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Modelo del pendulo

8 3 El Péndulo Fı́sico Simple suave a trozos, se hace el análisis matemático del modelo mediante el método de Filippov. Por último, se presentan los experimentos numéricos y se discuten los resultados. 3.1. Modelo matemático La Figura 3-1 representa un péndulo fı́sico real y los principales parámetros que lo caracterizan. Particularmente, el movimiento del péndulo está restringido al plano x − y. Por otra parte, el eje de rotación del péndulo se encuentra en el punto de apoyo o juntura O, mientras que el eje denotado por z se ubica en el centro de masa del péndulo; además, tanto el eje de rotación del péndulo como el eje z son perpendiculares al plano x − y. Adicionalmente, m corresponde a la masa, I es el momento de inercia con respecto al eje z y r mide la distancia entre la juntura O y z. Por ultimo, se presentan las variables u y ψ; la primera representa la fuerza externa aplicada al péndulo en la juntura O, y la segunda determina la posición del péndulo con respecto al semieje negativo y. y O u x m, I ψ r z Figura 3-1.: Modelo del péndulo fı́sico simple. Ahora, el modelo matemático que aproxima la dinámica del sistema se deduce a partir del método de Lagrange [19]. En este sentido, se establece la interacción de la energı́a mecánica en el péndulo, es decir, el balance entre su energı́a cinética T y su energı́a potencial U . Ası́, se define la ecuación de Lagrange (3-1), donde se presenta la relación entre T y U , en función de ψ y sus derivadas con respecto al tiempo t. Además, se considera al péndulo fı́sico como un sistema no conservativo, lo que implica que fuerzas externas tales como el torque u o la fricción en O, ejerzan trabajo en él. En particular, en la Ecuación (3-1) estas variaciones de 3.1 Modelo matemático 9 energı́a se representan con el término Q.   ∂T ∂U d ∂T + = Q. − dt ∂ ψ̇ ∂ψ ∂ψ (3-1) A continuación se deducen las expresiones algebraicas de T y U . Para el caso de Q, se dan a conocer las expresiones que lo componen. 3.1.1. Energı́a cinética Nuevamente, de acuerdo a [19], la energı́a cinética de un cuerpo en rotación se puede definir como 1 T = I ψ̇ 2 . 2 (3-2) No obstante, para este sistema la Ecuación (3-2) debe ser complementada porque el centro de masa es perpendicular al eje z y no al eje de rotación del péndulo (ver Figura 3-2). Por lo tanto, se crea la necesidad de encontrar la expresión del momento de inercia con respecto al eje de rotación del sistema. O e je d ón aci rot E eje z r Figura 3-2.: Condiciones de rotación del péndulo fı́sico. Ası́, para calcular T se hace uso del Teorema 1 conocido como teorema de Steiner o de ejes paralelos. Teorema 1 El momento de inercia con respecto a cualquier eje de rotación paralelo al eje de rotación que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia que pasa por el centro de masa, más el producto entre la masa y el cuadrado de la distancia que separa a los dos ejes. 10 3 El Péndulo Fı́sico Simple De esta manera, sustituyendo I + mr2 en la Ecuación (3-2), la energı́a cinética se fija como T =  1 I + mr2 ψ̇ 2 . 2 3.1.2. (3-3) Energı́a potencial Ahora, al igual que para el caso anterior la expresión de la energı́a potencial presentada en la Ecuación (3-4) se toma de [19], donde m representa la masa del sistema, g es el campo gravitatorio de la tierra, y h mide la altura del centro de masa con respecto al punto más bajo que puede ocupar (ver Figura 3-3). U = mgh. (3-4) y x ψ r r z h z Figura 3-3.: Altura del centro de masa con respecto a su punto más bajo. En este sentido, a partir de la Figura 3-3 se puede deducir que h corresponde a r (1 − cos (ψ)). De este modo, sustituyendo esta expresión en la Ecuación (3-4), la energı́a potencial del sistema se fija como U = mgr (1 − cos (ψ)) . 