Analisis Keputusan

Teknik Linear Programming Menurut Suprodjo dan Purwandi, 1982 dalam Tarmizi, 2005, bahwa secara matematis optimasi adalah cara mendapatkan harga ekstrim baik maksimum atau minimum dari suatu fungsi tertentu dengan faktor-faktor pembatasnya. Jika persoalan yang akan diselesaikan dicari nilai maksimumnya, maka keputusannya berupa maksimasi. Optimasi dalam penyelesaian masalah merupakan suatu cara pengambilan keputusan sehingga didapatkan hasil penyelesaian yang optimal sesuai dengan kendala “ state of nature” yang harus dipenuhi. Metode yang banyak digunakan antara lain Calculus, Dinamic Programming, Linear Programming, Geomatry dan Inventory Theory (Hiller dan Liberman, 1982 dalam Tarmizi, 2005). Linear Programming adalah salah satu teknis analisis dari kelompok teknik riset operasional yang menggunakan model matematik. Tujuannya adalah untuk mencari, memilih dan menentukan alternatif yang terbaik dari antara sekian alternatif grafis dan metode analisis secara aljabar (metode simpleks) (Nasedi dan Anwar, 1985 dalam Tarmizi, 2005). Soekarwati (1995) menyebutkan dalam Linear Programming terdapat 3 (tiga) persyaratan dalam pengoptimalan suatu persoalan, yaitu : i.           Dalam program linear harus ada fungsi tujuan yang dinyatakan dalam persamaan garis lurus funsi Z atau f(Z) yaitu sesuatu yang dimaksimumkan atau yang diminimumkan.        Z  =  C1X1+C2X2+. . .+CnXn ...............................................................          (18) Ket : X      =   Aktivitas                                    C    =   Koefisien harga ii.         Dalam proram linear harus ada fungsi kendala yang dinyatakan dengan persamaan garis lurus : a11x11+a22x22+. . .+an1xn1                ≥ b1 a12x12+a22x22+. . .+an2xn2                 ≥ b2         a1mx1m+a2mx2m+. . .+anmxnm          ≥ b .................................................          (19) iii.        Semua nilai x adalah positif atau sama dengan nol, dengan kata lain tidak boleh ada nilai x yang negatif. Dengan demikian, besarnya nilai koefisien input-output tidak boleh negatif (x1x2, . . .,xn > 0). Problem program linear dapat di rumuskan dengan bantuan model matematika atau dengan kata lain diskribsi problem linear dapat ditetapkan dengan menggunamkan hubungan yang disebut straight line atau linear. Persamaan yang dapat di selesaikan dengan menggunakan Linear Programming adalah untuk mengoptimalkan dengan keterbatasan sumber daya yang dinyatakan dalam persamaan (=) atau ketidaksamaan (< atau >). Dalam metode simpleks perhitungan rutinnya adalah sebagai proses berulang yang artinya kembali lagi dan kembali lagi, mulai dari awal menjamin kepada kita selalu bergerak lebih tertutup kepada jawaban optimum dan akhirnya metode ini menunjukkan pemecahan optimum telah dicapai. Program Linear Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan ataumeminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input. Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuanpenyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut.Dua macam fungsi Program Linear: 1.Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuanperumusan masalah 2.fungsi Kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia danpermintaan atas sumber daya tersebut a. Masalah Maksimasi Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil. Contoh: PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang woldan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Penyelesaian : Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuanmenyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semuakendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimaltercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3). Mencari titik potong (1) dan (3) 2X₁+3X₂= 60 2X₁+X₁ = 40 2X₂= 20 X₂= 10 Masukkan X₂ ke kendala 1 2X₁+3X₂ = 60 2X₁+ 3.10= 60 2X₁+30 = 60 2X₁= 30 X₁= 15 Masukkan nilai X₁ dan X₂ ke Z = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 b.Masalah Minimasi Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusioptimal tercapaipada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasibleyang terdekat dengan titik origin.Contoh :Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenismakanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebutmengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikutmenunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan: Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi. Langkah – langkah : Tentukan variabel X₁= Royal Bee X₂= Royal Jee Fungsi Tujuan Zmin= 100X₁+80X₂ Fungsi kendala 2X₁ +X₂ > 8 (Vitamin) 2X₁ + 3 X₂ > 12 (Protein) X₁ > 2 X₂ > 1 Membuat grafik 2X₁ + X₂ = 8 X₁ =0 , X₂= 4 2X₁ + 3X₂ = 12 X₁= 0, X₂= 6 X₁ = 2 X₂ = 1 Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitupersilangan garis kendala (1) dan (2). 