Μηδενοδύναμο στοιχείο

Στα μαθηματικά, ένα στοιχείο $x$ ενός δακτυλίου $R$ ονομάζεται Μηδενοδύναμο^[1] αν υπάρχει κάποιος θετικός ακέραιος $n$ , που ονομάζεται δείκτης (ή μερικές φορές βαθμός), τέτοιος ώστε $x^{n}=0$ .

Ο όρος, μαζί με την συναφή του ταυτοδυναμία εισήχθη από τον Μπέντζαμιν Πιρς στο πλαίσιο της εργασίας του για την ταξινόμηση της άλγεβρας^[2].

Παραδείγματα

Ο ορισμός αυτός μπορεί να εφαρμοστεί ιδίως σε τετραγωνικούς πίνακες. Ο πίνακας

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

είναι μηδενοδύναμο επειδή

A^{3}=0

. Δείτε τον μηδενοδύναμο πίνακα για περισσότερες πληροφορίες.

Στον δακτύλιο παραγόντων $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ , η κλάση ισοδυναμίας του 3 είναι μηδενοδύναμο επειδή το 3² είναι ισότιμο με το 0 modulo 9.
Ας υποθέσουμε ότι δύο στοιχεία $a$ και $b$ σε έναν δακτύλιο $R$ ικανοποιούν την τιμή $ab=0$ . Τότε το στοιχείο $c=ba$ είναι μηδενοδύναμο καθώς ${\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}$

Ένα παράδειγμα με πίνακες (για a, b)

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.

Εδώ $AB=0$ και $BA=B$ .

Κατ' ορισμό, κάθε στοιχείο από μία μηδενοδύναμή ημιομάδα είναι μηδενοδύναμο.

Ιδιότητες

Κανένα μηδενοδύναμο στοιχείο δεν μπορεί να είναι μονάδα (εκτός από τον τετριμμένο δακτύλιο, ο οποίος έχει μόνο ένα στοιχείο 0 = 1). Όλα τα μηδενοδύμαμα στοιχεία είναι μηδενικοί διαιρέτες.

Ένας $n\times n$ πίνακας $A$ με καταχωρήσεις από ένα σώμα είναι μηδενοδύναμο αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο είναι $t^{n}$ .

Εάν το $x$ είναι μηδενοδύναμο, τότε το $1-x$ είναι μονάδα, διότι το $x^{n}=0$ συνεπάγεται

$(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Γενικότερα, το άθροισμα ενός μοναδιαίου στοιχείου και ενός μηδενοδύναμου στοιχείου είναι μοναδιαίο όταν αντιμετατίθενται.

Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι

Τα μηδενοδύναμα στοιχεία ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου $R$ σχηματίζουν ένα ιδεώδες ${\mathfrak {N}}$ - αυτό είναι συνέπεια του διωνυμικού θεωρήματος. Αυτό το ιδεώδες είναι η μηδενοδύμαμη ρίζα του δακτυλίου. Κάθε μηδενοδύναμο στοιχείο $x$ σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο περιέχεται σε κάθε πρωταρχικό ιδεώδες ${\mathfrak {p}}$ αυτού του δακτυλίου, αφού $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$ . Έτσι, το ${\mathfrak {N}}$ περιέχεται στην τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Αν το $x$ δεν είναι μηδενοδύναμο, μπορούμε να εντοπίσουμε σε σχέση με τις δυνάμεις του $x$ : $S=\{1,x,x^{2},...\}$ για να πάρουμε έναν μη μηδενικό δακτύλιο $S^{-1}R$ . Τα πρωταρχικά ιδεώδη του εντοπισμένου δακτυλίου αντιστοιχούν ακριβώς σε εκείνα τα πρωταρχικά ιδεώδη ${\mathfrak {p}}$ of $R$ του $R$ με ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ .^[3] Καθώς κάθε μη μηδενικός αντιμεταθετικός δακτύλιος έχει ένα μέγιστο ιδεώδες, το οποίο είναι πρωταρχικό, κάθε μη μηδενοδύναμο $x$ δεν περιέχεται σε κάποιο πρωταρχικό ιδεώδες. Έτσι, το ${\mathfrak {N}}$ είναι ακριβώς η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών^[4].

