretar su Fig 6-7 papel en la comunicación humorística. Para McCloud, como para Eisner, el cerrado puede ser usado con una intención de comunicación no verbal dentro de la historieta. Eisner hace todo un desarrollo sobre el significado de los cerrados (figura 6-6). Nosotros nos vamos a quedar con dos aspectos referidos al cerrado: su existencia y su forma. Son muchos los autores de chistes que no emplean cerrados. Frato, por ejemplo, presenta sus historietas sin separadores ni limitadores de acción (Figura 6-7). Watterson suele intercalar viñetas sin cerrado entre cerrados perfectamente los B D cerrados y rectangulares (figura 5-32). Parece que es un recurso estilístico. John Hart introduce la forma redonda u ovalada en muchas de sus historietas, ocupando una posición central, como se ve en la figura 6-8. Fig 6-8 Fig 6-9 Bil Keane suele utilizar cerrados redondos de una sola viñeta, tal como se observa en la figura 6-9. Fig 6-11 Fig 6-10 Formas de los globos y significado (McCloud, 1995) También la forma de los información (Figura 6-10). diversos tic. Así existen emplean línea divisoria de Chúmez (figura 6-11). globos trata de transmitir En el humor gráfico hay muchos autores que no los globos, como Chumy- Fig 6-12 Quino emplea estos recursos para situarnos en la acción. Así, en una viñeta de la historieta de la figura 6-12, Mafalda se enfada, y para mostrarlo, el autor Fig 6-13 utiliza una forma estrellada de globo. Fig 6-14 En la figura 6-13, Quino emplea el tamaño del globo para transmitirnos información y el sentimiento de opresión que experimenta Mafalda. Frato suele emplear las formas tradicionales, pero también se permite el empleo de nuevas formas para sugerir sentimientos, como en la viñeta de la figura 6-14. En ella se ve reflejado el problema en la forma del globo, acompañado del goteo-tortura, que deriva de ella. La metáfora en este caso es muy expresiva. Ejercicio para el aula Identificar la forma de los globos y su función en la historieta de la figura 6-15, de Quino. Fig 6-15 McCloud nos llama también la atención sobre las líneas y sus formas. Tal como se aprecia en la figura 6-16, McCloud diferencia formas de líneas de dibujo como algo que los autores emplean de manera intencional. En los chistes de Forges las líneas de los globos suelen tener una anchura considerable, determinando una forma ovalada. (figura 6-17) En la viñeta de Azzolino de la figura 6-18, se puede ver como el autor resume una historieta en una viñeta, utilizando para ello un globo con distintos niveles. Estos niveles se corresponden entre sí en los dos interlocutores para dar sensación de dialogo. Fig 6-17 Fig 6-18 Fig 6-16 Fig 6-19 Ejercicio para el aula 1) Analizar las formas de los globos en la viñeta de la figura 6-19 de Romeu. 2) Estudiar qué expresan estos globos, y tratar de buscar las lógicas que se ponen en juego en la historia, según los análisis realizados en el capítulo 3. c) Perspectiva de la imagen y posición del lector: Por último, para completar este análisis del lenguaje icónico de las historietas, vamos a fijarnos en la perspectiva. El arte secuencial se suele valer de las técnicas cinematográficas para transmitir su mensaje. Pero lo hace mediante tomas fijas, con lo que pierde parte de la riqueza del cine. Para suplir estas carencias, el autor extrema a veces los recursos impresionistas, con lo que consigue profundidad, focalizar la atención en la acción que se pretende, hacer que el lector complete el mensaje añadiendo sus aportes, etc.. (Figura 6-20). Uno de estos aportes es la posición de la cámara y la perspectiva. Con la primera se consigue que se focalice la acción en el lugar que pretende destacar el autor. Con la perspectiva se logra dar profundidad y tridimensionalidad a la imagen. Fig 6-20 Perspectiva y posición de la cámara (Eisner) Fig 6-21 Entre los autores americanos es frecuente el empleo de una cuidada perspectiva, con lo que aumentan la profundidad de campo. En la figura 621 se puede apreciar como McPherson ha planteado un punto de fuga que permite identificar el aula de examen con mayor claridad. Se sugiere, como ejercicio, buscar este punto de fuga. Como vemos, en el lenguaje icónico de las historietas hay mucha geometría, es decir, formas, tamaños, posiciones, etc., que el lector tiene que interpretar para comprender mejor el mensaje. Por tanto estos ejercicios permiten introducir de manera justificada la percepción y visualización de formas, que es uno de las tareas encomendadas en el currículo de matemáticas de los niveles obligatorios. Para acabar esta sección planteamos una serie de tareas que pueden emplearse en clase, con vistas a que los alumnos utilicen las matemáticas para enriquecer su visión de las imágenes que componen las historietas humorísticas. Ejercicios para el aula 1) Analizar las formas de cerrados, globos, líneas y perspectivas de las viñetas siguientes de Wiely (6-22), Hart (6-23), Harris (6-24) y Amend (6-25). 2) Estudiar que función tienen estos elementos en el mensaje humorístico. 3) Buscar los puntos de fuga en la figura 6-24. 4) ¿Quién aparece en la segunda viñeta de la figura 6-23 Fig 6-22 Fig 6-23 Fig 6-24 Fig 6-25 6.2. Matemáticas en la interpretación del lenguaje gráfico ¿Qué es un Manga? ¿En qué se diferencia de las historietas europeas? ¿Cómo se diferencian los personajes entre sí?, etc., son algunas preguntas que a veces nos hacemos, y que pueden interesar a los alumnos, dado que se considera que el cómic es un arte “joven”. Para contestar a estas cuestiones podemos recurrir a diccionarios de cómic. En el de Federico López Socasau (1998) nos dice que el manga se caracteriza por tener muchas páginas, muchas imágenes, dibujos minuciosos y expresivos, y personajes con mirada intensa y ojos redondeados. La mayoría de los lectores los identifica por ser de autores japoneses, o por tener personajes con rasgos orientales. Pero actualmente están proliferando los mangas europeos. ¿Cómo los diferenciamos?. McCloud trata de hacer una diferenciación más fina de los estilos de cómic, y entre ellos del Manga, y para ello recurre a gráficos estadísticos. Igualmente Eisner analiza las imágenes de los cómic con otros gráficos y elementos matemáticos. En esta sección trataremos estos elementos y propondremos ejercicios para utilizar las matemáticas con el fin de analizar el lenguaje de los cómics. Matemáticas e lenguaje gráfico: interpretación a) Puntos focales b) Escalas de representación icónica c) Tipos de transiciones d) Gráficos de la historia a. La información en la viñeta. En un mundo actual tan dominado por las imágenes, se ha hecho preciso estudiarlas profusamente. Los publicistas manejan con soltura el tipo de imágenes y su efecto sobre el público, siguiendo los análisis de estudiosos como Kadinsky, quien se ocupa de estimular los cinco sentidos del espectador del arte. Eisner mantiene una teoría, que es compartida por los autores americanos, según la cual, en una viñeta nada es accidental, sino que todo tiene una función. La primera característica que hay que considerar en ella es dónde va a estar el centro de atención del lector. Según Eisner, en cada viñeta hay unas áreas o puntos focales, y en su hipótesis, se sitúan en lugares geométricos establecidos: Los PUNTOS FOCALES de una viñeta se encuentran en el punto donde las líneas perpendiculares que arrancan de esquinas opuestas se cruzan con la diagonal de las otras dos esquinas (Eisner, 1996, p. 151). En la figura 6-26 se puede ver el dibujo que hace Eisner de los puntos focales en varias viñetas. Tal como se observa en la figura 6-27, McPherson emplea este procedimiento para situar a sus personajes principales en los puntos focales. Fig 6-26 Puntos focales, según Eisner Fig 6-27 En un punto focal aparece la cara y el gesto de la señora desesperada, y en el otro el anuncio de que su puerta de embarque está a 3,4 millas. La construcción geométrica que acarrea la determinación de los puntos focales nos da ocasión de plantear en clase tareas que encierran un trabajo matemático, con repercusión en el estudio de elementos que aparentemente están alejados de las matemáticas, como es la atención del lector, o la intención del dibujante. Ejercicios para el aula 1) Determinar los puntos focales de las figuras 6-28 de Thaves, 6-29 y 6-30 de Chumy Chúmez. 2) Estudiar los puntos focales en viñetas de otros dibujantes: Gelluck, Quino, Watterson, Forges, etc. Fig 6-28 Fig 6-29 Fig 6-30 b. Escalas en la representación icónica. Las artes visuales no nos presentan la realidad, sino que hacen una representación de la misma. McCloud estudia este fenómeno de manera profusa en su maravilloso libro, del que extraemos algunas ideas para proponer actividades para el aula de matemáticas. Tal como ya señalaba McLuhan, el propio medio es el mensaje, y el medio se compone de elementos icónicos y literales, con una disposición intencional. También los medios literales son representaciones de la realidad, Ejercicios para el aula Estudiar la posición geométrica de los puntos focales. ¿Aparecen en el mismo lugar independientemente de la diagonal que se tome? ¿Son simétricos respecto a algún eje de simetría de la figura del cerrado? ¿Qué cualidades geométricas tienen? aunque mas abstractos que las representaciones icónicas. McCloud comienza por establecer una escala de representatividad de los signos empleados, desde la misma realidad, pasando por la fotografía (que no es la realidad, como nos recuerda Magritte en su obra), hasta la caricatura más simple y... la denotación literal de esa realidad. Representa magistralmente McCloud esta escala en la viñeta que reproducimos en la figura 6-31. Además de la escala de representación hay que tomar Fig 6-31 en consideración la escala pictórica, esto es, el grado en que el dibujante pretende reproducir las percepciones o las sensaciones. Es la misma escala que puede establecerse en la pintura, que comienza con la misma realidad (pasando por el movimiento realista) y acaba en el arte más abstracto posible. Estas dos escalas permiten a McCloud establecer un triángulo del vocabulario pictórico, que es un gráfico triangular, con el que se puede analizar el cómic, tratando de identificar la posición que adopta el autor en estas dimensiones (figura 6-32). Fig 6-32 McCloud llama a los lados de este triángulo: eje pictórico, eje representacional y eje conceptual. Para separar la representación icónica de la lingüística, coloca otro eje que parte del vértice del dibujo y corta al eje de la representación en el punto en que la caricatura se convierte en palabra. Así el triángulo queda dividido en dos triángulos; el primero, acutángulo, para el análisis icónico, y el segundo, obstusángulo, para el lingüístico. Gracias a este nuevo diagrama, McCloud puede analizar la historia del cómic, situando los autores según sus tendencias prioritarias en vocabulario pictórico, tal como aparece en la figura 6-33. Ejercicios para el aula: Situar a algunos personajes, de los autores que estamos presentando, en este diagrama: - El gato filósofo de Gelluck - Calvin, de Watterson - Mafalda de Quino - Los niños de Frato Fig 6-33 Fig 6-34 c. Transiciones temporales. Al comienzo de este apartado nos preguntábamos cómo diferenciar “el Manga” de los cómic europeos. En línea con los análisis realizados, McCloud indica que eso que en el diccionario del Cómic llamaba Federico López “gran cantidad de imágenes y minuciosidad”, se debe a que los autores japoneses suelen utilizar muchas viñetas para relatar una secuencia de acción. Y es que el tiempo que transcurre entre las acciones congeladas que representan las viñetas es otro de los aspectos importantes en el análisis del cómic. McCloud diferencia las 6 formas de llevar a cabo el paso de viñeta a viñeta. Las transiciones, que aparecen en la figura 6-34, son: - Momento a momento, - Acción a acción, Tema a tema, Escena a escena, Aspecto a aspecto Non-sequitur (sin viñetas). relación entre las Los autores suelen emplear estas transiciones de manera variada, pero cada autor se caracteriza por emplear preferentemente alguno de estos tipos. En la figura 6-35 presentamos una secuencia de Quino en la que las transiciones entre viñetas se producen por cambio en el que habla, con lo que es acción a acción. Fig 6-35 La mayor parte de las historietas cómicas suelen emplear la transición acción a acción, separándolas por quien habla. Como vimos en un apartado anterior, Forges suele reducir la historieta a una sola viñeta, utilizando globos intercalados, para indicar el dialogo. John Hart suele emplear la secuencia temporal como un Fig 6-36 Ejercicios para el aula 1) Comparar la secuencia temporal que emplea Quino en la figura 6-35 con la que emplea en la historieta de la figura 5-7. 2) Analiza la secuencia temporal que emplea John Hart en la figura 6-36. Compararla con la que emplea en la de la figura 623. 3) Estudia el tipo de transición temporal que emplea Gelluck en la viñeta de la figura 4-10 recurso para añadir impacto a su historieta, tal como se muestra en la figura 6-36. Para establecer la diferencia entre estilos de cómic, McCloud ha Ejercicios para el aula calculado la frecuencia con la que 1) Analizar las transiciones entre viñetas en la figura diferentes autores emplean cada tipo 7-27, de Reiser. de transición. Esto le permite ver 2) Realizar una tabla de frecuencias y un gráfico de las distintas formas de transición que que los autores americanos de cómic estadístico emplea cada autor. suelen caracterizarse por emplear Realizar este análisis en 3 páginas de un libro sobre todo transiciones de tipo 3) cualquiera de Asterix (Goscini y Uderzo) acción a acción, y algunas de tipo tema a tema. Sin embargo su análisis de los europeos no le lleva a ninguna regularidad. Lo que diferencia principalmente al Manga de los demás es la cantidad de viñetas con transición aspecto-a-aspecto, así como utilizar transiciones momento a momento, que en occidente casi no se emplean. Estas dos características hacen que, como dice Federico López, los Mangas sean muy largos, con muchos dibujos. McCloud identifica esta característica en las expresiones culturales de oriente, cuyas obras de arte son minuciosas, cíclicas e intrincadas, frente a la tendencia occidental de “ir al grano”. d. Gráficos que expresan la forma de relatar una historia. Como observamos, el análisis del lenguaje visual de los cómics emplea necesariamente herramientas relacionadas con las matemáticas (gráficos para las escalas, recuento y representación estadística, etc.), por lo que pueden constituir elementos para emplear en clase de matemáticas con una utilidad nueva: las matemáticas para analizar el discurso gráfico. Vamos a cerrar este capítulo presentando una última representación para analizar el cómic. Se trata del gráfico que representa la tendencia y el momento en el desarrollo de la historia. Eisner en su texto de 1998 estudia la forma en que el arte secuencial (cómic) relata una historia. Para ello hace un rico análisis semiótico que no vamos a detallar aquí. En el curso del mismo sugiere la imagen de la figura 6-37, para representar la estructura de una historia. Fig 6-37 Como vemos, el esquema de Eisner parte de considerar en una historia los pasos que tradicionalmente se han destacado en una narración: presentación, nudo y desenlace. Por medio de una representación gráfica, Eisner añade las acciones que hay que hacer en cada una de estas partes, Ejercicios para el aula 1) Identificar las variables que corresponden a los ejes que emplea Eisner en este gráfico 2) Estudiar la estructura de la historia del Gato Filósofo y las calculadoras de Geluck (figura 4-10). Si logramos consensuar con los alumnos el significado de los ejes, podemos pedir que busquen la estructura de las historias contadas en las viñetas humorísticas, analizando si se han respetado las proporciones de atención y número de viñetas que corresponden a cada uno de los momentos de la historia. Estas informaciones nos permiten dar ideas a los alumnos, que le pueden servir para elaborar sus propias historias cómicas, tal como propondremos en los capítulos siguientes. Resumen El humor tiene una función pedagógica que afecta a muchos campos. Vamos a analizar esta función empleando los organizadores curriculares de Luis Rico (fenomenología, errores y dificultades, representaciones y modelos, materiales didácticos y la historia de los conceptos) El humor gráfico nos da la ocasión de presentar situaciones en las que los conceptos matemáticos tienen sentido (fenomenología de los conceptos matemáticos) El lenguaje gráfico hace uso de matemáticas, con lo que podemos mirar el humor con ojos matemáticos, para:  Interpretar los elementos del lenguaje gráfico, para captar mejor el mensaje (secuencias de lectura, forma y tamaño de globos y cerrados, perspectiva y posición del lector)  Analizar matemáticamente el lenguaje gráfico de las historietas (puntos focales, escalas de representación icónica, transición temporal, otras representaciones) Ejercicios VI. Analizar el lenguaje icónico empleado en la siguiente historieta de Rancis, de su personaje Leo Verdura, indicando: - Orden de lectura de viñetas - Formas empleadas en globos y cerrados - Perspectivas y posiciones del lector frente a la imagen - Puntos fuertes de las viñetas - Grado de iconicidad de los personajes - Tipos de transiciones temporales utilizadas y frecuencia de cada una - Estructura de la historia Fig 6-38 7. Función