Rumus-Rumus Integral 1 dan 2

INTEGRAL Rumus Untuk Mengerjakan Integrasi 1 dan Integrasi 2 Muhammad Yusri Dzal Yahya S-1 Pendidikan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta 2020 20503244008 2 Integrasi.nb Integrasi 1 Integral Standar Apabila turunan diinverskan, maka kita harus menggunakan rumus integral untuk menjawabnya. d (Sin x) = Cos x Sebagai contoh: dx Maka inversnya sebagai berikut: ∫ Cos x ⅆx = Sin x + C Oleh karenanya, dibawah ini K.A. Stroud (dkk) membuat list standar turunan yang nantinya list tersebut digunakan untuk standar integral -dalam tanda kutip, ada rumus-rumus yang dimodifikasi menjadi lebih sederhana sehingga memberi bentuk rumus yang lebih rapi.Listnya sebagai berikut: 10. d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx 11. d dx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 12. d dx 13. d dx 14. d dx 15. 16. d dx d dx (xn ) = nxn-1 (ax ) = ax ln a (Cos x) = -Sin x (Sin x) = Cos x (Tan x) = Sec2 x (Cosh x) = Sinh x ∴ ∴ (Sinh x) = Cosh x Sin-1 x = Sinh-1 x = ∴ ∫ⅇ ∴ (ⅇkx ) = kⅇkx Tan-1 x = n ∫ x ⅆx = ∴ (ln x) = 1x (ⅇx ) = ⅇx Cos-1 x = ∴ 1 1-x2 -1 1-x2 1 1+x2 Cosh-1 x = Tanh-1 x = 1 x2 +1 1 x2 -1 1 1-x2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∫ xn+1 n+1 +C ⅆx = ln x + C 1 x x x ∫ ⅇ ⅆx = e + C kx ⅆx = x ∫ a ⅆx = ⅇkx k ax ln a {syarat n ≠ -1} +C +C ∴ ∫ Sin x ⅆx = -Cos x + C ∴ ∫ Sinh x ⅆx = Cosh x + C ∫ Cos x ⅆx = Sin x + C 2 ∫ Sec x ⅆx = Tan x + C ∴ ∫ Cosh x ⅆx = Sinh x + C ∴  ∴ 1-x2  x2 +1   ∴ -1 1 ⅆx = Sin-1 x + C ⅆx = Cos-1 x + C 1-x2 1 -1 ∫ 1+x2 ⅆx = Tan x + C 1 1 ⅆx = Sinh-1 x + C ⅆx = Cosh-1 x + C 1 -1 ∫ 1-x2 ⅆx = Tanh x + C x2 -1 Fungsi Dari Linear Fungsi x Dalam suatu kasus, jika nilai x yang sederhana tersebut diubah menjadi fungsi x, sebagai contoh 6 6 ∫ (5 x - 4) ⅆx, bentuk ini sangat mirip dengan ∫ x ⅆx dengan pengecualian x dalam x6 ini kita ganti bentuknya menjadi (5x - 4). Jika kita memisalkan (5x - 4) menjadi z, maka integralnya benar-benar berubah menjadi ∫ z6 ⅆx dan sebelum kita menyelesaikan operasi integralnya, maka kita harus men- gubah variabelnya kembali seperti awal (z → 5 x + 4) . Cara pengerjaannya seperti dibawah ini. 6 * Contoh penjabaran soal: ∫ z ⅆx =∫ z6 ⅆx ⅆz ⅆz Integrasi.nb =∫ z6  15  ⅆz = 15 ∫ z6 ⅆz = * 1 5 * z7 7 +c 6 ∫ (5 x - 4) ⅆx = ∫ (5 x - 4)6 ⅆx Contoh penjabaran soal kedua: = = * 1. 2. 3. 4. 5. (5 x-4)7 5*7 (5 x-4)7 35 +C +C List contoh soal integral variabel x lainnya: ∫ ex ⅆx = ⅇx + C 3 ∫ (2 x - 7) ⅆx = ∫ ∫ ∫ (2 x-7)4 +C 8 Cos (7 x + 2) ⅆx = Sin(77x+2) 5 x+4 e5 x+4 ⅆx = e 5 + C Sinh 7 x ⅆx = Cosh7 7 x + C f ' (x) f (x) Bentuk Integral dari A. * 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Integral dari 3x 3 ∫ x3 -4 ⅆx = ln x - 4 + C 2 x ∫ x3 -4 ⅆx = 2 1. 2. 1 3 * ∫ x33x-4 ⅆx = 2 ∫ Rumus Utama: 1 3 f' (x) f (x) ⅆx = ln (f (x)) + C ln x3 - 4 + C Cos x ∫ Cot x ⅆx = ∫ Sin x ⅆx = ln Sin x + C Sin x ∫ Tan x ⅆx = ∫ Cos x ⅆx = -  -Sin x Cos x ⅆx = -ln Cos x + C 4 x-8 2 x-4 2 ∫ x2 -4 x+5 ⅆx = 2 * ∫ x2 -4 x+5 ⅆx = 2 ln x - 4 x + 5 + C ∫ ∫ ∫ 11. ∫ * ⅆx dan f(x)*f’(x) ⅆx Contoh soal: (2 x+3) 2 ∫ x2 +3 x-5 ⅆx = ln x + 3 x - 5 + C 10. ∫ B. f' (x) , f (x) +C Sec2 x ⅆx = ln Tan x + C Tan x Sinh x ⅆx = ln Cosh x + C Cosh x x-3 ⅆx = 12 ln x2 - 6 x + 2 + C x2 -6 x+2 ⅆ1+Sin x Cos x ⅆx =  1+Sin x ⅆx 1+Sin x 4 x2 x3 -7 ⅆx = 3x ∫ x3 -7 ⅆx = ln (1 + Sin x) + C 4 3 = 2 4 3 ln x3 - 7 + C Integral dari f (x) * f’(x), Rumus Utama: ∫ (f (x) * f' (x)) ⅆx = 2 ∫ Tan x * Sec x ⅆx = Contoh soal: Tan2 x 2 +c 2 ∫ Tan x * Sec x ⅆx = ∫ Tan x * ⅆ(Tan x) = ∫ Sin x * Cos x ⅆx = ∫ Sin x * ⅆ(Sin x) = Tan2 x +c 2 2 Sin x +c 2 (f (x))2 2 +C 3 4 Integrasi.nb 3. 4. ∫  ln x x ⅆx = ∫ ln x * Sin -1 1-x2 6. ⅆx = ∫ ln x * ⅆ(ln x) = ⅆx =  Sin-1 x * 1 ⅆx ln x 2 2 +c = ∫ Sin-1 x * ⅆSin-1 x = 5. 1 x Sin-1 x 2 ∫ Sinh x * Cosh x ⅆx 1-x2 2 +c = ∫ Sinh x * ⅆ(Sinh x) = Sinh2 x 2 +c 2 2 2 ∫ x + 7 x - 4 * (2 x + 7) ⅆx = ∫ x + 7 x - 4 ⅆx + 7 x - 4 = x2 +7 x-4 2 2 +c Integral Perbagian Rumus: ∫ u ⅆv = uv - ∫ v ⅆu Bagaimana cara melistnya (cara menentukan u,v,du,dv)? Yang terpenting, prioritaskan u, yang lain mengikuti saja. Ada beberapa faktor / persyaratan menurut K.A. Stroud supaya variabel tersebut berhak untuk menempati wilayah u, yaitu: (a) ln x (b) xn (c) ⅇkx ∴ Jika salah satu faktor merupakan fungsi logaritma, maka faktor (ln x) tersebut harus menempati wilayah u. ∴ Jika tidak ada fungsi log di dalam persamaan tersebut tetapi hanya ada x berpangkat n, maka faktor (xn ) tersebut harus menempati wilayah u. ∴ Jika sama-sama tidak ada fungsi log (ln x) dan x berpangkat n (xn ) di dalam persamaan, maka faktor eksponensial lah (ⅇkx ) yang harus menempati wilayah u. MENGINGAT LANGKAH PRIORITAS AKAN MENGHINDARI KESALAHAN DI AWAL PENGERJAAN. ∴ ln x > xn > ⅇkx untuk -> v = Integral dari faktor sisa persamaan ⅆv = faktor sisa persamaan ⅆu = turunan dari faktor prioritas persamaan * 1. Contoh soal: 2 ∫ x * ln x ⅆx Keterangan → u: ln x ⅆu: 1x ⅆx ⅆv: x2 ⅆx 3 v: x3 Maka penyelesaiannya: Integrasi.nb 2 ∫ x * ln x ⅆx = ∫ u ⅆv = uv - ∫ v ⅆu = ln x *  x3  - = 2. 3 2x ∫ x * ⅇ ⅆx = ∫x 1 3 3 1 x ⅆx 1 x2 ⅆx 3 ∫ 3 x3 * ln x - 13 * x3 + C 3 x3 ln x - 13  + C 3 2 ⅇ2 x x3 - 3 2x + 32x - 34  + C 2 = = 3 5 x3 3  ln x - Integral dengan Pecahan Parsial * 1. Contoh soal: x+1 3 2 ∫ x2 -3 x+2 ⅆx = ∫ x-2 ⅆx - ∫ x-1 ⅆx ∫ (x+1)*(x-1)2 ⅆx = = 3 ln (x - 2) - 2 ln (x - 1) + C 2. 3. 4.  x2 ∫ (x+1)*(x-1)2 ⅆx = x2 x2 (x - 2) (x2 + 1) 1 4 1 4 ln (x + 1) + ln (x + 1) + ⅆx = 3 4 3 4 1 2 (x-1) 1 2 (x-1) ln (x - 1) ln (x - 1) - +C +C 4 ArcTan[x] + 8 Log[-2 + x] + Log1 + x2  + C 1 10 4 x +1 2 ⅆx = - -1+2 + Log[x] +C 5. ∫ x (2 x x-1)2 2 Integral dari Fungsi Trigonometri * 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Contoh soal: 2 ∫ (Sin[x]) ⅆx = 2 ∫ (Cos [x]) ⅆx = x 2 x 2 1 4 + Sin[2 x]+C 1 4 Sin[2 x]+C 3 Cos[x] 3 + ∫ (Sin [x]) ⅆx = 4 3 ∫ (Cos [x]) ⅆx = 4 ∫ (Sin [x]) ⅆx = 4 ∫ (Cos [x]) ⅆx = 3 Sin[x] 4 + 1 12 Cos[3 x]+C Sin[3 x]+C 3x 8 - 1 4 Sin[2 x] + 1 32 Sin[4 x]+C 3x 8 + 1 4 Sin[2 x] + 1 32 Sin[4 x]+C 5 Cos[x] 5 + ∫ (Sin [x]) ⅆx = 8 5 ∫ (Cos [x]) ⅆx = 1 12 5 Sin[x] 8 + 5 48 5 48 Cos[3 x] - Sin[3 x] + 1 80 1 80 1 2 ∫ (Sin [4 x] * Cos [2 x]) ⅆx = - 2 Cos[x] - 10. ∫ (Cos [5 x] * Sin [3 x]) ⅆx = 11. ∫ (Sin[5 x] * Sin[x]) ⅆx = 1 8 Cos[x]2 2 - Sin[4 x] - 1 16 1 12 Cos[5 x]+C Sin[5 x]+C 1 12 Cos[6 x] + C Cos[8 x]+C Sin[6 x]+ C 12. ∫  Cos[x]-Sin[x]  ⅆx = Log[Cos[x] + Sin[x]]+C Cos[x]+Sin[x] 13. ∫0ω Sin [ωt] Cos [ωt] ⅆt = π π Cos[ωt] Sin[ωt] ω 3 Cos[2 x] + 14. ∫ (Sin [x] )5 * (Cos [x])3 ⅆx = - 128 1 256 Cos[4 x] + 1 384 Cos[6 x] - Cos[8 x] 1024 6 Integrasi.nb Integrasi 2 Integral ±1 (Z 2 -A2 ) Bentuk Integral ∫ ⅆZ Z2 -A2 ∫ Rumusnya adalah: * Contoh soal: 1. 2. 3. 4. 5. ∫  Z2 -25  =  ⅆZ ⅆZ Z2 - 7  1 10 2 ∫  x2 -4 x+2  = ⅆx ⅆZ = 1 Z2 -A2 1 2A * ln Z-A +C Z+A (Log[5 - Z] - Log[5 + Z])+ C Log 7 -Z-Log 7 +Z = 2 7 +C Log2+ 2 -x-Log-2+ 2 +x ∫  x2 -6 x+4  ⅆx = 1 2 2 + C Log3+ 5 -x-Log-3+ 5 +x 2 ∫  x2 -10 x+18  ⅆx = 5 +C Log5+ 7 -x-Log-5+ 7 +x 1 2 7 Karena: x2 - 10 x + 18 = x2 - 10 x +C + 18 = x2 - 10 x + 52 + 18 - 25 = (x - 5)2 - 7 = (x - 5)2 -  7  2 ∴ ∫  x2 -101 x+18  ⅆx = 6. Log5+ 7 -x -Log-5+ 7 +x 1 ∫  5 x2 -2 x-4  ⅆx = 2 7 Log1+ 21 -5 x-Log-1+ 21 +5 x 2 Karena: 1 ∫ 5 x2 -2 x-4 ⅆx bisa diubah menjadi x2 - 2 5 x- 4 5 = x2 - = x2 = x - 2 x 5 2 2 x +  15  5 1 2  - 21 5 25 = x - 15  -  2 ∴ ∫  5 x2 -21 x-4  ⅆx = Bentuk Integral ∫ Rumusnya adalah: * 1. +C 21 5 -   1 5 4 5 1 2 4 x2 - 5 x- 5 4 5 - 21 ⅆx, maka : 1 25 2 Log1+ 21 -5 x-Log-1+ 21 +5 x 2 ⅆZ A2 -Z2 ∫ 1 A2 -Z2 ⅆZ = 21 1 2A Contoh soal: 1 1 ∫  9-x2  ⅆx = - 6 Log[3 - x] + 1 6 +C +C * ln A+Z +C A-Z Log[3 + x]+ C Integrasi.nb 2. 3. 4. ∫  5-x2  ⅆx = -Log 5 -x+Log 5 +x 1 1 ∫  3-x2  ⅆx = 5 2 +C -Log 3 -x+Log 3 +x ∫  3+6 x-x2  ⅆx = 2 3 -Log3+2 1 +C 3 -x+Log-3+2 4 3 +x +C 3 Karena: 3 + 6 x - x2 = 3 - (x2 - 6 x + 32 ) + 9 = 12 - (x - 3)2 3  - (x - 3)2 = 2 2 3 dan Z = (x - 3), maka pada kasus ini, A = 2 ∴ ∫  3+61x-x2  ⅆx =  5. 6. 7. 1 ∫  9-4 x-x2  ⅆx = 2 2 -Log3+2 -Log-2+ 13 -x+Log2+ 13 +x ∫  5+4 x-2 x2  ⅆx = 1 3  -(x-3) 2 ⅆx = 1 2 13 3 -x+Log-3+2 4 1 ∫  6-6 x-5 x2  ⅆx = 14 +C -Log-3+ 39 -5 x+Log3+ 39 +5 x 2 +C +C -Log2+ 14 -2 x+Log-2+ 14 +2 x 2 3 3 +x 39 +C Dapat disimpulkan bahwasanya: ⅆZ ∫ Z 2 - A2 = ⅆZ ∫ A2 - Z 2 = Integral 1 2A 1 2A * ln * ln Z- A +C Z+ A A+ Z +C A- Z Z2 +A2  1 ∫ Rumusnya adalah: * 1. 2. 3. Contoh soal: ∫  x2 +16  ⅆx = 1 1 ∫  x2 +10 x+30   1 A2 -Z 2  Rumusnya adalah: * Contoh soal: 1.  1 25-x2 ⅆZ = 1 A * Tan-1  AZ  + C Tan-1 (x) = ArcTan (x) ArcTan x4 + C ⅆx = 1 ∫  2 x2 +12 x+32  Integral 1 4 1 Z2 +A2 ArcTan ⅆx =  5+x 5  5 ArcTan 3+x 7 +C  7 2 1 A2 -Z2 +C ⅆZ = Sin-1  AZ  + C ⅆx = ArcSin 5x  + C Sin-1 (x) = ArcSin (x) 7 8 Integrasi.nb 2. 3. 4.  ⅆx = ArcSin 2+x + C 3 3-2 x-x2  1 5-4 x-x2  Integral +C ⅆx = ArcSin 1+x 2 1 1 14-12 x-2 x2  1 Z 2 +A2 ⅆx =  1. 2. 3.  4 2  Rumusnya adalah: * ArcSin 3+x     23 x+12 ⅆx = 1 2 x2 +8 x+15 Karena: x2 +8 x+15 15 2 = x2 + 4 x ⅆx = 1 2 x2 +8 x+15 1 Z 2 -A2  7 2  ArcSinh 2 7  Rumusnya adalah: + 7 2 Maka Z = (x + 2) dan A =  +C 15 2 15 2 + = (x + 2)2 +  Integral (2+x) 2 = (x + 2) + ∴  2 7 ArcSinh ⅆx → bisa diubah menjadi 1 2 ⅆx = ArcSinh 5+2 x + C 1 x2 +5 2 2. Sinh-1 (x) = ArcSinh (x) ⅆx = ArcSinh x2  + C 1 x2 +4 = x2 + 4 x + 22 1. ⅆZ = Sinh-1  AZ  + C 1 Z2 +A2 Contoh soal: x2 + 4 x + * +C 7 2  x2 -9 1 1 x2 +6 x+1 1 x2 +4 +C x -9+x2 ⅆx = Log3 + x + ⅆx (2+x) ⅆZ = Cosh-1  AZ  + C 1 Z2 -A2 x+ 15 2 2 2 ⅆx = ArcTanh  -4 Contoh soal:  1 2 Cosh-1 (x) = ArcCosh(x)  1 + 6 x + x2  Dapat disimpulkan secara ringkas dari semua rumus-rumus diatas bahwasanya: 1. ⅆZ ∫ Z 2 - A2 = 1 2A * ln Z- A +C Z+ A Integrasi.nb ⅆZ ∫ A2 - Z 2 = 2. ⅆZ ∫ Z 2 + A2 = 3.  4.  5.  6. ⅆZ A2 - Z 2 ⅆZ Z 2 + A2 ⅆZ Z 2 - A2 1 2A 1 A * ln A+ Z +C A- Z * Tan-1  + C Z A = Sin-1  + C Z A = Sinh-1  + C Z A = Cosh-1  + C Z A Tambahan 3 rumus standar integral lainnya A2 - Z2 ⅆ Z = A2 2 * Sin-1 ZA  + Z2 + A2 ⅆ Z = A2 2 * Sinh-1 ZA  + Z2 - A2 ⅆ Z = A2 2 * 1.  2.  3.  * Contoh soal: 1.  x2 + 4 x + 13 ⅆx = 1 2 Z 2 - A2 A2 (2 + x) Integral dengan bentuk → ∫ ∴ Z A2 - Z 2 A2 Z Z +C Z 2 + A2 A2 +C - Cosh-1 ZA  + C  13 + x (4 + x) + 9 ArcSinh 2+x 3 1 a+b Sin2 x+c Cos2 x ⅆx Kuncinya dari rumus ini adalah subtitusikan t = Tan 2x . Dari sini, kita bisa menemukan bentuk yang sesuai untuk Sin x 2 dan Cos 2x dari diagram simpel seperti sebelumnya, tetapi itu berarti kita juga harus menentukan Sin x dan Cos x yang dihasilkan dari bentuk segitiga yang sudutnya 45° (half angle trig). pertama-tama, kita perlu menggambarkannya dengan detail: 9 10 Integrasi.nb Keterangan: ∴ t = Tan ∴ Sin ∴ Cos <> Sin x = 2 * Sin <> Cos x = Cos2 x 2 x 2 x 2 = x 2 = x 2 t 1+t2 1 1+t2 * Cos x 2 = 2* - Sin2 x 2 = <> Juga, jika t = Tan 2x , maka Jadi, kita mendapatkan hasil: Jika t = Tan * 1. x 2 * 1 = 2t 1 + t2 = 1 2 1 + Tan2 2x  2t 1 + t2 2 Cos x = 11 -+ tt2 2 ⅆt ⅆx = 1+t 2 Sin x = Contoh soal: ⅆx 2 x ∫ 5+4 Cos[x] = - 3 ArcTan3 Cot 2  Karena: Subtitusikan t = Tan ∴ ∫ 2. ∫ ∫ x 2 ke dalam persamaan: 1-t2  1+t2  5 + 5 t2 + 4 - 4 t 2 = 1 + t2 9 + t2 = 1+ t2 2 ⅆx 2 ⅆt = ∫ 1+t * 1+t 2 5+4 Cos[x] 9+t2 ⅆt = 2 ∫ 9+t2 2 = * Tan-1  3t  + C 3 = - 23 ArcTan3 Cot x2 + C ⅆx = - 15 Log2 Cos x2  - Sin x2  + 15 LogCos x2  + 2 3 Sin [x]+4 Cos[x] ⅆx = LogSin x2  - LogCos x2  + Sin x2  1+Sin [x]-Cos[x] 5 + 4 Cos x = 3. t 1+t2 1+t2 1 t 1 - t2 - 1+t2 = 1 + t2 1+t2 ⅆt → ⅆx = 12 Sec2 2x 2 = 1+t 2 ⅆx 2 = 1+t 2 ⅆt 2 ⅆt ⅆx = 1+t2 5+4 Sin x2 