2X₁ + X₂ = 8 2X₁ + 3X₂ = 12 -2X₂ = -4 X₂ = 2 Masukkan X₂ ke kendala 1 2X₁ + X₂ = 8 2X₁ + 2 = 8 2X₁ = 6 X₁ = 3 Masukkan nilai X₁ dan X₂ ke Z Z min= 100X₁ + 80X₂ = 100.30 + 80.2 = 300 + 160 = 460 Kesimpulan : Untuk meminimumkan biaya produksi maka X₁ =3 dan X₂ = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah. MODEL TRANSPORTASI Model transportasi merupakan perluasan dari persoalan LP, dalam model transportasi dibahas mengenai penentuan rencana biaya minimum (minimum cost) untuk transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah lokasi sumber (sources) seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dsb ke sejumlah lokasi tujuan (destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah pemasaran, dsb. Model transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan inventory controll, employment schedulling, personal assignment, dsb. Pada dasarnya masalah transportasi merupakan masalah LP yang dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Karena metode simpleks menimbulkan penyelesaian yang lebih sulit, maka penyelesaian masalah transportasi akan lebih mudah dengan menggunakan metode Stepping Stone, Vogel’s Approximation Methods (VAM), dan metode MODI (Modified Distribution). Agar suatu masalah transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel transportasinya, maka masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai tingkat supply atau kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan, dan biaya transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan. Karena hanya terdiri dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu lokasi sumber. Tujuan dari model transportasi adalah menentukan jumlah yang dapat dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi tujuan yang memberikan total biaya transportasi minimum. Suatu perusahaan memiliki tiga pabrik yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan kapasitas produksi per bulan adalah : Pabrik A = 90, Pabrik B = 60, dan Pabrik C = 50. Perusahaan tersebut juga mempunyai tiga gudang penyimpanan hasil produksinya yang berlokasi di tiga kota yang berbeda dengan jumlah permintaan per bulan adalah : Gudang I = 50, Gudang II = 110, dan Gudang III = 40. Diketahui biaya transportasi dari setiap pabrik ke setiap Gudang adalah sebagai berikut : Gudang I Gudang II Gudang III Pabrik A 20 5 8 Pabrik B 15 20 10 Pabrik C 25 10 19 Tentukan total biaya transportasi minimum dengan menggunakan (a) metode Stepping Stone, (b) VAM, dan (c) Metode MODI JAWAB : Periksa dulu apakah Total Demand (TD) dengan Total Supply (TS) sama atau tidak. Jika TD = TS, maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak perlu ada kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy). Jika TD > TS, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber dummy). Jika TD < TS atau TS > TD, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan kolom dummy atau tujuan dummy. Dalam soal ini TD = 200 dan TS = 200, jadi tidak perlu ada kolom maupun baris dummy. Tentukan tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga diperoleh : Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 50 20 40 5 8 90 PABRIK B 15 60 20 10 60 PABRIK C 25 10 10 40 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 TC0 = 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260 Metode Stepping Stone adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (TC yang minimum), metode ini bersifat trial and error, yaitu dengan mencoba-coba memindahkan sel yang ada isinya (stone) ke sel yang kosong (water). Tentu saja pemindahan ini harus mengurangi biaya, untuk itu harus dipilih sedemikian rupa sel-sel kosong yang biaya transportasinya kecil dan memungkinkan dilakukan pemindahan.Kita mulai dari sudut kiri atas (NWC), sel B – I akan kita isi, jika satu unit dipindahkan dari sel A – I ke sel B – 1 dan supaya tetap jumlahnya seimbang berarti satu unit juga dipindahkan dari sel B – II ke sel A – II, maka biaya transportasi akan berkurang sebanyak (20 – 15) + (20 – 5) = 