Ένα χαρακτηριστικό παρόμοιο με εκείνο της ρίζας Τζέικομπσον και της εκμηδένισης απλών ενοτήτων είναι διαθέσιμο για το µηδενοριζικό: μηδενικά στοιχεία του δακτυλίου $R$ είναι ακριβώς εκείνα που εκμηδενίζουν όλες τις ολοκληρωτικές περιοχές εσωτερικά του δακτυλίου $R$ (δηλαδή, της μορφής $R/I$ για τα πρώτα ιδεώδη $I$ ). Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το µηδενοριζικό (nilradical) είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών.

Μηδενοδύναμα στοιχεία στην άλγεβρα Λι

Έστω ${\mathfrak {g}}$ μια άλγεβρα Λι. Τότε ένα στοιχείο $x\in {\mathfrak {g}}$ ονομάζεται μηδενοδύναμο αν βρίσκεται στο $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ και το $\operatorname {ad} x$ είναι ένας μηδενοδύναμος μετασχηματισμός. Βλ. επίσης: Παραγοντοποίηση Ζορντάν σε μια άλγεβρα Λι^[5]^[6].

Μηδενοδύναμο στη φυσική

Κάθε τελεστής σκάλας σε έναν πεπερασμένης διάστασης χώρο είναι μηδενοδύναμος. Αντιπροσωπεύουν τελεστές δημιουργίας και εκμηδένισης, οι οποίοι μετασχηματίζουν από τη μία κατάσταση στην άλλη, λόγου χάριν οι πίνακες ανύψωσης και μείωσης Πάουλι $\sigma _{\pm }=(\sigma _{x}\pm i\sigma _{y})/2$ .

Ένας τελεστής $Q$ που ικανοποιεί $Q^{2}=0$ είναι μηδενοδύναμος. Οι αριθμοί Γκράσμαν που επιτρέπουν μια αναπαράσταση μονοπατιού για φερμιονικά πεδία είναι μηδενικά, αφού τα τετράγωνα τους εξαφανίζονται. Το φορτίο BRST είναι ένα σημαντικό παράδειγμα στη φυσική.

Καθώς οι γραμμικοί τελεστές σχηματίζουν μια συνειρμική άλγεβρα και συνεπώς έναν δακτύλιο, πρόκειται για μια ειδική περίπτωση του αρχικού ορισμού.^[7]^[8] Γενικότερα, με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ένας τελεστής $Q$ είναι μηδενοδύναμος αν υπάρχει $n\in \mathbb {N}$ τέτοια ώστε $Q^{n}=0$ (η συνάρτηση μηδέν). Επομένως, ένας γραμμικός χάρτης είναι μηδενοδύναμος αν έχει μηδενοδύναμο πίνακα σε κάποια βάση. Ένα άλλο παράδειγμα είναι η εξωτερική παράγωγος (και πάλι με $n=2$ ). Και τα δύο συνδέονται, επίσης μέσω της υπερσυμμετρίας και της θεωρίας Μορς,^[9] όπως έδειξε ο Έντουαρτ Γουίτεν σε ένα διάσημο άρθρο ^[10].

Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ενός επίπεδου κύματος χωρίς πηγές είναι μηδενοδύναμο όταν εκφράζεται σε όρους της άλγεβρας του φυσικού χώρου^[11]. Γενικότερα, η τεχνική της μικροπροσθετικότητας (η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή θεωρημάτων στη φυσική) χρησιμοποιεί μηδενοδύναμα ή nilsquare απειροσθενή και αποτελεί μέρος της ομαλής απειροσθενούς ανάλυσης.