3.1.3. (3-5) El péndulo fı́sico como un sistema no conservativo Como se mencionó anteriormente, se considera al péndulo fı́sico como un sistema no conservativo. Una de varias razones, es porque parte de su energı́a mecánica se disipa en forma de calor por efecto de la fricción. Otra, debido a que el péndulo puede ser excitado por fuerzas 3.1 Modelo matemático 11 externas no potenciales, tales como, las generadas por un motor. En este sentido, se considera necesario incluir en el modelo matemático, las expresiones que aproximen las variaciones de energı́a mecánica debido a la fricción y a las fuerzas externas. Para el caso del péndulo fı́sico mostrado en la Figura 3-1, se considera únicamente la fricción que se genera en la juntura O. Sin embargo, construir un modelo que describa los efectos de la fricción no es una tarea sencilla [12, 13]. Adicionalmente, en la literatura existe una cantidad limitada de trabajos orientados a investigar los péndulos con fricción. Teniendo en cuenta lo anterior, el modelo matemático de la fricción se tomó de [14]. Particularmente, se hizo esta elección porque dentro de esta investigación el modelo y los parámetros que lo caracterizan fueron capaces de describir satisfactoriamente la dinámica del sistema, al comparar las simulaciones con los datos tomados experimentalmente. Además, la elección también fue motivada debido a que la forma en que el sistema es excitado con una fuerza externa resulta conveniente a la hora de aplicar la estrategia de control ZAD. Ası́, el modelo de la fricción se define en (3-6). (Para más detalles acerca del modelo y sus parámetros ver [11, 14]). i  h ′ (3-6) 3cψ̇ + (T1 + T2 + µN ) sgn ψ̇ (1 − µ′ ) e−c |ψ̇| + µ′ , donde sgn es la función matemática signo, e es la constante de Euler, T1 y T2 son componentes del torque ejercido por la fricción seca, µ′ y c′ permiten aproximar el efecto de la fricción a bajas velocidades, c es un coeficiente de amortiguamiento, y µ es el coeficiente de proporcionalidad de la componente N que se fija como r     N =m g 2 + 2gr cos (ψ) ψ̇ 2 + sin (ψ) ψ̈ + r2 ψ̇ 4 + ψ̈ 2 . (3-7) Además, para el modelo presentado en (3-6), cabe señalar que el término que contiene a la función signo corresponde a la fricción seca del sistema; mientras que el término restante modela a la fricción viscosa. Por otra parte, con relación al otro elemento que causa variaciones de energı́a dentro del sistema, es decir, la fuerza externa u se debe considerar como el torque que se aplica en el eje de rotación del péndulo. De esta manera, el término Q de la formulación de Lagrange (3-1) se define como en la Ecuación (3-8). Con lo que respecta a los signos de los diferentes términos que componen a Q, la convención elegida se hizo teniendo en cuenta su efecto en la energı́a mecánica del sistema; ası́, los elementos que aportan energı́a tal como el torque u, se toman como positivos; y los elementos que la disipan, como por ejemplo la fricción seca y viscosa, se toman como negativos. i  h ′ (3-8) Q = u − 3cψ̇ − (T1 + T2 + µN ) sgn ψ̇ (1 − µ′ ) e−c |ψ̇| + µ′ . 12 3 El Péndulo Fı́sico Simple Finalmente, al sustituir las Ecuaciones (3-3), (3-5) y (3-8) en la ecuación de Lagrange (3-1), y al hacer las operaciones correspondientes, el modelo matemático que se usa para estudiar la dinámica del péndulo fı́sico corresponde a i  h  −c′ |ψ̇ | ′ ′ 2 + µ . (3-9) I + mr ψ̈ + mgrsen (ψ) = u − 3cψ̇ − (T1 + T2 + µN ) sgn ψ̇ (1 − µ ) e donde N sigue estando definido por la Ecuación (3-7). Ahora, los valores numéricos de cada uno de los parámetros que constituyen el modelo matemático son tomados de [14]. Además, es necesario resaltar que la implementación fı́sica del péndulo hecha en la citada investigación, permitió obtener cada uno de estos valores a partir de la estimación con datos tomados experimentalmente y la medición directa de las caracterı́sticas fı́sicas del sistema. Particularmente, estos valores están consignados en la Tabla 3-1. Finalmente, al sustituir los valores de la Tabla (3-1) en las Ecuaciones (3-7) y (3-9), se obtiene una expresión que además de describir la dinámica del sistema en términos de la posición ψ ∈ R y sus derivadas con respecto al tiempo t ∈ R, permite asignar valores arbitrarios a la fuerza externa u. Esta expresión corresponde a la Ecuación (3-10). Tabla 3-1.: Parámetros del modelo matemático (3-9) con sus respectivos valores. Parámetro c[N · m · s] I[Kg · m2 ] r[m] m[Kg] T1 [N · m] T2 [N · m] µ[m] ′ µ [−] ′ c [s/rad] g[m/s2 ] Valor 5.32 · 10−4 37.94 · 10−3 54.95 · 10−3 4.21 97.53 · 10−3 13.77 · 10−3 0 1 1 9.812   ψ̈ = 