LAPORAN AKHIR PENGENALAN MATLAB

LAPORAN AKHIR PENGENALAN MATLAB DAFTAR ISI HALAMAN PENGESAHAN...............................................Error! Bookmark not defined. DAFTAR ISI....................................................................................................................... ii DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................................. 1 1.1. Latar Belakang .................................................................................................... 1 1.2. Tujuan ................................................................................................................. 1 1.3. Rumusan Masalah ............................................................................................... 1 1.4. Sistematika Penulisan Laporan ........................................................................... 1 BAB II DASAR TEORI .................................................................................................... 3 2.1. Pengenalan dan Program Aplikasi MATLAB (Matrix Laboratory) ................... 3 2.2. Repersentasi Sistem Tenaga Listrik .................................................................... 4 2.3. Aliran Daya ......................................................................................................... 5 2.4. Metoda Gauss-Seidel ........................................................................................ 11 2.5. Metode Newton-Raphson ................................................................................. 11 BAB III LANDASAN PRAKTIKUM ............................................................................. 14 3.1. Meteodologi...................................................................................................... 14 3.1.1. Rangkaian Listrik Sederhana ..................................................................... 14 3.1.2. Rangkaian Sistem Satu Saluran ................................................................ 15 3.1.3. Admitansi Bus ........................................................................................... 16 3.1.4. Metode Gauss Seidel ................................................................................. 17 3.1.5. Metode Gauss Seidel Dengan Akeselerasi ................................................ 19 3.1.6. Metode Newton-Raphson ......................................................................... 20 3.2. Prosedur Percobaan ........................................................................................... 22 3.3. Data Pengamatan .............................................................................................. 24 3.4. Pengolahan Data ............................................................................................... 28 BAB IV ANALISIS ......................................................................................................... 35 BAB V KESIMPULAN ................................................................................................... 36 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................................... 37 LAMPIRAN...................................................................................................................... 38 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Diagram segaris suatu sistem tenaga 4 Gambar 2.2 Diagram impedansi suatu sistem tenaga 5 Gambar 2.3 Diagram Impedansi Sistem Ketenagalistrikan Sederhana 8 Gambar 3.1 flowchart rangkaian listrik sederhana 14 Gambar 3.2 flowchart system satu saluran 15 Gambar 3.3 Flowchart Admitansi Bus 16 Gambar 3.4 Flowchart Metode gausss-Seidel 18 Gambar 3.5 Flowchart Gauss-seidel Dengan Akselerasi 19 Gambar 3.6 Flowchart Metode Newton Rhapson 20 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Metode numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan hanya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). 1.2. Tujuan 1. Mencari nilai daya semu aktif dan reaktif pada model, serta melihat gelombang sinusoidal sumber tegangan dan arus dengan menggunakan matlab. 2. mencari nilai perbandingan deya pada sumber daya rugi” saluran akibat penurunan tegangan yang terjadi. 3. mencari nilai matriks admitansi bus pada suatu model sistem tenaga listrik 1.3. Rumusan Masalah Rumusan masalah yang akan di bahas meliputi: Repersentasi System Tenaga Listrik, Aliran Daya, Besaran Persatuan, Metode Eliminasi Gauss Seidel dan Metoda Newton-Raphson. 