Estadistica 1

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO NÚCLEO BOLÍVAR CÁTEDRA: ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN Integrantes: Monagas Cruz Barrios Luis Ochoa Yanet Facilitador: Rómulo Rodríguez Ciudad Bolívar, Noviembre de 2014 ÍNDICE Pág. Introducción……………….…………………………………….……..……. Reseña histórica de la estadística.......................................................... Clasificación de la estadística................................................................. Estadística descriptiva...................................................................... Estadística analítica o inferencial..................................................... Concepto de variables............................................................................ Tipos de variables................................................................................... Variable cualitativa............................................................................ Variable cualitativa nominal........................................................ Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa............ Variable cuantitativa......................................................................... Variable discreta......................................................................... Variable continua........................................................................ Concepto de datos, población, muestra, muestra aleatoria, estadígrafo, escala de medición de valores............................................ Datos................................................................................................ Población.......................................................................................... Muestra............................................................................................ Muestra aleatoria............................................................................. Estadígrafo....................................................................................... Escala de medición de valores......................................................... Operaciones básicas: sumatoria (propiedades, razones, ejemplos)...... Propiedades de las sumatorias........................................................ Ejemplos........................................................................................... Razón............................................................................................... Frecuencias, ejemplos........................................................................... Frecuencia absoluta......................................................................... Frecuencia relativa........................................................................... Frecuencia absoluta acumulada....................................................... Frecuencia relativa acumulada......................................................... Proporciones, ejemplos.......................................................................... Porcentaje............................................................................................... Procedimientos para agrupar datos en distribuciones de frecuencias con y sin intervalos de clase................................................................... Distribución de frecuencia para datos agrupados en intervalos..... Distribución de frecuencia para datos no agrupados en intervalos. Empleo de técnicas de representación grafica pertinentes con la escala de medición de las variables educativas..................................... Variable nominal............................................................................... Variable ordinal................................................................................. Variable de intervalo......................................................................... Variable de razón.............................................................................. Gráfico de barras.............................................................................. Pictogramas...................................................................................... Tipos de gráficos utilizados para representar las variables...................... Gráfico de sectores........................................................................... Diagrama de líneas........................................................................... Diagrama de dispersión.................................................................... Curvas.............................................................................................. Histogramas...................................................................................... Polígono de frecuencias................................................................... Ojiva.................................................................................................. Diagrama de frecuencias acumuladas………………................….… Conclusión……………………………………………………….………….. Referencias Bibliográficas……………………………………..….……..… 3 5 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 14 15 16 17 18 18 18 18 19 20 21 22 26 26 27 28 28 28 29 30 31 31 32 33 33 34 35 36 37 38 39 INTRODUCCIÓN En educación existen muchas situaciones en donde RESEÑA HISTÓRICA DE LA ESTADÍSTICA Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola y sobre los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. En el siglo XXXI a.C., mucho antes de construir las pirámides, los egipcios analizaban los datos de la población y la renta del país. Los libros bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos. El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó la realización de un censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality -Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres. Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos, biológicos o físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de "interpretación" de esa información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadístico. La Estadística es una ciencia matemática que trata de la recolección, clasificación y presentación de los hechos sujetos a una apreciación numérica y se utiliza para describir, analizar e interpretar ciertas características de un fenómeno o conjunto de individuos llamado población. CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA La estadística se puede clasificar en dos grandes ramas: Estadística descriptiva o deductiva. Estadística Analítica o Inferencial. Estadística Descriptiva o Deductiva: Se dedica a la descripción, visualización, resumen, presentación y clasificación de datos originados a partir de los fenómenos de estudio obtenidos de la población que se analiza. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, gráfico circular, entre otros. Estadística Analítica o Inferencial: Es aquella que trata de suministrar las características e interpretaciones de un fenómeno colectivo a partir del estudio de una parte de ese grupo, es decir una muestra. Entonces podemos inferir conclusiones o probar hipótesis de la población basándonos en las características de una muestra representativa de la población. Mientras la estadística descriptiva trabaja con todos los individuos de la población, la estadística inferencial, trabaja con muestras, (subconjuntos formados por algunos individuos de la población. A partir del estudio de la muestra se pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. La estadística Inferencial Permite a partir de una parte de los datos en estudio (muestra) sacar conclusiones generales o inferencias del total de dicha información investigada (población). Ambas ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. La estadística inferencial, por su parte, se divide en estadística paramétrica y estadística no paramétrica. CONCEPTO DE VARIABLES Una variable es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población, son una propiedad que puede fluctuar y cuya variación es susceptible de adoptar diferentes valores, los cuales pueden medirse u observarse. Las variables adquieren valor para la investigación cuando se relacionan con otras variables, es decir, si forman parte de una hipótesis o de una teoría. En este caso se las denomina constructos o construcciones hipotéticas. TIPOS DE VARIABLES Existen dos tipos de Variables la Cualitativa y la Cuantitativa Variable Cualitativa: Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos: Variable cualitativa nominal: Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo. Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no numéricas, en las que existe un orden. Ejemplos: La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente. Variable Cuantitativa Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos: Variable discreta y Variable continua. Variable discreta: Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3. Variable continua: Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Ejemplos: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. CONCEPTO DE DATOS, POBLACIÓN, MUESTRA, MUESTRA ALEATORIA, ESTADÍGRAFO, ESCALA DE MEDICIÓN DE VALORES DATOS: Concepto 1: Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. Concepto 2: Características o números que son recolectados por observación. No son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que queremos estudiar. POBLACIÓN Concepto 1: Conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad. Concepto 2: Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. MUESTRA Concepto 1: Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Concepto 2: Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población, es el total de los elementos potencialmente observables. MUESTRA ALEATORIA Concepto 1: Es cuando la elección de la muestra sigue un método impredecible. El muestreo aleatorio puede referirse también a tomar una serie de observaciones independientes de la misma distribución de probabilidad. Concepto 2: Una muestra aleatoria es una muestra sacada de una población de unidades, de manera que todo elemento de la población tenga la misma probabilidad de selección y que las unidades diferentes se seleccionen independientemente. ESTADÍGRAFO Concepto 1: Es un valor numérico que se obtiene a partir de datos muestrales. Describe alguna característica de la muestra, y la toma de decisiones respecto a la población contiene cierto grado de incertidumbre. Concepto 2: es una función matemática que utiliza datos de muestra para llegar a un resultado que debe ser un número real. Los Estadígrafos son utilizados para estimar parámetros o como valores de distribuciones de probabilidad que permiten hacer inferencia estadística (la inferencia estadística son los contrastes de hipótesis y los intervalos de confianza de uno o varios paámetros). ESCALA DE MEDICIÓN DE VALORES Concepto 1: Son una sucesión de medidas que permiten organizar datos en orden jerárquico. Las escalas de medición, pueden ser clasificadas de acuerdo a una degradación de las características de las variables. Estas escalas son: nominales, ordinales, intervalares o racionales. Según pasa de una escala a otra el atributo o la cualidad aumenta. Las escalas de medición ofrecen información sobre la clasificación de variables discretas o continuas. Toda vez que dicha clasificación determina la selección de la gráfica adecuada. Concepto 2: El proceso de asignar un valor numérico a una variable se llama medición. Las escalas de medición sirven para ofrecernos información sobre las clasificaciones que podemos hacer con respecto a las variables (discretas o continuas). OPERACIONES BÁSICAS: SUMATORIA (PROPIEDADES, RAZONES, EJEMPLOS) La sumatoria o sumatorio se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos. La expresión se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n". La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ. i es el valor inical llamado límite inferior. n es el valor final llamado límite superior. Pero necesariamente debe cumplirse que: i ≤ n Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresión se puede simplificar: Ahora, veamos un ejemplo: Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma: Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Las sumatorias se pueden representar bajo dos tipos de notaciones: Notación suma abierta.- Esta notación va de una representación de sumatoria a cada uno de los elementos que la componen, por ejemplo: Notación suma pertinente.- Esta notación es al contrario de la suma abierta, va de la representación de cada uno de los elementos de una sumatoria a su representación matemática resumida, por ejemplo: . Algunas fórmulas de la operación sumatoria Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5……+ n); Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos  (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 +……….+ n2):   Fórmula para  la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3): Propiedades de las sumatorias: La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable. La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante. La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término. La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término. La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado. Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos  (sumandos) de una sumatoria se obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a) más la unidad (1): La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k)  y  la cantidad de sumandos (términos):   Ejemplos: Ejemplo 1 Representar mediante la notación de sumatoria: Acá la variación de i es de 1 a 7 como exponente. Por tanto: Ejemplo 2 Denotar mediante la notación sumatoria: Solución: La expresión se puede escribir como:  En este caso una parte del exponente varía desde 2 hasta 6 de forma consecutiva, por tanto: Ejemplo 3 Encuentre el resultado de desarrollar la siguiente sumatoria: Solución  Dándole a i los valores consecutivos desde 3 hasta 10 se tiene: Razón Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede un a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente. Nota: Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón aritmética Pero si se realiza mediante una división se llamara razón geométrica Ejemplo: Las edades de Eduardo y René son 48 y 12 años se observa que : a) 48-12= 36 Razón aritmética (Sustracción) 48 excede a 12 en 36 unidades.}¿ b) 48/12=4 Razón geométrica (División) 48 es a 4 veces 12 Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b. RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA a-b = r a/b = k Donde: a : Antecedente b: Consecuente r : Valor de razón aritmética K: valor de la razón geométrica FRECUENCIAS, EJEMPLOS La frecuencia es la cantidad de veces que se repite un suceso en un rango de un espacio muestral dado. Ejemplo: Supongamos que las calificaciones de un alumno de secundaria fueran las siguientes: 18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13. Entonces: La frecuencia absoluta de 11 es 3, pues 11 aparece 3 veces. La frecuencia relativa de 11 es 0.17, porque corresponde a la división 3/18 (3 de las veces que aparece de las 18 notas que aparecen en total). Existe más de una manera de estudiar la información que nos proporciona la frecuencia estadística. Estos son los tipos de frecuencia; frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada y frecuencia relativa acumulada. Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por ni Frecuencia relativa: La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por fi Donde N = Tamaño de la muestra Frecuencia Absoluta Acumulada: Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por Ni. Frecuencia Relativa Acumulada: Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por Fi PROPORCIONES, EJEMPLOS Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Hay 3 cuadrados azules por cada 1 cuadrado amarillo Una proporción se puede escribir de diferentes maneras: 3 : 1 Usando un ":" para separar valores de muestra ¾ en fracción, dividiendo un valor entre el total (3 de cada 4 cajas son azules) 0,75 en decimal 75% en porcentaje Ejemplo: Si hay un niño y tres niñas se puede escribir la proporción así: 1:3 (por cada niño hay tres niñas) 1/4 son niños y 3/4 son niñas 0,25 son niños (dividiendo 1 entre 4) 25% son niños (0,25 en porcentaje) Usando proporciones El truco con las proporciones es multiplicar siempre los números en la proporción por un mismo valor. Ejemplo: 4 : 5 es lo mismo que 4×2 : 5×2 = 8 : 10 PORCENTAJE El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones. El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo. Ejemplos:  1 centésimo  =   5 centésimos =  50 centésimos =  Cálculo de Porcentaje El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variables directamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa). En el cálculo intervienen cuatro componentes: Cantidad Total  ---- 100 % Cantidad Parcial ---- Porcentaje Parcial Ejemplo (Cantidad total)       $ 1.000  -   equivale al   -     100 % (porcentaje total) (Cantidad parcial)    $  500    -   equivale al   -      50  %  (porcentaje parcial) Un porcentaje también se puede escribir como un decimal o una fracción La mitad se puede escribir... Como porcentaje: 50% Como decimal: 0,5 Como fracción: 1/2 PROCEDIMIENTOS PARA AGRUPAR DATOS EN DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS CON Y SIN INTERVALOS DE CLASE. Las distribuciones de frecuencias son tablas en que se dispone las modalidades de la variable por filas. En las columnas se dispone el número de ocurrencias por cada valor, porcentajes, etc. La finalidad de las agrupaciones en frecuencias es facilitar la obtención de la información que contienen los datos. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior 20, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva. La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad Distribución de frecuencia para datos agrupados en intervalos La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente. Componentes de una distribución de frecuencia de clase Límites de la clase: Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase. Amplitud de la clase: es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase. Marca de clase (Mi): corresponde al punto medio del intervalo, es una característica importante de cada clase ya que no cambia sin importar si la variable es discreta o continúa, se calcula usando la formula: Estos intervalos son de la forma [Li, Ls], cuyo extremo Li es el límite inferior de la clase y el extremo Ls es el límite superior de la clase. No existe alguna ley que defina cómo obtener el número de clases; pero la experiencia recomienda que sean entre 5 y 20 clases. Para construir una distribución de frecuencias en clases seguimos el siguiente procedimiento aplicado al ejemplo: los puntajes de un examen de ingreso a la universidad realizado por 40 alumnos son los siguientes: 110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110. Paso 1. Determinamos el rango (R) de variación de los datos que se define como: R = Xmax – Xmin, Donde Xmax es el dato máximo y Xmin es el dato mínimo. Para el ejemplo Xmax = 140 y Xmin = 90 entonces R = 140 – 90 = 50 Paso 2. Determinamos el número de intervalos o clases k. Una forma de hacerlo es con la Regla de Sturges, donde: k = 1 + 3.3 log (n); Donde n es el número de datos (se recomienda que sean más de 10). Para el ejemplo se tiene n = 40 datos, sustituyendo k = 1 + 3.3 log (40) = 1 + 3.3 (1.602) = 1 + 5.28 = 6.28, La cual se redondea al entero siguiente, en este caso k = 7. Otra alternativa es usando la raíz cuadrada del total de datos n para este ejemplo nos queda así: k = raíz (n) = raíz (40) = 6.32 Que también se redondea al entero siguiente quedando k= 7. Paso 3. Calculamos la amplitud de clase (A), que corresponde a la cantidad de datos que van en casa clase, dividiendo el rango R entre el numero de clases k: sustituyendose redondea a 8. Paso 4. Construimos los intervalos o clases, como la variable es cuantitativa discreta los intervalos o clases son cerrados, es decir de la forma [Li, Ls]. Para formar las clases comenzaremos con los límites inferiores: En la primer clase tomamos Li1 = Xmin (el dato más pequeño) Para las demás clases el límite inferior se obtiene sumando la Xmin con la amplitud, es decir: Li n = Li n –1 + A. Para nuestro ejemplo Xmin = 90 y A = 8, entonces las 7 clases quedan: Para obtener los limites superiores se toma el valor anterior al limite inferior de la clase siguiente, y se va sumando la amplitud A = 8 Finalmente ya se puede elaborar las clases con sus respectivas frecuencias, recordando que cada clase abarca todos los valores que van desde el límite inferior hasta el superior. Los puntajes de los 40 alumnos son: 110, 102, 108, 115, 120, 130, 93, 124, 112, 102, 110, 108, 108, 109, 110, 90, 95, 98, 104, 124, 130, 97, 125, 136, 140, 104, 108, 96, 106, 107, 103, 92, 122, 93, 99, 107, 105, 103, 115, 110. Para la marca de clase (Mi), Se suman los límites de clase y el resultado se divide entre dos. Para nuestro ejemplo obtendríamos las siguientes marcas de clase: Distribución de frecuencia para datos no agrupados en Intervalos Es aquella distribución que indica las frecuencias con que aparecen los datos estadísticos, desde el menor de ellos hasta el mayor de ese conjunto sin que se haya hecho ninguna modificación al tamaño de las unidades originales. Sirve para transmitir los resultados de una investigación de manera clara y concisa. En estas distribuciones cada dato mantiene su propia identidad después que la distribución de frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados, siguiendo un orden lógico con sus respectivas frecuencias. Para calcular la media de datos no agrupados en clases se aplica la siguiente fórmula: En donde n es el número total de datos y son los valores de la variable. Ejemplo: Calcule la media aritmética de los siguientes valores: Por lo tanto la media es 9. EMPLEO DE TÉCNICAS DE REPRESENTACIÓN GRAFICA PERTINENTES CON LA ESCALA DE MEDICIÓN DE LAS VARIABLES EDUCATIVAS Existe una gran variedad de gráficos y la selección apropiada de algunos de ellos para la representación de la información dependerá, entre otras cosas, del tipo de datos, y la preferencia e interés del investigador. Por otra parte no podemos perder de vista el hecho de que los gráficos transmiten en forma inmediata una idea general sobre los principales aspectos de los datos sin proporcionar detalles. Un gráfico debe ser sencillo, de fácil interpretación y suministrar valores aproximados. Al igual que los cuadros estadísticos deben llevar un titulo que explique de que trata la información allí presentada. Uno de los principales problemas con los que se encuentra la Medición Educativa es que se trabaja con variables que no podemos cuantificar de la misma forma que en las ciencias naturales y por tanto no tenemos los instrumentos necesarios para medir los aspectos educativos. Las variables de las escalas de medición que se utilizan en las investigaciones educativas y en la educación en general son la variable nominal, la ordinal, la de intervalo y la de razón; estas asignan números a objetos o acontecimientos de acuerdo con reglas. Variable Nominal. Su fin es identificar sujetos/objetos dentro de una distribución, por lo que únicamente podremos establecer las relaciones de igualdad/desigualdad entre los sujetos/objetos de una distribución. Un ejemplo es el nombre de las ciudades: solo podemos diferenciarlas entre sí de acuerdo con esta escala. El número de los jugadores de fútbol o de baloncesto nos proporciona la misma información: solo sirve para identificarlos y diferenciarlos del resto de jugadores, no podemos establecer ningún tipo de orden o de gradación en función de este número. Igualdad/Desigualdad Variable Ordinal. Está destinada a ordenar a los sujetos/objetos de una distribución en función de alguna característica. Cabe señalar que la distancia entre sus unidades no es uniforme. De esta forma, podemos decir que A está por encima que B, pero no que sea el doble o que sea la mitad uno que otro. Un ejemplo es el orden de llegada en una carrera. Además del atributo de igualdad/desigualdad, en esta escala podemos añadir el ordenamiento de sus componentes. A____B___________C_______________________________D__E______ Variable de Intervalo En esta variable escala la distancia entre las unidades de medida sí es uniforme, de forma que podemos decir que D es el doble que A, por ejemplo. Por ello, permite realizar operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación o división. El cero es arbitrario, no indica la ausencia de atributo. Como ejemplo puede servir la escala de tiempo que utilizamos: el cero es arbitrario, puesto en el nacimiento de Cristo, o la escala para medir la temperatura en grados centígrados, en la que el cero es también relativo. _A____B____C____D Variable de Razón. Similar a la de Intervalo, con la única diferencia que el cero en esta escala sí indica la ausencia de atributo, es cero absoluto. Como ejemplo podemos señalar la altura en centímetros, o el peso en gramos. En ambos casos 4 es doble que 2 (2+2=4), o 4 es la mitad que 8, por ejemplo, debido a que la distancia entre sus unidades de medida es uniforme. Cero absoluto: Debido a la naturaleza de las variables que se utilizan en Educación es muy difícil encontrar variables que tengan un cero absoluto, por ejemplo inteligencia, o rendimiento, por ello al grado máximo que podemos llegar en la medida es habitualmente el de intervalo, aunque por lo general nos quedamos siempre en las escalas ordinales, en las que podemos ordenar a los sujetos en función de alguna variable determinada. Características de las variables Tipos de gráficos utilizados para representar las variables Gráfico de barras Pictogramas Gráfico circular o de sectores Diagrama de líneas o de puntos Diagrama de dispersión Curvas Histograma Polígono de frecuencias Ojiva Diagrama de frecuencias acumuladas Gráfico de Barras Se recomienda para representar series cronológicas, datos cualitativos (ordinales o nominales) y en general para datos donde exista algún orden. En este grafico se representa en el eje de las abcisas (X), las distintas categorías de la variable y en eje de las ordenadas (Y), la frecuencia absoluta o relativa. A cada categoría se le asocia una barra vertical cuya longitud es proporcional a la frecuencia. Las barras deben ir separadas y tanto el ancho como la distancia que las separa son arbitrarios, pero una vez fijados deben mantenerse en todo el gráfico. Las barras pueden graficarse bien sea en sentido horizontal o vertical. Ejemplo de Gráficos de Barras Pictogramas Se usan para hacer más llamativa la representación. Es un gráfico de barras horizontal, para graficar las frecuencias, se usan dibujos alusivos al tema de estudio. Cada dibujo representa un número determinado de unidades, por lo tanto, debe repetirse tantas veces como sea necesario para reflejar una magnitud determinada. Ejemplo de Pictograma Gráfico de Sectores Llamado también grafico de torta, es el más indicado para datos cualitativos nominales y ordinales. Consiste en dividir el circulo en tantos sectores como categorías tenga la variable y donde a cada sector le corresponde un área proporcional a la frecuencia absoluta o relativa asociada con la modalidad que representa. Es necesario determinar cuántos de los 360° grados corresponden a cada sector. Si denotamos por fila frecuencia relativa correspondiente a la modalidad i de la variable y por n a la suma total de las frecuencias, entonces es fácil deducir que la parte del circulo correspondiente a la modalidad i le tocan fi*360/n grados. Ejemplos de Gráfico de Sectores Diagrama de Líneas Utilizado para representar gráficamente una variable de tipo discreto, se construye colocando en el eje de las abscisas los valores de la variable y en el eje de las ordenadas, la frecuencia absoluta o relativa. Para cada valor se traza una línea recta vertical cuya altura es igual a la frecuencia absoluta o relativa asociada con ese valor. Ejemplo de Diagrama de Líneas Diagrama de Dispersión Se utiliza para representar datos cuantitativos bidimensionales o bivariantes, es decir, aquel tipo de dato donde una observación viene dada por una pareja de valores (x;y). Cada observación constituye un punto, el cual se representa en el plano cartesiano utilizando el eje de abscisas para el primer valor x y el de las ordenadas para el otro valor y. Ejemplo de Diagrama de Dispersión Curvas Se utiliza para representar datos cuantitativos de tipo cronológico (series de tiempo). En un sistema de coordenadas se lleva en las abscisa el tiempo y en las ordenadas el valor de la variable. Luego cada par de valores (t,y) se representa mediante un punto y por último se unen todos los puntos mediante líneas rectas. Ejemplo de Curvas Histogramas El histograma es el gráfico adecuado para ilustrar el comportamiento de los datos agrupados en intervalos de clases, es un gráfico de barras compuesto por varios rectángulos adyacentes, que representan a la tabla de distribución de frecuencias de cierta variable cuantitativa. En el eje horizontal se marcan los intervalos (límites de clases), y cada intervalo es la base de cada rectángulo; en el eje vertical se marcan las alturas de los rectángulos la cual viene dada por las frecuencias absolutas simple o relativas. Nota: Cuando se construyen histogramas, el eje vertical debe mostrar el cero verdadero para no distorsionar o representar equivocadamente el tipo de datos. Por razones de estética, el rango de la variable debe constituir la principal porción de la gráfica y, cuando no se incluye el cero, resulta apropiado incluir "fracturas" en el eje. Ejemplo de Histogramas Polígono de Frecuencias Una alternativa para un histograma que algunas veces es útil, es el polígono de frecuencias. En el eje horizontal se marcan las marcas de clase de cada intervalo y para cada una de estas mise marcan las alturas en el eje vertical, las cuales vienen dadas por las frecuencias respectivas (absolutas simple o relativas). Luego, se marcan los puntos (mi , fri, ó fi) y se une con rectas en el plano cartesiano. Para cerrar la curva resultante con el eje de las abscisas, se crean dos puntos medios ficticios, uno anterior al de la primera clase y otro posterior al de la última clase cada uno con frecuencia igual a cero. Ejemplo de Polígono de Frecuencias Ojiva Ojiva o Polígono de frecuencias acumuladas, se emplea en distribuciones de frecuencias cuyas clases son intervalos. Es un tipo especial de gráfico de curvas en el cual se representan las frecuencias acumuladas. Las ojivas son principalmente usadas para determinar gráficamente y de forma aproximada el número o proporción de datos que son menores (mayores o iguales) a una valor de interés. En el eje horizontal se marca sucesivamente los límites superiores de cada clase y en el vertical las frecuencias acumuladas o relativas acumuladas. Para cada límite superior de clase se marca con un punto su correspondiente frecuencia acumulada y al límite inferior de la primera clase se le asigna una frecuencia acumulada igual a 0. Se unen todos los puntos con segmentos de recta y se obtiene una curva no decreciente Ejemplo de Ojiva Diagrama de Frecuencias Acumuladas Es un gráfico equivalente a la ojiva en el caso de distribuciones de frecuencias cuyas clases son valores individuales de la variable. En el eje horizontal se marca sucesivamente los valores de la variable que representan las clases y en el vertical, las frecuencias acumuladas o relativas acumuladas. A cada valor de la variable se le representa su frecuencia acumulada mediante una línea horizontal que se prolonga hasta donde está señalado el próximo valor de la variable. Al trazar las líneas anteriores, se les coloca un punto al comienzo. Esto indica que al correspondiente valor en el eje horizontal le corresponde esa frecuencia acumulada. Fi Valores Ejemplo de diagrama de Frecuencias Acumuladas CONCLUSIÓN La estadística es una de las ramas de la ciencia matemática que se centra en el trabajo con datos e informaciones que son ya de por sí numéricos o que ella misma se encarga de transformar en números. La estadística, si bien es una ciencia de extracción exacta, tiene una injerencia directa en cuestiones sociales por lo cual su utilidad práctica es mucho más comprensible que lo que sucede normalmente con otras ciencias exactas. Se puede decir que la función principal de la estadística es justamente la recolección y agrupamiento de datos de diverso tipo para construir con ellos informes estadísticos que nos den idea sobre diferentes y muy variados temas, siempre desde un punto de vista cuantitativo y no cualitativo. Significa que la estadística se convierte entonces en una ciencia que nos habla de cantidades y no nos da información directa. La estadística es una herramienta de capital importancia, sus métodos y procedimientos son de uso casi obligatorio en la gran mayoría de las ramas del saber. Las ciencias sociales se valen de ella para indagar, hasta donde el método de la estadística lo permite, sobre las tendencias presente y futura del hombre en su constante proceso de cambio. El educador se puede valer de ella para lograr una aproximación al conocimiento de la realidad, especialmente para determinar la precisión de sus observaciones y mediciones. Por otra parte, el razonamiento estadístico constituye un medio útil para desarrollar un aspecto importante de la capacidad intelectual de una persona por lo que viene a formar parte también de la formación humana integral REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS http://www.monografias.com/trabajos48/la-estadistica/la-estadistica.shtml#ixzz3HfWHbBrm http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica http://es.slideshare.net/anthonymaule/tema-11-introudccin-a-la-estadstica http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_2.html http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-muestra-aleatoria.html http://socialestadistico.com/que-es-un-estadigrafo http://www.enciclopediadetareas.net/2012/04/escalas-de-medicion.html http://es.wikiversity.org/wiki/Medici%C3%B3n_en_estad%C3%ADstica. http://www.ditutor.com/estadistica/sumatoria.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Sumatoria.html http://www.ditutor.com/estadistica/frecuencia_estadistica.html http://www.escolares.net/matematicas/frecuencia-estadistica/ http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/proporciones.html http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Porcentaje_calcular.html http://habitantedelinfinito.blogspot.com/2009/08/distribucion-de-frecuencia-para-datos.html http://fcps.uaq.mx/descargas/prope2014/estadistica/2/frecuencias.pdf http://issuu.com/evaluacioncurricular/docs/08.la_investigaci__n_en_la_pr__ctic http://www.uv.es/innomide/spss/escalas.wiki http://webdelprofesor.ula.ve/economia/angelz/archivos/graficos_estadistica_i.pdf 40