19.7393u − 44.8065 · sin (ψ) − 0.0315ψ̇ − 2.1969 · sgn ψ̇ . (3-10) En particular, se considera que la observación tanto de la posición como de la velocidad del péndulo es necesaria para hacer un análisis adecuado de la dinámica del sistema. En este sentido, haciendo los cambios de variable φ1 = ψ y φ2 = ψ̇, la Ecuación (3-10) se puede expresar como el sistema de ecuaciones (3-11), el cual, rige la dinámica del péndulo sobre el 3.1 Modelo matemático 13 espacio de estados definido como {(φ1 , φ2 ) ∈ R2 }. En particular, φ1 representa a la posición del péndulo y se mide en radianes (rad), mientras que φ2 corresponde a su velocidad y se da en radianes por segundo (rad/seg). φ̇1 = φ2 . φ̇2 = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ1 ) − 0.0315φ2 − 2.1969 · sgn (φ2 ) (3-11) 4. Análisis del Modelo 4.1. Sistemas Suaves a Trozos Cuando el fenómeno de la fricción es tenido en cuenta dentro de un modelo matemático, sus efectos dentro de la dinámica del sistema deben ser analizados. En el caso del péndulo fı́sico, a partir de la segunda ecuación del sistema (3-11), se puede inferir que la fricción está correlacionada con la velocidad. Ası́, con respecto a la fricción viscosa, su incidencia depende directamente del valor de φ2 . Por otra parte, el efecto de la fricción seca está ligado a la función matemática signo, cuyo argumento, nuevamente es φ2 . Adicionalmente, la función signo afecta la estructura dinámica que gobierna al péndulo fı́sico, siendo necesario diferenciar las dinámicas cuando φ2 es mayor, menor o igual que cero. En este sentido, el comportamiento del sistema se puede construir, considerando al péndulo fı́sico como un sistema suave a trozos. Los sistemas suaves a trozos o PSS, por sus siglas en inglés, son descritos por un conjunto finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En general ẋ = f (i) (x) , x ∈ Si ⊂ R n , (4-1) donde x representa los estados del sistema, Si , para i = 1, 2, ..., m, son regiones abiertas y no solapadas entre sı́, las cuales están separadas por subvariedades de dimensión (n − 1) conocidas como fronteras. Las funciones f (i) y las fronteras se toman como suaves y la unión entre todas las fronteras Σ junto con todas las Si abarca todo el espacio de estados [31]. Además, se pueden diferenciar dos tipos de PSS. Por un lado, si f (i) (x) = f (j) (x) en cualquier punto de la frontera Σij que separa a las regiones Si y Sj , los PSS se clasifican como continuos. En estos sistemas, el vector ẋ está definido de manera única en cualquier punto del espacio de estados, y las órbitas en la región Si que se aproximan transversalmente a la frontera Σij , la cruzan para entrar en la región adyacente Sj . Por otra parte, cuando dos vectores distintos ẋ, definidos como f (i) (x) y f (j) (x) se asocian al mismo punto x ∈ Σij , los PSS son llamados discontinuos o sistemas de Filippov. Particularmente, cuando las componentes transversales de f (i) (x) y f (j) (x) tienen el mismo signo, la órbita cruza la frontera, pero en el punto en que lo hace se presenta una discontinuidad en su vector tangente. Por el contrario, si las componentes transversales de f (i) (x) y f (j) (x) tienen signos opuestos, el estado del sistema permanece en la frontera, y dependiendo de su dinámica se desliza o no sobre ella. En la mayorı́a de los casos, la dinámica sobre la frontera se puede definir a partir 4.2 Análisis de Filippov Aplicado al Péndulo Fı́sico 15 del método de análisis convexo de Filippov [23, 24], el cual aproxima los movimientos del sistema sobre la frontera Σij como las soluciones sobre Σij de las EDOs continuas ẋ = g (x), donde g (x) es la combinación convexa entre f (i) (x) y f (j) (x) tangente a Σij en x. 4.2. Análisis de Filippov Aplicado al Péndulo Fı́sico Ahora, a partir del modelo matemático (3-11), se infiere que el péndulo fı́sico es un PSS discontinuo. De esta manera, teniendo en cuenta que sgn (φ2 ) = φ2 /|φ2 |, para φ2 > 0, la dinámica del sistema se rige por la Ecuación (4-2). Por el contrario, cuando φ2 < 0, la dinámica del péndulo está sujeta a la Ecuación (4-3). Finalmente, la frontera φ2 = 0 representa una zona indefinida, porque no se tiene un conjunto de ecuaciones