1.4. Sistematika Penulisan Laporan BAB I :Pendahuluan Menguraikan latar belakang, maksud dan tujuan, rumusan masala, data dan sitematika penulisan. 1 BAB II :Landasan Teori Penjelasan singkat tentang aplikasi MATLAB (Matrix Laboratory) Repersentasi System Tenaga Listrik, Aliran Daya, Besaran Persatuan, Metode Eliminasi Gauss Seidel dan metoda NewtonRaphson. BAB III :Landasan Praktikum Menguraikan tentang prosedur percobaan, data pengamatan, hasil simulasi,penggolahan data dan tugas akhir. BAB IV :Analisis Menguraikan tentang analisa dari hasil percobaan dan pengolahan data yang di lakukan, serta menguraikan pertanyaan-pertanyaan pada modul praktikum Pengenalan Matlab BAB V :Kesimpulan Menguraikan tentang hasil yang diperoleh dari praktikum yang telah di lakukan dan hal-hal yang harus di perhatikan dan di perbaiki pada saat peraktikum. 2 BAB II DASAR TEORI 2.1. Pengenalan dan Program Aplikasi MATLAB (Matrix Laboratory) Pada awalnya program aplikasi MATLAB ini merupakan suatu interface untuk koleksi rutin-rutin numerik dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembangkan dengan menggunakan bahasa FORTRAN, namun sekarang ini MATLAB merupakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc. Yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan dengan menggunakan bahasa C++ dan assembler, (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB). MATLAB telah berkembang menjadi sebuah environment pemprograman yang canggih yang berisi fungsi-fungsi builtin untuk melakukan tugas pengolahan sinyal, aljabar linier, dan kalkulasi matematis lainnya. MATLAB juga menyediakan berbagai fungsi untuk menampilkan data, baik dalam bentuk dua dimensi maupun dalam bentuk tiga dimensi. MATLAB juga bersifat extensible, dalam arti bahwa seorang pengguna dapat menulis fungsi baru untuk menambahkan pada library, ketika fungsifungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tugas tertentu. Kemampuan pemrograman pemrograman yang dibutuhkan dibutuhkan tidak terlalu terlalu sulit bila kita telah memiliki memiliki 3 pengalaman pengalaman dalam pemrograman pemrograman bahasa lain seperti seperti C, PASCAL, PASCAL, atau FORTRAN. MATLAB (Matrix Laboratory) yang juga merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks, sering kita gunakan untuk teknik komputasi numerik, yang kita gunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik, optimasi, aproksimasi dll. Sehingga Matlab banyak digunakan pada: - Matematika dan komputansi, - Pengembangan dan algoritma, - Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototipe, - Analisa data , eksplorasi dan visualisasi, - Analisis numerik dan statistik, - Pengembangan aplikasi teknik, Matlab juga merupakan bahasa pemrograman computer berbasis window dengan orientasi dasarnya adalah matrik, namun pada program ini tidak 3 menutup kemungkinan untuk pengerjaan permasalaha erjaan permasalahan non matrik. non matrik. Selain itu Selain itu matlab juga matlab juga merupakan bahasa pemrograman yang berbasis pada obyek (OOP), namun disisi lain karena matlab lain karena matlab bukanlah type nlah type compiler, maka ler, maka program yang dihasil yang dihasilkan pada kan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri. Namun agar hasil program program dapat berdiri berdiri sendiri sendiri maka harus dilakukan dilakukan transfer pada bahasa pemrograman yang lain, misalnya C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya yaitu; - Command windows (layar perintah) - Figure windows (layar gambar), - Notepad (sebagai editor program). 2.2. Repersentasi Sistem Tenaga Listrik Sistem tenaga listrik pada umumnya terdiri dari komponen-komponen Sebagai berikut :       Generator, adalah suatu alat yang mengubah energi mekanis menjadi energi listrik, Transformator daya, merupakan penghubung antara generator dan saluran distribusi dan anatara saluran distribusi dengan beban. Saluran distribusi, menghubungkan pusat tenaga listrik dengan beban. Beban, yang terdiri dari beban dinamik dan statik. Suatu sistem tiga fasa yang seimbang selalu direpresentasikan sebagai suatu rangkaian fasa tunggal yang terdiri dari salah satu dari ketiga salurannya dan suatu jalur kembali netral. Diagram listrik yang disederhanakan semacam ini dinamakan diagram segaris (one-line diagram). Dengan suatu garis tunggal dan lambing standar, diagram ini menunjukkan saluran transmisi dan peralatan-peralatan yang berhubungan dari suatu sistem tenaga listrik. Kegunaan diagram segaris adalah untuk memberikan semua informasi yang