pedagógica 2: Fenomenología 2 En todos los documentos que desarrollan los currículos de matemáticas de la enseñanza obligatoria se insiste en que el profesor tiene que tomar en consideración que los conceptos Fig 7-1 matemáticos fueron en su origen herramientas para resolver problemas. Los debates sobre la utilidad de estas herramientas, y sus posteriores formalizaciones han generado los conceptos matemáticos que manejamos en la actualidad, y concretamente, aquellos que forman parte de las matemáticas escolares. Esta visión de las matemáticas lleva a pensar que los conceptos “sirven para algo” (para resolver los problemas). No podemos quedarnos con lo que dicen los interlocutores de la viñeta de Glasbergen (figura 71), que parecen querer fastidiar a los alumnos como venganza al fastidio que ellos sufrieron en su día. El profesor se ve demasiadas veces acosado cuando los alumnos le preguntan “para qué sirve esto”, como Calvin en la historieta de la figura 7-2. Fig 7-2 El análisis fenomenológico del concepto matemático le permite al profesor afrontar esta pregunta con argumentos, pero, lo que es mas importante, le permite dar sentido al concepto matemático. Las viñetas pueden darnos, al menos, situaciones tan plásticas, Fig 7-3 como la presentada por Toos para ejemplificar el concepto de recíproco. (Fig 7-3). Pero además las viñetas humorísticas pueden retratar ocasiones en las que los problemas matemáticos adquieren sentido. Hay diversas publicaciones que proponen emplear los medios de comunicación como recurso didáctico en clase de matemáticas (véase el libro de Antonio Fernández y Luis Rico, en la colección Matemáticas, cultura y aprendizaje de la editorial Síntesis, y el trabajo de Antonio FernándezAliseda y sus compañeros del Grupo Alkerke, en el proyecto Ciencia para todos). El humor gráfico es una parte de los medios de comunicación, y de hecho muchos de los chistes de nuestra colección proceden de ellos. Tanto el libro de Fernández-Aliseda (2000) como el premiadísimo trabajo de Rafael Bracho (1999), incluyen chistes gráficos entre sus propuestas para la enseñanza de las matemáticas. Para mostrar cómo los chistes facilitan el análisis fenomenológico de un concepto, tomemos un concepto matemático como el de número. Los números se emplean con multitud de funciones. El análisis de sus utilizaciones nos permite destacar sus características matemáticas sobresalientes. El número se emplea para contar. Contar puede significar asignar un número de la secuencia a un acontecimiento u objeto e identificar el ordinal del último con la cantidad total. Fig 7-4 Pero también puede significar relatar la secuencia de números para marcar un ritmo. Calvin utiliza esta última acepción en la figura 7-4. Fig 7-5 Forges retrata la argucia del “cabreado” fanfarrón, que establece un número amplio en el límite de su “hartura”, para no llegar nunca a acabar de contar (figura 7-5). Caris Brown muestra que ocurre cuando se utilizan los números fraccionarios para contar. (figura 7-6). Fig 7-6 Jack Omán relata como el locutor matemático cuenta las llamadas a la emisora (figura 7-7). En todas estas viñetas se está contando, pero ¿hacen todos lo mismo? ¿Emplean los mismos números? ¿Es correcto lo que proponen? Sugerimos como ejercicio analizar qué significa “contar” en estos chistes, y extraer propiedades matemáticas de los números a partir de estos razonamientos. Ejercicios para el aula 1) Analizar qué significa contar en cada una de las viñetas adjuntas. 2) Estudiar si los números que proponen son válidos para realizar la acción de cada viñeta. 3) Estudiar si se puede contar con los números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. 4) Analizar qué condiciones tienen que tener los números para poder contar. Fig 7-7 La idea de utilizar los chistes para que los alumnos hagan razonamientos matemáticos no es nueva. En la revista Mathematics Teaching in the Middle School, del NCTM, hay una sección fija que se llama Cartón Corner, en la que aparecen chistes gráficos acompañados de unas cuestiones, que puedan ser usadas como actividad de aula, deberes o tareas extras, en clase de matemáticas. Animan a los lectores a seleccionar chistes y enviarlos junto con algunas cuestiones, para poder emplearlos en clase. Proponen a los lectores crear sus propios chistes, para demostrar de forma humorística cómo se emplea o mal-emplea la matemática. Posteriormente aparecen las soluciones a las cuestiones propuestas. Fig 7-8 Por ejemplo, junto a la viñeta de la figura 7-8, de Blair (Mathematics in the Middle School, 2002, Vol7, nº 8, p.444), el profesor que lo envió plantea las siguientes cuestiones: a) ¿Qué conclusión sacas del chiste sobre la relación entre el kilogramo y la libra? b) Si un kilogramo corresponde aproximadamente a 2,2 libras, ¿Cuánto pesa más una bola que la otra? c) ¿Cuántos kilogramos pesan 200 libras? d) Debido al diferente valor de la constante de gravitación, una persona pesa en la luna 1/6 de su peso en la tierra. ¿Cuánto pesas tú en la luna? ¿Cuántas libras? Siguiendo esta idea, en un trabajo conjunto con una profesora argentina (Guitart y Flores, en prensa), hemos seleccionado algunos chistes para que los alumnos razonen sobre el azar y la probabilidad. Un ejemplo es el que aparece a continuación, en la figura 7-9, a partir de la cual sugerimos las siguientes cuestiones: Fig 7-9 Cuestiones 1) Definir el fenómeno que se contempla en las viñetas y estudiar si es aleatorio. 2) Intentar expresar la frase de Mafalda en forma de probabilidad de un suceso. Estudiar si es un fenómeno equiprobable. 3) Suponiendo que se trate de un fenómeno aleatorio, indicar su espacio muestral y algunos sucesos elementales. Se pueden utilizar chistes en clase de matemáticas para presentar una situación y sacarle partido didáctico. Lo estamos tratando de mostrar presentando las funciones del humor, especialmente la influencia intelectual y afectiva. Gracias a esas funciones podemos conseguir que la formación matemática en azar de nuestros alumnos no se quede en aspectos conceptuales, sino que repercuta en la creación de una actitud crítica ante los medios de comunicación y los juegos de azar. Por tanto, el humor permite afrontar situaciones de la vida cotidiana con una visión distendida (§5), pero que afecta a planteamientos profundos (§4), para que el aprendizaje que estamos pretendiendo tenga una mayor influencia en los alumnos. Se trata de evitar que nos Fig 7-10 ocurra como a Calvin, en la figura 7-10, quien está interesado en un fenómeno justo hasta el momento en que este fenómeno le trae las matemáticas a colación. Podemos, pues, utilizar chistes, en los que aparezcan matemáticas, relacionadas con situaciones reales, para que los alumnos: Tareas posibles en clase • Definan problemas . Estudiar los conceptos matemáticos que aparecen en los chistes. • Trabajen el vocabulario . Indicar con qué función se emplean • Relacionen conceptos estos conceptos en las situaciones • Relacionen las matemáticas con los descritas en los chistes. . Estudiar si estos empleos son correctos problemas cotidianos o no. Para poder hacerlo hemos de tener cierta sensibilidad para percibir elementos matemáticos en viñetas que representan situaciones en las que las matemáticas no aparecen explícitamente. En otros casos no tenemos mas que tomar las propias viñetas y observar la utilidad de los conceptos, o resolver los problemas que en ellas se plantean. Tipos de viñetas para la enseñanza . Viñetas que sugieren matemáticas . Viñetas que muestran la utilidad de las matemáticas . Viñetas que matemáticos a) Viñetas que nos sugieren situaciones matemáticas. Un concepto matemático difícil de enseñar es el de límite. La misma palabra que lo denota tiene en lenguaje cotidiano un significado que sugiere otra idea plantean problemas Ejercicios para el aula 1) Buscar situaciones cotidianas en las que se utilice el término límite. 2) Tratar de relacionar estas con el concepto matemático de límite. (línea, punto o momento que señala separación o final, indica el Diccionario de María Moliner). Para poder captar el concepto matemático de límite hay que identificarlo con un proceso. Pero aún así se puede generar una idea intuitiva que es en sí misma un obstáculo para captar la totalidad del concepto (aproximación, valor aproximado, valor al que se acerca). La historia de la matemática nos muestra la Fig 7-11 Ejercicios para el aula dificultad que ha habido por llegar a formular el límite de manera que dejara satisfechos a los matemáticos. Con un poco de imaginación podemos ver algunas ideas relacionadas con límite en las viñetas gráficas. La historia de Davis (figura 711), nos sugiere la idea de sucesión, y con ella la de límite. La situación planteada nos permite abrir un debate entre los alumnos sobre lo que quieren decir los personajes y relacionar con la idea de límite. 1) Indicar varias sucesiones que John puede decir, respetando los dos primeros términos enunciados (1 y 0,0001). 2) Calcular el límite de esas sucesiones. Distinguir entre las que tengan por límite 0 la que se aproxima más rápidamente. 3) Suponer que Garfield siente por John un respeto de valor 0. Suponer que para Garfield “se acerca” cuando se diferencia -100 del valor límite menos de 10 . Buscar a partir de qué término de cada una de las sucesiones indicadas podrá Garfield decir a John que se acerca. Se puede suponer que la sucesión de cantidades que va a decir John es una progresión geométrica de razón 0,1 y primer término 0,00001. Si Garfield no siente ningún respeto por John, la secuencia de cantidades será infinita, lo que quiere decir que nunca llegará a decir la cantidad esperada. Como vemos, con esta historieta tenemos ocasión de abrir el debate con los alumnos sobre el significado de infinito, dejando claro que este concepto va asociado a un proceso. De esta forma podremos trabajar la idea de tender aludiendo a todos los significados que los alumnos puedan darle. La formalización de la idea de límite a cero de una sucesión {xn}: , n, m, m>n xm< sugiere un acuerdo entre dos interlocutores, tal como se plantea en la historieta. Ejercicios 1) Buscar diferencias y similitudes entre la situación presentada en la historieta de la figura 7-11 y la idea de límite a cero. 2) Tratar de expresarla cuando el límite sea a otro valor no nulo. Para que A convenza a B de que {xn} se acerca a 0, hace falta que B exprese lo que el entiende por acercarse a. ¿Qué entiende Vd. por acercarse? ¿Cuál es la cota? (Fíjeme una cota, un ). Fijada esta cota, A debe buscar el lugar a partir del cual los términos son inferiores a esa cota. En la historieta se da una primera circunstancia de este proceso, aunque con una diferencia esencial, no sabemos cuál es el valor del respeto que siente Garfield por John. O sea no sabemos el valor del límite. El término infinito aparece con mucha frecuencia en las viñetas gráficas, ya que la palabra se emplea en el lenguaje cotidiano de manera abusiva. Ejercicios para el aula 1) Buscar viñetas en las que aparezca la palabra infinito. Analizar el sentido que se le da a este término. 2) Buscar en el diccionario de la Real Academia, en el María Moliner, etc., el significado que se le da al término infinito. 3) Relacionar las viñetas con los significados del diccionario. 4) Indicar diferencias y parecidos entre estos los significados del diccionario y el significado matemático de infinito. En la historieta de la figura 7-12, Garfield parece querer recurrir a la idea de infinito planteando los primeros pasos de un proceso que debe ser ilimitado: “irse un muy lejos más cada vez”. Fig 7-12 Para transmitir el concepto de infinito recurrimos a metáforas. Las mas frecuentes suelen ser las Ejercicios para el aula espaciales, ya que los conceptos Tratar de analizar el significado del geométricos están muy relacionados con la 1) término “infinito” en las viñetas de Chumiidea de infinito (¿o de ilimitado?). Chumy- Chúmez (figuras 7-13 y 7-14). Chúmez lo utiliza con frecuencia. En la 2) Traducir al lenguaje matemático las viñeta de la figura 6-11, lo define y situaciones planteadas y analizar si las son aceptables en distingue de la eternidad. En la 7-13 lo afirmaciones matemáticas. relaciona con el hombre, utilizando el Extraer las propiedades del infinito que concepto de media. Y en la 7-14 establece 3) se deducen de estas viñetas tipos de infinitos. Fig 7-13 Fig 7-14 Las utilizaciones intuitivas de infinito llevan a identificarlo con una cantidad “muy grande”. Ello permite operar con esta cantidad, tal como hacen los adolescentes para determinar su amor, en la viñeta de la figura 7-15. Fig 7-15 Jerry Scott y Jim Borgman parecen recurrir también al término infinito. Si bien en la viñeta anterior hacen uso del término coloquial, en otros casos, como el que aparece en la historia de la figura 7-16, se emplea en un contexto matemático, aunque no es de fiar el dominio matemático de Jaime (Jeremy en otras ediciones), personaje de su famosa serie Zits. Fig 7-16 Ejercicios para el aula 1) Estudiar los términos matemáticos que aparecen en la historieta de la viñeta 7-16 2) Expresar la frase de Jaime en términos de probabilidad. 3) Plantear un problema de probabilidad más sencillo que el planteado por Jaime, relacionado con la selección al azar y la construcción de frases, y resolverlo. 4) Indicar el sentido que tiene infinito en esta viñeta. Fig7-17 b) Viñetas que nos muestran la utilidad de los conceptos matemáticos Es evidente la utilidad práctica de muchos conceptos matemáticos (número, medida, etc.), pero en otros casos esta utilidad parece reducirse a la de aprobar un examen (tal como señala en esta nueva viñeta de Glasbergen, figura 7-17). Muchos profesores nos hemos visto alguna vez abocados a contestar a los alumnos con aquello de “a mí las matemáticas me dan de comer”, como respuesta a su pregunta típica de Pero esto, ¿para qué sirve?. La utilidad de un concepto es una cualidad compleja, que, para estudiarla, hay que delimitarla. ¿Para quién se demanda utilidad (alumno en la escuela, o alumno en medio cotidiano, o científico, etc.)? ¿Dónde se ponen los límites de su utilidad (aplicación a un problema, supervivencia, estudio, etc.)? Para el alumno que quiere aprobar el examen, el álgebra le es necesaria. Ahora bien, si el alumno quiere hacerse una idea más completa del álgebra tiene que verla como un sistema de signos con sus reglas, pero también como un medio para resolver problemas. De esta forma llegará a ver los métodos de resolución de ecuaciones como estrategias que facilitan llegar a obtener la solución de estos problemas. Así, aunque no se haya hecho una idea de lo que ha significado el álgebra en la historia de las matemáticas, al menos habrá podido relacionar entre sí algunos conceptos. Este es el caso del famoso Teorema del Resto o de Ruffini, que tantos fracasos produce en la enseñanza secundaria. Los alumnos parecen desconocer el sentido de ese Fig 7-18 teorema. ¿Para qué sirve?. En la viñeta de la figura 7-18, se destaca una utilidad del teorema: calcular el resto de la división de un polinomio entre un binomio de la forma (x-a), sin necesidad de hacer la división de polinomios. Atención al alumno que ha determinado el resto por sustitución (aplicando el teorema), frente a los otros, que continúan la división eterna. En otros casos se muestra una utilidad mas sofisticada, pero mejor relacionada con la esencia del concepto. En la figura 7-19 de Johnson, aparece una utilización inesperada de las coordenadas cartesianas, pero coherente con la función original de la Geometría Analítica: describir en términos literales situaciones y procesos espaciales. Ejercicios para el aula 1) Buscar el lugar en que los personajes han situado los ejes coordenados en el cuerpo. 2) Situar en estos ejes la nuca, los hombros, las rodillas y los pies. 3) Dar indicaciones para que la chica rasque la espalda del chico, desde el hombro derecho hasta la cadera del mismo lado. Fig 7-19 En esta viñeta hemos visto una utilidad práctica de las coordenadas, lo que nos conduce a abordar el análisis de la fenomenología didáctica del concepto. c) Viñetas que plantean problemas En muchas historietas humorísticas se quedan planteados problemas que alguno de los personajes resuelve de manera inesperada, o de la que se da una solución disparatada. Se pueden emplear esos problemas en el aula de matemáticas en la enseñanza del concepto. Un ejemplo paradigmático de historietas que plantean problemas nos lo aporta Sidney Harris, en la viñeta de la figura 7-20. Harris sitúa a unos niños en unas condiciones excepcionales, interesados en calcular la longitud de una calle. Para resolver un problema hay que identificar los datos y las incógnitas, y después buscar los procedimientos que nos permiten obtener las segundas en función de las primeras. En la viñeta de Harris no se trata de un problema, sino de un ejercicio, ya que el autor ha cuidado de suministrar toda la información necesaria para que no haya dudas respecto a los procedimientos a emplear. Se conoce la longitud de las calles catetos y la que se desconoce se llama calle “hipotenusa”. Situaciones como esta pueden crearse para aplicar a otras situaciones similares. Fig 7-20 El concepto de proporcionalidad es de los más útiles en la vida cotidiana, por lo que es relativamente fácil encontrar situaciones prácticas que podamos emplear en clase. También los chistes suministran herramientas para trabajar la proporcionalidad en clase. Y es que el humor permite tratarla de manera Fig 7-21 distendida, heterodoxa y crítica. En la viñeta de la figura 7-21 nos podemos plantear si el precio de la Torre Eiffel real es coherente con el de las reproducciones a escala (El Jueves, 25 años, p. 79). Para ello podemos hacer que los alumnos busquen pesos, estimen dimensiones, hagan una revisión enciclopédica de datos, para luego pasar a discutir el elemento de referencia para establecer la proporcionalidad: el peso, la altura, el volumen, la cantidad de hierro, etc. Las compras se suelen medir en dinero, pero también se pueden obtener índices. En el dibujo de Thaves de la figura 7-22 los personajes miden la velocidad de gasto. ¿Qué es la velocidad? ¿Qué otros índices se pueden obtener? En el recuadro aparecen ejercicios sugeridos para esta viñeta. Fig 7-22 Ejercicios para el aula 1) Estimar el tamaño de una gran superficie. Estudiar el itinerario que se suele seguir desde que se entra en la zona de compra hasta la caja de salida. Estimar el gasto medio de una familia en esa Gran Superficie. 