de estado que describa las órbitas del sistema. f (1) f (2) (u, φ1 , φ2 ) =  φ̇1 = φ2 . φ̇2 = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ1 ) − 0.0315φ2 − 2.1969 (4-2) (u, φ1 , φ2 ) =  φ̇1 = φ2 . φ̇2 = 19.7393u − 44.8065 · sin (φ1 ) − 0.0315φ2 + 2.1969 (4-3) Para aproximar la dinámica del sistema en la frontera se usa el método convexo de Filippov [23, 10, 24, 30]. En efecto, considerando el sistema planar de Filippov como en la Ecuación (4-4), es decir  (1) f (u, φ1 , φ2 ) , (φ1 , φ2 ) ∈ S1 , ż = (4-4) f (2) (u, φ1 , φ2 ) , (φ1 , φ2 ) ∈ S2 , donde la frontera de discontinuidad Σ se describe como Σ = {(φ1 , φ2 ) ∈ R2 : H (φ1 , φ2 ) = 0}, siendo H una función escalar suave con gradiente no nulo ∇H sobre Σ. Adicionalmente, las superficies S1 y S2 se definen como S1 = {(φ1 , φ2 ) ∈ R2 : φ2 > 0} y S2 = {(φ1 , φ2 ) ∈ R2 : φ2 < 0}. Ası́ mismo, fijando convenientemente la función escalar H como H (φ1 , φ2 ) = φ2 , con gradiente ∇H = (0, 1), el método de Filippov también permite definir la expresión σ (u, φ1 , φ2 ) como σ (u, φ1 , φ2 ) = ∇H, f (1) (u, φ1 , φ2 ) ∇H, f (2) (u, φ1 , φ2 ) , (4-5) donde h·, ·i denota al producto punto. En particular, con lo que respecta a la expresión σ (u, φ1 , φ2 ), su importancia radica en que permite determinar el comportamiento de las órbitas en la frontera de conmutación. 16 4 Análisis del Modelo Ası́, el conjunto de puntos para los cuales las órbitas cruzan la frontera corresponde a Σc = {(φ1 , φ2 ) ∈ Σ : σ (u, φ1 , φ2 ) > 0}, donde Σc ⊂ Σ. Por otra parte, el conjunto de puntos donde las órbitas, debido a la dinámica que gobierna al sistema, son obligadas a permanecer sobre la frontera, equivale al complemento de Σc en Σ, y se fija como Σs = {(φ1 , φ2 ) ∈ Σ : σ (u, φ1 , φ2 ) ≤ 0}. Finalmente, sustituyendo el gradiente ∇H y las Ecuaciones (4-2) y (4-3) en la Ecuación (4-5), para el caso del péndulo fı́sico, la expresión σ (u, φ1 , φ2 ) se define como σ (u, φ1 , φ2 ) = u2 − (4.5413 · sin (φ1 )) u + 5.1558 · sin2 (φ1 ) − 0.0123. (4-6) Ahora, el análisis se complementa mediante la construcción de la dinámica del péndulo cuando las órbitas permanecen en la frontera de conmutación. En efecto, para cada punto (φ1 , φ2 ) ∈ Σs , los vectores f (1) (u, φ1 , φ2 ) y f (2) (u, φ1 , φ2 ) se asocian con el método de Filippov a través de la combinación g (u, φ1 , φ2 ). Particularmente, g (u, φ1 , φ2 ) se define como g (u, φ1 , φ2 ) = λf (2) (u, φ1 , φ2 ) + (1 − λ) f (1) (u, φ1 , φ2 ) , (4-7) donde λ= ∇H, f (1) (u, φ1 , φ2 ) . h∇H, f (1) (u, φ1 , φ2 ) − f (2) (u, φ1 , φ2 )i (4-8) En este caso, y luego de simplificar, la combinación g (u, φ1 , φ2 ) se expresa de acuerdo a la Ecuación (4-9) cuando ∇H y las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se sustituyen en (4-7) y (4-8).  φ̇1 = φ2 g (u, φ1 , φ2 ) = . (4-9) φ̇2 = 0 De esta manera, se tienen todos los elementos para definir el comportamiento del sistema cuando alcanza la frontera de conmutación. Por lo tanto, para cualquier punto (φ1 , φ2 ) sobre Σ en tiempo t, si σ (u, φ1 , φ2 ) > 0, la órbita cruzará la frontera, lo que implica que (φ1 , φ2 ) ∈ Σc . Por el contrario, si σ (u, φ1 , φ2 ) ≤ 0, entonces, (φ1 , φ2 ) ∈ Σs y el comportamiento del sistema estará sujeto a la Ecuación (4-9). Para completar, se considera necesario definir dos tipos de puntos que podrı́an presentarse en una frontera de conmutación. El primero aparece cuando la dinámica en Σs es nula, lo cual significa que el campo vectorial g (u, φ1 , φ2 ) = 0; particularmente, esta condición define a los llamados puntos de pseudo-equilibrio P . A fin de que P se clasifique como no degenerado, no debe ser equilibrio de f (1) ni de f (2) . El segundo caso, surge cuando g (u, φ1 , φ2 ) es tangente a f (1) o a f (2) , es decir, ∇H, f (i) (φ1 , φ2 ) = 0. En este sentido, se definen los puntos que delimitan la zona Σs , los cuales son llamados puntos de tangencia T o puntos de tipo fold. Al igual que en el caso anterior, estos puntos no deben ser equilibrios de f (1,2) . Por último, para un punto T tangente a f (1) , se dice que es un punto de tangencia visible, si una órbita 4.3 Dinámica del Péndulo Fı́sico en la Frontera de Conmutación 17 regida por f (1) , que inicia su trayectoria en T, pertenece a S1 para un t lo suficientemente pequeño. Por el contrario, el punto se toma como invisible si la órbita resultante pertenece a S2 [31]. Por último, el análisis se complementa con el estudio de los continuos de pseudo-equilibrios (CPE de ahora en adelante). Adicionalmente, se fijan diferentes valores en los parámetros que caracterizan al péndulo fı́sico, lo que permite inducir una colisión entre ellos. 