Diagram Arganda

Diagram Arganda jest sposobem geometrycznego przedstawienia liczby zespolonej na płaszczyźnie. Liczbie zespolonej $x+y{\sqrt {-1}}$ odpowiada w nim punkt $(x,y)$ w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Początek układu współrzędnych odpowiada liczbie zero, a oś odciętych – zbiorowi liczb rzeczywistych.

Historia

Diagram Arganda został po raz pierwszy zastosowany przez matematyka duńskiego Caspara Wessela w 1797 roku, lecz jego dzieło zostało odkryte dopiero po upływie 100 lat, w 1897 roku, gdy Duńska Akademia Nauk wydała jego francuski przekład. W roku 1807 Szwajcar Robert Argand opublikował pracę Próba pewnego sposobu przedstawienia wielkości urojonych w konstrukcjach geometrycznych, w której zinterpretował same liczby i oba działania na nich (dodawanie i mnożenie). Książka Arganda, wydana anonimowo, stała się znana po publikacji jej przez Josepha Blaise Gergonne’a w Rocznikach matematyki czystej i stosowanej. Tamże została opublikowana żywa dyskusja na temat interpretacji wielkości urojonych. Pierwszym matematykiem, który posługiwał się diagramem we właściwy sposób był Carl Friedrich Gauss w dysertacji z 1799 roku.

Praca Wessela

Wessel nie zajmował się subtelnościami w rodzaju pytań o równość odcinków skierowanych (wektorów) na płaszczyźnie, a dla dodawania i mnożenia sprawdzał tylko poszczególne prawa rachunku. Wektor łączący początek układu współrzędnych z punktem $(0,1)$ oznaczał przez $\varepsilon$ i znalazł następujące wyniki:

Jednostki podstawowe Wessela

$\cdot$	$-1$	$+1$	$-\varepsilon$	$+\varepsilon$
$-1$	$+1$	$-1$	$+\varepsilon$	$-\varepsilon$
$+1$	$-1$	$+1$	$-\varepsilon$	$+\varepsilon$
$-\varepsilon$	$+\varepsilon$	$-\varepsilon$	$-1$	$+1$
$+\varepsilon$	$-\varepsilon$	$+\varepsilon$	$+1$	$-1$

Na tej podstawie wnioskował, że $\varepsilon ={\sqrt {-1}}.$ Następnie odcinkowi skierowanemu przyporządkował liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej $r(\cos v+\varepsilon \sin v).$ Na tak określonych liczbach zespolonych rozważał wszystkie działania i udowodnił wzór de Moivre’a (również dla wykładnika ułamkowego) oraz rozwiązał wiele zadań o trójkątach sferycznych.

Diagram Arganda – ujęcie formalne

Wystarczy określić mnożenie.

Ponieważ

$(x,y)=x+iy,$

więc

$(a,0)+(x,y)=a+x+iy=(a+x,y)$

$(a,0)\cdot (x,y)=a\cdot (x+iy)=ax+iay=(ax,ay),$

czyli liczbę zespoloną $(a,0)$ można identyfikować z liczbą rzeczywistą i wtedy

$(x,y)=(x,0)+(0,y)=x+y(0,1).$

Zatem $i=(0,1)$ i $(0,1)^{2}=-1.$

Wtedy

${\begin{aligned}&(a,b)\cdot (x,y)\\[2px]={}&(a+b(0,1))\cdot (x+y(0,1))\\[2px]={}&ax+ay(0,1)+bx(0,1)+by(0,1)^{2}\\[2px]={}&ax-by+(ay+bx)\cdot (0,1)\\[2px]={}&(ax-by,ay+bx).\end{aligned}}$

Diagram Arganda w ujęciu H.S.M. Coxetera

Suma liczb zespolonych

Punkty na płaszczyźnie dodaje się tak, jak odpowiadające im wektory wychodzące z początku układu (czyli zera):

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b).$

Innymi słowy, aby dodać $(a,b),$ stosujemy przesunięcie przekształcające punkt $(0,0)$ w punkt $(a,b).$

Mnożenie liczby zespolonej przez liczbę całkowitą

Mnożenie punktu przez liczbę rzeczywistą jest jednokładnością. Na przykład:

$2(x,y)=(x,y)+(x,y)=(2x,2y)$

$-1(x,y)=-(x,y)=(-x,-y)$

$k\cdot (x,y)=(k\cdot x,k\cdot y)$

$0\cdot (x,y)=(0,0).$

Mnożenie przez $-1$ jest półobrotem wokół punktu $O.$ Dlatego mnożenie przez pierwiastek kwadratowy z $-1$ jest takim przekształceniem, którego kwadrat (czyli złożenie przekształcenia z samym sobą) jest półobrotem wokół punktu $O,$ czyli ćwierćobrót wokół punktu $O$ (czyli obrót o kąt prosty).

Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne kartezjańskie

Mnożenie liczb zespolonych; współrzędne biegunowe

Wobec tego mnożenie przez dowolną liczbę zespoloną powinno być przekształceniem, dla którego punkt $O$ jest punktem stałym i które zawiera zarówno jednokładności o środku w $O,$ jak i obroty dokoła $O$ jako przypadki szczególne. Mnożenie dowolnego punktu $(x,y)$ przez ustalony punkt $(a,b)$ definiuje się jako podobieństwo spiralne o środku $O,$ które przeprowadza punkt $(1,0)$ w punkt $(a,b)$. Jeżeli punkty $(a,b)$ i $(x,y)$ mają współrzędne biegunowe odpowiednio $(s,\eta )$ i $(r,\theta ),$ czyli

$a=s\cos \eta ,\ b=s\sin \eta ,\ x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .$

Wówczas podobieństwo spiralne, w którym mnoży się $r$ przez $s$ i dodaje $\eta$ do $\theta ,$ przekształca współrzędne

$r\cos \theta =x,\ r\sin \theta =y$

na współrzędne

${\begin{aligned}sr\cos(\theta +\eta )&=sr(\cos \theta \cos \eta -\sin \theta \sin \eta )\\&=(s\cos \eta )(r\cos \theta )-(s\sin \eta )(r\sin \theta )\\&=ax-by,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}sr\sin(\theta +\eta )&=sr(\sin \theta \cos \eta -\cos \theta \sin \eta )\\&=(s\cos \eta )(r\sin \theta )-(s\sin \eta )(r\cos \theta )\\&=ay+bx.\end{aligned}}$

Stąd wzór

$(a,b)(x,y)=(ax-by,\ ay+bx).$

Bibliografia

• Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej (tłum. z jęz. ang.). Warszawa: PWN, 1967. Brak numerów stron w książce
• Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis. Wyd. 3. Berlin: 1928. Brak numerów stron w książce
• Hardy G.H.: Pure Mathematics. Wyd. 10. London: 1955. Brak numerów stron w książce
• Historia matematyki od czasów najdawniejszych do początku XIX stulecia (tłum. z jęz. ros.). A.P. Juszkiewicz (red.). T. 3. Warszawa: PWN, 1977. Brak numerów stron w książce
• Birkhoff G., Mac Lane S.: Przegląd algebry współczesnej (tłum. z jęz. ang.). Wyd. 3. Warszawa: PWN, 1966. Brak numerów stron w książce