2) Determinar índices de gasto por distancia, tiempo, cantidad de productos, etc. 3) Relacionar estos índices con el concepto de velocidad y con el de tasa de variación media. La velocidad constituye la incógnita de muchos problemas de matemática elemental. En la siguiente viñeta de John Hart (figura 7-23), el respondedor se sale por la tangente. Fig 7-23 Ejercicios para el aula Siguiendo con la estimación de medidas y su proporcionalidad, la viñeta de Jim Davis 2) Estudiar en qué punto se tiene que nos sugiere estudiar el volver para tardar tiempo que dedicamos exactamente dos horas. a realizar una serie de actividades vitales 3) Plantear y resolver las ecuaciones e (figura 7-24). Todas inecuación esta historias nos dan correspondientes pautas para que los alumnos se examinen a sí mismos en términos matemáticos, tomando conciencia del tiempo que dedican a determinados acontecimientos, de los gastos que realizan, etc., y que establezcan índices. Gracias a estos índices se pueden hacer comparaciones y estudios sociológicos de comportamientos grupales, 1) Determinar el tiempo que emplea el pájaro en recorrer las 100 millas. tan necesarios para comprender el comportamiento ciudadano, en el que “la norma” se constituye en “lo bueno”. Fig 7-24 La proporcionalidad que emplea a 100 como referente, es decir, el porcentaje, es un Ejercicios para el aula recurso muy empleado para poder comparar 1) Estimar el tiempo medio que cada día a cada una de las índices sin necesidad de recurrir a una unidad dedicáis tareas básicas: dormir, comer, de referencia fija. Cuando, como en el caso estudiar, divertirte – ver tv, con los amigos, oír anterior, se estudia un fenómeno por medio relacionarte música, etc.-. de porcentajes, hay que procurar hacer una Comparar con los datos obtenidos descomposición adecuada del fenómeno. 2) por tus compañeros. Obtener descomposiciones, y calcular el Analizar cómo repercutiría en los porcentaje de veces que se presenta un 3) otras tareas si cambiáis la duración de fenómeno, es primordial para poder alguno de estos datos. establecer una medida de la esperanza de que vuelva a suceder dicho fenómeno. En las siguientes viñetas se establece una suma de porcentajes que no siempre es correcta, por lo que el humor recurre a ella dando pie a situaciones chocantes. (Bill Todim en la figura 7-25 y Sendra en la figura 7-26). Ejercicios para el aula 1) Buscar los criterios con los que se han dividido a las poblaciones de las viñetas 7-25 y 7-26. 2) Estudiar si estos criterios permiten obtener clases disjuntas. 3) Estudiar si la unión de todas las clases determina la población completa. 4) Determinar el porcentaje de la unión e intersección de dos clases. 5) Hacer un análisis crítico (los resultados son posibles/imposibles, el estudio está bien/mal hecho) sobre los datos contenidos en las historietas analizadas. Fig 7-25 Fig 7-26 Resumen Los chistes reflejan situaciones en las que se emplean las matemáticas. Por tanto pueden usarse como puntos de partida para hacer matemáticas en clase: a) Descubriendo y analizando conceptos matemáticos que aparecen en los chistes b) Mostrando la utilidad que tienen los conceptos matemáticos c) Resolviendo problemas que aparecen planteados en los chistes Ejercicios para el aula VII.1. Buscar chistes matemáticos y enunciar cuestiones para que las resuelvan vuestros compañeros. VII.2. Analizar matemáticamente la historia de la figura 7-27 de Reisel: a. Señalar los aspectos que tienen que ver con las matemáticas b. Utilizando enciclopedias, comprobar si son correctos los datos que aporta. c. Realizar los cálculos señalados y estudiar si son adecuados. d. Buscar el término álgebra en la enciclopedia y en páginas web, y estudiar su origen y significado. e. Hacer un estudio crítico de los gastos, productividad y pérdidas que se producen en los envíos de mercancías y ayudas a los países necesitados. Fig 7-27 9. Función Pedagógica 4: Representaciones. Los conceptos matemáticos son abstractos, y las manifestaciones plásticas que percibimos son representaciones de los mismos. Para El concepto se presenta de ma compartir información sobre los conceptos se medio de diversas formas de re emplean representaciones. Si identificamos un Si identificamos un concepto con una concepto con una sola de sus representaciones sola forma de representación le atribuimos las propiedades de esa estamos simplificándolo, de manera que sólo representación (sean adecuadas o le atribuimos las propiedades que tenga esa inadecuadas): representación del concepto. El profesor de “El dos es un patito” matemáticas tiene que conocer formas diversas en las que se representan los contenidos Imagen impresa matemáticos y seleccionar para el aula que sean las más de adecuadas para los alumnos. chiste gráfico El humor gráfico puede ayudar al profesor suministrándole formas distintas en las que se pueden expresar un concepto. El análisis de las viñetas que contienen estas representaciones permitirá proponer tareas para que los alumnos las perciban, relacionen y completen con ello su idea del concepto. Vamos a desarrollar más extensamente este argumento en las siguientes líneas. a) Un objeto no es igual a su representación. Elisabeth Marie, en Le Monde de l’Education, hace una versión del clásico cuadro de Magritte La falsedad de las imágenes (Ceçi n’est pas une pipe) (En la figura 9-1, Alumno Magritte explíquese Vd.). McCloud utiliza una imagen de este cuadro para hacernos ver la distancia que existe entre la imagen y el objeto. Es decir, en este caso es una imagen impresa de un chiste que es el dibujo de un cuadro de un objeto con forma esférica. Obsérvese la cantidad de intermediarios que se han utilizado entre el objeto real (la esfera) y el observador (imagen impresa, dibujo, cuadro). de dibujo de cuadro de objeto con forma esférica Fig 9-1 Esto es lo que nos podría decir el alumno Magritte si se explica: esto no es una esfera, es un dibujo de la esfera. Y el dibujo despierta en el espectador una idea del concepto de esfera. Pero podemos sugerírsela de otras formas. Por ejemplo evocándole una bola, diciéndole la palabra esfera, etc. Ejercicio Para representar conceptos nos valemos de diversas formas de representación. En el libro de Paulos (1994), Pienso, luego río, dice que George Carlín enumeró seis razones que hay que analizar antes de tomar decisiones sobre algo: 1, b, III, cuatro, E, vi (p. 92). Aumentar las razones expuestas decir, buscar nuevas formas de términos de una secuencia Fig 9-2 La sociedad moderna tiende a sustituir a las personas por números. Chumy Chúmez critica esta deshumanizada costumbre, haciendo una propuesta de que nos parezcamos a nuestro DNI (Figura 9-2). La persona nunca será igual a su DNI, aunque el DNI es una de las formas por las que nos pueden representar, ya que es un código personal e intransferible. La crítica de Chumy se más fuerte, ya que parece que de su viñeta parece deducirse que será el DNI quien determinará nuestra apariencia. Cuando escribimos, o dibujamos en la pizarra, utilizamos formas de representar los conceptos y sus propiedades. Según sean estas formas, realzamos unas u otras propiedades. Si queremos que los alumnos adjudiquen al concepto todas sus propiedades tendremos que procurar que manejen el mayor número de formas de representar el concepto. b) El concepto es la abstracción a partir de muchas representaciones del mismo El concepto necesita representaciones para manifestarse, para transmitirse. Pero no podemos identificar el concepto con alguna de sus representaciones. En matemáticas se utilizan muchas Fig 9-3 formas de representación para referirse a cada uno de los conceptos. Incluso se procura representar los conceptos con las formas más simples. La intención es que el que percibe la imagen se haga una idea de lo que es la esencia de lo representado, prescindiendo de sus cualidades accesorias. Esto es lo que se hace en esta viñeta (figura 9-3); Kalondi nos muestra a un profesor que pretende explicar al alumno el diagrama de un árbol, haciendo abstracción del objeto árbol, eliminando sus partes accesorias. En el aula de matemáticas tenemos que enseñar conceptos, pero para ello se necesitan representaciones. Y, como hemos dicho, cada representación incorpora cualidades particulares. En la matemática clásica se utilizaron los dibujos para representar los conceptos, lo que daba lugar a que se le atribuyeran propiedades de los dibujos. La matemática formal pretendió traducir todas las matemáticas a un lenguaje perfectamente definido, en el que no cupieran interpretaciones ambiguas. En la enseñanza nos tenemos que valer de unas y otras formas de representación para ayudar a que los alumnos se hagan una imagen de los conceptos lo más completa posible. Para ello, al profesor le interesa conocer las distintas representaciones que tiene un concepto. A partir de ahí, tras decidir sobre cuáles serán las adecuadas al nivel educativo en el que está, deberá buscar los medios idóneos para compartir esas representaciones. En el libro de Britton y Bello, Matemáticas Contemporáneas, aparece la imagen plástica que representa el número decimal periódico (figura 9-4). La infinitud de las cifras decimales ha quedado representada por la perspectiva infinita hacia el punto. Se hace uso de los códigos geométricos para representar el infinito. Dos líneas paralelas, que se cortan en el infinito (nunca se acaban de cortar), se representan por unas líneas que se cortan en el punto de fuga de la perspectiva del dibujo, tal como ocurriría con la visión de los dos raíles de unas vías del tren. Igualmente, los seises del período, se superponen (lo que indica que continúan), y no acaban nunca, ya que están colocados en esta perspectiva hacia el infinito. Fig 9-4 Si el profesor pretende que el alumno relacione un concepto con todas sus manifestaciones, tendrá que utilizarlas en clase para que le sean familiares y pueda hacer la abstracción a partir de ellas. Para eso conviene trabajar las diversas representaciones de los conceptos y relacionarlas entre sí. El humor gráfico nos muestra algunas de las representaciones de los conceptos. Vamos a mostrarlo con dos contenidos matemáticos: el concepto de número y el papel que juega la letra en álgebra. Tomemos el concepto de número natural. La viñeta de Felipe (figura 5-7) mostraba diversas formas Ejercicios de aparición del número (aunque en todas En las figuras indicadas se representa adquiría la representación en forma de cifra 1) el número de tres formas: cifras arábigas arábiga). El mismo Quino ofrece otras puntos representaciones del número: Mafalda cuenta palabras habitantes de china empleando para ello Buscar otras formas de representar el puntos (Figura 6-13). En la figura 9-5, Quino número natural. realza la representación literal de los números 2) Buscar viñetas en este libro en el que se represente el número natural de otras para mostrarnos el resfriado de Libertad. formas. En la figura 9-6, los números se identifican con los dedos, por lo que Manolito sitúa en los pies el resultado de la operación. Y esto es sólo una muestra de las matemáticas que aparecen en las tiras de Mafalda, que ya las hemos analizado anteriormente (ver Flores, 1998b). Fig 9-5 Fig 9-6 Ejercicios para el aula 1) Recordar la canción: El uno es un soldado, haciendo la instrucción El dos es un patito, que está tomando el sol. El tres una serpiente, que baila sin cesar. Y el cuatro es una silla que invita a descansar. Buscar otras similitudes de las cifras con figuras, tal como hacen Sally y Carlitos (figura 9-7). 2) Tratar de asociar otras impresiones (colores, música, etc.) a los números. Consultar el libro de Saá (2002), Las matemáticas de los cuentos y las canciones. Shultz juega también en sus viñetas con las representaciones de los números. Es especialmente imaginativa su serie dedicada a Sally. Sally es una niña con una actitud desafiante ante la vida, poco dotada para las matemáticas. Siempre se está quejando de lo que pretenden enseñarle, cuando ella se basta para establecer las relaciones matemáticas escolares de una manera un tanto peculiar. No maneja las tablas de las operaciones, como Carlitos le recuerda continuamente, pero ella no se preocupa de eso. En una página antológica, Sally escribe las cifras, relacionándolas con Ifah, en su libro de Historia de las cifras, presenta un análisis de las distintas formas que se han utilizado a lo largo de la historia para representar la cantidad (o la secuencia). (Ifah, 1997) figuras y nombres (los sieteses, por ejemplo). Una de ellas es la de la figura 9-7. Fig 9-7 En la figura 4-20, Patty utiliza las propiedades de las cifras para hacer cálculos: la cifra 3 tiene tres rabitos. La calificación escolar sigue haciéndose en números. Pese a los intentos de la administración educativa y de los teóricos de la educación para hacer una evaluación cualitativa, los profesores, los alumnos y la comunidad educativa recurren a los números para calificar. El cero es más rotundo si se hace con compás (Martínmorales en figura 9-8). La representación del número como mérito sugiere a Frato la viñeta de la figura 9-9. En ella la representación de la calificación cualitativa es rápidamente convertida en su correspondiente valor numérico. Los humoristas emplean con frecuencia la articulación de diversas formas de representación como recurso humorístico. Como el término “número” es polisémico, su aparición puede corresponder a cosas diferentes, como en la figura 9-10 de Ortifus. Kalondi nos ofrece una sencilla identificación de representaciones en la viñeta de la figura 9-11. Fig 9-8 Fig 9-9 Ejercicios para el aula 1) Indicar todas las representaciones de los números que aparecen en las viñetas adjuntas. 2) Pensar en otras formas de representar las mismas cantidades. ¡A LA VI! ¡A LA VA!, EL CERO NO VALE NA. Canción infantil en un colegio de Cádiz. 3) Buscar todos los significados que podái “número”, e identificar formas de representarlo 4) Hacer chistes empleando dos significad Fig 9-10 Otro concepto simbólico importante en Fig 9-11 matemáticas es la letra en álgebra. Se ha escrito mucho sobre el papel de la letra y los distintos significados que puede tener. Con ayuda del humor gráfico vamos a diferenciar cuatro significados diferentes de la letra, lo que nos permitirá ofrecer actividades para poner de evidencia esta diferencia. Con ello se muestra como una misma representación puede La letra en álgebra emplearse para designar elementos Etiqueta: completa una diferentes. cantidad para indicar qué expresa. (unidades, objetos) Las letras pueden emplearse como etiquetas, como cuando se emplean las unidades de medida (4 cm). Pero también se emplean como etiquetas cuando complementan a las cantidades para indicar lo que estas expresan (3c + 5g, por 3 conejos y 5 gallinas). Cuando se emplean letras para escribir propiedades numéricas, se está queriendo Número generalizado: representa cualquier número del conjunto señalado, para expresar una propiedad (propiedades algebraicas). Variable: representa números de un conjunto que se encuentran relacionados con otros números por una relación algebraica (funciones) Incógnita: cantidad desconocida que tiene cierta relación numérica consigo misma o con otras, lo que permite determinarla (ecuaciones) representar con ellas a todos los números que están en algún conjunto que previamente se expresa (la suma es asociativa en N, es decir, a+(b+c) = (a+b)+c). Se dice entonces que la letra es un número generalizado (2n es la representación de un número par, por ejemplo). Cuando se trata de propiedades que afectan a relaciones funcionales, aparecen las variables. La fórmula del área de un rectángulo es S=b.h, donde las tres letras representan variables. Pero también aparecen variables en funciones abstractas, como y=2x-1. Por último, las letras son incógnitas Fig 9-12 cuando representan cantidades desconocidas, en una expresión literal que expresa relaciones aritméticas de esas cantidades (ecuaciones). En matemáticas, la incógnita es la cantidad desconocida, que hay que calcular, con lo que dejará de serlo. Pero en el lenguaje cotidiano, se utiliza la incógnita matemática para indicar algo que se desconoce, aunque no haya forma de determinarlo. En la figura 9-12, Harris nos muestra a varios científicos dubitativos hacia el valor de la x. ¿Cuánto vale la x? ¿O qué es la x?. En cualquier caso, su viñeta parece recrearse en la incógnita por excelencia, lo que nos hace plantearnos la duda sobre en cuál de los dos planos (cotidiano o algebraico) se sitúa. Los chistes gráficos nos permiten ejemplificar estos usos de la letra en álgebra. Vamos a presentar y analizar algunas viñetas, y luego plantearemos tareas para que las resuelvan los alumnos. Ejercicios para el aula 1) Estudiar el significado de la letra en la figura 9-1 2) Analizar la utilidad que tiene la letra en esta historia. 