4.3. Dinámica del Péndulo Fı́sico en la Frontera de Conmutación Antes de que las colisiones de CPEs sean presentadas, dos casos especiales deben ser examinados. El primero permite establecer el conjunto de valores de u para los cuales Σ siempre es cruzada por las órbitas en el espacio de estados. En el segundo, los elementos obtenidos a partir del análisis de Filippov se usan para analizar los CPEs. Además, la revisión de este caso se complementa mediante el análisis de la respuesta natural del sistema. Particularmente, la posición de los CPEs en Σ se calculan analı́ticamente, y los puntos especiales de deslizamiento se clasifican de acuerdo a [28] y [31]. 4.3.1. Zonas de cruce Ahora, sea (φ1 , φ2 ) un estado sobre la frontera Σ en tiempo t. Si σ (u, φ1 , φ2 ) > 0 ∀ (φ1 , φ2 ), entonces las órbitas siempre cruzan la frontera de conmutación [31, 16]. Ası́, cuando la Ecuación (4-6) se reescribe como en la Ecuación (4-10), se infiere que la condición σ (u, φ1 , φ2 ) > 0 se satisface cuando los multiplicadores a la derecha de la igualdad tienen el mismo signo. En este sentido, el signo de σ (u, φ1 , φ2 ) depende de u y de una función seno: σ (u, φ1 , φ2 ) = (u − (2.2706 · sin (φ1 ) + 0.1110)) (u − (2.2706 · sin (φ1 ) − 0.1110)) . (4-10) Con lo que respecta a la función seno, el conjunto discreto {−1, 1} contiene los valores más bajo y más alto que la función puede tomar. Por un lado, si el primer valor del conjunto se sustituye en la Ecuación (4-10), es decir, fijando sin (φ1 ) = −1, la condición σ (u, φ1 , φ2 ) > 0 se cumple cuando u − (2.2706 · (−1) − 0.1110) < 0. (4-11) Ası́, de acuerdo a la Ecuación (4-11), las órbitas cruzan la frontera Σ si u < −2.3816. Para este caso, las órbitas se presentan en la Figura 4.1(a). Por otra parte, fijando sin (φ1 ) = 1, la condición σ (u, φ1 , φ2 ) > 0 se satisface si u − (2.2706 · (1) + 0.1110) > 0. (4-12) 18 4 Análisis del Modelo De esta manera, a partir de la Ecuación (4-12), para u > 2.3816, nuevamente todas las órbitas que lleguen a Σ, cruzarán por ella. Particularmente, las trayectorias de las órbitas se describen en la Figura 4.1(b). S1 S1 Σ Σ S2 S2 (a) (b) Figura 4-1.: Esquema de las órbitas para (a) si u < −2.3816 y (b) si u > 2.3816. 4.3.2. Continuos de pseudo-equilibrios De acuerdo a la sección 4.3.1, si al parámetro u se le asigna un valor tomado del intervalo [−2.3816, 2.3816], entonces la expresión σ (u, φ1 , φ2 ) puede tomar valores menores o iguales a cero. Por lo tanto, el método convexo de Filippov se usa para construir la dinámica del sistema sobre la frontera de conmutación. En efecto, se debe tener presente que para σ (u, φ1 , φ2 ) ≤ 0, el comportamiento del sistema se aproxima mediante la Ecuación (4-9), es decir, el campo vectorial g (u, φ1 , φ2 ). Ahora, dado que φ2 = 0 para todo (φ1 , φ2 ) ∈ Σs , de acuerdo a g (u, φ1 , φ2 ), la dinámica del sistema siempre es nula. Sin embargo, a partir de las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se concluye que la condición f (1,2) (φ1 , φ2 ) 6= 0 siempre se cumple, y adicional a ello los vectores f (1,2) (φ1 , φ2 ) son transversales a Σs y anti colineales entre sı́. Por lo tanto, se puede inferir que Σs está constituida por un CPE [28]. Además, atendiendo a lo sustentado en la sección 4.2, donde se dan a conocer las condiciones que definen a los puntos de tangencia, para el caso del péndulo fı́sico se procede a determinar las expresiones analı́ticas de estos puntos. Particularmente, para todo u ∈ [−2.3816, 2.3816], esas expresiones se infieren analizando los casos en que σ (u, φ1 , φ2 ) = 0. En este sentido, reescribiendo la Ecuación (4-6) como σ (u, φ1 , φ2 ) = (φ1 − arcsin (0.4404u + 0.4887)) (φ1 − arcsin (0.4404u − 0.4887)) , (4-13) 4.3 Dinámica del Péndulo Fı́sico en la