Nilpotentti

Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan nilpotentiksi, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että xⁿ = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.

Esimerkkejä

• Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

on nilpotentti, koska A³ = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.

• Tekijärenkaassa Z/9Z 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 3² on kongruentti 0 modulo 9.
• Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat ab = 0. Tällöin alkio c = ba on nilpotentti (jos ei nolla), kun c² = (ba)² = b(ab)a = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

$A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$

Tässä AB = 0, BA = B.

• Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on tⁿ.

Jos x on nilpotentti, niin silloin alkiolla 1 - x on olemassa käänteisalkio $(1-x)^{-1}$, koska xⁿ = 0 edellyttää, että

$(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1$

Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan yksikköalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas

Vaihdannaisen renkaan $R$ nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin ${\mathfrak {N}}$; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali ${\mathfrak {N}}$ kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio $x$ kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin ${\mathfrak {p}}$, koska $x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}$. Joten ${\mathfrak {N}}$ sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos $x$ ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida $x$:t potenssien mukaan: $x$: $S=\{1,x,x^{2},...\}$ saadaan nollasta poikkeava rengas $S^{-1}R$. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne ${\mathfrak {p}}$, jotka toteuttaa ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos $x$ ei ole nilpotentti niin $x$ ei kuulu ${\mathfrak {p}}$, jollakin $R$:n alkuideaalilla ${\mathfrak {p}}$. Siksi ${\mathfrak {N}}$ on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.