20. Jika dipindahkan sebanyak 50, maka total biaya transportasi akan berkurang sebanyak 1000. Selanjutnya diperoleh Tabel Transportasi perbaikan yang pertama, sebagai berikut: Tabel Transportasi Perbaikan Pertama Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 90 5 8 90 PABRIK B 50 15 10 20 10 60 PABRIK C 25 10 10 40 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 TC1 = 90(5) + 50(15) + 10(20) + 10(10) + 40(19) = 2260 Selanjutnya kita pilih sel dengan biaya transportasi terkecil dan memungkinkan dilakukan pemindahan. Dalam hal ini kita pindahkan satu unit dari sel C – III ke sel A – III agar jumlahnya tetap seimbang dipindahkan juga satu unit dari sel A – II ke sel C – II. Pemindahan ini mengurangi biaya (19 – 8) + ( 5 – 10) = 6. Jika dipindahkan sebanyak 40, maka total biaya transportasi berkurang sebanyak 240. Selanjutnya diperoleh Tabel Transportasi perbaikan kedua sebagai berikut: Tabel Transportasi Perbaikan Kedua Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 50 5 40 8 90 PABRIK B 50 15 10 20 10 60 PABRIK C 25 50 10 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 TC2 = 50(5) + 40(8) + 50(15) + 10(20) + 50(10) = 2020 Selanjutnya jika dipindahkan satu unit dari sel B – II ke sel B – III agar jumlahnya tetap seimbang dipindahkan juga sebanyak satu unit dari sel A – III ke sel A – II. Pemindahan ini mengurangi biaya (20 – 10) + (8 – 5) = 13. Jika dipindahkan sebanyak 10 unit, maka total biaya transportasi akan berkurang sebanyak 130. Tabel Transportasi Perbaikan Ketiga Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 60 5 30 8 90 PABRIK B 50 15 20 10 10 60 PABRIK C 25 50 10 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 TC3 = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890 Jadi Total biaya transportasi mínimum (solusi optimal) yang diperoleh dengan metode Stepping Stone sebesar 1890. VAM (Vogel’s Approximation Methods) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (TC mínimum). Metode ini bersifat semi eksak dan lebih eksak dibanding Metode Stepping Stone. Metode ini menerapkan algoritma sebagai berikut: (1) Tentukan perbedaan dua biaya terkecil untuk masing-masing kolom dan baris, (2) Tentukan perbedaan terbesar hasil langkah ke – 1, (3) Tentukan sel yang akan diisi dengan cara memilih sel yang memiliki biaya transportasi terkecil pada kolom atau baris terpilih pada langkah ke – 2, dan (4) hapuslah baris atau kolom yang salah sel-selnya telah disisi dengan kapasitas penuh (sama dengan TS atau TD). Ulangi algoritma tersebut sampai dengan TS dan TD habis disikan ke sel-sel yang telah ditentukan. Perhatikan Tabel Biaya Transportasi sebagai berikut: Tabel 1 Gudang I Gudang II Gudang III Total Supply (TS) Beda Baris (BB) Pabrik A 20 5 8 90 3 Pabrik B 15 20 10 60 5 Pabrik C 25 10 19 50 9 Total Demand (TD) 50 110 40 200 Beda Kolom (BK) 5 5 2 Perhatikan Tabel 1 tersebut BB dan BK terbesar adalah 9, jadi terpilih baris C. Pada baris C biaya terkecil adalag 10, berarti sel C – II diisi sebanyak 50. Jadi TD Gudang II bersisa 60 dan TS Pabrik C habis, sehingga baris C dihapus. Tabelnya menjadi: Tabel 2 Gudang I Gudang II Gudang III Total Supply (TS) Beda Baris (BB) Pabrik A 20 5 8 90 3 Pabrik B 15 20 10 60 5 Total Demand (TD) 50 60 40 150 Beda Kolom (BK) 5 15 2 Perhatikan Tabel 2 tersebut BB dan BK terbesar adalah 15, jadi terpilih kolom II. Pada Kolom II biaya terkecil adalah 5, berarti sel A – II diisi sebanyak 60. Jadi TS Pabrik A bersisa 30 dan TD Gudang II habis, sehingga Kolom II dihapus. Tabelnya menjadi: Tabel 3 Gudang I Gudang III Total Supply (TS) Beda Baris (BB) Pabrik A 20 8 30 12 Pabrik B 15 10 60 5 Total Demand (TD) 50 40 90 Beda Kolom (BK) 5 2 Perhatikan Tabel 3 tersebut BB dan BK terbesar adalah 12, jadi terpilih baris A. Pada baris A biaya terkecil adalah 8, berarti sel A – III diisi sebanyak 30. Jadi TD Gudang III bersisa 10 dan TS Pabrik A habis, sehingga baris A dihapus. Tabelnya menjadi: Tabel 4 Gudang I Gudang III Total Supply (TS) Beda Baris (BB) Pabrik B 15 10 60 5 Total Demand (TD) 50 10 60 Beda Kolom (BK) - - Perhatikan Tabel 4, karena tersisa satu baris saja, maka sel B – I diisi sebanyak 50 dan sel B – III diisi sebanyak 10. Dalam hal ini TD dan TS telah habis dipindahkan ke sel-sel terpilih, yaitu: Sel C – II diisi sebanyak 50 Sel A – II diisi sebanyak 60 Sel A – III diisi sebanyak 30 Sel B – I diisi sebanyak 50 Sel B – III diisi sebanyak 10 Tabel Transportasi