Frontera de Conmutación 19 los puntos de tangencia que delimitan a los CPE se pueden fijar como T1u = (2nπ + arcsin (0.4404u + 0.04887) , 0) , (4-14) T2u = (2nπ + arcsin (0.4404u − 0.04887) , 0) , (4-15) donde el número de revoluciones del péndulo a partir de 0 radianes se relaciona directamente con la variable n ∈ Z. Además, debido a que el péndulo completa una rotación cada 2π radianes, a partir de la identidad trigonométrica sin (π (2n + 1) − φ1 ) = sin (2nπ + φ1 ) , (4-16) se puede inferir la existencia de otro conjunto de CPEs. Por lo tanto, los puntos de tangencia que delimitan a las nuevas sucesiones se definen en las Ecuaciones (4-17) y (4-18). Finalmente, la Figura (4-2) representa un CPE con sus puntos de tangencia. T3u = (π (2n + 1) − arcsin (0.4404u + 0.04887) , 0) , (4-17) T4u = (π (2n + 1) − arcsin (0.4404u − 0.04887) , 0) . (4-18) Por último, se analiza la respuesta natural del sistema, es decir, cuando el torque externo que se aplica al péndulo es nulo. Por un lado, si no se considera la fricción seca dentro del modelo matemático (3-11), la dinámica se caracteriza por tener dos conjuntos de puntos singulares de suspensión. El primero contiene a todos los puntos asintóticamente estables que se localizan en (2nπ, 0). Adicionalmente, el segundo está constituido por todos lo puntos de silla inestables que se ubican en (π (2n + 1) , 0). Por otra parte, cuando la fricción seca se incluye dentro del modelo, la incidencia que tiene dentro de la dinámica del sistema se puede caracterizar mediante el método de análisis convexo de Filippov. En efecto, cuando la fuerza externa se fija como u = 0, a partir de las Ecuaciones (4-14) a (4-18) se puede inferir que dos continuos de pseudo-equilibrios, son inducidos. En este sentido, el primer CPE está delimitado por los puntos de tangencia T10 = (0.0488, 0) y T20 = (−0.0488, 0), mientras que el segundo por T30 = (3.0927, 0) y T40 = (3.1904, 0). Ahora, con lo que respecta a la estabilidad de los puntos de tangencia, teniendo en cuenta los criterios presentados en la sección 4.2, se puede establecer que T10 y T20 son puntos de 20 4 Análisis del Modelo S1 Σ S2 n Puntos de tangencia . Tu Puntos de pseudo-equilibrio Figura 4-2.: Ilustración de la zona Σs cuando esta formada por un continuo de pseudoequilibrios. tangencia invisibles. Similarmente, los mismos criterios permiten llegar a la conclusión de que T30 y T40 , son puntos de tangencia visibles. Particularmente, en la Figura 4-3 se bosqueja la dinámica alrededor de los CPEs cuando u = 0. Además, se presenta la posición de los puntos de tangencia relativa a la trayectoria circular descrita por el péndulo. π(rad) S1 S1 Σ Σ S2 1 T0 2 T0 3 T0 4 T0 2 Zona delimitada por T01 y T0 S2 3 4 Zona delimitada por T0 y T0 Figura 4-3.: Ubicación de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de ellos cuando u = 0. Para este caso, los puntos de tangencia son: T10 = (0.04888, 0), T20 = (−0.04888, 0), T30 = (3.0927, 0) y T40 = (3.1904, 0). 4.3 Dinámica del Péndulo Fı́sico en la Frontera de Conmutación 4.3.3. 21 Colisiones entre continuos de pseudo-equilibrios Con el objetivo de inducir una colisión entre dos CPEs, se le asignan diferentes valores al parámetro u. En efecto, a partir de las Ecuaciones (4-14) y (4-15), para cualquier punto de tangencia fijado arbitrariamente, se puede calcular el valor de u que lo induce. Por lo tanto, se considera pertinente escoger diferentes puntos crı́ticos dentro del espacio de estados como tangencias para presentar la colisión entre dos continuos de pseudo-equilibrios. Particularmente, la colisión se expone fijando n = 0. Para empezar, se reduce la distancia que separa los CPEs. Ası́, cuando se asigna el punto (π/4, 0) a la Ecuación (4-14), para n = 0, el valor del parámetro u se calcula como sigue: u= sin (φ1 − 2nπ) − 0.04887 , 0.4404 u = 1.4946. (4-19) Sustituyendo u = 1.4946 en las Ecuaciones (4-14) y (4-15), se infiere que existe un CPE delimitado por T11.4946 = (π/4, 0) y T21.4946 = (0.6552, 0). Además, reemplazando el mismo valor de u en las Ecuaciones (4-17) y (4-18), se ubica al CPE restante entre los puntos T31.4946 = (3π/4, 0) y T41.4946 = (2.4863, 0). Por último, este caso se expone en la Figura 4-4. Se debe considerar que, en comparación con la respuesta natural del sistema, cuando se fija u = 1.4946, la distancia que separa a los puntos de tangencia dentro de los CPEs en Σs , es mayor. π(rad) S1 S1 Σ S2 1 T1.49 2 T1.49 3 T1.49 4 T1.49 Zona delimitada por 1 2 T1.4946 y T1.4946 Σ S2 3 4 Zona delimitada por T1.4946 y T1.4946 Figura 4-4.: Ubicación de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de ellos cuando u = 1.4946, Para este caso, los puntos de tangencia son: T11.4946 = (0.7853, 0), T21.4946 = (0.6552, 0), T31.4946 = (2.3561, 0) y T41.4946 = (2.4863, 0). 