3) Imaginar cómo se está desarrollando la acción del matemático con insomnio:¿Qué iría después? ¿Dónde ha empezado? ¿Se puede contar con la letra como variable? 4) Analizar críticamente las ventajas e inconvenientes de emplear l l i ió Fig9-13 Blair es el autor de la historieta de la figura 9-13, en la que la letra parece representar un número generalizado. En lugar de Fig 9-14 contar uno a uno, el matemático establece la secuencia general por medio de la relación existente entre tres términos consecutivos de la secuencia. Cada término se diferencia del anterior en una unidad. Cuando se emplea el término “n” en el lenguaje cotidiano, se tiene la intención de referirse a números indefinidos, y muy grandes. Es la enésima vez que te lo digo, quiere decir: Te lo he dicho muchas veces, pero no se cuantas. Forges, en la viñeta de la figura 9-14, quiere poner de manifiesto que no es adecuada la identificación de la Comunidad Europea con un número de países, tal como se ha hecho muchas veces. Para ello emplea una letra en lo que parece un número generalizado. Si se utiliza como una función, el número de países será el resultado de la potencia, con lo que la letra aparecerá como variable. El problema es que no se sabe quién es esa x, que aparece en la base de la cantidad total. También aparece una variable en la viñeta de Gary Larson de la figura 9-15. Supuestamente, los científicos han sido capaces de determinar una función que expresa el propósito del universo (variable dependiente, de no se sabe qué variables independientes). La letra como incógnita aparece en las siguientes viñetas. En la figura 9-16, Fig 9-16 Fig 9-15 Martín Morales hace un juego retórico entre las destrezas más populares de las matemáticas escolares para ironizar sobre el tan debatido tema de los GAL. En la figura 9-17, un alumno argentino, del que sólo conocemos su nombre, Facundo, ha propuesto esta viñeta que su profesora ha colgado de una página web, para expresar lo que significa la x para él. Fig 9-17 Ejercicios para el aula 1) Estudiar el significado de la x en las figuras 9-16 y 9-17. ¿Emplean los dos autores la letra con el mismo significado? ¿Por qué? 2) Buscar frases en las que utilice habitualmente la expresión “equis” indicando una cantidad desconocida (como “llámala equis”, para indicar que el razonamiento es independiente de ese valor). 3) Analizar el papel que se le atribuye a la equis en esas frases. Alumnos de la licenciatura de Matemáticas de Granada han elaborado el siguiente chiste (figura 9-18), aprovechando la historieta gráfica de Quino, pero cambiando los globos. Esta es una técnica muy útil para elaborar chistes gráficos en clase. La x para Libertad es un reconocimiento de su ignorancia. ¿Qué significa para ella? ¿Qué papel de los descritos anteriormente desempeña? Ejercicios para el aula 1) ¿Qué quiere decir Liberta 2) ¿Qué papel desempeña la x en esta historia? Fig 9-18 También podemos emplear el humor para incidir sobre algunos usos abusivos de las representaciones de los conceptos, que dan lugar a que los alumnos se hagan una idea distorsionada de los mismos. Por ejemplo, podemos analizar cuántas rectas se pueden trazar por los dos puntos que marca Quino en la tétrica historia de la figura 9-19. Con ello destacamos que la representación de un punto por un círculo relleno añade al punto dimensiones, en contra de su definición. Fig 9-19 Formas de representar las funciones Tal como nos recuerdan en los decretos y currículos oficiales, el lenguaje de las funciones abarca tres formas básicas de representación: la función representada por un problema en el que se manifiesta la relación que existe entre dos magnitudes; la función como una gráfica; y la función como una - El enunciado de una situación que relacione dos magnitudes - Una expresión algebraica entre dos variables - Una gráfica en el plano cartesiano - Una tabla de datos de las variables relacionadas - La notación formal: y=f(x) expresión algebraica. A ellas cabría añadirles la función como una tabla de datos. El humor nos permite destacar que el concepto función encierra todas estas formas de representación. Proponemos como ejercicios para el aula que Ejercicios para el aula los alumnos identifiquen la función en las viñetas siguientes, indiquen la forma en que se 1) Estudiar si aparece una representa en cada una de ellas y traten de viñetas de las figuras 9-20 a 9obtener otra representación de las mismas. Distinguir la forma en que aparece Para ello nos hemos servido de los dibujos de 2) representada la función. José Gordo y Pau Estrada, en el libro de Vicens-Vives, Factor-2 (Figuras 5-17, 9-20 y 3) Tratar de obtener otras formas de 21) y de Rick Kirkman y Jerry Scott (figura 922). Fig 9-21 Fig 9-20 Fig 9-22 Este mismo análisis podría hacerse con las gráficas estadísticas, en las que al menos habría que relacionar la forma de las gráficas (todas las variantes que admiten: histograma, polígono, diagrama, etc.) con las tablas de datos y los enunciados de los estudios realizados. En el capítulo 6 estudiamos las matemáticas que aparecen en el lenguaje del humor gráfico. Iniciamos así el análisis semiótico del humor, con una intención didáctica. En este capítulo hemos continuado este análisis semiótico, pero en este caso de los conceptos matemáticos. Gracias a la utilización de elementos plásticos, el humor nos permite poner de evidencia los elementos representacionales de una manera distendida, pero más expresiva. Como podemos observar, el humor nos ha permitido suministrar estrategias para hacer consciente al alumno que existen numerosas formas de representar un concepto. El trabajo con esta serie de representaciones permite romper la identificación del concepto con una sola representación. Tal como dijimos en el capítulo 3, la situación humorística se produce al aparecer, de manera conjunta, dos formas lógicas de contemplar una situación. En este capítulo hemos insistido en que un concepto se puede representar de diversas formas. También hemos visto que una representación puede tener diversos significados (la letra en álgebra, pero también el término número). Un concepto se puede representar de diversas formas. Ninguna de estas representacion La identificación de una representación con el concepto puede generar situaciones humorísticas. Hay términos o representaciones que corresponden a más de un concepto. La alusión a más de un concep representación puede generar situacion Los humoristas, por tanto, emplean la diversidad de lógicas implícitas en la representación para crear situaciones cómicas. Recordemos esta circunstancia para cuando propongamos a los alumnos inventar chistes, en el próximo capítulo. Resumen Para trabajar, utilizar y transmitir un concepto matemático, nos valemos de representaciones del mismo. Pero el concepto no es su representación. El concepto es una abstracción creada a partir de todas las formas en que puede representarse. El humor gráfico nos permite diseñar tareas para poder hacer consciente al alumno de que un concepto se representa de diferentes formas, con lo que se puede romper la identificación abusiva del concepto con una forma de representación. Ejercicios para el aula IX.1. Estudiar si la x, o la letra que aparece en las figuras 9-23 de Máximo, 9-24 de Facundo y 12-2 de Moore, representan una etiqueta, una incógnita, una variable o un número generalizado. Para ello identificar los valores que puede tomar, sí son conocidos o desconocidos, quién puede darle valores y la intención que tiene el autor al emplearla. IX.2. En figuras siguientes (9-25 de Quino, 9-26 de Forges, y 9-27 de PLOT) se muestran monumentos erigidos en honor a elementos matemáticos. Analizar en qué grado las figuras que aparecen en los monumentos son alegóricas a los conceptos representados (el 2, 2+2 y el azar). IX.3. En la figura 12-8, Martín Morales presenta una igualdad. Analizar qué significa esta igualdad y si coincide con la igualdad matemática. IX.4. En el lenguaje político se está empleando con cierta frecuencia el término ecuación. Buscar equivalencias y diferencias entre este uso del término y el empleo en matemáticas. Fig 9-23 Fig 9-24 Fig 9-25 Fig 9-26 Fig 9-27 10. Función Pedagógica 5: Humor como recurso didáctico y humor sobre recursos Desde el comienzo de este libro estamos tratando de mostrar que el humor gráfico es un recurso didáctico. La hipótesis de que hemos partido al escribir el libro es: el humor es un recurso didáctico para la enseñanza de las matemáticas. En los capítulos anteriores hemos tratado de cubrir dos objetivos. Hemos querido mostrar, por una parte, que el humor refleja la utilidad de algunos conceptos, los errores de aprendizaje y las formas de representarlos (organizadores curriculares, Rico, 1998). Esto permite al profesor utilizar el humor gráfico para explotar diseñar unidades, e preparar actividades, mediante situaciones que dan sentido a los conceptos – fenomenología-, o que hacen afluir errores cotidianos, o aluden a formas diversas de representar un concepto. El libro pretende mostrar que: a) El Humor es un recurso didáctico El humor muestra situaciones utilizables en clase de matemáticas (fenomenología, errores comunes, representaciones, e historia del concepto) b) El Pero además, el humor nos ha permitido echar una mirada crítica y jocosa sobre las diferentes formas en que se emplean las matemáticas. El humor refleja aplicaciones disparatadas de las matemáticas (fenomenología); utiliza errores y dificultades con intención irónica; emplea diversas representaciones y las mezcla para crear la situación cómica. Es decir, podemos encontrar situaciones humorísticas que reflejan las visiones del mismo que nos dan los organizadores curriculares de manera lúdica. Esa aparición cómica de los organizadores curriculares referidos a un concepto nos ha permitido proponer tareas que ayudan, tanto al aprendizaje del concepto, como a tomar conciencia de qué es lo que se aprende. Con ello se está favoreciendo que los alumnos aprendan a aprender (el desarrollo de la metacognición). Humor refleja Hemos propuesto ejercicios para el aula en los que se pide a los alumnos que identifiquen cómo se está presentando un concepto en las historietas. Creemos que con esto estaremos mostrando al alumno que para aprender un concepto tiene que ser capaz de descubrirlo y aplicarlo para analizar otras situaciones. Otros ejercicios de los planteados pretenden que el alumno analice la validez de un concepto en diferentes situaciones. Con ello tratamos de que el alumno tome conciencia de que aprender es reorganizar la estructura de conocimientos, adaptándolos a las situaciones nuevas (dificultades y errores). En el capítulo anterior hemos planteado cuestiones que proponen el análisis semiótico de un concepto, a partir de su aparición en las viñetas. Con ello pretendemos que los alumnos diferencien el concepto de sus representaciones, y vayan intuyendo la naturaleza abstracta de los conceptos matemáticos. Seguimos afrontando en este capítulo este doble objetivo. Primero insistiremos en mostrar que el humor es un recurso didáctico para el diseño de unidades y su posterior plasmación en la enseñanza de un concepto. Posteriormente mostraremos algunas historias cómicas sobre los recursos didácticos más habituales en la enseñanza de las matemáticas. La intención de esta segunda parte es que los alumnos tomen conciencia de que la matemática escolar emplea materiales que ayudan a aprender, que tampoco son el concepto, pero que permiten asignarle propiedades y realizar abstracciones. 10.1: Aprender matemáticas con el humor A lo largo de los capítulos anteriores hemos intentado mostrar que se pueden utilizar los chistes en clase, para plantear situaciones, para buscar matemáticas en ellos, y para mirarlos con ojos matemáticos. En este apartado añadiremos dos funciones Aprender matemáticas con el hum i) Utilizar el humor para que los alumnos se relacionen con vocabulario, situaciones que dan significado a los conceptos, errores habituales, representaciones frecuentes, etc. ii) Hacer carteles humorísticos para el aula. iii) Hacer chistes para aprender matemáticas. pedagógicas no contempladas de manera explícita hasta ahora: - Utilizar los chistes como carteles - Hacer chistes para aprender matemáticas ii) Chistes carteles En la enseñanza de las matemáticas pretendemos que el alumno aprenda una serie de contenidos matemáticos. Hemos dicho que aprender es reorganizar la información sobre un concepto, de manera que se engloben las nuevas experiencias que tiene el aprendiz, relacionadas con el concepto. Esta reorganización tiene diferentes niveles de abstracción, dependiendo de los tipos de aprendizaje que se persiguen. Es diferente retener la tabla de sumar que comprender y aplicar el concepto de límite. La retención de nomenclatura, términos, fórmulas, destrezas básicas, etc., es necesaria para poder entender los términos o las apariciones más complejas. Retener una frase, número o figura requiere menos grado de abstracción que comprender un razonamiento. Quizás por ello se tiende a aprender de memoria (retener) una definición, más que comprender un concepto (que es algo más que esa definición). La retención se puede facilitar por medio de ejercicios de repetición. Cuando se aplica un concepto para resolver un problema hay que utilizar determinadas convenciones. En numerosas ocasiones no se llega a resolver un ejercicio de aplicación de un concepto o procedimiento por no haber retenido o haber olvidado momentáneamente esa convención. Uno de los problemas de aprendizaje escolar estriba en que los alumnos no son siempre capaces de distinguir lo que es importante retener. Estos dos inconvenientes (el olvido momentáneo paraliza la aplicación, y el no saber qué hay recordar), se puede solventar empleando carteles llamen la atención sobre los asuntos que hay que que que que recordar, especialmente cuando son elementos clave para actuar. Fig10-1 El salón de clase, o la habitación de los alumnos, son lugares que pueden “adornarse” con carteles matemáticos que les ayudan a retener. Esta decoración será más evocadora cuando estos carteles tengan cierto toque humorístico. El cartel de la figura 10-1 realza una convención: No se puede dividir entre cero. La figura parece representar a Moisés con las Tablas de la Ley, lo que da idea de que el enunciado que propugna es un principio de obligado cumplimiento, dictado por alguien superior. Podría objetarse a este cartel que hay razones matemáticas que justifican que no se puede dividir entre cero. Pero tenemos que recordar lo tratado en el capítulo 8, dedicado a dificultades de aprendizaje. La figura 8-11 nos mostraba un razonamiento coherente sobre la resta a cero, que indicaba que el alumno actuaba pensando en los números naturales. La división se suele introducir en las matemáticas elementales por medio del reparto. Dividir entre cero es, como diría Yao, repartir entre nadie. ¿A cuánto toca ese nadie?. Las ideas intuitivas sobre las operaciones aritméticas tienen el inconveniente de que reducen el significado de éstas a su empleo en el mundo cotidiano. En efecto “repartir entre nadie” en lenguaje cotidiano corresponde a “no dividir”, es decir, “quedarnos con todo” (dividir entre 1, en lenguaje matemático). La diferencia está en que cuando se habla de repartir enseguida se piensa en quien reparte y los demás. En la división matemática no interesa el que reparte, sino los que recibirán. Ejercicios 1) Buscar otros convenios que interesa tener presentes en la clase de matemáticas de todos los niveles educativos, como por ejemplo: - La potencia de exponente cero vale uno - La regla de los signos en la multiplicación (más por menos es menos), etc. 2) Diseñar t Si queremos, pues, tener una base para refutar estas operaciones erróneas, que realizan los alumnos al carteles t it para i confundir la concepción matemática con la intuitiva, es mejor disponer de un cartel al que podemos apelar para justificar su rechazo. En las matemáticas de bachillerato trabajamos el concepto de límite, preferentemente de una manera operativa. Para determinar el límite de una sucesión o de una función es preciso descomponerla en operaciones con funciones y estudiar el comportamiento de estas funciones. La atención se suele focalizar en los casos en que las operaciones con las funciones o sucesiones implicadas provocan lo que llamamos indeterminaciones. Una vez identificada la indeterminación, hay que aplicar unas estrategias tipificadas para determinar el límite. Las indeterminaciones podrían dar lugar a chistes carteles, en los que se tratara de mostrar la diversidad de valores a los que puede tender según el comportamiento de las funciones que forman aquella de la que pretendemos calcular su límite. José Gordo y Pau Estrada han ilustrado el libro Factor-2, editado por Vicens-Vives, y entre sus ilustraciones aparecen algunas sugerencias