optimal dengan VAM diperoleh sebagai berikut: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 60 5 30 8 90 PABRIK B 50 15 20 10 10 60 PABRIK C 25 50 10 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 TC3 = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890 Metode MODI (Modified Distribution) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (total biaya transportasi mínimum). Metode ini bersifat eksak dan juga disebut sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan multiplier, yaitu multiplier baris (ui) dan multiplier kolom (vj). Metode MODI menggunakan algoritma: (1) Menentukan ui dan vj dengan memperhatikan basic variable, yaitu sel (kotak) yang ada isinya dan menggunakan rumus ui + vj = cij, (2) Menentukan indeks perbaikan, yaitu dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan menggunakan rumus Indeks Perbaikan = cij – ui – vj, (3) Isilah sel kosong yang mempunyai Indeks Perbaikan negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks perbaikan negatif terbesar, (4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah positif semua berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus diisi. Perhatikan tabel transportasi awal seperti contoh sebelumnya, yaitu: Lokasi Tujuan (Destination) v1 = 20 v2 = 5 v3 = 14 Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 50 20 40 5 8 90 PABRIK B 15 60 20 10 60 PABRIK C 25 10 10 40 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 Untuk menentukan multiplier ui dan vj, perhatikan sel yang ada isinya (basic var): Sel 1 – 1: u1 + v1 = c11 → 0 + v1 = 20 → v1 = 20 Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2 = 5 → v2 = 5 Sel 2 – 2: u2 + v2 = c22 → u2 + 5 = 20 → u2 = 15 Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 + 5 = 10 → u3 = 5 Sel 3 – 3: u3 + v3 = c33 → 5 + v3 = 19 → v3 = 14 Untuk menentukan indeks perbaikan, perhatikan sel-sel kosong dan diperoleh tabel sebagai berikut: Sel Kosong Indeks Perbaikan Sel 1 – 3 8 – 0 – 14 = – 6 Sel 2 – 1 15 – 15 – 20 = – 20 Sel 2 – 3 10 – 15 – 14 = – 19 Sel 1 – 3 25 – 5 – 20 = 0 Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar. Isi sel 2 – 1 dan diperoleh tabel transportasi berikut: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 90 5 8 90 PABRIK B 50 15 10 20 10 60 PABRIK C 25 10 10 40 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 Berikutnya isi sel 2 – 3 dan diperoleh tabel berikut: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 90 5 8 90 PABRIK B 50 15 20 10 10 60 PABRIK C 25 20 10 30 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 Berikutnya isi sel 1 – 3 dan diperoleh tabel berikut, kemudian dihitung multiplier ui dan vj: Lokasi Tujuan (Destination) v1 = 13 v2 = 5 v3 = 8 Gudang I Gudang II Gudang III TOTAL SUPPLY PABRIK A 20 60 5 30 8 90 PABRIK B 50 15 20 10 10 60 PABRIK C 25 50 10 19 50 TOTAL DEMAND 50 110 40 200 Menghitung multiplier ui dan vj: Sel 1 – 2: u1 + v2 = c12 → 0 + v2 = 5 → v2 = 5 Sel 1 – 3: u1 + v3 = c13 → 0 + v3 = 8 → v3 = 8 Sel 2 – 3: u2 + v3 = c23 → u2 + 8 = 10 → u2 = 2 Sel 2 – 1: u2 + v1 = c21 → 2 + v1 = 15 → v1 = 13 Sel 3 – 2: u3 + v2 = c32 → u3 + 5 = 10 → u3 = 5 Tabel Indeks Perbaikan: Sel Kosong Indeks Perbaikan Sel 1 – 1 20 – 0 – 13 = 7 Sel 2 – 2 20 – 2 – 5 = 13 Sel 3 – 1 25 – 5 – 13 = 7 Sel 3 – 3 19 – 5 – 8 = 6 Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah positif semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total biaya transportasi mínimum sesuai dengan tabel transportasi di atas adalah : TCmin = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890 Catatan: Dalam metode MODI, jumlah basic variable adalah m + n – 1 dengan m banyaknya baris dan n banyaknya kolom. Jika basic variable < (m + n – 1), maka masalah transportasi menghadapi masalah degeneracy. Untuk mengatasinya dilakukan dengan mengisikan angka nol pada sel (kotak) tertentu. Soal-Soal Latihan: Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang X dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, dan III. Gudang I Gudang II Gudang III Pabrik A 11 7 8 Pabrik B 9 12 6 Pabrik C 5 10 9 Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 100, Pabrik B = 150, dan Pabrik C = 200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 125, Gudang II = 100, dan Gudang III = 175. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI. Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit barang Y dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, dan III. Gudang I Gudang II Gudang III Pabrik A 10 3 7 Pabrik B 5 8 2 Pabrik C 12 11 4 Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 250, Pabrik B = 250, dan Pabrik C = 200, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 200, Gudang II = 200, dan Gudang III = 250. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI. Tabel berikut menunjukkan biaya angkut per unit per km untuk barang Z dari Pabrik A, B, dan C ke Gudang I, II, III, IV, dan V. Gudang I Gudang II Gudang III Gudang IV Gudang V Pabrik A 5 8 6 6 3 Pabrik B 4 7 7 6 5 Pabrik C 8 4 6 6 4 Diketahui kapasitas produksi Pabrik A = 800, Pabrik B = 600, dan Pabrik C = 1100, sedangkan jumlah permintaan setiap gudang adalah Gudang I = 400, Gudang II = 400, Gudang III = 500, Gudang IV = 400, dan Gudang V = 800. Tentukanlah solusi optimal untuk masalah transportasi di atas dengan: (1) metode Stepping Stone, (2) VAM, (3) Check jawaban nomor (1) dan (2) dengan MODI. Jawaban Nomor 1: Dengan metode Stepping Stone Tabel Transportasi awal: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III Gudang Dummy TS PABRIK A 100 11 7 8 0 100 PABRIK B 25 9 100 12 25 6 0 150 PABRIK C 5 10 150 9 50 0 200 TD 125 100 175 50 450 TCo = 100(11) + 25(9) + 100(12) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 4025 Tabel Transportasi Perbaikan Pertama: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III Gudang Dummy TS PABRIK A 11 100 7 8 0 100 PABRIK B 125 9 12 25 6 0 150 PABRIK C 5 10 150 9 50 0 200 TD 125 100 175 50 450 TC1 = 100(7) + 125(9) + 25(6) + 150(9) + 50(0) = 3325 Tabel Transportasi Perbaikan Kedua: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III Gudang Dummy TS PABRIK A 11 100 7 8 0 100 PABRIK B 9 12 150 6 0 150 PABRIK C 125 5 10 25 9 50 0 200 TD 125 100 175 50 450 TC2 = 100(7) + 150(6) + 125(5) + 25(9) + 50(0) = 2450 Dengan menggunakan VAM GI GII GIII GD TS1 TS2 TS3 TS4 TS5 BB1 BB2 BB3 BB4 BB5 PA 11 7 8 0 100 50 50 50 0 7 1 1 1 - PB 9 12 6 0 150 150 150 0 0 6 3 6 - - PC 5 10 9 0 200 200 75 75 75 5 4 3 1 1 TD1 125 100 175 50 450 TD2 125 100 175 0 400 TD3 0 100 175 0 275 TD4 0 100 25 0 125 TD5 0 50 25 0 75 BK1 4 3 2 0 BK2 4 3 2 - BK3 - 3 2 - BK4 - 3 1 - Sel PA – GD diisi sebanyak 50, TS PA bersisa 50 dan TD GD habis, kolom GD dihapus. Sel PC – GI diisi sebanyak 125, TS PC bersisa 75 dan TD GI habis, kolom GI dihapus. Sel PB – GIII diisi sebanyak 150, TD GIII bersisa 25 dan TS PB habis, baris PB dihapus. Sel PA – GII diisi sebanyak 50, TD GII bersisa 50 dan TS PA habis, baris PA dihapus. Sel PC – GII diisi sebanyak 50 dan sel PC – GIII diisi sebanyak 25 Tabel Transportasi akhir berdasarkan VAM: Lokasi Tujuan (Destination) Gudang I Gudang II Gudang III Gudang Dummy TS PABRIK A 11 50 7 8 50 0 100 PABRIK B 9 12 150 6 0 150 PABRIK C 125 5 50 10 25 9 0 200 TD 125 100 175 50 450 TC = 50(7) + 50(0) + 150(6) + 125(5) + 50(10) + 25(9) = 2600 Model Penugasan Model Penugasan adalah suatu model khusus dari model program linier yang serupa dengan model transportasi. Perbedaannya adalah, dalam model penugasan penawaran pada tiap sumber dan permintaan pada tiap tempat tujuan dibatasi sebanyak satu unit barang saja. Langkah langkah Penyelesaian : Membuat suatu tabel biaya Opportuniti ( opportunity cost table ) yakni dengan membuat reduksi baris dan kolom Buat tabel Reduksi baris : dengan cara mengurangkan semua biaya dalam tiap baris dengan biaya terkecil yang ada pada tiap baris tersebut. Buat tabel reduksi kolom : dengan cara mengurangkan semua biaya yang ada pada semua kolom dari tabel reduksi baris dengan biaya terkecil yang ada pada tiap kolomnya 4. Buat tabel biaya pengujian : yakni tambahkan garis pada tabel yang sudah direduksi baik secara vertikal maupun secara horisontal dimana terdapat minimal dua angka nol. 5.Untuk mencapai tabel yang optimal, maka jumlah minimal garis = jumlah baris atau kolom, jika belum maka buat tabel pengulangan model penugasan dengan cara kurangkan semua biaya yang tidak dilalui garis dengan biaya yang terkecil yang juga tidak dilalui garis dan untuk semua angka nol pada perpotongan garis harus ditambahkan dengan biaya yane terkecil. Kemudian tarik garis secara vertikal dan horisontal seperti langkah sebelumnya 6. Apabila jumlah minimal garis = jumalah baris atau kolom, maka tabel tersebut sudah opitmal. Maka tentukanlah penugasan berdasarkan sel di mana terdapat angka nol. Contoh Soal : Ada 4 operator