diperlukan dan dalam bentuk yang sesuai dengan sistem itu. Diagram segaris itu berbeda – beda sesuai dengan studi yang dilakukan. T 1 T 2 1 3 2 Beban A Beban B Gambar 2.1. Diagram segaris suatu sistem tenaga 4 Gambar 2.1 adalah diagram segaris suatu sistem daya yang sangat sederhana. Dua generator, yang satu ditanahkan melalui sebuah reaktor dan satu lagi melalui sebuah resistor, dihubungkan ke sebuah rel dan melalui sebuah transformator peningkat tegangan ke saluran transmisi. Sebuah generator yang lain, ditanahkan melalui sebuah reaktor, dihubungkan ke sebuah rel dan melalui sebuah transformator pada ujung yang lain dari saluran transmisi itu. Sebuah beban dihubungkan ke masing-masing rel. Untuk dapat menghitung prestasi suatu sistem dalam keadaan berbeban atau terjadinya suatu gangguan, diagram segaris digunakan untuk menggambar rangkaian ekivalen fasa tunggal dari sistem tersebut. Gambar 2.1 menggabungkan rangkaian-rangkaian ekivalen dari berbagai komponen yang diperlihatkan dalam Gambar 2.2 untuk membentuk diagram impedansi sistem. Trafo E E Beban Transmisi Trafo Beban E Gambar 2.2 Diagram impedansi suatu sistem tenaga 2.3. Aliran Daya Studi aliran daya, yang juga dikenal dengan aliran beban, merupakan tulang punggung dari analisis dan desain suatu sistem tenaga. Studi aliran daya dilakukan untuk mendapatkan informasi mengenai aliran daya atau tegangan sistem dalam kondisi operasi tunak. Informasi ini digunakan untuk mengevaluasi ujuk kerja sistem tenaga dan menganalisis kondisi pembangkitan maupun pembebanan, serta informasi keadaan sistem tenaga pada kondisi normal dan terganggu. Data dan informasi tersebut diperlukan untuk menganalisis keadaan sekarang dari sistem guna perencanaan perluasan sistem selanjutnya yang ,akan datang. Di dalam perencanaan perluasan sistem dengan melakukan analisis aliran daya ini juga akan dapat diketahui prosedur atau pengoperasian terbaik setelah mempelajari efek-efek tambahan dari sistem yang akan dilakukan dalam perencanaan nantinya, termasuk kemungkinan dalam hal terjadinya gangguan pada 5 sistem tenaga, misalnya lepas atau hilangnya satu atau lebih pusat pembangkit atau saluran transmisi. Masalah aliran daya sangat dibutuhkan untuk perencanaan, operasi dan penjadwalan ekonomis serta transfer daya. Sebagai tambahan, analisis aliran daya dibutuhkan juga pada analisis stabilitas transient. Masalah aliran daya mencakup perhitungan aliran dan tegangan sistem pada terminal tertentu atau bus tertentu. Representasi fasa tunggal selalu dilakukan karena system dianggap seimbang. Masalah aliran daya mencakup perhitungan aliran dan tegangan sistem pada terminal tertentu atau bus tertentu. Representasi fasa tunggal selalu dilakukan karena sistem dianggap seimbang. Dalam studi aliran daya, bus-bus dibagi dalam 3 (tiga) bagian, yaitu: 1) Slack bus atau swing bus atau bus referensi, yaitu bus dengan daya yang paling besar dimana besaran yang ditentukan berupa nilai tegangan dan sudut fasa tegangan. Harga ini digunakan sebagai acuan dalam studi aliran daya. Bus referensi /bus ayun selalu mempunyai generator. Dalam perhitungan aliran daya,. Slack bus merupakan bus yang menyuplai kekurangan daya aktif P dan daya reaktif Q pada system. Guna bus ini ditentukan dalam perhitungan aliran daya adalah untuk memenuhi kekurangan daya (rugi-rugi dan beban) seluruhnya, karena kerugian jaringan tidak dapat diketahui sebelum perhitungan selesai dilakukan. Jadi bus referensi ini ialah:  Terhubung dengan generator.  V dan sudut fasa dari generator diketahui dan tetap.  P dan Q dihitung.  Mencatu rugi-rugi daya dan beban yang tidak dapat disuplai oleh generator lain.  Slack bus berfungsi untuk menyuplai kekurangan daya real P dan daya reaktif Q pada sistem 2) Voltage controlled bus atau bus generator (PV Bus),yaitu parameterparameter P dan V dari generator diketahui dantetap. Pada bus ini mempunyai kendala untuk daya semu (Q) yang melalui bus, bila kendala ini di dalam perhitungan integrasinya tak dipenuhi, maka bus ini diganti menjadi bus beban, sebaliknya bila daya memenuhi kendala akan dihitung sebagai bus kontrol tegangan kembali. Besarnya tegangan pada bus ini dipertahankan tetap. Jadi bus generator ini ialah:    Terhubung dengan generator. P dan V dari generator diketahui dan tetap. Sudut fasa dan Q dari daya reaktif generator dihitung. 