para chistes carteles que pueden ser útiles en clase. En la figura 10-2 aparece el cartel con todos las indeterminaciones que se suelen trabajar en las matemáticas de bachillerato. Fig10-2 Fig10-3 Hacer chistes / carteles 1) Determinar convenciones o propiedades interesantes para hacer carteles. Los mismos autores ilustran la Pedir a los alumnos que hagan carteles sobre imposibilidad de obtener los 2) ellas. números irracionales con la 3) Debatir sobre las cualidades de los carteles grado en qué representan, elementos calculadora, en la viñeta de la figura elaborados: que evoca y los que distraen, cualidades de la 10-3. Tras determinar las convenciones matemáticas que conviene tener presentes durante la enseñanza de un tema, el profesor puede pedir a los alumnos que elaboren carteles humorísticos sobre la convención. Con ello dará ocasión a que los alumnos se familiaricen con el significado de la misma, de una manera distendida y metafórica, lo que permite una relación más placentera son el mismo. Ejercicios para el aula Inventar carteles humorísticos sobre las siguientes propiedades: - El número π es irracional (tiene infinitas cifras decimales no periódicas) - Entre dos números racionales distintos siempre hay otro número racional. Es decir, el proponer que estos carteles sean humorísticos facilita que se pongan en juego elementos evocadores, con lo que se rompe el proceso natural de clase, según el cual el profesor es el único que tiene capacidad para crear metáforas de los conceptos (el “con-beso”, que ya citamos, pero también las “deudas” para los “números negativos”, por ejemplo). El debate en clase sobre el cartel seleccionado, entre las diversas propuestas de alumnos, permite al profesor entrar a negociar el papel de la metáfora para representar un fenómeno, y cómo se complementa con su cualidad evocadora. Otra tarea consiste en analizar los carteles. Si se ha creado un hábito de trabajo con chistes gráficos, cabe emplear algunas de las técnicas descritas en puntos anteriores para ese análisis (elementos gráficos empleados, papel del texto, situación, etc.). En cualquier caso, es recomendable estudiar por separado el elemento que aparece en la gráfica (la metáfora a la que se recurre para estudiar el cartel), del contenido matemático que se quiere representar por medio de esa metáfora. Analizar carteles 1) Figuras que aparecen: qué son, qué hacen (metáfora) 2) Concepto matemático que representan: a quien afecta, de qué se trata (convención, propiedad, regla, etc.), 3) Relación entre la metáfora y el concepto matemático: propiedades comunes entre metáfora y concepto; propiedades diferentes.. 4) Papel evocador del cartel: qué propiedades son las que destacan más, grado en que despierta atención, utilidad del cartel. En el cartel de la figura 10-1, la metáfora es Moisés, mientras que el concepto matemático es la imposibilidad de dividir entre cero. Para analizar la metáfora hay que fijarse en los personajes, sus acciones y palabras. En la figura 10-1, el personaje es un pájaro extraño, podría ser un buitre por la longitud del pico, pero no es familiar. Está vestido con una túnica y tiene en las manos un objeto en forma similar a como Ejercicios para el aula se representan las Tablas de la Ley en los 1) Analizar el cartel propuesto en la figura 10grabados y frescos que representan a 2. Estudiar los personajes que aparecen, su Moisés. Los tiene abrazados, posición, y las metáforas que se emplean en la viñeta. soportándolos y mostrándolos a la vez, lo 2) Estudiar el concepto matemático que nos sugiere el pasaje bíblico de Moisés presentado 3) Estudiar si esta metáfora corresponde con dirigiéndose a su pueblo, al bajar del alguna de las significaciones que puede tener Monte Sinaí para transmitirle los el cálculo de límites, las indeterminaciones y los símbolos empleados. Mandamientos de Dios. El pueblo que ha 4) Estudiar el grado en que el cartel evoca los dejado Moisés espera de su líder la tipos de indeterminación. salvación, por lo que parece dispuesto a acatar sus mandatos. Sus designios son órdenes. El concepto matemático que se trata en la viñeta es que es imposible dividir entre cero. La imposibilidad de dividir entre cero deriva de que la ecuación 0x=a (a no nulo) no tiene solución, ya que la multiplicación de cualquier número por cero es cero. Según la “Historia Sagrada”, Moisés recogió en Las Tablas de la Ley el mandato divino, que, en el mundo occidental, se considera inspirado en la ley natural, con lo que no repugna a la razón y podría justificarse por otros procedimientos. La Ley divina formula en palabras lo que deriva del sentido moral común. En la historia metafórica empleada se emiten dictámenes que sintetizan reglas de sentido común. Igualmente, la imposibilidad de dividir entre cero es un hecho que se puede justificar en matemáticas por razones que no repugnan al sentido común, pero lo importante es que hay que tenerlo en cuenta siempre: “No dividir entre cero”. El carácter evocador del cartel propuesto estará basado en que los interlocutores manejen estos códigos culturales que les permitan interpretar la metáfora. El dibujo del pájaro da cierta frescura a la imagen, que no se detiene en muchos detalles, sino que realza los mas importantes. La idea de chiste cartel está sugerida por la cantidad de carteles que se han editado con función didáctica. Un cartel del Triángulo de Tartaglia, o de las potencias de los primeros números naturales, pueden tener un lugar destacado en la clase de matemáticas. Fig10-4 Sin llegar a defender la belleza de las fórmulas, tal como aparece en la figura 1-4, Harris llega a identificar las fórmulas matemáticas con cuadros, en el chiste de la figura 10-4. IamWatkins, profesor de matemáticas en el John Taylor High School, pidió a 10 alumnos que dibujaran un cartel en el que expresaran lo que para ellos es la matemática. En la figura 10-5 aparece una de estas imágenes. Para este alumno: “Las matemáticas son como un puzzle. Sólo resultan interesantes cuando se ha acabado”. Fig10-5 Con estas tareas matemático-humorísticas tratamos de que también sean interesantes las matemáticas, mientras se trabaja con ellas. iii) Aprender a hacer chistes En el transcurso de la vida aparecen situaciones humorísticas. Los humoristas las aprovechan por que tienen sensibilidad para captarlas y aplicarlas a otras situaciones. Ya hemos comentado que en las situaciones humorísticas aparecen términos equívocos, situaciones chocantes, formas inesperadas de contemplar un fenómeno que, sin embargo son también posibles. El humorista es capaz de fijarse en esas situaciones para sacarle partido. Para poder hacer esto, se necesita una capacidad de creación, es decir, de ver más allá de lo que está apareciendo, tener disposición a dejar vagar el pensamiento, sin esperar que llegue a un punto determinado. Todos los adolescentes son propensos a la ensoñación, más aun en clase de matemáticas, pero sólo algunos tienen una ensoñación creativa que pueda emplearse con funciones humorísticas. El chiste gráfico puede ser un recurso para favorecer el pensamiento creativo en los alumnos. Pero no olvidemos que nuestra intención es educar matemáticamente a los alumnos. Por tanto lo que vamos a proponer está dirigido a ello. Algunos elementos para crear ch - Términos matemáticos poli varios significados). - Términos matemáticos (denotan la misma cosa). homónimos - Metáforas y comparaciones de los términos matemáticos. Términos matemáticos con fonética Diversos autores proponen actividades para clase que comprenden el humor (Bonet y sus compañeros,1986, Camacho, Marz, 1967, Snyders, 1987, etc.). Su análisis del lenguaje nos muestra que el humor es un género que se presta a un trabajo serio, con intención educativa. Otros proponen actividades para emplear el lenguaje gráfico en el aula (Aparici, 1992, García, 1987, etc.). Muestran las cualidades educativas de los recursos del cómic. Nuestra idea trata de recoger los aportes de estas dos líneas. En este apartado proponemos educar matemáticamente por medio de la creación de chistes gráficos. Situación humorística A lo largo de las páginas anteriores hemos sugerido que se busquen situaciones que puedan convertirse en chistes (términos matemáticos polisémicos, u homónimos con términos cotidianos, metáforas para representar una situación, etc.) En este punto queremos continuar esta propuesta, poniendo algún ejemplo de cómo podemos elaborar un chiste gráfico. 1) Presentación que sugiere una respuesta. (lógica 1) 2) Aparición de otra respuesta inesperada, pero relacionada lógicamente con la premisa. (lógica 2) 3) Una representación icónica que refuerza el efecto evocador de las lógicas en contraste. En el capítulo 3 analizamos el papel intelectual del humor. Vimos que en la situación humorística aparecen al menos dos lógicas en contraste (una premisa/presentación, de la que implícitamente se deduce una conclusión, y una solución inesperada, pero que está relacionada con la premisa). A estas características estructurales hay que añadir la componente gráfica, que trata de representar la situación de una manera más plástica. Cuando se produce la reunión de estos tres elementos se conseguirá un humor más completo. En las viñetas, hay que reunir estas tres componentes en una sola mirada, por lo que resulta más complicado. En la viñeta de la figura 10-6, de José Gordo y Pau Estrada, en el texto Factor-2 de Vicens Vives, la lógica inicial está dada por un contexto matemático escolar, en el que alguien pide “extraer la raíz cuadrada”, que se convierte en “extraer una raíz de una planta”, y “hacerla cuadrada”, con ayuda de unos cortes. Fig10-6 El dibujo suple a la letra para indicar la salida inesperada. Se reúnen, pues, los tres elementos. En este caso se ha empleado como origen de la situación humorística la polisemia del término “raíz”. Fig10-7 En la figura 10-7, Martín Morales comienza por situarnos (por medio de la imagen) en un coche en la carretera. La primera parte del dialogo lo confirma: La carretera nos transforma en... El chiste, que aparece en verano, nos hace esperar que nos hable de alguna situación catastrofista (nos transforma en papillas, o algo similar). La salida inesperada es relacionar con los datos estadísticos que cada semana informan de la cantidad de muertos o heridos en la carretera. En este caso los iconos nos ayudan a situarnos. Para reforzar el efecto, Martín Morales utiliza, en su chiste, una asimilación que no tiene buena prensa. Identificar a una persona con un dato estadístico parece deshumanizarlo. Por tanto su comparación, que por otra parte es real, está reforzada por la imagen negativa del comparado (dato estadístico). Quino, en la viñeta de la figura 10-8, refuerza esta idea. Fig10-8 Ejercicios para el aula Buscar en la historia de Quino (fig10-8): - La premisa / presentación - La conclusión inesperada - Los elementos evocadores que añaden la En esta historia, el gesto de los personajes añade fuerza dramática, mostrándonos los sentimientos de los niños. Como además se trata de personajes que aparecen en otras viñetas, el lector habitual de las tiras de Mafalda llega a contemplarla con representaciones previas de cada personaje, en este caso de Miguelito (ingenuo, imaginativo, obsesionado por no dejarse manipular, etc.). Una vez destacados estos elementos, podemos proponer crear chistes gráficos sobre situaciones aparecidas o inventadas por los alumnos. La primera aproximación podría partir de sugerencias del profesor cuando aparezca una situación chocante, susceptible de ser convertida en chiste. Pero para que se mantenga el papel afectivo del humor, hay que procurar no ridiculizar a los alumnos, especialmente si partimos de respuestas disparatadas. En una clase de bachillerato español, impartida en lengua española, a hijos de emigrantes en Suiza, una alumna nos hizo la siguiente pregunta: Monsieur, ¿Comme on dit rectángulo en espagnol?. (Creo que no necesita traducción). El único término que dijo en perfecto español fue rectángulo (recordemos que en francés sería rectangule). Análisis de la situación - Presentación: la alumna habla en francés y va a preguntar algo. - Salida inesperada: su pregunta es sobre cómo se dice un término en español, y es el Esta situación podría ser el origen de un Ejercicios para profesores chiste sobre un término matemático. La explotación de la misma nos hubiera 1) Recordar anécdotas ocurridas en de matemáticas. permitido mostrar la relación estrecha en clase 2) Analizarlas, estableciendo el los términos empleados en francés y antecedente y la salida lógica español para denotar objetos matemáticos, inesperada. 3) Pensar en la escenografía que le da lo que indica las raíces comunes de las dos mayor riqueza evocadora lenguas. Además se prestaría a debatir sobre el papel que estos alumnos le atribuían al español (lengua coloquial, que sólo hablan con sus padres, y con la que no suelen tener contacto cultural). En las páginas web que aparecen al final del libro se pueden encontrar anécdotas, chistes y bromas matemáticas. Con ellas se puede generar chistes gráficos, buscando imágenes alegóricas. Partamos, por ejemplo, de los chistes cortos: - ¿Qué le dice un vector a otro?... ¿Tienes un momento? - ¿Qué le dice la curva a la tangente?... ¡No me toques! La manera más fácil de convertir en viñeta un chiste de pregunta / respuesta, consiste en presentar un dialogo entre dos personas, una preguntando y otra respondiendo. Un chiste más elaborado hace que el dialogo sea entre dos objetos. Podemos hacer que los vectores puedan hablar, convertirlos en personajes que mantienen una conversación. El chiste resulta más evocador si se le sitúa en un contexto cotidiano en el que una persona se dirija a otra con intención de que le dedique un poco de su tiempo. Por ejemplo podemos diferenciar el vector varón del vector hembra, y ponerlos en situación de conquista. En este caso hacemos más evocadora la situación de requerimiento de atención (tener un momento). En la figura 10-9, dibujada por José Juan Sanz, alumno de la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad de Granada, se ha querido hacer esta alusión. Fig 10-9 Podemos aún enriquecer la función intelectual del humor si tratamos de darle un sentido al término matemático “momento”. La idea intuitiva de momento surge en la parte de la Física que estudia las fuerzas, la Dinámica. En ella el momento de una fuerza es el producto de la fuerza que se aplica a una barra rígida, que tiene un punto de giro, por la distancia al eje de giro. El momento se representa por un vector que tiene la dirección del eje de giro. Se puede completar el chiste, tratando de darle a la palabra un sentido distinto según quien habla: para el que pregunta “momento” = “tiempo que dedicarle”; para Fig 10-10 el que contesta “momento” = “vector momento”. Tienes un momento Incluso podríamos darle un sentido más matemático (figura 10-10): - ¡Oye! ¿Tienes un momento? SI, PERO NO ESTÁ EN - ¡Si, pero no está en este plano! ESTE PLANO De esta forma, el chiste no sólo despierta la sonrisa, sino que también colabora al aprendizaje matemático, ya que hace caer en lo que en matemáticas (y física) se entiende por “momento de una fuerza respecto de un punto”. Con este ejemplo hemos querido mostrar cómo podemos buscar nuevas historias cómicas a partir de las que se pueden encontrar en cualquier libro de anécdotas. En el capítulo 5 mostramos nuevos chistes que empleaban palabras que contenían la sílaba PI, sugeridos por el clásico chiste que considera al Piojo como un animal que tiene entre 3 y 4 ojos. También podemos utilizar otros chistes clásicos, y sus palabras correspondientes. En Fig 10-11 la figura 10-11 aparece escenificado por Melchor Gómez, el clásico chiste sobre el oso polar. Ejercicios para el aula 1) Inventar otras situaciones relacionadas con los nombres polar, cartesiano, etc.. Convertirlas en chistes gráficos. 2) Inventar un chiste gráfico para reflejar la recursividad de la condición que hay que satisfacer para comprender la recursividad. Un chiste aparecido en una página web dice que: Para entender la recursividad en informática, antes, hay que entender la recursividad. Esta frase puede emplearse como punto de partida de chistes gráficos. En un examen de geometría apareció la siguiente definición: - Un polígono cóncavo es un polígono que tiene un ángulo deprimido. Vamos a emplear esta situación disparatada (1) para describir un proceso de creación de chistes matemáticos. Proponemos las mismas etapas para la creación de chistes que propusimos para los carteles (2). Pasamos a analizar el concepto matemático y las metáforas alusivas. En este caso el concepto matemático es el polígono cóncavo. La metáfora es la depresión. Crear nuevas humorísticas situaciones 1) Buscar una situación humorística o disparatada. 2) Analizar los elementos que la forman: Contenido matemático; Metáfora. 3) Buscar relaciones entre los elementos empleados, tratando de poner al menos dos lógicas en contacto. 4) Buscar imágenes y escenografías que representen los elementos y la lógica de cada uno, en un contexto en el que ambas sean razonables. 