VEKTOR PADA BIDANG

VEKTOR PADA BIDANG KELOMPOK 6 AHMAD SAIFUDDIN 1308405050 ADELINA SIMANGUNSONG 1308405035 DELVI AMY DESKA 1308405043 ANGGIE EZRA HUTAPEA 1308405048 FLAVIANA FERNI 1308405059 HANNY PANJAITAN 1308405068 SUSANA 1308405071 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 2014 VEKTOR PADA BIDANG PENDEKATAN SECARA GEOMETRI PENGERTIAN VEKTOR Suatu vektor terdiri dari panah – panah yang digambarkan, panah ini memiliki 2 ujung, yaitu titik awal (pangkal) dan titik akhir (ujung). Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Dua vektor dikatakan ekuivalen jika kedua vektor tersebut memiliki besaran dan arah yang sama. Kita dapat menuliskan vektor tersebut dengan huruf tebal, seperti u dan v. Besaran dari vektor u dilambangkan dengan |u|. Titik akhir u Titik awal OPERASI – OPERASI PADA VEKTOR Untuk menentukan jumlah (sum), atau resultan, dari vektor – vektor u dan v, gerakkan v tanpa mengubah besaran atau arahnya sampai ekor v tersebut berimpit dengan kepala u. Maka u + v adalah suatu vektor yang menghubungkan ekor u ke kepala v. Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u + v, yaitu dengan menggerakkan v sedemikian rupa sehingga ekornya berimpit dengan u. Maka u + v adalah suatu vektor dengan ekor yang sama dan berimpit dengan garis diagonal suatu jajaran genjang yang mempunyai u dan v sebagai sisi – sisinya. Operasi dalam vektor tersebut dapat dijelaskan pada gambar dibawah ini : Kedua metode ini merupakan cara yang ekuivalen untuk menentukan penjumlahan dari vektor, dan pada penjumlahan vektor berlaku pula sifat komukatif dan asosiatif. Yaitu : u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) SIFAT – SIFAT VEKTOR Bila u adalah sebuah vektor, maka 3u adalah vektor yang memiliki arah yang sama dengan u tetapi memiliki panjang 3 kali dari vektor u; -3u berarti vektor tersebut memiliki arah berlawanan dengan 3u, tetapi memiliki panjang yang sama. Dan untuk vektor yang tidak mempunyai arah disebut vektor nol dan dinotasikan 0. vektor 0 merupakan unsur identitas penjumlahan, dalam hal ini u + 0 = 0 + u = u dan untuk pengurangan vektor didefinisikan; u – v = u + (-v) u 3u -3u Operasi pada vektor PENDEKATAN SECARA ALJABAR OPERASI PADA VEKTOR Untuk sebarang vektor u, v, dan w, dan sembarang skalar a dan b, berlaku hubungan – hubungan berikut ; 1. u + v = v + u 5. a(bu) = (ab)u = u(ab) 2. (u + v) + w = u +(v + w) 6. a(u + v) = au + av 3. u + 0 = 0 + u = u 7. (a + b)u = au + bu 4. u + (-u) = 0 8. 1u = u Bukti aturan 6. Jika komponen vektor u = <u1,u2> dan komponen vektor v = <v1,v2> maka : a(u + v) = a(<u1,u2> + <v1,v2>) = a. <u1 + v1 , u2 + v2> = <a(u1 + v1), a(u2 + v2)> = <au1 + av1, au2 + av2> = <au1,au2> + <av1,av2> = a<u1,u2> + a<v1,v2> = au + av  Penjelasan Operasi pada Vektor Jika, komponen vektor u = <u1,u2> dan komponen vektor v = <v1,v2> maka : Untuk menjumlahkan u dan v, kita menjumlahkan komponennya yang bersesuaian ; u + v = <u1+v1 , u2+v2> uk = <u1k , u2k> [k adalah sebuah skalar] Gambar dibawah ini menunjukkan penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor tersebut Panjang dan Hasilkali Titik Panjang / besaran │u│ dari suatu vektor u = <u1 , u2> dapat dinyatakan dengan; │u│ = Sebagai contoh, jika u = <4 , -2>, maka │u│ = = = = Jika kita mengalikan u dengan skalar c, maka sebenarnya kita mengalikan panjang u dengan │c│, yaitu │cu│= │c│ │u│ Simbol │c│, disebut nilai mutlak dari c. Sedangkan simbol │u│ disebut panjang dari u/ jarak dari titik asal ke kepala u pada bidang.  Perkalian dua vektor u dan v dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan u.v Hasil kali titik dari suatu vektor u = <u1 , u2> dan v = <v1 , v2> dapat dinyatakan dengan; u . v = u1.v1 + u2.v2 Teorema 1. u . v = v . u (sifat komunikatif) 2. u . (v + w) = u . v + u . w (sifat distributif) 3. c(u . v) = (cu) . v = u . (cv) (sifat asosiatif) 4. 