komputer, A,B,C, dan D, sedangkan P1,P2,P3, dan P4 adalah jenis-jenis pekerjaan data entry yang harus dikerjakan. A dapat menyelesaikan P1,P2,P3 dan P4 berturut-turut dalam 18,24,28 dan 32 menit; B dapat menyelesaikan berturut dalam 8,13,17, dan 19 menit; C dapat menyelesaikan berturut-turut dalam 10,15,19,22 menit sedangkan D dalam 12,16,20,dan 25 menit. Apabila satu orang hanya boleh mengerjakan satu pekerjaan, tentukanlah alokasi kerja agar waktunya minimal. Berapakah total waktu minimal tersebut ? Solusi Optimal Total Waktu Pengerjaan = 72 menit A Mengerjakan P1= 18 menit B Mengerjakan P4= 19 menit C Mengerjakan P2= 15 menit D Mengerjakan P3= 20 menit Atau A Mengerjakan P1= 18 menit B Mengerjakan P4= 19 menit C Mengerjakan P3= 19 menit D Mengerjakan P2= 16 menit MODEL ANTRIAN Pelaku utama dalam sebuat sistem antrian adalah pelanggan dan pelayan. Dalam model antrian interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah menarik hanya berkaitan dengan periode waktu yang dapat diperoleh dari penyelesaian pelanggan melakukan pelayanan. Walaupun pola kedatangan dan kepergian adalah faktor penting dalam analisis antrian, faktor-faktor lain juga memiliki peran yang penting, yaitu sebagai berikut: Faktor utama adalah peraturan pelayanan dimana yang umum diterapkan adalah sebagai berikut: FCFS (First come first sservices ) LCFS (last come first served) SIRO (service in random order) Faktor kedua berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan pelaksanaan pelayanannya. Yaitu pelayanan sejajar (parallel servis), antrian serial atau antrian tandem, dan antrian jaringan (network queue) Faktor ketiga berkaitan dengan ukuran antrian yang diizinkan. Sedangkan faktor yang ke emapat berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan (kedatangan pelanggan). Faktor yang kelima adalah ukuran antrian (terhingga atau tidak terhingga), faktor yang keenam adalah faktor sumber panggilan (terhingga dan tak terhingga) dan yang terakhir adalah prilaku manusia terdiri dari perpindahan, penolakan, dan pembatalan terhadap pelayanan. Defenisi Antrian terdapat pada kondisi apabila obyek-obyek menuju suatu area untuk dilayani, namun kemudian menghadapi keterlambatan disebabkan oleh mekanisme pelayanan mengalami kesibukan.Antrian timbul karena :Adanya ketidakseimbangan antara yang dilayani dengan pelayanannya. Contoh antrian : Antrian pada pelayanan kasir supermarket Antrianmembeli bahan bakar Antrian pada lampu merah (orang menyebrang maupun kendaraan) Antrian pesawat akan mendarat di suatu bandara Antrian pelayanan dokter, dan lain-lain. Sifat fundamental problema antrian mencakup suatu imbangan antara waktu menunggu dan waktu pelayanan (service), terdapat pada grafik di bawah ini : Proses pada Antrian Proses stochastic atau Proses Discrete-State atau Continuous State Proses discrete state memiliki bilangan nilai yang terbatas atau dapat dihitung. Sebagai contoh jumlah job dalam sistem n(t) hanya dapat menggunakan nilai 0, 1,..n. Waktu tunggu di lain pihak dapat mengambil semua nilai pada garis hitung nyata. Maka proses ini merupakan proses yang berkelanjutan. Proses discrete-state stochastic sering pula disebut rantai stochastic. Proses Markov Jika state pada masa yang akan datang dari proses itu tidak tergantung pada masa yang telah lalu dan hanya tergantung pada masa sekarang saja, proses ini disebut Proses Markov. Pengetahuan state proses pada masa sekarang ini harus memadai. Proses discrete state Markov disebut rantai Markov. Untuk memprediksi proses Markov selanjutnya yang ada di masa datang diperlukan pengetahuan state yang sedang berlangsung saat ini. Tidak dibutuhkan pengetahuan berapa lama proses terjadi di masa sekarang ini. Hal ini memungkinkan jika waktu state menggunakan distrtibusi eksponensial (memoryless). Ini akan membatasi aplikabilitas proses Markov. Proses Poisson Jika waktu interarrival IID dan distribusi eksponensial tercapai, jumlah kedatangan dari n berlangsung dalam interval (t, t+x) berarti memiliki distribusi Poisson, dan oleh karena itu proses kedatangan diarahkan pada proses Poisson atau aliran Poisson. Aliran Poisson sangat populer dalam teori antrian karena kedatangan biasanya memoryless sebagai waktu interarrival terdistribusi secara eksponensial. Sebagai tambahan aliran Poisson memiliki properti : 1. Menggabungkan k aliran Poisson dengan mean rate λi hasil dalam aliran b. Jika aliran Poisson di-split ke dalam k sub-aliran maka probabilitas job yang bergabung pada i sub-aliran adalah pi, Setiap sub-aliran juga Poisson dengan mean rate piλ. c. Jika kedatangan pada suatu server tunggal dengan waktu layanan yang eksponensial adalah Poisson dengan mean rate λ, Keberangkatan yang terjadi juga Poisson dengan rate yang sama λ. Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dibandingkan rate pelayanan μ. d. Jika kedatangan pada fasilitas layanan dengan m pusat layanan adalah Possion dengan mean rate λ, Keberangkatan juga merupakan aliran Poisson dengan rate yang sama λ, Menyediakan rate kedatangan λ lebih kecil dari rate total layanan . Ini adalah asumsi pada server, untuk memiliki distribusi eksponensial waktu layanan. Komponen dasar dalam sistem Antrian Komponen yang mempengaruhi sistem antrian : Input : distribusi jumlah kedatangan per satuan waktu, jumlah antrian yang dimungkinkan, maksimal panjang antrian, maksimal jumlah pelanggan. Proses Layanan : distribusi waktu pelayanagn pelanggan, jumlah server, konstruksi (paralel/seri). 3. Disiplin antrian : FIFO, LIFO, random, seleksi prioritas. Komponen dasar model antrian Sistem Komputer : Server secara umum digunakan sebagai model resource yang diminta oleh suatu job tertentu. Job dibuat oleh sumber atau berada dalam model antrian sejak dibuat. Setiap server dapat melayani terbatas pada maksimum jumlah job yang dapat dilayaninya dalam waktu yang bersamaan. Ini sering disebut jumlah channel server. Job yang mendapatkan server sedang sibuk mesti menunggu dalam antrian sampai gilirannya tiba. Setiap server memiliki paling tidak satu antrian, dan istilah pusat layanan sering digunakan untuk mengindikasikan server dan antriannya. Dalam beberapa kasus, pusat layanan terdiri dari beberapa server. Job secara umum meminta perhatian dari server untuk sejumlah waktu tertentu (yang disebut service time) dan bergabung dalam pusat layanan secara instan yang disebut waktu kedatangan job dalam pusat layanan tersebut. Model Antrian didefinisikan oleh : • Sumber, • Pusat layanan (service center) • Interkoneksi. Yang menetapkan path tertentu tempat suatu job diizinkan melewatinyadari pusat layanan ke pusat layanan lain. Karakteristik sumber : • Ini adalah tipe, terbatas atau tidak terbatas. Jika source terbatas, maksimum jumlah job yang dibuat oleh source dalam suatu model mengandung batas atas tertentu. • Distribusi interval maing-masing job yang berturut-turut (waktu interarrival). • Permintaan setiap job untuk dilayani oleh setiap pusat layanan terdapat dalam model; jika setiap tipe permintaan didistribusi secara bersamaan untuk semua job perlu dipertimbangkan permintaan itu menjadi salah satu karakteristik hubungan antara pusat layanan, bukan sekedar sumber saja. Karakteristik Pusat Layanan : • Jumlah dan kapasitas dalam antrian ; kapasitas antrian adalah jumlah maksimum job yang dapat ditampung. • Jumlah server dan jumlah channel pada setiap server tersebut. • Kecepatan server ; Jika permintaan suatu job d diberikan dalam unit layanan, dan v adalah kecepatan server dalam memberikan layanan per waktu unit, maka waktu layanan ts= d/v. Mean rate layanan server pada periode waktu yang telah lewat (tau) didefinisikan sebagai 1/mean ts, dimana mean (ts) adalah mean waktu layanan yang telah lewat (tau, dan ini terdapat dalam pemrosesan job per unit waktu; ketika kecepatan server ditetapkan dan permintaan layanan disebarkan untuk semua job atau ke setiap kelas job tertentu), kita dapat mempertimbangkan dsitribusi waktu-layanan sebagai salahsatu karakteristik server. • Tertib layanan yang akan terlihat dalam kondisi server mengakhiri layanan suatu job, bagaimana job selanjutnya yang akan dilayani dipilih dari antrian di pusat layanan dan bagaimana untuk job yang tidak lengkap misalnya. Karakteristik elemen dalam menganalisa sistem antrian : • Proses kedatangan (Arrival Process). Jika waktu kedatangan job t1, t2, ... tj, variabel random tauj = tj - t j-1 dinyatakan sebagai waktu interarrival. Ini secara umum diasumsikan sebagai waktu interval dari urutan yang tidak tergantung dan terdistribusi secara identik (IID) oleh variabel random. • Distribusi waktu layanan (Service Time Distribution). Waktu layanan adalah waktu yang dipakai pada server. Ini juga mengasumsikan suatu variabel random IID. Distribusi yang banyak digunakan adalah eksponensial, Erlang, hipereksponensial dan distribusi umum yang dapat diaplikasikan untuk semua layanan distribusi waktu. Jumlah Server, adalah jumlah server yang melayani sistem antrian. Ini diasumsikan identik ketika server itu menjadi bagian dari suatu sistem antrian. Jika server tersebut tidak identik, biasanya dikelompokkan berdasarkan kesamaannya masing-masing. Dalam kasus ini berarti setiap kelompok merupakan sistem antrian tersendiri. • Kapasitas Sistem. Menyatakan jumlah maksimum job yang dapat berada dalam antrian, atau menunjukkan area yang tersedia dalam jaringan dan tentu akan menghindari waktu tunggu yang lama. Dalam sebagian besar sistem, nilai ini terbatas. Namun jika nilai ini sangat besar, maka ini dapat diasumsikan sebagi nilai yang tidak terbatas. • Besar Populasi adalah total jumlah job yang dapat datang ke server. Pada kebanyakan sistem nyata, nilai besar populasi ini terbatas, agar lebih mudah dianalisa dibandingkan nilai yang tidak terbatas . • Tertib Layanan. Parameter ini menjelaskan bagaimana perlakuan terhadap order job yang dilayani tersebut. Biasanya menggunakan metode First Come First Served (FCFS), Last Come First Serverd (LCFS), Last Come First Served with Preempt and Resume (LCFSPR). Sistem dengan delay yang tetap seperti sambungan satelit, disebut server tidak terbatas (Infinite Server) atau pusat delay (delay center). Kadangkala tertib layanan ini berdasarkan waktu layanan seperti : Shortest Processing Time first (SPT). Model Inventori Definisi Inventori Stok barang dalam suatu waktu yang merupakan aset nyata (tangible asset) yang dapat dilihat dan diukur. Sumber daya menganggur yang menunggu proses lebih lanjut. Tipe Inventori Bahan Mentah (Raw material) Work-in-progress Komponen atau part Barang jadi Alasan Inventori Fungsi Inventori : Menghindari keterlambatan pengiriman. Menghindari ada material/part yg rusak. Menghindari kenaikan harga. Menghindari tidak ada barang (musiman). Mendapatkan diskon (beli banyak). Menjamin kelangsungan produksi. Teori Permainan (Game Theory) GAME THEORY(Pengambilan Keputusan Dalam Suasana Konflik) Adalah memusatkan analisis keputusan dalam suasana konflik dimana pengambil keputusan menghadapi berbagai peristiwa yang aktif untuk bersaing dengan pengambil keputusan lainnya yang rasional, tanggap dan bertujuan memenangkan persaingan/kompetisi. Faktor yang harus diperhatikan dalam Pengambilan Keputusan: 1. Hal-hal berwujud dan tidak berwujud. 2. Keputusan harus dapat dijadikan bahan untuk mencapai tujuan organisasi. 3. Keputusan jangan berorientasi kepentingan pribadi. 4. Jarang ada pilihan yang memuaskan. 5. Pengambilan Keputusan merupakan tindakan mental. 6. Pengambilan Keputusan yang efektif memerlukan waktu cukup lama. 7. Perlu Pengambilan Keputusan yang praktis untuk mendapatkan hasil yang lebih baik. 8. Keputusan hendaknya dilembagakan agar dapat diketahui apakah keputusan tersebut benar atau salah. 9. Keputusan merupakan awal dari serangkaian kegiatan berikutnya. Langkah-Langkah dalam Pengambilan Keputusan 1. Rumuskan/identifikasi persoalan keputusan 2. Kumpulkan informasi yang relevan 3. Cari alternatif tindakan 4. Analisis alternatif yang fleksibel 5. Memilih alternatif terbaik 6. Laksanakan keputusan dan evaluasi hasilnya Langkah menangani masalah: 1. Mengusahakan keterangan dan penjelasan tentang masalah itu. 2. Identifikasi sasaran atau tujuan kegiatan yang akan dilakukan. 3. Mengatur tingkat keberhasilannya. 4. Menentukan kriteria keberhasilan pencapaian tujuan. 5. Memperhatikan faktor lingkungan. 6. Meneliti alternatif pemecahan masalah sehingga diketahui masing-masing kenggulan dan kekurangannya. 7. Merumuskan model mana yang dimungkinkan untuk pemecahan masalah. 8. Mengumpulkan data untuk pengukuran dan memilih alternatif mana yang dianggap paling tepat. 9. Mengadakan perbandingan antara model yang satu dan model yang lain. 10. Menguji hasil analisis untuk lebih meyakinkannya. 11. Mempertimbangkan apapakh terdapat segi2 ketidakefisienan yang terjadi. 12. Mengadakan ringkasan, bila perlu menyertakan juga saran2nya. Keputusan dalam keadaan ketidakpastian Keputusan dalam Keadaan Ketidakpastian (uncertainty) Ketidakpastian akan kita hadapi sebagai pengambil keputusan kalau hasil kuputusan sama sekali tidak tahu karena hal yang akan diputuskan belum pernah terjadi sebelumnya. Pemecahan: tambahan informasi dan menggunkan “subjective probability” yaitu nilai probabilitas yang anda ciptakan sendiri.