5) Buscar una situación nueva que reúna todos estos elementos de manera humorística y plástica Identificamos matemáticamente el polígono cóncavo como aquel que “tiene al menos un ángulo interior mayor de 180º”. El término cóncavo se aplica a las formas geométricas, pero también encierra cualidades topológicas. Hay diversas formas de definir el polígono cóncavo. Algunas de ellas tratan de que su formulación se pueda generalizar para definir los poliedros cóncavos (destacan las cualidades topológicas en el plano: existen segmentos entre puntos interiores que se salen del polígono). La idea metafórica utilizada es la de “depresión”, y la vamos a entender como “estado de ánimo”. No sabemos lo que ha querido decir el alumno, pero es cierto que la imagen que presenta es evocadora. Una salida fácil para crear el chiste sería reproducir la situación real, con dos personajes en una escuela, uno preguntando y el otro respondiendo. Esta viñeta mostraría la respuesta como disparatada, y no añadiría elementos evocadores relacionados con el concepto, sino con la relación escolar de examen. Si queremos explotar su función plástica tenemos que realzar el aspecto evocador (3), eliminando el que destaca la relación jerárquica de examen, en la que uno sabe (el profesor) y el otro no (el alumno). La idea de aprendizaje constructivista enunciada en el capítulo 8 nos lleva a creer que detrás de la respuesta del alumno hay una intención y una forma de concebir el polígono cóncavo, aunque sea difícil de Fig 10-12 adivinar. Busquemos relaciones lógicas entre el concepto y su metáfora. “La depresión” es un estado de decaimiento, pero también de abulia, tristeza. Sabemos que una posible representación (4) de los estados de ánimo se basa en la posición de la boca. La boca en O, es una boca abierta, que puede expresar sorpresa, miedo, etc. El decaimiento, la tristeza se suele representar por una boca en forma de u invertida. La u puede convertirse en un polígono cóncavo, sin más que darle grosor. Por tanto, la viñeta que puede acompañar la definición de polígono cóncavo según este alumno puede ser la de la figura 10-12. Pero no nos engañemos. Esta definición no es adecuada para que esta viñeta sea un cartel. Lo que queremos es mostrar una situación humorística. SOY CÓNCAVO.... Podemos darle a esta viñeta la característica de situación humorística si buscamos un dialogo adecuado (5): Fig 10-13 - ¿Qué le pasa a aquel? Nada, que está deprimido por que no sabe lo que es un polígono cóncavo. Tal como aparece en la viñeta de la figura 10-13. Esta ocurrencia se puede extender a desarrollar aún más el concepto de polígono cóncavo. Como sabemos los triángulos no puede ser cóncavos. Si personalizamos las figuras, podemos Fig 10-14 continuar la serie de chistes sobre la equivalencia cóncavo-depresión, con el de la ¡NO ES figura 10-14. PARA TANTO! Todos los profesores tenemos ejemplos de situaciones que se prestan a esta creación. Proponemos que se exploten estas situaciones, lo que permitirá trabajar con los conceptos matemáticos implicados, tomando en cuenta las creencias y conocimientos de los alumnos, convertidas en imágenes evocadoras. Cuando los alumnos realizan estas actividades, están relacionándose con los conceptos matemáticos, partiendo de sus ideas previas sobre ellos, con lo que se está favoreciendo su transformación cognitiva. Cuando los alumnos tienen dificultades para dibujar el chiste, podemos recurrir a otras viñetas y cambiarle el contenido de los globos. En el capítulo anterior mostrábamos la historieta propuesta por alumnos de la Licenciatura de Matemáticas, para destacar el significado de la x (figura 9-18). La estrategia ha consistido en (1) formular la idea que se quiere representar, (2) buscar una historieta que pueda servir y borrarle los CLARO, COMO VOSOTROS NO OS DEPRIMÍS Crear chistes aprovechando histo 1) Seleccionar la historia que se quiere contar; seleccionar la historieta gráfica; borrar los diálogos y cambiarlos por otros. 2) Revisar historietas; buscar algunas que presenten elementos matemáticos; imaginar un diálogo que esté contenidos de los globos, para sustituirlos por otros nuevos. En el caso de que no se disponga de la idea que se quiere representar, se puede proceder a la inversa: examinar historietas y buscar objetos o acciones que nos sugieran elementos matemáticos. Se puede recurrir a historietas de revistas de humor, e ir seleccionando aquellas en las que aparezca algo relacionado con las matemáticas escolares. Esto nos facilitaría la creación de un fichero de chistes que se pueden utilizar en un futuro. La existencia de una biblioteca humorística y la creación de hábitos de lectura de revistas y tiras cómicas facilitará que los alumnos tengan disposición a inventar sus propios chistes. En la figura 10-15 observamos como Quino ironiza sobre la forma en que Manolito ve la geometría. En sus sueños las formas de los productos que vende en su almacén reciben los nombres geométricos adecuados. Igualmente, las formas pueden generar ideas matemáticas. Fig 10-15 10.2: Chistes sobre los materiales didácticos. Los materiales y recursos didácticos son instrumentos profesionales que adquieren sentido en el aula de matemáticas. Algunos de ellos han adquirido tanto auge en las aulas de la educación infantil y primaria que los hacen conocidos por los niños y sus padres, como los números en color o los bloques multibase (figura 1016). Otros son de uso habitual en otros ámbitos, como el ábaco, la Fig 10-16 calculadora y el ordenador, pero también la olvidada regla de cálculo. La importancia y el reconocimiento, en el mundo no matemático, de los materiales y recursos específicos no es muy grande, aunque confiamos en que en el futuro sean al menos tan familiares como lo son los instrumentos de los laboratorios de Física y Química, o de Ciencias de la Naturaleza. Este desconocimiento externo hace que sean escasos los chistes no matemáticos que involucran a materiales didácticos. Si se hace un chiste sobre el “Geoplano”, por ejemplo, es difícil que lo entiendan los no matemáticos. Sin embargo es corriente que aparezcan en los chistes recursos didácticos tradicionales. Ya hemos mostrado varios chistes en los que aparece la pizarra (figura 9-29). Este elemento permite a los autores situarnos en un contexto escolar, o bien identificar lo que se escribe en ella con aprendizajes básicos. Fig 10-17 Elisabeth Marie en la viñeta de la figura 91 hace uso de la pizarra como elemento de comunicación alumno-profesor, en la enseñanza de las matemáticas. Mesamadero critica el papel de la pizarra en la viñeta de la figura 3-2, en la que a su imagen acompañaba la frase: Las matemáticas no son sólo pizarra. También los chistes critican la complejidad del lenguaje matemático que se suele escribir en la pizarra. En la viñeta de la figura 10-17, el profesor, con una pizarra rellena de fórmulas incomprensibles se dirige a los alumnos: ¿Alguna pregunta?. Harris emplea con frecuencia la pizarra en sus chistes, también con la intención de ironizar sobre la forma en que razonan los matemáticos (figuras 10-18, 10-19 y 10-20). Fig10-19 Fig10-18 Fig10-20 Ejercicios para el profesor 1) Describir el objeto que se critica en las figuras 10-18 a 10-21. 2) Indicar el papel que juega en ellas la pizarra. 3) Determinar las cualidades didácticas de la pizarra (papel en Fig 10-21 La visión crítica del formalismo excesivo aparece explotada en la viñeta de la figura 10-21, en la que de nuevo Harris muestra la lejanía que tiene la física moderna de la experimentación, ya que en el laboratorio de esta disciplina solo existe... una pizarra. Los instrumentos de cálculo aparecen en las viñetas humorísticas, puesto que forman parte de la vida cotidiana actual. Para mostrar algunos de ellos comencemos por una viñeta de la serie: El mundo sin ingenieros. En esta serie de viñetas, coloreadas y con bonitos dibujos, se hace un recorrido por algunas situaciones que se vivirían en la actualidad si los ingenieros no hubieran hecho sus descubrimientos. La visión jocosa de este supuesto mundo se hace supliendo los ingenios actuales por otros que Fig 10-22 cumplan su misión. En la de la figura 1022, se ha prescindido de los ingenios de cálculo. Los chistes gráficos nos permiten establecer el límite de validez de los recursos informáticos y de cálculo. Ya hemos presentado en el capítulo 3 varios chistes sobre calculadoras, por lo que no insistiremos en ellas. Veamos algunos chistes sobre los ordenadores y su repercusión en el aula de matemáticas. Los ordenadores han aparecido en una gran cantidad de chistes, nos detendremos sólo en los que corresponden a nuestro foco de interés. Ejercicios para el aula 1) Explicar qué quieren exponer los chistes de las figuras 10-23 y 24. 2) Justificar las críticas que se hacen a los ordenadores en estas viñetas. Buscar los puntos débiles de estas críticas. El papel de los medios informáticos para el aprendizaje matemático es cada vez más Fig 10-23 aceptado. El uso de software educativo específico, como el LOGO en su tiempo, el CABRI, y otros que están surgiendo, están revolucionando la enseñanza de la geometría. Pero además, los programas de utilidades son cada vez más empleados para hacer propuestas didácticas. Las hojas de cálculo están empleándose para plantear y resolver problemas. Los programas científicos (Matemática, Derive, SPSS, BMDP, etc.) se emplean con frecuencia en los cursos de matemáticas superiores. Sin embargo, los ordenadores no son infalibles, y su papel en la enseñanza tiene que matizarse. A la vez que se hacen propuestas cada vez más enriquecedoras, se están reconociendo algunos peligros de su empleo. El humor gráfico nos puede ayudar a poner de manifiesto sus limitaciones, tratando con ello de compartir nuestros temores con los alumnos. Fig 10-24 En las siguientes historias se manifiestan algunas de las críticas más extendidas al empleo de ordenadores. Lo primero que se critica es que cada vez dependemos más de los medios informáticos. En la figura 10-23, Zahm retrata una situación en la que la maestra hace depender sus resultados de lo que diga el ordenador. La calculadora y el ordenador no deben impedir el cálculo mental ni el cálculo manipulativo, ya que ambos colaboran a la creación del “sentido numérico”. Harris bromea sobre los efectos del ordenador, en la viñeta de la figura 10-24. ¿Quién controla al ordenador? ¿Cómo llega el ordenador a obtener sus resultados? Estas son dos preguntas que todos nos hemos hecho alguna vez. El ordenador es algo mágico. Recuerdo que mi hija, que llegó a Suiza con 6 años, harta de oír hablar a todos en francés y empezar a entenderlos, me preguntó un día: Papá, ¿pero estos, cuándo hablan de verdad?. Para ella hablar de verdad era hablar como siempre había hablado ella, es decir, en español. Algo parecido sugiere Avoine en la viñeta de la figura 10-25. El ordenador tiene Fig 10-25 que funcionar de la manera en que lo veíamos en la serie Los Picapiedra. Un enanito, que vive en su interior, hace los cálculos y los pasa a través de la pantalla. Para Avoine, el ordenador emplea el ábaco para obtener sus cálculos. Aunque, la forma del globo, nos sugiere que el ordenador piensa, y en sus pensamientos emplea un ábaco oculto para obtener sus resultados (figura 10-25). ¿Cómo actúa el ordenador? ¿Cómo consigue la calculadora obtener sus resultados? Éstas son preguntas que podrían asumirse en el aula, pero para ello hay que documentarse adecuadamente. En la revista Teaching Statistique han estado apareciendo hasta la muerte del autor, chistes de Andrejs Dunkels. Sus personajes tienen el aspecto de gusanitos. En el de la figura 10-26 nos sugiere el problema de controlar al ordenador. El usuario no está seguro de lo producido por el ordenador, y... contrasta con otros medios. En este caso la situación humorística tiene un carácter aún más intelectual. Se está generando una tabla de números aleatorios. Fig10-26 ¿Dónde son más aleatorios los números obtenidos, en el ordenador o en la tabla? ¿Cómo se obtienen en una y otra? ¿Cómo podemos Fig10-27 romper la regularidad del comando RAND del ordenador?. Son algunas de las preguntas que podemos asumir a la vista de esta viñeta. En otros chistes se denuncia que el ordenador crea adicción, especialmente para adolescentes. En la viñeta de Mingote de la figura 10-27, se bromea con que el niño no existe cuando está en el ordenador. Pero además es llamativo que sus apariciones sean para hacer preguntas escolares clásicas y elementales. ¿Para qué emplea entonces el ordenador? ¿Qué relación hay entre el uso del ordenador de los adolescentes y su aprendizaje matemático? En otros casos el humor nos muestra que esta adición al ordenador sólo es para jugar, conectarse a la red y otras diversiones similares. En la historia de Zep (figura 10-28), los personajes están entusiasmados con el ordenador, hasta que sienten que su padre pretende que “hagan y aprendan matemáticas con ellos”. Ejercicios para el aula 1) Enunciar utilidades que tiene el ordenador para ti. 2) Identificar otras aplicaciones del ordenador para otras personas, identificándolas. 3) Calcular el tiempo que dedicas al ordenador, indicando el que empleas para cada utilidad. 4) Comparar ese tiempo con el que dedicas a otras tareas: dormir, La proliferación de los medios informáticos en la enseñanza ha hecho preciso analizar su papel educativo. Con los ordenadores y la calculadora gráfica se pierden muchos de los ejercicios escolares que se han trabajado en otro tiempo. El empleo de tablas de logaritmos, por ejemplo, ha dejado de ser interesante, y casi ha desaparecido de la enseñanza. La calculadora permite calcular, con tantos dígitos como admita, el logaritmo de cualquier número, sin necesidad de interpolar. Las fórmulas trigonométricas, que se basaban en la aplicación de logaritmos (paso de sumas a productos, por ejemplo), no pueden justificarse por estas razones, y pierden protagonismo. En estas condiciones no deja de ser llamativo que se haya recuperado en la enseñanza obligatoria el algoritmo de la raíz cuadrada, cuando nadie lo emplea, pero los usos escolares son a veces caprichosos. El profesor tiene que ser consciente de estos cambios, y analizar las ventajas e inconvenientes de los nuevos recursos didácticos (el píxel no es un punto, pese a que en la calculadora y el ordenador permita representar funciones, la calculadora científica respeta los criterios de la jerarquía de operaciones, con lo que hay que aprenderlo con más razón, etc.). Fig10-28 Fig10-29 Con este apartado hemos pretendido mostrar como el humor permite llevar a cabo alguno de estos análisis, e incluso compartirlo con los alumnos. Para cerrarlo queremos insistir en la especificidad de los recursos didácticos. En la figura 10-29, de Gordo y Estrada, la calculadora presume frente al ábaco de lo bien que se le dan los logaritmos neperianos. ¿Qué destrezas y propiedades matemáticas se pueden estudiar con la calculadora? ¿Cuáles de ellas no se pueden estudiar con el ábaco? El chiste nos abre un posible debate sobre propiedades de los números, operaciones, y en concreto de los logaritmos y su utilización. Ejercicios para el aula 1) Analizar qué operaciones puede hacer la calculadora que no las hace el ábaco. 2) Estudiar con qué tipo de números puede trabajar la calculadora y el ábaco. 3) ¿Qué han pretendido destacar los autores de este chiste? Enunciar algunas hipótesis. Resumen El humor es un recurso didáctico para aprender matemáticas. En este libro hemos descrito tres formas de utilizarlo: - Para que los alumnos se relacionen con vocabulario, situaciones que dan significado a los conceptos, errores habituales, representaciones frecuentes, etc. - Para hacer carteles humorísticos para el aula y para analizarlos. - Para inventar chistes para aprender matemáticas. El humor permite analizar las limitaciones y posibilidades de los recursos didácticos (ábaco, pizarra, ordenadores y calculadora, otros) Ejercicios para el aula X.1. Diseñar carteles para las siguientes propiedades: - Un número no nulo elevado a cero vale 1. - La suma de los ángulos de un triángulo es 180º. - El número combinatorio sobre 0 vale 1. X.2. Analizar los chistes de las figuras 10-30 (Eloy Melero), 10-31 (Alumnos Matemáticas Granada), 10-32 y 10-33. Estudiar los conceptos matemáticos que aparecen, las metáforas que emplean para representarlos, relacionar ambos elementos y estudiar por qué las metáforas evocan los conceptos. X.3. Inventar un chiste a partir de la frase de Paulos (1994, p. 83): “La probabilidad y la estadística, como la geometría y las matemáticas en general, vienen en dos sabores: puras y aplicadas” X.4. Inventar un chiste en el que aparezcan dos figuras geométricas hablando, una bidimensional y otra tridimensional. Fig10-30 Fig10-31 Fig10-33 Fig10-32 11. Función pedagógica 6: Historia y epistemología. Conocer la historia de los conceptos y de los matemáticos nos permite apreciar que el conocimiento matemático ha aparecido en un medio humano, que se ha generado por la actuación de las personas. Pero además puede suministrarnos información sobre cómo han aparecido los conceptos, especialmente si nos ocupamos de buscar los problemas y el contexto científico y social que rodeó al acontecimiento. Claudi Alsina y Miguel de Guzmán escribieron el citado libro Los matemáticos no son gente seria, con intención de destacar anécdotas de los matemáticos, mostrando el lado humano de estos personajes. Su intención manifiesta es promover que la gente conozca a los matemáticos, y disfrute de sus cualidades humanas. Y no solamente en el sentido que Pachi nos quiere ofrecer, en la figura 11-1. Fig 11-1 Ejercicios 1) Analizar por qué el humorista ha utilizado la profesión de matemático en la historia de la figura 11-1. ¿Qué otras profesiones podría haber empleado para que tuviera sentido humorístico la historia? 