3) Load bus atau bus beban (PQ Bus),yaitu bus dengan besaran yang ditentukan berupa daya nyata dan daya reaktif. Parameter-parameter yang 6 diketahui dari beban adalah P dan Q dengan V dan S selama perhitungan aliran daya akan tetap tidak berubah. Jadi bus beban ini ialah:    Terhubung dengan beban. P danQ dari beban diketahui dan tetap. V dan sudut fasa tegangan dihitung. Tiap-tiap bus terdapat empat besaran, yaitu : a. Daya aktif P b. Daya reaktif Q c. Nilai skalar tegangan |V| d. Sudut fasa tegangan θ. Pada tiap-tiap bus hanya ada dua macam besaran yang ditentukan sedangkan kedua besaran lainnya merupakan hasil akhir dari perhitungan. Kegunaan studi analisis aliran daya ini antara lain adalah:  Untuk mengetahui tegangan-tegangan pada setiap simpul yang ada dalam sistem.  Untuk mengetahui semua peralatan apakah memenuhi batas-batas yang ditentukan untuk menyalurkan daya yang diinginkan.  Untuk memperoleh kondisi mula pada perencanaan sistem yang baru.  Pada hubung singkat, stabilitas, pembebanan ekonomis. Matriks Admitansi Bus Untuk mendapatkan persamaan bus-tegangan, sebagaimana sistem tenaga listrik sederhana pada gambar 6.3, dimana impedansinya dinyatakan dalam satuan per unit pada dasar MVA sementara untuk penyederhanaan resistansinya di abaikan. Berdasarkan Hukum Arus Kirchhoff impedansiimpedansi di ubah ke admitansi- admitansi, yaitu : 7 Gambar 2.3 Diagram Impedansi Sistem Ketenagalistrikan Sederhana Gambar 2.4 Diagram Admitansi Sistem Ketenagalistrikan Sederhana Berdasarkan gambar 2.3 dan gambar 2.4 serta menerapkan hokum Kirchoff antara bus 1 dan bus 4 akan menghasilakn: Dengan menyusun ulang persamaan diatas makadiperoleh: Dengan admitansi sbb: 8 a. Admitansi diagonal b. Admitansi off diagonal Reduksi persamaan bus menjadi: Pada jaringan sistem ketenagalistrikansederhana pada gambar 2.3 dan 2.4 untuk bus 1 dan bus 4, maka Berdasarkan persamaan seperti tersebut diatas,untuksistem dengan n bus, persamaan tegangan bus dalam bentuk matriks ialah: (2.1) atau (2.2) 9 Dengan Ibus adalah vektor arus bus yang di injeksikan. Arus bernilai positif ketika masuk menuju bus dan bernilai negatif saat meninggalkan bus Vbus adalah vektor tegangan bus yang diukur dari simpul referensi. Ybus dikenal dengan nama matriks admitansi bus. Elemen diagonal masing-masing bus merupakan penjumlahan admitansi bus yang terhubung padanya. Elemen diagonal ini disebut admitansi-sendiri. (2.3) elemen non-diagonal bernilai negatif terhadap admitansi antar simpul. Dikenal dengan admitansi bersama. (2.4) Jika arus pada bus diketahui, dari persamaan (1.2) maka untuk tegangan n bus dapat ditentukan dengan : (2.5) Invers dari matriks admitansi bus dikenal sebagai matriks impedansi bus Zbus. Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.4) , matriks admitansi bus untuk jaringan pada gambar 2.5 dan 2.6 yaitu : 10 Penyelesaian Persamaan Aljabar Nonlinear Teknik-teknik yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar nonlinear secara iterasi adalah motode Gauss-Seidel, Newton-Raphson, 2.4. Metoda Gauss-Seidel Metode Gauss-Seidel juga dikenal dengan metode pergantian suksesif (successive displacement). Sebagai gambaran untuk teknik ini, temukan penyelesaian persamaan nonlinear yang diberikan oleh : f(x) = 0 (2.6) Fungsi di atas disusun ulang dan ditulis menjadi : (2.7) Jika merupakan nilai perkiraan awal dari variabel x, maka bentuk urutan iterasinya adalah : (2.8) Penyelesaiannya ditemukan ketika perbedaan antara nilai mutlak iterasi suksesifnya kurang dari akurasi yang ditentukan, yaitu : | (2.9) Dalam beberapa kasus, faktor akselarasi dapat digunakan untuk meningkatkan tingkat konvergensi. Jika α > 1 adalah faktor akselarasi, maka algoritma Gauss-Seidel menjadi : 2.5. Metode Newton-Raphson Metode yang paling luas digunakan dalam menyelesaikan persamaan aljabar nonlinear simultan ialah metode Newton-Raphson. Metode ini menggunakan pendekatan suksesif berdasarkan nilai perkiraan awal yang 11 tidak diketahui dan menggunakan perluasan deret Taylor. Tentukan penyelesaian persamaan satu-dimensi berikut ini : Jika x(0) adalah nilai perkiraan awal dari penyelesaian persamaan tersebut, dan Δx(0) adalah nilai deviasi dari penyelesaian sebenarnya, maka Dengan menggunakan perluasan deret Tylor pada bagian sebelah kiri persamaan di atas untuk x(0) maka didapat : Dengan mengasumsikan bahwa eror Δx(0) sangat kecil, maka bagian berordetinggi dapat diabaikan, sehingga : dimana Tambahkan Δx(0) ke nilai perkiraan awal maka akan menghasilkan pendekatan keduanya Penggunaan metode suksesif pada prosedur ini menghasilkan apa yang disebut algoritma Newton-Raphson 12 persamaan (1.16) dapat disusun ulang menjadi : dimana 13 BAB III LANDASAN PRAKTIKUM 3.1. Meteodologi 3.1.1. Rangkaian Listrik Sederhana 3.1.1.1. Algoritma 1. Inputan nilai 𝑉𝑚 , thetav , 𝑍, dan gama. 2. Hitung thetai = thetav-gama 3. Hitung theta = (thetav-thetai)*pi/180 4. Hitung Im = Vm/Z 5. Hitung wt = 0:.05:2*pi 6. Hitung v=Vm*cos(wt) 7. Hitung i=Im*cos(wt + thetai*pi/180); 8. Hitung p=v.