22 4 Análisis del Modelo Ahora, el análisis de la colisión inicia cuando el valor del parámetro u se fija de tal manera que los puntos T1u y T3u definidos en las Ecuaciones (4-14) y (4-17) sean iguales. Por lo tanto, de acuerdo a la identidad trigonométrica (4-16), el punto donde (4-14) y (4-17) coinciden, corresponde a las coordenadas (π/2, 0). En efecto, evaluando el punto (π/2, 0) en la Ecuación (4-14), el valor de u se puede calcular como: u= sin (π/2 − 2 (0) π) − 0.04887 , 0.4404 u = 2.1596. (4-20) Además, cuando se sustituye la Ecuación (4-20) en (4-17) se puede verificar que los nuevos puntos de tangencia T12.1596 y T32.1596 se localizan en (π/2, 0). Asimismo, debido a la colisión entre las tangencias, se define un único CPE delimitado por las tangencias restantes T22.1596 = (1.1249, 0) y T42.1596 = (2.0166, 0). Particularmente, en la Figura 4-5 se muestra el CPE inducido, y dentro de él la colisión. π(rad) S4 Σ S2 2 T2.1596 4 T2.1596 2 4 Colisión entre dos tangencias dentro de la zona delimitada por T2.1596 y T2.1596 Figura 4-5.: Ubicación del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo y dinámica de las órbitas alrededor de él cuando u = 2.1596. Para este caso, los puntos de tangencia T12.1596 y T32.1596 colisionan en (1.5707, 0), mientras que T22.1596 y T42.1596 se ubican en (1.1249, 0) y (2.0166, 0), respectivamente. Siguiendo el incremento del parámetro u, se debe tener presente que si u > 2.1596 entonces el argumento de la función arcsin en la Ecuación (4-14) no pertenece al dominio [−1, 1]. Por lo tanto, para este caso el parámetro u se calcula asignando las coordenadas (1.3089, 0) a la Ecuación (4-15). De esta manera se obtiene u= sin (1.3089 − 2 (0) π) + 0.04887 , 0.4404 4.3 Dinámica del Péndulo Fı́sico en la Frontera de Conmutación 23 u = 2.3042. (4-21) En este sentido, sustituyendo u = 2.3042 en la Ecuación (4-18), los puntos de tangencia que delimitan al nuevo continuo de pseudo-equilibrios corresponden a T22.3042 = (1.3089, 0) y T42.3042 = (1.8325, 0). Particularmente, la distancia que separa a T22.3042 y T42.3042 , es menor en comparación con la distancia que existe entre T22.1596 y T42.1596 . Adicionalmente, este caso se expone en la Figura 4-6. π(rad) S1 Σ S2 2 T2.3042 4 T2.3042 Zona delimitada por 2.3042 y 2.3042 Figura 4-6.: Ubicación del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento del péndulo, y dinámica de las órbitas alrededor de él cuando u = 2.3042. Para este caso, los puntos de tangencia son: T22.3042 = (1.3089, 0) and T42.3042 = (1.8325, 0). Finalmente, se induce la colisión entre los puntos de tangencia definidos en las Ecuaciones (4-15) y (4-18). Nuevamente, teniendo en cuenta la identidad trigonométrica (4-16), el parámetro u puede ser fijado de tal manera que las tangencias ya mencionadas, se localicen en el mismo punto dentro del espacio de estados. Por lo tanto, fijando las coordenadas (π/2, 0) a la Ecuación (4-15), la fuerza externa u se calcula como sigue: u= sin (π/2 − 2 (0) π) + 0.04887 , 0.4404 u = 2.3816. (4-22) Sustituyendo la Ecuación (4-22) en (4-18), se prueba que los nuevos puntos de tangencia T22.3816 y T42.3816 , coinciden en el punto (π/2, 0). En efecto, de acuerdo a la sección 4.3.1, se debe resaltar que 2.3816 corresponde al último valor que puede tomar u antes de que Σc abarque toda la frontera de conmutación. Finalmente, la Figura 4-7 presenta la colisión entre T22.3816 y T42.3816 y la dinámica a su alrededor. 