Nilpotentnost

Nilpotentnost je pojem iz teorije kolobarjev. Element $x\!\,$ iz kolobarja je nilpotenten, če obstaja takšno naravno število $n\!\,$, da velja $x^{n}=0\!\,$. Najmanjša vrednost, za katero to še velja, je stopnja nilpotentnosti elementa $x\!\,$.

Pojem je vpeljal ameriški matematik in astronom Benjamin Peirce (1809 – 1880).

Zgledi

Zgornjo definicijo se lahko uporabi za kvadratne matrike.

• Matrika

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

je nilpotentna, ker zanjo velja $A^{3}=0\!\,$.

• Predpostavi se, da dva elementa v nekomutativnem kolobarju $R\!\,$ zadoščata pogoju $ab=0\!\,$. Potem je element $c=ba\!\,$ nilpotenten, ker je $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0\!\,$.
• Naslednji zgled uporablja dve matriki ($A\!\,$ in $B\!\,$)

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},$

tako, da velja $AB=0\!\,$ in $BA=B\!\,$.

Glej tudi

• nilpotentna matrika
• nilpotentna grupa
• idempotentnost

Zunanje povezave

• Nilpotentni elementi Arhivirano 2010-07-22 na Wayback Machine. (angleško)
• Nilpotentne grupe (angleško)
• Lastnosti nilpotentne grupe (angleško)