2) Buscar personajes de películas, novelas, cómic, etc. que sean matemáticos o profesores de matemáticas. 3) Estudiar si se explotan en la historieta las características que se atribuyen a un matemático. Es diferente afrontar el estudio de la probabilidad, a partir de su construcción formal, que hacerlo a partir de resolver los problemas del caballero De Meré. Los chistes gráficos pueden escenificar las situaciones, presentando a los grandes matemáticos en su época, haciendo sus descubrimientos o difundiéndolos. También pueden presentar los problemas que dieron lugar a los conceptos matemáticos, tal como acabamos de nombrar con el nacimiento de la probabilidad. Los autores de textos escolares comparten estas intenciones de humanizar la historia de las matemáticas las comparten. Cada vez más libros de texto dejan una parte de cada lección para presentar datos históricos de los matemáticos más importantes relacionados con los conceptos del capítulo, para mostrar curiosidades de estos personajes, o para relatar problemas históricos que dan sentido a los nuevos conceptos. Podemos utilizar estos aportes para proponer que los alumnos hagan chistes sobre los conceptos y su historia, con lo que estaremos habituando a los alumnos a leer y prestar atención a estos apartados (aunque “no entren en el examen”, como todos los alumnos saben). En este capítulo vamos a desarrollar algunas tareas para trabajar el humor gráfico en combinación con la historia de las matemáticas. Para ello comenzaremos por mostrar chistes y tareas relacionadas con los matemáticos (§11.1). Luego veremos situaciones y tareas relacionadas con los problemas que generaron los conceptos matemáticos (§11.2). Los chistes gráficos nos dan una idea de cómo ven las matemáticas los no matemáticos. Los humoristas no suelen ser matemáticos, y además se dirigen a un público amplio, al que tienen que transmitir una idea cómica. Para ello tienen que utilizar conocimientos compartidos por el público. Los humoristas ponen de evidencia la forma en que conciben las matemáticas los no matemáticos. En algunos casos hacen valoraciones sobre las matemáticas. Humor gráfico e historia de las Matemáti 11.1. Humor históricos: sobre datos a) Chistes relacionados con matemáticos ilustres. b) Chistes sobre problemas clásicos los 11.2. Humor para debatir sobre la naturaleza del conocimiento matemático (epistemológicos) Podemos utilizar estas historietas sobre las matemáticas para analizar qué se entiende por matemáticas, qué características tienen las matemáticas, cómo se llega a los conceptos matemáticos (¿se inventan o se descubren?, es la pregunta típica), etc. Todas estas preocupaciones y razonamientos son de tipo epistemológico, y como veremos, son asumibles para debatir en clase a partir de chistes gráficos. 11.1. El humor para realzar la historia de las matemáticas. El matemático es longevo y siempre joven; no se le caen pronto las alas del alma, ni se acumulan en sus poros partículas terrenas que se levantan de los sedientos caminos de la vida vulgar. Todos los matemáticos, especialmente los que han desarrollado el pensamiento lógico, son grandes manejadores del lenguaje, y lo hacen con medios humorísticos. Por tanto, el Silvestre (1969), p. 17 grado de ensimismamiento de muchos grandes matemáticos nos da ocasión para despertar la sonrisa sobre su lado humano (e incluso su lado ridículo), y permite que los demás se puedan reír de sus ocurrencias y despistes. De esto se han beneficiado Alsina y Guzmán, pero también muchos otros escritores. Nosotros proponemos emplear anécdotas, datos históricos, problemas escenificados por medio de viñetas, etc. como fuente de tareas. Con ello colaboraremos a defender la aseveración de Máximo respecto a la tan cacareada Reforma de las Humanidades: las matemáticas (y la ciencia) también son humanidades (figura 11-2). Fig 11-2 Para ello vamos a diferenciar dos campos de Ejercicios para el aula Buscar en el diccionario los términos: atención: los matemáticos y los problemas 1) Ciencia, Matemáticas, Humanidades. (pese a que unos no existirían sin los otros). 2) Escribir las definiciones encontradas, y los elementos comunes entre ellos En primer lugar veremos viñetas establecer así como las diferencias. humorísticas sobre matemáticos, con la 3) Relacionar estas definiciones con la que se suele hacer en la escuela intención de que los alumnos busquen a esos clasificación entre Ciencias y Letras. Tratar de buscar los personajes en la historia, los sitúen problemas que interesan a cada una de las que se incluyen en estos cronológicamente, busquen algunos datos de asignaturas apartados. su vida, etc. Posteriormente presentaremos tareas para realizar en el aula de matemáticas relacionadas con los problemas que han dado lugar a los conceptos, es decir, pasaremos de mirar la historia desde los personajes a mirarlos desde los conceptos matemáticos. a) El humor gráfico y los personajes de la historia de las Matemáticas Es relativamente moderna la diferenciación del matemático como científico dedicado exclusivamente a esta ciencia. Hasta el siglo XVIII, los grandes matemáticos se ocupaban de otras disciplinas, dado que su interés estaba en la ciencia aplicada. Esto hace que el humor sobre los personajes históricos no permita diferenciar la ciencia a la que se dedicaban. Quizás los matemáticos de la antigua Grecia, (Euclides, Pitágoras, Thales, etc.), sean los más citados por los no matemáticos. Esto hace que puedan aparecer en los chistes, ya que el público puede identificarlos para comprender el mensaje humorístico. Si los personajes son poco conocidos, qué podríamos decir de sus logros. Si preguntásemos a la gente sobre qué resultados de la matemática clásica conocen, probablemente nos encontraremos con muy pocas respuestas. Seguro que el Teorema de Pitágoras es una de ellas, aunque de él sólo suene su versión algebraica incompleta (El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos). Bob Thaves se ha valido de este teorema en sus chistes. Lo que resalta en el de la figura 5-15 es lo ridículo del término empleado, no el significado del teorema. Estos chistes sobre matemáticos nos permiten abrir un debate sobre el contenido del chiste, estudiar al personaje histórico, analizar si lo que se presenta en el chiste obedece más a la leyenda o tiene fundamentos históricos que lo refrendan, etc. Ejercicios para el aula 1) Analizar el contenido del chiste 5-15. 2) Buscar en una enciclopedia o en un libro de Historia de las Matemáticas, la vida de Pitágoras. 3) Buscar el término hipotenusa en varios diccionarios (enciclopédico, de matemáticas, etimológico). 4) Estudiar si fue Pitágoras el que le asignó este nombre al lado mayor del triángulo rectángulo. ¿No me digas que puedes ver el Delta del Nilo sin pensar en el pobre Euclides que, evidentemente trabajaba en el Ministerio de Vías Fluviales?. ¡Cuántos sufrimientos habrá tenido en su vida! ¡Cómo habrá debido parecer todo hipotenusa, a un pobre funcionario, casado y con nueve hijos, todos isósceles..! L. Durrell. Monsieur o le prince des tenevres. P. 111-112. En el caso del chiste anterior, hay que reconocer que las informaciones que los alumnos pueden encontrar sobre Pitágoras son, a la vez, amplias y confusas. Esto nos dará oportunidad de mostrar que los conocimientos matemáticos actuales son versiones de los conceptos clásicos, que a su vez derivan de los problemas y se aplican a nuevos problemas. Mike Cavna nos ofrece en la viñeta de la figura 11-3, una ocasión para que los alumnos profundicen en el personaje de Arquímedes. Ejercicios para el aula 1) Analizar el contenido del chiste 113: El pensamiento de Arquímedes en la viñeta, su cartón, el juego al que está apostando, etc. Justificar la lógica inesperada que hace humorística esta viñeta. 2) Buscar en una enciclopedia o en un libro de historia de las matemáticas, la vida de Arquímedes. 3) Estudiar la relación que existe entre los trabajos matemáticos de Arquímedes y lo que representa la viñeta. Fig 11-3 ¿Por qué no le ha tocado la lotería a Arquímedes? ¿Hay datos históricos que corroboran el juego humorístico que destaca el autor del chiste? ¿Qué relación existe entre esta anécdota y los resultados actuales de la teoría de la probabilidad? ¿Y entre la anécdota y la característica de los números?. En la viñeta de la figura 11-4, Arquímedes no encuentra su espiral. Fig11-4 Ejercicios para el aula 1) Buscar la espiral de Arquímedes en una enciclopedia. Dibujarla y averiguar sus características. 2) Buscar el uso que se le ha dado a esa espiral en la historia de la matemática Estas cuestiones nos dan la oportunidad de trabajar sobre datos históricos y conceptuales de las matemáticas. Aunque sus trabajos no afecten a la Fig11-5 matemática elemental, la famosa banda de Möbius forma parte de la cultura científica básica, por lo que los chistes sobre este matemático pueden darnos ocasión para que los alumnos sitúen a Möbius en la historia y lo conozcan un poco más. En la viñeta de la figura 11-5 Harris hace un juego de palabras con la banda y la personalidad de Möbius (ambos tienen una sola cara). El trabajo de identificación de la banda puede continuarse con la viñeta de James Martino, en la que quiere realzar los problemas de aparcamiento. (figura 11-6). Fig11-6 Fig11-7 También Jean-Pierre Petit presenta la banda de Möbius como un “problema irresoluble” para el no matemático, en la viñeta de la figura 11-7, extraída de su álbum Le Géometricon (1980). Ejercicios para el aula 1) Analizar la vestimenta y las características del escenario de la viñeta de la figura 11-5, y tratar de adivinar en qué siglo está situada. 2) Buscar en la enciclopedia, o en libros de historia de la matemática, el nombre de Möbius, algunos datos de su vida y su obra. 3) Relacionar las cualidades de la “banda de Möbius” con las situaciones humorísticas de las figuras 11-5, 11-6 y 11-7. Podemos proponer a los alumnos que inventen nuevos chistes a partir de otros personajes históricos. Las pintorescas características de la Escuela Pitagórica (Nadie entre sin saber de números), las anécdotas sobre Pitágoras, bastante difundidas en libros esotéricos y de divulgación matemática, lo hacen un personaje muy apropiado para inventar chistes y dibujar una viñeta alegórica al mismo. Ejercicios para el aula 1) Buscar nombres de matemáticos que han quedado reflejados en los teoremas, conceptos, resultados, etc. de la matemática (Por ejemplo: Pitágoras y su Teorema; Ruffini y su regla y Teorema; Al-khowârizmi en el álgebra y los algoritmos; Euler y el número e; Neper y los logaritmos neperianos, etc.) 2) Buscar en libros de historia algunos datos sobre la historia de los matemáticos y su obra matemática. 3) Inventar chistes sobre anécdotas de los matemáticos. Para ello podéis emplear libros de historia de las matemáticas o de divulgación Para todas estas tareas los alumnos se pueden servir de una enciclopedia general, en la que aparezcan los grandes matemáticos. Pero además se les pueden suministrar libros de Historia de las Matemáticas. Son muy recomendables los textos de Meavilla y Canteras (1984), que presentan la historia de manera ilustrada. La Historia de la Matemática en Cómic, de Carlavilla y otros, también puede darles sugerencias para el escenario y la caracterización de los personajes, aunque sea de forma caricaturesca. Mataix tiene varios libros que reúnen pasatiempos y anécdotas sobre matemáticos. Los libros de historia de la matemática suelen introducir un índice de los autores citados, lo que permite dirigirse a los lugares en los que aparecen, ver el campo de la matemática en el que han destacado, y relacionarlo con otros autores. Es recomendable que en los centros exista alguno de estos libros, como el de Boyer (1986) o el de Kline (1992). Un texto divulgativo de historia que además tiene muchas ilustraciones es el de Mankiewick (2000). Otro texto que podemos utilizar es el de Montesinos (2000), una historia de las Matemáticas, destinado a profesores y alumnos de la enseñanza secundaria, en el que describe el desarrollo histórico de los conceptos. Los libros de la colección editada por Nívola, La matemática en sus personajes, son muy adecuados para este nivel educativo. También es recomendable el texto de Gómez (2002). b) Chistes y viñetas relacionados con problemas y acontecimientos que dan origen a los conceptos Aunque como hemos dicho, es difícil separar a los autores de sus obras, y por tanto de los problemas que afrontaron, en este apartado vamos a destacar algunas viñetas sobre los problemas gracias a los que se crearon algunos conceptos matemáticos. La historieta gráfica es un medio potente para representar situaciones históricas y para mostrar resultados y razonamientos matemáticos. Ya hemos mencionado algún ejemplo, como la Historia de la Matemática de Carlaville, así como el libro de Meavilla (1984). También se ha editado una historia de la estadística en cómic (Gonick y Smith, 1999), y un libro sobre estadística en cómic (Cubero, 2001). Fig 11-8 En estos libros aparecen viñetas en las que Fig 11-9 se reflejan problemas clásicos de la historia de las matemáticas, a partir de los que se pueden realizar ejercicios matemáticos y reflexiones históricas que faciliten el aprendizaje de nuestros alumnos. Con ellos se puede conseguir que los alumnos identifiquen los problemas que originaron los conceptos, sitúen estos conceptos en el tiempo histórico, identifiquen las características actuales de esos conceptos y puedan resolver con ellos los problemas originales. Incluso se puede intentar que utilicen los métodos de la época para resolver problemas. En el texto de Gonick y Smith se Ejercicios para el aula representa, con viñetas, el nacimiento de Buscar en la enciclopedia y en libros de la probabilidad, mediante los problemas 1) historia de las matemáticas a los de De Mere. En la figura 11-8 podemos matemáticos Blaise Pascal y Pierre de Anotar algunos datos históricos ver el comienzo de la correspondencia Fermat. (época en que vivieron, sus logros entre Pascal y Fermat a partir de los matemáticos más importantes, etc.) problemas del Caballero De Mere. 2) Buscar el enunciado de algún problema Poisson considera que esta sencillo de partidas, y tratar de resolverlo. correspondencia entre Pascal y Fermat, sobre un problema de partidas inacabadas, es un hito en la historia de la probabilidad. En la figura 11-9 aparece la viñeta que el libro de Cubero hace de Pascal. Hay muchas propuestas didácticas que sugieren emplear la correspondencia entre Pascal y Fermat para trabajar la probabilidad en la enseñanza media. Las viñetas añaden un aspecto gráfico. Para completar el estudio iniciado con las viñetas que retratan los problemas, es conveniente utilizar textos originales de los autores. El texto Mathématiques au fil des âges, escrito por D’Hombres y otros (1987), aunque está en francés, es muy recomendable, por recoger los textos originales, tal como los escribieron los matemáticos. Fig 11-10 La revista Muy Interesante suele introducir en sus páginas alusiones humorísticas a los grandes descubrimientos científicos. Romeu ha elaborado en esta revista una pequeña historia de los sistemas de numeración, que aparece en la figura 11-10. Aunque se reduce a una página, en ella aparecen datos muy significativos de la historia de los sistemas de numeración. Ejercicios para el aula 1) Indicar las civilizaciones que aparecen en la figura 11-10 que tienen una colaboración importante en la historia del sistema de numeración. Indica la etapa histórica en la que se desarrolla cada una. 2) En un cuadro de doble entrada sitúa estas civilizaciones, su época de vigencia, y sus aportes más importantes. 3) Estudiar cómo se puede operar (sumar, restar, multiplicar y dividir), con los sistemas numéricos predominantes en cada civilización. 4) En la viñeta se muestra una situación humorística. Describirla y confrontar sus datos con algún libro de historia de la matemática. Libros recomendados: Ifrah (1997), Hogben (1966), Bergamini (1969) Entre los aportes tratados, Romeu destaca la importancia que ha tenido en la historia la aparición del cero. Esta información podría reforzar el trabajo planteado con ocasión de las dificultades matemáticas (capítulo 8), y concretamente con los errores ligados al cero (figura 8-11 y ejercicios). Los álbumes de Jean Pierre Petit suelen introducir alegorías históricas. Así, en Le Géometricon (Petit, 1980), el autor pretende introducir las geometrías no-euclídeas, valiéndose para ello de los trabajos de su personaje, Anselme Lanturlu. Anselme mide distancias, superficies y volúmenes en la superficie de la tierra, hasta percibir que los instrumentos que le suministra la Casa Euclides (herramientas para medir, pero también teoremas y propiedades de la Geometría euclidea), le dan medidas que no coinciden con los obtenidos aplicando las fórmulas de la geometría plana (superficie del círculo, suma de los ángulos de un triángulo). Ejercicios para el aula 1) Buscar en la enciclopedia y en libros de divulgación matemática algunos enunciados de los Elementos de Euclides. Buscar el V Postulado de Euclides. 2) Buscar los nombres de Gauss, Lobatchevsky y Riemman, y la relación que sus resultados geométricos tienen con este postulado. 