24 4 Análisis del Modelo π(rad) S1 Σ S2 Colisión entre dos tangencias Figura 4-7.: Colisión entre dos puntos de tangencia dentro de la trayectoria descrita por el movimiento del péndulo y dinámica de las órbitas alrededor de ella cuando u = 2.3816. Particularmente, los puntos de tangencia T22.3816 y T42.3816 colisionan en el punto (1.5707, 0). 5. Simulaciones Los resultados logrados a manera de simulación, se obtienen a partir de la implementación de un simulador basado en la programación orientada a eventos. Para este caso, se define un único evento el cual ocurre cuando alguna de las órbitas toca la frontera Σ. De este modo, dada una condición inicial y un tiempo de simulación, se da paso a la integración numérica, que según sea el caso, se hace a partir de uno de los tres sistemas de ecuaciones de estado f (1) , f (2) o g. Ası́, cuando φ2 > 0, esto indica que las órbitas evolucionan sobre la superficie S1 y por lo tanto la integración numérica se hace con el campo f (1) . Por el contrario, cuando φ2 < 0, la evolución de las órbitas ocurre sobre la superficie S2 y de esta manera la integración numérica se debe realizar con el sistema f (2) . En el caso de la frontera de conmutación, es decir, cuando φ2 = 0, la elección del campo vectorial se hace mediante los elementos obtenidos a partir del análisis de Filippov. En este sentido, cuando la órbita toca en algún punto a la frontera Σ y σ (u, φ1 , φ2 ) > 0, en caso de que la componente vertical de f (2) sea positiva en dicho punto, la integración numérica se ejecuta con f (1) . En contraposición, si la componente vertical de f (1) es negativa en el punto donde la órbita toca a Σ, entonces la integración numérica se realiza con f (2) . Adicionalmente, cuando ocurre que σ (u, φ1 , φ2 ) ≤ 0 sobre la frontera, la integración pasa a depender de g. Ahora, el análisis teórico de la dinámica del péndulo fı́sico se verifica experimentalmente. En lo que respecta, se presentan las simulaciones obtenidas para cada uno de los casos presentados en la sección anterior, acompañadas de un diagrama de bifurcación donde se muestra la evolución de los CPEs para diferentes valores del parámetro u. 5.1. Resultados de las Simulaciones Con lo que respecta a las zonas de cruce (ver sección 4.3.1), la Figura 5-1 muestra los resultados obtenidos. Por un lado, fijando u = −2.39, las trayectorias de las órbitas se presentan en la Figura 5.1(a); particularmente, la elección de las condiciones iniciales se hizo teniendo en cuenta que, para valores negativos de u, el torque del peso es máximo cuando φ1 = −π/2. Por otra parte, fijando u = 2.39, el comportamiento de las órbitas se presenta en la Figura 5.1(b); en este caso, se hace la elección de las condiciones iniciales considerando que para valores positivos de u el torque del peso es máximo cuando φ1 = π/2. 26 5 Simulaciones (a) u = −2.39 (b) u = 2.39 Figura 5-1.: Casos de cruce. Ahora, con respecto a las simulaciones que se presentan a continuación, la selección de las condiciones iniciales se hizo en función de permitir la visualización de la dinámica alrededor del los CPEs cuando se trazan las trayectorias de las órbitas sobre el espacio de estados. En el caso de la respuesta natural, es decir, cuando u = 0, las simulaciones se presentan en las Figuras 5.2(a) y 5.2(b). Asimismo, para la asignación u = 1.4946, las órbitas cercanas a los puntos de tangencias inducidos se presentan en las Figuras 5.3(a) y 5.3(b). (a) (b) Figura 5-2.: Dinámica del sistema cuando u = 0. Además, la Figura 5-4 presenta la primera colisión entre dos puntos de tangencia. De acuerdo a la sección 4.3.3, la colisión ocurre cuando u = 2.1596. La presentación de las simulaciones continúa con la asignación de u = 2.3042. Para este caso la Figura 5-5 muestra los resultados obtenidos. Finalmente, fijando u = 2.3816 en la Figura 5-6 se presenta la última colisión entre dos tangencias y la dinámica a su alrededor. Por último, en el diagrama de bifurcación que se muestra en la Figura 5-7, se puede visualizar el comportamiento de los puntos de tangencia cuando u varı́a entre −2.3816 y 2.3816. 5.1 Resultados de las Simulaciones (a) 27 (b) Figura 5-3.: Dinámica del sistema cuando u = 1.4946. Figura 5-4.: Colisión entre puntos de tangencia cuando u = 2.1596. Figura 5-5.: Dinámica del sistema cuando u = 2.3042.