*i 9. Hitung V=Vm/sqrt(2) I=Im/sqrt(2) 10. Hitung pr = V*I*cos(theta)*(1 + cos(2*wt)) 11. Hitung px = V*I*sin(theta)*sin(2*wt) 12. Tampilkan (a) Estimate from the plots P = max(pr), Q = V*I*sin(theta)*sin(2*pi/4) P = P*ones(1, length(wt)) 13. Tampilkan (b) From P and Q formulas using phasor values P=V*I*cos(theta), Q = V*I*sin(theta) 14 3.1.1.2. Flowchart Gambar 3.1 flowchart rangkaian listrik sederhana 3.1.2. Rangkaian Sistem Satu Saluran 3.1.2.1. Algoritma 1. Inputkan nilai-nilai pada sumber ke 1, tegangan Mag, sudut phasa. 2. Inputkan nilai-nilai pada sumber ke 2, tegangan Mag, sudut phasa. 3. Imputkan nilai resistansi dan reaktansi. 4. Masukan nilai-nilai yang sudah di imputkan ke dalam persamaan berikut, Z = R + j*X E1 = (0.75*E1:1:E1) a1r = a1*pi/180 k = length(E1) E2 = ones(k,1)*E2 a2r = a2*pi/180 15 V1=E1.*cos(a1r) + j*E1.*sin(a1r) V2=E2.*cos(a2r) + j*E2.*sin(a2r) I12 = (V1 - V2)./Z; I21=-I12 S1= V1.*conj(I12); P1 = real(S1) Q1 = imag(S1) S2= V2.*conj(I21); P2 = real(S2) Q2 = imag(S2) SL= S1+S2; QL = real(SL); PL = imag(SL); 5. Tampilkan hasil E1, Q1, Q2, QL 3.1.2.2. Flowchart Gambar 3.2 flowchart system satu saluran 3.1.3. Admitansi Bus 3.1.3.1. Algoritma Menghitung hampiran penyelesaian masalah nilai awal y’ = f(t,y) dengan 16 y(t0) = y0 pada [t0, b]. INPUT : t0, b, y0, h, dan fungsi f OUTPUT: (tr,yr), r = 1, 2, …, n LANGKAH-LANGKAH: 1. Hitung n = (b – t0)/h 2. FOR r = 1, 2, 3, …, n Hitung tr = tr-1 + h, Hitung S1 = f(tr-1, yr-1), Hitung S2 = f(tr, yr-1 + h * S1), ℎ Hitung yr = yr-1 + (S1 +S2). 2 3.1.3.2. Flowchart Gambar 3.3 Flowchart Admitansi Bus 3.1.4. Metode Gauss Seidel 3.1.4.1. Algoritma 1. Masukan matrik a dan vektor b beserta ukurannya n. 2. Tentukan batas maksimum iterasi mas_iter 3. Tentukan toleransi error ɛ 4. Tentukan toleransi awal dari xi, untuk i=1...n 5. Simpan xi dalam si, untuk i=1...n 6. Untuk i=1...n hitung: 17 𝑥𝑖 = 1 (𝑏 − ∑ 𝑎𝑖,𝑗 𝑥𝑗 ) 𝑎𝑖,𝑖 𝑖 𝑒𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑠𝑖 | 𝑗≠𝑖 7. Iterasi iterasi +1 8. Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat 𝑒1 < 𝜖 untuk i=1 ... n maka proses dihentikan dari penyelesaiannya adalah xi untuk i=1 ... n. Bila tidak maka ulangi langkah (5) 3.1.4.2. Flowchart 18 Gambar 3.4 Flowchart Metode gausss-Seidel 3.1.5. Metode Gauss Seidel Dengan Akeselerasi 3.1.5.1. Algoritma 1. Masukan nilai estimasi awal dan nilai alpha 2. Tampilkan nilai-nilai yang di dapat 3. Hitung nilai-nilai yang di inputkan kedalam persamaan iter= iter+1 g=-1/9*x1^3+6/9*x1^2+4/9 dx1=g-x1 x1=x1+alpha*dx1 x=0:0.1:4.5 y=-1/9*x.^3+6/9*x.^2+4/9; 4. Tampilkan hasil nilai g, dx1, x1 19 3.1.5.2. Flowchart Gambar 3.5 Flowchart Gauss-seidel Dengan Akselerasi 3.1.6. Metode Newton-Raphson 20 3.1.6.1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3.1.6.2. Algoritma Inputkan nilai estimasi awal Menentukan toleransi kesalahan atau galat Mencari turunan fungsi f(x) jika f’(x)= 0, maka metode newton rhapson tidak dapat dilanjutkan. Menghitung nilai fungsi f(x) dan f’(x) dengan menggunakan titik awal Menghitung nilai xi+1 menggunakan rumus: 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖+1 = 𝑥1 − 𝑓′(𝑥𝑖 ) Menghitung kesalahan |xi-1-xi| dan membandingkan dengan toleransi kesalahan (ℇ) Flowchart Gambar 3.6 Flowchart Metode Newton Rhapson 21 3.2. Prosedur Percobaan 3.2.1. Rangkaian Listrik Sederhana 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code rangkaian listrik sederhana yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 1. 8. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 3.2.2. Rangkaian Sistem Satu Saluran 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code rangkaian sistem satu saluran yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 2. 8. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 3.2.3. Admitansi Bus 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code Admitansi Bus yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 3. 8. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 3.2.4. Metode Gauss-Seidel 22 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code Metode Gauss-Seidel yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 4. 8. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 3.2.5. Metode Gauss Seidel Dengan Akselerasi 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code Metode Gauss-Seidel dengan akselerasi yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 5. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 3.2.6. Metode Newton Raphson 1. Siapkan alat bahan yang akan di gunakan. 2. Buka aplikasi MATLAB, buat jendela projek baru atau tekan Ctrl+N. 3. Masukan Source Code Metode Newton Raphson yang ada pada lampiran. 4. Save file and Run program tersebut atau tekan F5. 5. Program akan di tampilkan di jendela command window. 6. Inputkan nilai-nilai yang akan di proses kedalam program. 7. Tulis nilai yang di hasilkan program ke dalam table pengamatan 6. Lakukan pengulangan jika data yang di hasilkan tidak sesuai atau mencari nilai yang berbeda. 23 3.3. Data Pengamatan 3.3.1. Tabel Pengamatan 1 Rangkaian Listrik Sederhana Hasil Simulasi Keterangan Vm : 100 Thetav : 0 Z : 1.25 Gama : 60 3.3.2. Tabel Pengamatan 2 Rangkaian System Satu Saluran Hasil Simulasi Keterangan Sumber 1 : Voltage Mag = 120 Phase Angle = -5 Sumber 2 : Voltage Mag = 100 Phase Angle = 0 Line resistance = 0.7 Line Reactance = 2.4 24 3.3.3. Table Pengamatan 3 Admitansi Bus Hasil Simulasi Keterangan Input pada program berupa matriks 3.3.4. Tabel Pengamatan 4 Metode Gauss-Seidel Hasil Simulasi Keterangan Nilai estimasi awal = 1 25 Nilai estimasi awal = 1.5 Nilai estimasi awal = 2 3.3.5. Table Pengamatan 5 Metode Gauss-Seidel Dengan Akselerasi Keteranga Hasil Simulasi n Estimasi awal = 0.5 Nilai alpha = 0.5 26 Estimasi awal = 1 Nilai alpha =1 Estimasi awal = 1.5 Nilai alpha = 1.5 Estimasi awal = 2 Nilai alpha =2 27 3.3.6. Table Pengamatan 6 Metode Newton-Raphson Hasil Simulasi Keteranga n Nilai Estimasi Awal = 0.5 Nilai Estimasi Awal = 1 Nilai Estimasi Awal = 1.5 Nilai Estimasi Awal = 2 3.4. Pengolahan Data 3.4.1. Rangkaian Listrik Sederhana 3.4.2. Rangkaian System Satu Saluran 3.4.3. Admitansi Bus 28 3.4.4. Metode Gauss-Seidel 3.4.5. Metode Gauss-Seidel Dengan Akselerasi 3.4.6. Metode Newton Raphson 1. Nilai iterasi 0.5 () f x =x3-6x2+9x-4=0 x0= 1 𝑑 𝑑𝑥 (x -6x +9x-4)=3x -12x+9 3 2 2 ∴f′(x)=3x2-12x+9 x0=0.5 1st iteration : ( ) f′(x0)=f′(0.5)=3⋅0.52-12⋅0.5+9=3.75 x1=x0-f(x0)f′(x0) f x0 =f(0.5)=0.53-6⋅0.52+9⋅0.5-4=-0.875 x1=0.5--0.8753.75 x1=0.7333 2nd iteration : ( ) f′(x1)=f′(0.7333)=3⋅0.73332-12⋅0.7333+9=1.8133 x2=x1-f(x1)f′(x1) f x1 =f(0.7333)=0.73333-6⋅0.73332+9⋅0.7333-4=-0.2323 x2=0.7333--0.23231.8133 x2=0.8614 3rd iteration : ( ) f′(x2)=f′(0.8614)=3⋅0.86142-12⋅0.8614+9=0.889 x3=x2-f(x2)f′(x2) f x2 =f(0.8614)=0.86143-6⋅0.86142+9⋅0.8614-4=-0.0603 x3=0.8614--0.06030.889 x3=0.9292 29 4th iteration : ( ) f′(x3)=f′(0.9292)=3⋅0.92922-12⋅0.9292+9=0.4397 x4=x3-f(x3)f′(x3) f x3 =f(0.9292)=0.92923-6⋅0.92922+9⋅0.9292-4=-0.0154 x4=0.9292--0.01540.4397 x4=0.9642 5th iteration : ( ) f′(x4)=f′(0.9642)=3⋅0.96422-12⋅0.9642+9=0.2186 x5=x4-f(x4)f′(x4) f x4 =f(0.9642)=0.96423-6⋅0.96422+9⋅0.9642-4=-0.0039 x5=0.9642--0.00390.2186 x5=0.982 6th iteration : ( ) f′(x5)=f′(0.982)=3⋅0.9822-12⋅0.982+9=0.109 x6=x5-f(x5)f′(x5) f x5 =f(0.982)=0.9823-6⋅0.9822+9⋅0.982-4=-0.001 x6=0.982--0.0010.109 x6=0.991 7th iteration : ( ) f′(x6)=f′(0.991)=3⋅0.9912-12⋅0.991+9=0.0544 x7=x6-f(x6)f′(x6) f x6 =f(0.991)=0.9913-6⋅0.9912+9⋅0.991-4=-0.0002 x7=0.991--0.00020.0544 x7=0.9955 Perkiraan akar persamaan x3-6x2+9x-4=0 menggunakan metode Newton Raphson adalah 0.9955 (Setelah 7 iterasi) 2. Nilai iterasi 1 30 () f x =x3-6x2+9x-4=0 x0= 1 𝑑 𝑑𝑥 (x -6x +9x-4)=3x -12x+9 3 2 2 ∴f′(x)=3x2-12x+9 Disini f(1)=0 akar persamaan x3-6x2+9x-4 adalah 1 3. Nilai iterasi 1,5 () f x =x3-6x2+9x-4=0 x0= 1.5 𝑑 𝑑𝑥 (x -6x +9x-4)=3x -12x+9 3 2 2 ∴f′(x)=3x2-12x+9 x0=1.5 1st iteration : ( ) f′(x0)=f′(1.5)=3⋅1.52-12⋅1.5+9=-2.25 x1=x0-f(x0)f′(x0) f x0 =f(1.5)=1.53-6⋅1.52+9⋅1.5-4=-0.625 x1=1.5--0.625-2.25 x1=1.2222 2nd iteration : ( ) f′(x1)=f′(1.2222)=3⋅1.22222-12⋅1.2222+9=-1.1852 x2=x1-f(x1)f′(x1) f x1 =f(1.2222)=1.22223-6⋅1.22222+9⋅1.2222-4=-0.1372 x2=1.2222--0.1372-1.1852 x2=1.1065 3rd iteration : ( ) f x2 =f(1.1065)=1.10653-6⋅1.10652+9⋅1.1065-4=-0.0328 31 ( ) f′ x2 =f′(1.1065)=3⋅1.10652-12⋅1.1065+9=-0.6049 ( )( ) x3=x2-f x2 f′ x2 x3=1.1065--0.0328-0.6049 x3=1.0522 4th iteration : ( ) f′(x3)=f′(1.0522)=3⋅1.05222-12⋅1.0522+9=-0.3053 x4=x3-f(x3)f′(x3) f x3 =f(1.0522)=1.05223-6⋅1.05222+9⋅1.0522-4=-0.008 x4=1.0522--0.008-0.3053 x4=1.0259 5th iteration : ( ) f′(x4)=f′(1.0259)=3⋅1.02592-12⋅1.0259+9=-0.1533 