0 . u = 0 5. u . u = │u│2 Jika u dan v adalah vektor – vektor taknol, maka u . v = │u│ │v│cos Ө Dimana Ө adalah sudut antara u dan v. Sudut antara u dan v maksudnya adalah sudut taknegatif terkecil antara u dan v, sehingga 0 ≤ Ө ≤ π. Untuk menurunkan rumus ini, gunakan Hukum Cosinus untuk segitiga dalam gambar. │u - v│2 = │u│2+ │v│2- 2 │u││v│cos Ө Di sisi lain, dari sifat – sifat hasilkali titik yang dinyatakan dalam teorema B, │u - v│2 = (u – v) . (u – v) = u . (u – v) – v . (u – v) = u . u – u . v – v . u + v . V = │u│2 + │v│2 – 2u . V Dengan menyamakan kedua persamaan untuk │u - v│2 , akan memberikan hasil yang dikehendaki. Teorema C ( Kriteria Ketegaklurusan) Dua vektor u dan v saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya, u . v, adalah 0 Bukti ; Dua vektor taknol saling tegak lurus jika dan hanya jika sudut Ө antara kedua vektor ini adalah π / 2; yaitu, jika dan hanya jika cos Ө = 0. Tetapi cos Ө = 0 jika dan hanya jika u . v = 0. hasil ini berlaku untuk vektor nol, asalkan kita sepakat bahwa sebuah vektor nol tegak lurus dengan setiap vektor. Vektor – vektor yang saling tegak lurus disebut ortogonal  Contoh: Tentukan b sedemikian rupa sehingga u = <8 , 6> dan v = <3 , b> adalah ortogonal Penyelesaian ; u . v = 0 (8)(3) + (6)(b) = 0 24 + 6b = 0 6b = -24 Jadi, b = -4 PROYEKSI Proyeksi Vektor Misalkan u dan v adalah vector, dan misalkan θ adalah sudut antara kedua vector tersebut. Selanjutnya, kita asumsikan 0 ≤ θ ≤ . Misalkan w adalah vector pada arah v yang mempunyai besaran . Karena w mempunyai arah yang sama dengan v, maka kita tahu bahwa w=cv untuk suatu skalar c positif. Di sisi lain, besaran w haruslah . Jadi Dengan demikian, konstanta c adalah Jadi, w = Untuk 0 ≤ θ ≤ , kita mendefinisikan w sebagai vector pada garis yang ditentukan oleh v, tetapi dengan mengarahkan pada arah yang berlawanan dengan v. besaran vector ini adalah untuk beberapa scalar c positif. Jadi Karena w mempunyai arah yang berlawanan dengan v, maka kita memperoleh Jadi, pada kedua kasus ini kita mempunyai . Vector w disebut proyeksi vector pada u dan v, atau kadang-kadang hanya disebut proyeksi u pada v, dan dinotasikan dengan prvu Proyeksi Skalar Didefinisikan sebagai . Hasilnya bisa positif, nol, atau negatif, bergantung pada apakah sudut lancip, biasa, dan tumpul ketika 0 ≤ θ ≤ , maka proyeksi sekalar akan sama dengan besaran prvu, dan ketika 0 ≤ θ ≤ maka proyeksi skalar akan berlawanan dengan besaran dari prvu. Perkalian Silang (Cross Product) Cross () Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus: = . . . di sini adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor . Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product. Sementara, jika kita ingin meng-skalar-kan cross product, maka unsur dapat kita hilangkan, maka rumusnya menjadi: = . . Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai . . karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor, berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama. Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi 3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas , karena tidak dapat digunakan di dimensi 2. Sifat-sifat perkalian silang Misalkan a, b, dan c adalah vector di R3 dan k R adalah skalar, maka: 1. a x b = - b x a 2. a x (b + c) = a x b + a x c 3. (a + b) x c = a x c + b x c 4. k(a x b) = (ka) x b = a x (kb) Karakteristik Cross Product Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut. = , =, dan = Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya konsisten dan universal. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan). Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut. = (karena sudutnya 00) = = = = - ----- = - = ---- = = - Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif.. Sekarang kita coba mengoperasikan = + + = + + = ( + +) ( + + ) = ( )+ ( ) + ( ) + ( ) +()+() + =====()+()+() = .+.+()+ =====()+.+.+ =====.+()+ = ( )( )+( ) (Supaya dapat lebih mudah dibaca dan dihapal, kita gunakan konsep determinan) = (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3) Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan .