特別な場合とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

索引トップ用語の索引ランキング

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/11 07:56 UTC 版)

ある頂点から伸びる全ての対角線により凸多角形は扇形分割され、これは三角形分割であるため、線形時間で三角形分割が可能である。レオンハルト・オイラーによって、凸n角形の三角形分割の組合せの数は、交差しない対角線の数であり、(n − 2)番目のカタラン数、つまり。アラン=フルニエとD.Y. Montunoによって、単調多角形は、線形時間で三角形分割可能であることが示された。Godfried Toussaintのアルゴリズムによっても線形時間で三角形分割可能である。

※この「特別な場合」の解説は、「多角形の三角形分割」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「多角形の三角形分割」の記事については、「多角形の三角形分割」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/02/09 05:38 UTC 版)

「前加法圏」の記事における「特別な場合」の解説

以下の特別な場合の前加法圏のおおくについては既に上で述べたが、参考のためにここでもあわせて挙げておく。環はちょうどひとつの対象をもつ前加法圏である加法圏は全ての有限双積をもつ前加法圏である前アーベル圏は全ての核と余核をもつ加法圏であるアーベル圏は全てのモノ射とエピ射が正規（英語版）である前アーベル圏である研究されているほとんどの前加法圏は実際にはアーベル圏である。例えば、Abはアーベル圏である。

※この「特別な場合」の解説は、「前加法圏」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「前加法圏」の記事については、「前加法圏」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/19 16:38 UTC 版)

「アーベル方程式」の記事における「特別な場合」の解説

テトレーションの方程式は、f = exp であるようなアーベル方程式の特別な場合である。整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば α ( f ( f ( x ) ) ) = α ( x ) + 2 {\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~} や α ( f n ( x ) ) = α ( x ) + n {\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~} などのようになる。ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである。

※この「特別な場合」の解説は、「アーベル方程式」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「アーベル方程式」の記事については、「アーベル方程式」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/29 17:37 UTC 版)

「QR法」の記事における「特別な場合」の解説

行列Aが対称行列である場合、相似変換後に得られる行列Am+1は三重対角行列となる。

※この「特別な場合」の解説は、「QR法」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「QR法」の記事については、「QR法」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:05 UTC 版)

「リース平均」の記事における「特別な場合」の解説

すべての n {\displaystyle n} に対して a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} の場合を考える。このとき ∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ( s ) λ s d s = λ 1 + δ + ∑ n b n λ − n {\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}} となる。ここで c > 1 {\displaystyle c>1} であり、 Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} はガンマ函数、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} はリーマンゼータ函数である。冪級数 ∑ n b n λ − n {\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}} は、 λ > 1 {\displaystyle \lambda >1} に対して収束することが示される。この形式の積分はメリン逆変換であることに注意されたい。その他、数論と関連する興味深いケースは、フォン・マンゴールト函数（英語版） Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} に対して a n = Λ ( n ) {\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)} とすることで得られる。このとき ∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ Λ ( n ) = − 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ′ ( s ) ζ ( s ) λ s d s = λ 1 + δ + ∑ ρ Γ ( 1 + δ ) Γ ( ρ ) Γ ( 1 + δ + ρ ) + ∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}} となる。ここで再び c > 1 であり、ρ についての和はリーマンゼータ函数の零点についての和を意味し、 ∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,} は λ > 1 に対して収束する。ここで現れる積分はネアルン＝ライス積分に似たものである。非常に大雑把に言うと、それらはペロンの公式によって関連付けられる。

※この「特別な場合」の解説は、「リース平均」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「リース平均」の記事については、「リース平均」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:51 UTC 版)

「ヘルダー平均」の記事における「特別な場合」の解説

いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている。最小値 M − ∞ ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = min { x 1 , … , x n } {\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} 調和平均 M − 1 ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}} 幾何平均 M 0 ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 … x n n {\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}} 算術平均 M 1 ( x 1 , … , x n ) = x 1 + ⋯ + x n n {\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}} 二乗平均平方根 M 2 ( x 1 , … , x n ) = x 1 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}} 立方平均 M 3 ( x 1 , … , x n ) = x 1 3 + ⋯ + x n 3 n 3 {\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}} 最大値 M + ∞ ( x 1 , … , x n ) ≡ lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = max { x 1 , … , x n } {\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})\equiv \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}} lim p → 0 M p = M 0 {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}} の証明 (幾何平均)指数関数を使って Mp の定義式を書き変える。 M p ( x 1 , … , x n ) = exp ⁡ ( ln ⁡ [ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p ] ) = exp ⁡ ( ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}} p → 0 の極限で指数関数の引数にロピタルの定理を適用する。分子と分母をそれぞれ p で微分することで lim p → 0 ln ⁡ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) p = lim p → 0 ∑ i = 1 n w i x i p ln ⁡ x i ∑ j = 1 n w j x j p 1 = lim p → 0 ∑ i = 1 n w i x i p ln ⁡ x i ∑ j = 1 n w j x j p = ∑ i = 1 n w i ln ⁡ x i lim p → 0 ∑ j = 1 n w j ( x j x i ) p = ∑ i = 1 n w i ln ⁡ x i = ln ⁡ ( ∏ i = 1 n x i w i ) {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}} を得る。指数関数の連続性により上の関係を代入し直して lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = exp ⁡ ( ln ⁡ ( ∏ i = 1 n x i w i ) ) = ∏ i = 1 n x i w i = M 0 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})} を得る。 lim p → ∞ M p = M ∞ {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }} および lim p → − ∞ M p = M − ∞ {\displaystyle \textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }} の証明（必要なら添え字を付けなおすなどして） x 1 ≥ ⋯ ≥ x n {\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}} と仮定する。すると lim p → ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = lim p → ∞ ( ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p = x 1 lim p → ∞ ( ∑ i = 1 n w i ( x i x 1 ) p ) 1 / p = x 1 = M ∞ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})} を得る。 M − ∞ {\displaystyle M_{-\infty }} については M − ∞ ( x 1 , … , x n ) = 1 M ∞ ( 1 / x 1 , … , 1 / x n ) {\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}} より導出できる。

※この「特別な場合」の解説は、「ヘルダー平均」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「ヘルダー平均」の記事については、「ヘルダー平均」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/28 08:13 UTC 版)

「正規行列」の記事における「特別な場合」の解説

複素行列の中でもユニタリ行列、エルミート行列、歪エルミート行列はすべて正規であり、実行列の場合に直交行列、対称行列、歪対称行列はいずれも正規である。しかし全ての正規行列がこれらのうちの何れかに分類されるというわけではない。例えば行列 A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}} は正規だが、ユニタリでもエルミートでも歪エルミートでもない。二つの正規行列の和や積は必ずしも正規ではないが、その二つが可換であるときには正規になる。 A が三角行列でも正規行列でもあるならば、A は対角行列である。これは A が三角でも正規でもあるときの A∗A および AA∗ の対角成分をみればわかる。具体的に A を上半三角として、A∗A および AA∗ は任意の対角成分が等しいから、第 1-行のノルムと第 1-列のノルムは等しく | | A e 1 | | 2 = | | A ∗ e 1 | | 2 {\displaystyle ||Ae_{1}||^{2}=||A^{*}e_{1}||^{2}} が成り立つ。故に第 1-行と第 1-列の成分は等しく、第 1-列の 2 番目から n 番目までの項は（上半三角だから）0 であり、従って第 1-行もそうである。同じことを 2 番目から n 番目までの行と列の組に対して行えば A が対角行列となることがわかる。

※この「特別な場合」の解説は、「正規行列」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「正規行列」の記事については、「正規行列」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 21:46 UTC 版)

「コーシー・ビネの公式」の記事における「特別な場合」の解説

m >n の場合 1≦k1< … <km≦n となる整数の組 {ki (i=1,…,m )} は存在しないから、公式の右辺は0となり、よって、det(AB )=0 が得られる。実際、A,B の階数はこの場合高々n だから、 m ×m 行列 AB の階数も高々n (<m )であるので、その行列式は0になる。 m = n のとき、A と B はともに正方行列になる。 1≦k1< … 0 なら行列の型は異なる)。空行列の行列式は定義により1だから、公式は 1 = 1 を述べているに過ぎない。 m = 1 のとき、公式は det ( ∑ j = 1 n A 1 , j B j , 1 ) = ∑ k = 1 n det ( A k 1 ) det ( B 1 k ) {\displaystyle \textstyle \det(\sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1})=\sum _{k=1}^{n}\det(A_{k}^{1})\det(B_{1}^{k})} となるが、1×1 行列 A に対して det(A )=A だから、自明の式を述べているに過ぎない。 m = 2 のとき、非自明な公式を与える最小の m であり、そのときの公式 | ∑ k = 1 n a k 1 b 1 k ∑ k = 1 n a k 1 b 2 k ∑ k = 1 n a k 2 b 1 k ∑ k = 1 n a k 2 b 2 k | = ∑ 1 ≤ k 1 < k 2 ≤ n | a k 1 1 a k 2 1 a k 1 2 a k 2 2 | | b 1 k 1 b 2 k 1 b 1 k 2 b 2 k 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{1}b_{1}^{k}&\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{1}b_{2}^{k}\\\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{1}^{k}&\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}b_{2}^{k}\end{vmatrix}}&=\sum _{1\leq k_{1}<k_{2}\leq n}{\begin{vmatrix}a_{k_{1}}^{1}&a_{k_{2}}^{1}\\a_{k_{1}}^{2}&a_{k_{2}}^{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}b_{1}^{k_{1}}&b_{2}^{k_{1}}\\b_{1}^{k_{2}}&b_{2}^{k_{2}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} はビネ・コーシーの恒等式と呼ばれる。

※この「特別な場合」の解説は、「コーシー・ビネの公式」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「コーシー・ビネの公式」の記事については、「コーシー・ビネの公式」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 04:37 UTC 版)

「一般化されたストークスの定理」の記事における「特別な場合」の解説

微分形式を使用したストークスの定理の一般的な形式は、特殊な場合よりも強力で使いやすい。従来のバージョンは、微分幾何学の機構なしでデカルト座標を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすい。さらに、それらはより古く、その結果、それらの名前はより親しみやすい。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアにはより便利であると見なされることがよくあるが、他の座標系（たとえば球座標や円筒座標などの使い慣れた座標系でさえ）を使用すると、従来の定式化の不自然さが明らかになる。名称の適用方法や二重の定式化の使用にも混乱が生じる可能性がある。

※この「特別な場合」の解説は、「一般化されたストークスの定理」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「一般化されたストークスの定理」の記事については、「一般化されたストークスの定理」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 18:59 UTC 版)

「双線型写像」の記事における「特別な場合」の解説

V = W のとき、V 内のすべての v、w に対して B(v,w) = B(w,v) が成立するならば B は対称（英語版）であると言われる。

※この「特別な場合」の解説は、「双線型写像」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「双線型写像」の記事については、「双線型写像」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/12/31 09:03 UTC 版)

「余核」の記事における「特別な場合」の解説

前加法圏において、射を足したり引いたりすることは意味がある。そのような圏において、2つの射 f と g のコイコライザは（存在すれば）それらの差の余核にすぎない： c o e q ( f , g ) = c o k e r ( g − f ) {\displaystyle \mathrm {coeq} (f,g)=\mathrm {coker} (g-f)} . i m ( f ) = ker ⁡ ( c o k e r f ) {\displaystyle \mathrm {im} (f)=\ker(\mathrm {coker} f)} c o i m ( f ) = c o k e r ( ker ⁡ f ) {\displaystyle \mathrm {coim} (f)=\mathrm {coker} (\ker f)} によって与えられる。とくに、すべてのアーベル圏は正規（また conormal）である。つまり、すべてのモノ射 m はある射の核として書ける。具体的には、m はそれ自身の余核の核である： m = ker ⁡ ( c o k e r ( m ) ) {\displaystyle m=\ker(\mathrm {coker} (m))}

※この「特別な場合」の解説は、「余核」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「余核」の記事については、「余核」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/03 23:08 UTC 版)

「クレブシュ–ゴルダン係数」の記事における「特別な場合」の解説

J = 0 {\displaystyle J=0} におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | 00 ⟩ = δ j 1 , j 2 δ m 1 , − m 2 ( − 1 ) j 1 − m 1 2 j 2 + 1 {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|00\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{2}+1}}}} J = j 1 + j 2 {\displaystyle J=j_{1}+j_{2}} と M = J {\displaystyle M=J} におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。 ⟨ j 1 j 1 j 2 j 2 | ( j 1 + j 2 ) ( j 1 + j 2 ) ⟩ = 1 {\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{2}j_{2}|(j_{1}+j_{2})(j_{1}+j_{2})\rangle =1} j 1 = j 2 = J / 2 {\displaystyle j_{1}=j_{2}=J/2} と m 2 = − m 1 {\displaystyle m_{2}=-m_{1}} におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。 ⟨ j 1 m 1 j 1 − m 1 | 2 j 1 0 ⟩ = ( 2 j 1 ) ! 2 ( j 1 − m 1 ) ! ( j 1 + m 1 ) ! ( 4 j 1 ) ! {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{1}-m_{1}|2j_{1}0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}} j 1 = j 2 = m 1 = − m 2 {\displaystyle j_{1}=j_{2}=m_{1}=-m_{2}} におけるクレブシュ–ゴルダン係数は以下で与えられる。 ⟨ j 1 j 1 j 1 − j 1 | J 0 ⟩ = ( 2 j 1 ) ! 2 J + 1 ( J + 2 j 1 + 1 ) ! ( 2 j 1 − J ) ! {\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{1}-j_{1}|J0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J +1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}}

※この「特別な場合」の解説は、「クレブシュ–ゴルダン係数」の解説の一部です。
「特別な場合」を含む「クレブシュ–ゴルダン係数」の記事については、「クレブシュ–ゴルダン係数」の概要を参照ください。

特別な場合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/13 00:43 UTC 版)

「グロンウォールの不等式」の記事における「特別な場合」の解説

もし測度 μ がルベーグ測度に関する密度 β を持つなら、グロンウォールの不等式は u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ a t α ( s ) β ( s ) exp ⁡ ( ∫ s t β ( r ) d r ) d s , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I} と書き換えられる。もし関数 α は非負で、測度 μ の密度 β は定数 c により評価されているなら u ( t ) ≤ α ( t ) + c ∫ a t α ( s ) exp ⁡ ( c ( t − s ) ) d s , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I} が成立する。さらにもし、その非負関数 α が非減少であるなら u ( t ) ≤ α ( t ) + c α ( t ) ∫ a t exp ⁡ ( c ( t − s ) ) d s = α ( t ) exp ⁡ ( c ( t − a ) ) , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I} が得られる。