Αλγεβρικά μηδενοδύναμα

Οι δισδιάστατοι δυϊκοί αριθμοί περιέχουν έναν μηδενοδύναμο χώρο. Άλλες άλγεβρες και αριθμοί που περιέχουν μηδενοδύναμους χώρους περιλαμβάνουν τις διαιρεμένες τετράδες (coquaternions), τις διαιρεμένες οκτάδες (split-octonions), τις διπλές τετράδες (biquaternions) $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ , και μιγαδικά οκτάδια $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$ . Αν ένα μηδενοδύναμο απειροστό είναι μια μεταβλητή που τείνει προς το μηδέν, μπορεί να αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε άθροισμα όρων για το οποίο είναι το υποκείμενο είναι ένα απροσδιόριστα μικρό ποσοστό του όρου πρώτης τάξης.

Δημοσιεύσεις

Olivier D. Faugeras (1992). «What can be seen in three dimensions with an uncalibrated stereo rig?».

Olivier D. Faugeras; Q.T. Luong; Steven Maybank (1992). «Camera self-calibration: Theory and experiments». doi:10.1007/3-540-55426-2_37.

Q.T. Luong and Olivier D. Faugeras (1996). «The Fundamental Matrix: Theory, Algorithms, and Stability Analysis». International Journal of Computer Vision 17 (1): 43–75. doi:10.1007/BF00127818.

Olivier Faugeras and Q.T. Luong (2001). The Geometry of Multiple Images. MIT Press. ISBN 978-0-262-06220-6.

Richard I. Hartley (1992). «Estimation of relative camera positions for uncalibrated cameras». https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-55426-2_62.

Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54051-3.

Richard I. Hartley (1997). «In Defense of the Eight-Point Algorithm». IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 19 (6): 580–593. doi:10.1109/34.601246.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Garibaldi, Skip (2004), «The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions», American Mathematical Monthly 111 (9): 761–778, doi:10.2307/4145188
Bott, Raoul (1988). «Morse Theory Indomitable». Publications Mathématiques de l'IHÉS 68: 99–114. doi:10.1007/bf02698544. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0.
Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1
Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd έκδοση). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0138053260.
Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ «Nilpotent - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 23 Σεπτεμβρίου 2024.
↑ Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.
↑ Matsumura, Hideyuki (1970). «Chapter 1: Elementary Results». Commutative Algebra. W. A. Benjamin. σελίδες 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
↑ Atiyah, M. F.· MacDonald, I. G. (21 Φεβρουαρίου 1994). «Chapter 1: Rings and Ideals». Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. σελ. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
↑ «Jordan–Chevalley Decomposition in Lie Algebras - Cambridge University Press & Assessment» (PDF).
↑ Springer, T. A. (12 Οκτωβρίου 2010). Linear Algebraic Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4840-4.
↑ Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
↑ Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
↑ A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714, 2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
↑ E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.
↑ Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

A. Borel, Linear algebraic groups, (ISBN 0-387-97370-2)
Borel, Armand (1956), «Groupes linéaires algébriques», Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 64 (1): 20–82, doi:10.2307/1969949
Popov, V.L. (2001), «unipotent element», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095400
Popov, V.L. (2001), «unipotent group», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095410
Suprunenko, D.A. (2001), «unipotent matrix», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=U/u095420

[1] «Nilpotent - an overview | ScienceDirect Topics». www.sciencedirect.com. Ανακτήθηκε στις 23 Σεπτεμβρίου 2024.

[2] Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.

[3] Matsumura, Hideyuki (1970). «Chapter 1: Elementary Results». Commutative Algebra. W. A. Benjamin. σελίδες 6. ISBN 978-0-805-37025-6.

[4] Atiyah, M. F.· MacDonald, I. G. (21 Φεβρουαρίου 1994). «Chapter 1: Rings and Ideals». Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. σελ. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.

[5] «Jordan–Chevalley Decomposition in Lie Algebras - Cambridge University Press & Assessment» (PDF).

[6] Springer, T. A. (12 Οκτωβρίου 2010). Linear Algebraic Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4840-4.

[7] Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.

[8] Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0

[9] A. Rogers, The topological particle and Morse theory, Class. Quantum Grav. 17:3703–3714, 2000 doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.

[10] E Witten, Supersymmetry and Morse theory. J.Diff.Geom.17:661–692,1982.

[11] Rowlands, P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics, London, World Scientific 2007, ISBN 978-981-270-914-1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]