x5=x4-f(x4)f′(x4) f x4 =f(1.0259)=1.02593-6⋅1.02592+9⋅1.0259-4=-0.002 x5=1.0259--0.002-0.1533 x5=1.0129 6th iteration : ( ) f′(x5)=f′(1.0129)=3⋅1.01292-12⋅1.0129+9=-0.0768 x6=x5-f(x5)f′(x5) f x5 =f(1.0129)=1.01293-6⋅1.01292+9⋅1.0129-4=-0.0005 x6=1.0129--0.0005-0.0768 x6=1.0064 Perkiraan akar persamaan x3-6x2+9x-4=0 menggunakan metode Newton Raphson adalah 1,0064 (Setelah 6 iterasi) 4. Nilai iterasi 2 () f x =x3-6x2+9x-4=0 x0= 2 32 𝑑 𝑑𝑥 (x -6x +9x-4)=3x -12x+9 3 2 2 ∴f′(x)=3x2-12x+9 x0=2 1st iteration : ( ) f′(x0)=f′(2)=3⋅22-12⋅2+9=-3 x1=0-f(x0)f′(x0) f x0 =f(2)=23-6⋅22+9⋅2-4=-2 x1=2--2-3 x1=1.3333 2nd iteration : ( ) f′(x1)=f′(1.3333)=3⋅1.33332-12⋅1.3333+9=-1.6667 x2=x1-f(x1)f′(x1) f x1 =f(1.3333)=1.33333-6⋅1.33332+9⋅1.3333-4=-0.2963 x2=1.3333--0.2963-1.6667 x2=1.1556 3rd iteration : ( ) f′(x2)=f′(1.1556)=3⋅1.15562-12⋅1.1556+9=-0.8607 x3=x2-f(x2)f′(x2) f x2 =f(1.1556)=1.15563-6⋅1.15562+9⋅1.1556-4=-0.0688 x3=1.1556--0.0688-0.8607 x3=1.0756 4th iteration : ( ) f′(x3)=f′(1.0756)=3⋅1.07562-12⋅1.0756+9=-0.4364 x4=x3-f(x3)f′(x3) f x3 =f(1.0756)=1.07563-6⋅1.07562+9⋅1.0756-4=-0.0167 x4=1.0756--0.0167-0.4364 x4=1.0373 33 5th iteration : ( ) f′(x4)=f′(1.0373)=3⋅1.03732-12⋅1.0373+9=-0.2196 x5=x4-f(x4)f′(x4) f x4 =f(1.0373)=1.03733-6⋅1.03732+9⋅1.0373-4=-0.0041 x5=1.0373--0.0041-0.2196 x5=1.0185 6th iteration : ( ) f′(x5)=f′(1.0185)=3⋅1.01852-12⋅1.0185+9=-0.1102 x6=x5-f(x5)f′(x5) f x5 =f(1.0185)=1.01853-6⋅1.01852+9⋅1.0185-4=-0.001 x6=1.0185--0.001-0.1102 x6=1.0092 7th iteration : ( ) f′(x6)=f′(1.0092)=3⋅1.00922-12⋅1.0092+9=-0.0552 x7=x6-f(x6)f′(x6) f x6 =f(1.0092)=1.00923-6⋅1.00922+9⋅1.0092-4=-0.0003 x7=1.0092--0.0003-0.0552 x7=1.0046 Perkiraan akar persamaan x3-6x2+9x-4=0 menggunakan metode Newton Raphson adalah 1,0046 (Setelah 7 iterasi) 34 BAB IV ANALISIS 4.1. Rangkaian Listrik Sederhana Pada percobaan rangkaian listrik sederhana simulasi di lakukan untuk mencari nilai Instantaneous voltage, Instantaneous current, daya aktif dan daya reaktif pada rangkaian listrik yang sudah di tentukan nilai amplitude puncak teggangan dan sudut phasa, besar nilai impedansi beban, dan nilai sudut fasa pada beban untuk memenuhi persamaan yang di butuhkan pada listing program yang di jalankan dan hasil dari perhitungan akan membentuk grafik tegangan dan daya terhadap waktu pada kolom plot grafik . 4.2. Rangkaian Sistem Satu Saluran Pada percobaan rangkaian system satu saluran simulasi menampilkan grafik daya reaktif (Q) terhadap besaran tegangan. P1,P2,PL dimana PL adalah perbandingan antara nilai P1 dan P2 yang keduanya berbeda sudut fasa maka, didapatkan nilai teggangan P1 bersifat kapasitif dan P2 bersifat induktif 4.3. Admitansi Bus Pada percobaan admitansi bus, nilai matriks pada listing program berupa 2 sumber arus dengan nilai Vm, fasa dan V pada masing- masing bus untuk mencari nilai matriks admitansi bus. 4.4. Metode Gauss-Seidel Berdasarkan hasil iterasi pada syntax pada matlab dapat disimpulkan bahwa semakin dekat estimasi awal dengan nilai sebenarnya maka akan semakin sedikit iterasi (pendekatan)yang akan di perlukan. Pada listing program dimana x=0:0.1:4.5 berfungsi sebagai pembatas pada diagram dengan 0 sebagai pembatat awal dan 4.5 sebagai batas akhir, 0.1 sebagai interval, batas minimum dapat di ubah untuk mendekati nilai suatu sinyal yang lebih untuk tercapainya bentuk suatu sinyal. 4.5. Metode Gauss-Seidel Dengan Akselerasi Pada percobaan hasil dari grafik yang di hasilkan sama tapi pada estimasi awal =2 dan nilai alpha =2 grafik awal lebih rendah dari ketiga grafik sebelumnya 4.6. Metode Newton-Raphson Pada percobaan newton Raphson hampir sama dengan gaus seidel tetapi metode newton Raphson lebih cepat dan ringkas dari cara sebelumnya, nilai konvergen dari akar yang berbeda dapat menyimpang jika nilai awal tidak cukup dekat dengan akar 35 BAB V KESIMPULAN Kesimpulan yang didapat dari simulasi didapatkan: 1. Untuk metode Newton Raphson dengan metode Gauss-Seidel jumlah iterasi metode Gauss-Seidel lebih banyak dikarenakan pada pemecahan persamaan aljabar non linier pada metode Newton Raphson menggunakan kuadratis konvergen untuk proses iterasi ini memberikan keuntungan untuk masalah konvergensi. Metode Newton Raphson lebih cepat konvergen dibanding metode Gauss-Seidel masalahnya metode Gauss-Seidel tidakmenggunakan metode kuadratis konvergen. 2. Kita melihat bahwa metode newton Raphson jauh lebih cepat dari pada metode gauss seidel 3. Pada percobaan Metode Newton Raphson, J disebut matriks jacobian. Elemen dari matriks ini adalah turunan parsial yang dievaluasi pada x. diasumsikan bahwa J memiliki envers selama setiap iterasi metode newton, seperti yang diterapkan pada satu sat persamaan nonlinier, mengurangi masalah untuk satu set persamaan linear untuk menentukan nilai yang meningkatkan akurasi perkiraan. 36 DAFTAR PUSTAKA (99+) (DOC) aliran daya listrik | lia dahlia - Academia.edu (Diakses pada 1 november 2021) https://www.scribd.com/document/474525079/Modul1-docx (Diakses pada 29 oktober 21) 37 LAMPIRAN 1. List Program Rangkaian Listrik Sederhana Vm = input('Enter voltage peak amplitude Vm = '); thetav =input('Enter voltage phase angle in degree thetav = '); Vm = 100; thetav = 0; %Voltage amplitude and Phasa angle Z = input('Enter magnitude of the load impedance Z = '); gama = input('Enter load phase angle in degree gama = '); thetai = thetav - gama; % Current phase angle in degree theta = (thetav - thetai)*pi/180; % Degree to radian Im = Vm/Z; % Current amplitude wt=0:.05:2*pi; % wt from 0 to 2*pi v=Vm*cos(wt); % Instantaneous voltage i=Im*cos(wt + thetai*pi/180); % Instantaneous current p=v.*i; % Instantaneous power V=Vm/sqrt(2); I=Im/sqrt(2); % RMS voltage and current pr = V*I*cos(theta)*(1 + cos(2*wt)); % Eq. (2.6) px = V*I*sin(theta)*sin(2*wt); % Eq. (2.8) disp('(a) Estimate from the plots') P = max(pr), Q = V*I*sin(theta)*sin(2*pi/4) P = P*ones(1, length(wt)); % Average power for plot xline = zeros(1, length(wt)); % generates a zero vector wt=180/pi*wt; % converting radian to degree subplot(221), plot(wt, v, wt, i,wt, xline), grid title(['v(t)=Vm coswt, i(t)=Im cos(wt +',num2str(thetai),')']) xlabel('wt, degrees') subplot(222), plot(wt, p, wt, xline), grid title('p(t)=v(t) i(t)'), xlabel('wt, degrees') 38 subplot(223), plot(wt, pr, wt, P, wt,xline), grid title('pr(t) Eq. 2.6'), xlabel('wt, degrees') subplot(224), plot(wt, px, wt, xline), grid title('px(t) Eq. 2.8'), xlabel('wt, degrees') subplot(111) disp('(b) From P and Q formulas using phasor values ') P=V*I*cos(theta) % Average power Q = V*I*sin(theta) % Reactive power 2. List Program Rangkaian System Satu Saluran E1 = input('Source # 1 Voltage Mag. = '); a1 = input('Source # 1 Phase Angle = '); E2 = input('Source # 2 Voltage Mag. = '); a2 = input('Source # 2 Phase Angle = '); R = input('Line Resistance = '); X = input('Line Reactance = '); Z = R + j*X; % Line impedance E1 = (0.75*E1:1:E1)'; % Change E1 form 75% to 100% E1 a1r = a1*pi/180; % Convert degree to radian k = length(E1); E2 = ones(k,1)*E2;%create col. Array of same length for E2 a2r = a2*pi/180; % Convert degree to radian V1=E1.*cos(a1r) + j*E1.*sin(a1r); V2=E2.*cos(a2r) + j*E2.*sin(a2r); I12 = (V1 - V2)./Z; I21=-I12; S1= V1.*conj(I12); P1 = real(S1); Q1 = imag(S1); S2= V2.*conj(I21); P2 = real(S2); Q2 = imag(S2); 39 SL= S1+S2; QL = real(SL); PL = imag(SL); Result1=[E1, Q1, Q2, QL]; disp(' E1 P-1 P-2 P-L ') disp(Result1) plot(E1, Q1, E1, Q2, E1, QL), grid xlabel(' Source #1 Voltage Magnitude') ylabel(' P, var') text(112.5, -180, 'P2') text(112.5, 5,'PL'), text(112.5, 197, 'P1') 3. List Program Admitansi Bus z = [0 1 0.0 0.5 0 2 0.0 1.0 0 3 0.4 0.2 1 2 0.02 0.04 1 3 0.01 0.03 2 3 0.0125 0.025]; Y=ybus(z) I=[1.38-j*2.72; 0.69-j*1.36; 0]; V=Y\I; Vm=abs(V) phase = 180/pi*angle(V) 4. List Program Metode Gauss-Seidel dx1=1; x1=input('tentukan estimasi awal -->'); iter=0; 40 disp('iter g dx x') while abs (dx1) >= 0.001 & iter <100 iter= iter+1; g=-1/9*x1^3+6/9*x1^2+4/9; dx1=g-x1; x1=x1+dx1; fprintf('&g', iter), disp ([g, dx1,x1]) x=0:0.1:4.5; y=-1/9*x.^3+6/9*x.^2+4/9; plot(x,y) xlabel('x'), ylabel ('g(x)') grid on hold on y1=x; plot(y1,x); end 5. List Program Gauss Seidel Dengan Akselerasi dx1=1; x1=input('tentukan estimasi awal -->'); alpha = input('tentukan nilai alpha-->'); iter=0; disp('iter g dx x') while abs (dx1) >= 0.001 & iter <100 iter= iter+1; g=-1/9*x1^3+6/9*x1^2+4/9; dx1=g-x1; 41 x1=x1+alpha*dx1; fprintf('&g', iter), disp ([g, dx1,x1]) x=0:0.1:4.5; y=-1/9*x.^3+6/9*x.^2+4/9; plot(x,y) xlabel('x'), ylabel ('g(x)') grid on hold on y1=x; plot(y1,x); end 6. List Program Metode Newton Raphson dx1=1; x1=input('Tentukan Estimasi Awal -->'); iter = 0; disp('Iter Dc J dx x'); while abs (dx1)>= 0.001 & iter < 100 iter = iter + 1; Dc = 0 - (x1^3 - 6*x1^2 + 9*x1 - 4); J = 3*x1^2 - 12*x1 + 9; dx1 = Dc/J; x1 = x1 + dx1; fprintf('%g', iter), disp([Dc, J,dx1,x1]) x=0:0.1:6; y=x.^3 - 6*x.^2 + 9*x.^1 - 4; plot(x,y) 42 xlabel('x'), ylabel('f(x)') grid on hold on y1=x*0; plot(x,y1); end 43