3) Situar a todos estos autores en la historia (años, elementos matemáticos importantes, etc.). 4) Recordar el Teorema del Punto Gordo: Por todo punto exterior a una recta pasan tantas paralelas a la misma como quepan en el punto. Dibujar una viñeta sobre este teorema y relacionarlo con la controversia que supone el nacimiento de las geometrías no euclideas. En la imagen de entrada (Figura 11-11), Petit recrea la antigua Grecia pero le añade los elementos actuales del mercado. De una viñeta a otra han pasado 2200 años y en ellos se ha producido el declive de la Casa Euclides (metáfora del abandono de la geometría euclidea en la física superior actual). Más adelante, Petit alude a la utilización de los resultados de las geometrías no euclídeas en la Teoría de la Relatividad. Einstein establece en la viñeta de la figura 11-12 la relación entre la densidad y la forma del universo, estableciendo, por tanto, la relación de su teoría con las nuevas geometría. Fig 11-11 El texto de la figura 11-11 dice: La Sociedad Euclides y Cia nació en Alejandría, en el siglo III a.d.C. Durante dos mil dos cientos años sus asuntos prosperaron. Sus productos eran muy apreciados y la clientela estaba satisfecha y era fiel. Pero, poco a poco, los gustos de los clientes cambiaron. Algunos, que habían sido incondicionales de la marca, debido a curiosas experiencias, se preguntaron: “¿Es Euclides realmente para todo y en todas partes, lo mejor que hay?” Es la historia de uno de ellos la que vamos a contaros aquí... Fig 11-12 Siguiendo el modelo de estas historias, se puede proponer en clase la creación de viñetas alusivas a la historia de un concepto. El modelo propuesto por Romeu (figura 11-10) consiste en escenificar a los personajes por medio de su vestimenta y entorno, y hacerles decir o hacer algo alusivo a los conceptos que se quieren realzar. El toque humorístico en estos casos es muy significativo: el poco avance que se produce en algunos conceptos matemáticos durante muchos siglos. Las dificultades que ha tenido la humanidad para crear y aceptar nuevos conceptos, que ahora forman parte de los contenidos de las Fig 11-13 matemáticas de la enseñanza media, son aspectos interesantes que se pueden realzar con las viñetas históricas. Los números negativos, los irracionales, los imaginarios, la idea de límite, la geometría de ecuaciones, etc. son algunos conceptos de aparición relativamente reciente. Ello noa muestra que la humanidad ha tenido dificultades para asumirlos como objetos de estudio. Los números negativos han sido rechazados hasta hace relativamente poco tiempo. Si bien Cardano, en su Ars Magna del siglo XVI, llama falsos a los números negativos, más recientemente, Carnot, en el siglo XVIII decía: Para obtener realmente una cantidad negativa sería necesario quitar una cantidad de cero, quitar algo de nada: operación imposible. ¿Cómo concebir, entonces, una cantidad negativa? Ejercicios para el aula 1) Buscar situaciones en las que no sea posible obtener números menores que cero (por ejemplo, la velocidad negativa). 2) Aplicar a estas situaciones la frase de Carnot y convertirla en una historieta humorística. 3) Analizar la situación controvertida que se le presenta al personaje de la figura 11-13 de Cavna, y relacionarlo con las propiedades de los números negativos, y con las dificultades que han surgido en su historia. En los libros de texto de matemáticas de la enseñanza elemental suelen aparecer algunas referencias históricas. Para ello los autores han hecho un esfuerzo de síntesis que se puede emplear para iniciar el tratamiento histórico de los conceptos, y para inventar chistes que permitan tener presentes los acontecimientos de la historia de las matemáticas. En la colección de libros de BUP (Bachillerato Unificado y Polivalente) de la editorial Anaya, Miguel de Guzmán, José Colera y Adela Salvador presentan unas páginas de “Revista”, que pretenden mostrar el lado humano de las matemáticas. La breve historia del Álgebra que presentan en las páginas 68 y 69 del texto para 1º de BUP puede emplearse para que los alumnos hagan viñetas similares a las que Romeu ha utilizado para describir la historia del sistema de numeración. Ejercicios para el aula 1) Buscar en libros de historia de matemáticas, enciclopedias y libros divulgativos, las etapas más importantes en la historia del álgebra. 2) En una época de esta historia se llamaba la cosa al número desconocido. Emplea este término para proponer alguna situación humorística (buscar la época, pensar en alguna situación en que se utilice el término cosa con doble sentido: incógnita, objeto). 3) Tratar de escribir en forma de ecuaciones, expresiones que han empleado los primeros algebristas, como la siguiente frase de Al-Kwarizmi: Su cuadrado y veintiuno igualan en valor a diez veces el número. 11.2. Humor para debatir sobre la naturaleza del conocimiento matemático (epistemológicos) En el desarrollo del punto anterior hemos mostrado chistes alegóricos a la historia de los conceptos matemáticos. En algunos de ellos se ponen en cuestión qué son los objetos matemáticos. Por ejemplo, las viñetas de Petit presentando las geometrías no euclideas dan lugar a elucubraciones que, para los que no las manejann, pueden sonar más a filosofía que a matemáticas. (¿Cuándo son verdaderas las afirmaciones matemáticas? ¿Es el mundo Epistemología de las matemáticas euclídeo?, etc.). . Ciencia que se ocupa de estudiar el propio Estas reflexiones sobre la naturaleza de las conocimiento matemático. matemáticas son siempre pertinentes. En . Algunas cuestiones que trata de resolver parte por que los alumnos suelen tener una son: idea demasiado rígida sobre lo que son las - Las matemáticas ¿se inventan o se descubren? matemáticas, lo que hace que las diferencien - ¿Quién y cómo se establece la verdad y de otras ciencias, y de las humanidades. Con validez de un conocimiento matemático? - ¿Es función de la matemática explicar la este apartado estamos mostrando, por realidad física en la que nos movemos?. ejemplo, que las matemáticas son una ciencia viva, en la que sus conceptos no surgen por generación espontánea, y se propagan sin dificultad desde su aparición, sino que sus conceptos han sido objeto de controversia. La Epistemología estudia la naturaleza del conocimiento. La Epistemología de las Matemáticas se ocupa de la naturaleza de las matemáticas. Pues bien, los chistes también nos permiten afrontar algunas cuestiones epistemológicas, que de otra forma quedarían en el dominio de la teoría y la filosofía. ¿Son las matemáticas una ciencia teórica o Las matemáticas son mentiras empírica? ¿Cómo se llega a sus resultados? exactas, toda la vida se ha dicho. ¿Cómo se establece la validez de un teorema Vigara-Tauste (1992), p. 142. matemático? ¿Qué características tiene que tener una propiedad para que los matemáticos la consideren verdadera? verdad matemática, más cercana a la verdad Éstas son algunas cuestiones que afronta “La que encierra la poesía – que siempre es superior la Epistemología de las Matemáticas. a la que encierra la prosa – puede cobijarse Los chistes suelen reflejar las características que se le atribuyen a las matemáticas en la sociedad, lo que nos puede ayudar a abrir un debate en clase sobre estas características. mejor tras el lenguaje ordinario que tras el formal que tiene la pretensión de encerrar en sí toda la verdad que se pretende comunicar” Cañón, C. (1993). Matemáticas, creación y descubrimiento. P. 254. Valor de verdad de las afirmaciones matemáticas. Con demasiada frecuencia se identifica a la matemática con la verdad. Frases como “Esto es cierto como dos y dos son cuatro”, “Esto no es como tú lo dices, esto no es matemático”, son indicativas del valor de verdad que se le atribuyen a sus afirmaciones y a su forma de razonamiento. “El buen cristiano debe tener cuidado con los matemáticos y todos aquellos que hacen falsas profecías. Ya existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un trato con el diablo para oscurecer el espíritu y confinar al hombre a las fronteras del Infierno”. San Agustín En las viñetas siguientes se reflejan Tres clases de verdades formas de considerar la verdad en La primera encierra la verdad de los sentidos, matemáticas, lo que nos permite debatir la segunda la del entendimiento, y la tercera la de la fe. Cada una de estas verdades con los alumnos sobre este aspecto. necesitan pruebas particulares para las Podemos proponerles que estudien las verdades que contienen, y en estas tres clases se encuentran encerrados todos nuestros razones por las que las afirmaciones de conocimientos. los chistes son o no verdaderas, si están justificadas, pedirles que intenten buscar Carta de Euler a una princesa alguna forma de cambiar su verdad (hacerlas verdaderas si las tachan de falsas, o de hacerlas falsas en el caso contrario). Fig 11-14 En su afán por eludir el estudio de las matemáticas, Calvin llega a comparar las matemáticas (la aritmética, para ser más exacto) con la religión, en la historieta de la figura 11-14. Ejercicios para profesores 1) Estudiar si las frases que emplean los humoristas en las figuras 11-14 a 11-17 son verdaderas. 2) Buscar alguna situación en la que estas frases no sean verdadera (por ejemplo, si contamos en base tres, 2+2 = 11(tres). 3) Estudiar las diferencias y similitudes entre la verdad de las propiedades matemáticas y la de otras afirmaciones, como la declaración ante un juez, por ejemplo. Chumy-Chúmez utiliza las “verdades” matemáticas como prodigio de certeza, lo que le permite asegurar la sinceridad, en la viñeta de la figura 1115. Forges también utiliza las verdades matemáticas para justificar la existencia de Dios (figura 11-16), o para diferenciar las creencias científicas de las verdades de otro tipo (figura 11-17). Fig 11-15 Fig 11-16 Fig 11-17 Si la verdad matemática es vista como un paradigma de verdad, también en otras ocasiones es criticada por rígida, por dogmática. Para los personajes de la viñeta de Gila de la figura 11-18, “no se te explican las razones matemáticas”. Mingote también ironiza sobre este sentimiento, en la figura 1119. Ejercicios para el aula 1) Buscar en un diccionario el término dogmático. 2) Analizar si las propiedades matemáticas son dogmáticas, o si lo han sido en algún momento de la historia. Fig 11-18 Fig 11-19 Ejercicios para el profesor Origen de las matemáticas En algunos momentos de la historia se ha creído la omnipresencia de las 1) Si Dios ha creado el universo en lenguaje matemático, entonces las matemáticas se descubren. Buscar argumentos a favor y en contra de esta afirmación. 2) Buscar conceptos matemáticos que se hayan descubierto, y otros que se hayan inventado. Establecer las diferencias entre unos y otros. 3) Mirar en libros de historia de las matemáticas el origen de estos conceptos. Fig 11-20 matemáticas en el universo. La metáfora de la matemática como lenguaje se ha visto completada con la idea de que es el lenguaje de Dios. Sobre esta idea de que “Dios creo al mundo en lenguaje matemático” ironiza Thaves, quien ha elaborado toda una serie de chistes sobre la Creación del Universo, y las Leyes de la Física y la Matemática. En la figura 11-20, Dios está creando “la curvatura del universo”. En la 11-21, el espacio no-euclideo es un error de la Creación. Fig 11-21 En la viñeta de Quino (figura 11-22), Dios se ríe cuando lee los libros de Física Superior. Se diría que es el gesto del profesor mirando las barbaridades que cometen los alumnos. Fig 11-22 Cuando analizamos la verdad y el origen de las propiedades y conceptos matemáticos solemos diferenciar los que se refieren al azar, de los que proceden del análisis y el álgebra. Ejercicios para el aula 1) Buscar fenómenos que sean considerados como aleatorios. Estudiar si algunos son más manipulables que otros. ¿Qué lugar ocupa entre ellos el lanzamiento de un dado? 2) Estudiar las ventajas e inconvenientes que presenta el lanzamiento del dado para representar los fenómenos aleatorios. 3) Estudiar las diferencias existentes entre propiedades y teoremas de la Estadística y los del Análisis Parece que para los fenómenos aleatorios el mismo Dios juega a los dados, es decir, no tiene previsto lo que va a ocurrir. Pero el mundo relacionado con los fenómenos aleatorios es enorme. De ahí que esta creencia epistemológica no sea intrascendente, sino que abarque a todos los fenómenos que estudiamos por medio de la estadística y el cálculo de probabilidades (fenómenos biológicos, geológicos, económicos, etc.). Fig 11-22 En la enseñanza elemental del cálculo de probabilidades siempre hemos recurrido a los juegos de azar para representar los fenómenos aleatorios. El dado es el paradigma del azar. De eso se vale Hernández para representar la creencia sobre la forma en que Dios decide el destino, en la figura 11-23. Fig 11-23 Quino también recurre a los juegos de azar para mostrarnos como Dios sortea a quién le toca ser víctima de un accidente, en la figura 11-24. Fig 11-24 Matemáticas y realidad La Epistemología se preocupa de estudiar el origen del conocimiento matemático, pero también se interesa en analizar la relación con las demás ciencias. Barrow (1997) se pregunta en su libro: ¿Cómo es que las matemáticas son aplicables a fenómenos empíricos, siendo una ciencia abstracta? Si bien esta cuestión es compleja, y requiere un análisis más profundo, es posible afrontar con los chistes algunas cuestiones sobre la relación entre las matemáticas y la realidad. Mingote nos muestra lo alejadas que están de la realidad que rodea al niño, en la viñeta de la Fig 11-25 figura 2-8. Algunos matemáticos caen en la tentación de considerar todo lo contrario, “la matemática, para ellos, está en todas partes”. En la figura 11-25, Piant muestra al matemático explicándole al granjero las matemáticas que hay en la extracción de leche de la vaca. (¿O hay otras explicaciones al chiste?) Estas viñetas nos hacen abrir el debate sobre el papel de la matemática en la realidad, su relación con los problemas cotidianos. Con ellos podemos buscar ámbitos en los que hay una aplicación concreta de las matemáticas, para indicárselas a los alumnos, evitando con ello afirmaciones tajantes que suelen ser extremas. Quizás una de las argumentaciones más completas sea la que se deduce de la respuesta que da el profesor de la viñeta de Wiley, que aparece en la figura 6-21: la Astronomía se diferencia de la Astrología en “un montón de matemáticas”. Ejercicios para el aula 1) Buscar situaciones en las que sea evidente el empleo de las matemáticas. Estudiar los conceptos matemáticos que se emplean, las propiedades, etc. 2) Buscar situaciones cotidianas en las que no se utilice ningún concepto que esté relacionado con las matemáticas. 3) Tratar de establecer algunos criterios que ayuden a diferenciar en qué campos son útiles las matemáticas Resumen Cada vez más se insiste más en que es importante introducir la historia de las matemáticas en el aula. El humor gráfico suministra situaciones sobre matemáticos y sobre problemas, que facilitan esta introducción, dando lugar a que se humanice la enseñanza de las matemáticas. El humor también nos permite abordar en clase algunos aspectos controvertidos que estudia la epistemología de las matemáticas, como: - Cuál es el valor de verdad de las matemáticas - Dónde está el origen de los conceptos matemáticos - Para qué sirven las matemáticas Ejercicios XI.1. En el siglo XIX, Dirichlet enunció el principio del palomar: Si una bandada de 21 palomas se mete por los 20 agujeros de un palomar, es seguro que al menos dos palomas se han metido por el mismo agujero. Busca aplicaciones de este principio. Haz una viñeta humorística sobre él. XI.2. Aristóteles, en su física, hace la siguiente caracterización del infinito: El infinito es lo contrario de lo que se dice: en efecto, no es lo contrario de que no hay nada, sino más allá de que hay siempre alguna cosa. Buscar entre los chistes presentados sobre el infinito, alguna viñeta que se relacione con esta idea de infinito de Aristóteles, y explicar las similitudes. XI.3. Analizar la viñeta de Quino de la figura 11-26. Estudiar a qué aspecto de la epistemología de las matemáticas se refiere. Justificar si esta historia sería igual si el monumento fuera a la Ley de la Gravitación Universal. XI.4. Analizar la viñeta de la figura 11-27 de Thaves. Estudiar la propiedad que está Dios enunciando. Analizar las equivalencias y diferencias entre los mandamientos de la Ley de Dios y los Postulados de Euclides (sobre su valor de verdad, obligación de cumplimiento, rigor, etc.) Fig 11-26 Fig 11-27 Bibliografía de los chistes: ÁLVAREZ, F. y otros (1994) Factor-2. Barcelona, Vicens-Vives. AZZOLINO, A., SILVEY, L. y HUGHES, B. (1988). Mathematics and Humour, NCTM. BLAKE, B. (1990). Tigre. Madrid, Eseuve. BONET, E. (2001). Pláginas amarillas. Granada, Ediciones del Batracio Amarillo. BONET, E. (2002). Sólo para inútiles. Granada, Ediciones del Batracio Amarillo. BRITTON y BELLO Matemáticas contemporáneas. CAMARA, S. (1975). El Camarasutra. Madrid, Fundamentos. CARLAVILLA, J.L. y FERNÁNDEZ, G. (1988) Historia de las Matemáticas. Junta de las Comunidades de Castilla La Mancha. CESC, CHUMY-CHÚMEZ, FORGES, PERICH, SUMMERS (1974) Cinco humoristas de hoy. Barcelona, Ediciones 62. COLL, J.L. (1988) El diccionario de Coll. Barcelona, Planeta. CONTRERAS, J.C. (2001). Juancarlerías. 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