一階述語論理と集合論は循環している？
お久しぶりです。このブログ、一年近く放ってありましたが、久々の恒真…もとい更新です。今日は、先日見つけた論理学ネタについて。 一階述語論理と集合論は循環していませんか？ 一階述語論理の意味論には集合概念が使われていて集合論の公理は述語論理で記述されているように感じるのですが、これは卵が先か鶏が先かの構造になっていないのでしょうか。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13108980443 この問題は、質問者自身が言っているようにもちろん擬似問題ではあり、循環はしていないのですが、いい点に気が付いたな、と思います。これは、実は昔から論理学を学ぶ良くできる学生は必ず一度は悩むと言われている問題なのです（ちなみに僕は良くできる学生ではなかったので、自分では気がつきませんでした）。 この質問は、形式的な論理学に関し多く
普遍論争で「実在論」と対立した「唯名論」ですね。「噛み砕いて」とのことですが、そのためには「実在論」と対比して示したほうがわかりやすくなると思いますので、そうさせていただきます。 まず「普遍論争」というのは11世紀後半から14世紀にかけて続いた中世スコラ哲学最大の論争です。一方は「実在論 realism」陣営、一言で言えば「普遍は個物に内在する」と考える立場。他方は「唯名論 nominalism」陣営で、これも一言で言えば「普遍は名辞・呼び名にすぎない」と考える立場です。（なお、realismの訳語としては従来「実念論」というのが一般的でしたが、誤解を招く部分があるので最近は「実在論」と訳されます。） では実在論から。 「普遍は個物に内在する」とはどういうことか。「人間」を例にとります。現実に存在する人間には、もちろんそれぞれの個性があります。容貌もちがいます。そういう個別にちがう部分をど
「証明」という言葉と「計算」という言葉 「計算」という言葉の説明 「証明」という言葉の説明 ここまでのまとめ 補足:「完全」という言葉について 対角化定理と再帰定理 対角化定理 再帰定理 ラムダ計算との関係 第1不完全性定理、停止問題、その他 第1不完全性定理の証明 停止問題、真を表す述語の定義不可能性 自然数論の決定不能性 補足: 「決定可能」「決定不能」という言葉について 第2不完全性定理 第2不完全性定理の証明 第2不完全性定理の内容 補足: ヒルベルトの形式主義(ヒルベルト・プログラム) まとめ 文献 「証明」という言葉と「計算」という言葉 論理学についての話や説明をする場合、 「証明」とか「証明できる」という言葉がふたつの意味で使われる。 ひとつは数学とか日常で普通に使うのと同じ普通の意味での 「証明できる」(何かの正しさを筋道立てて示すことができる)で、 もうひとつは形式的な論
論理学の孤独な散歩道 散歩者の独り言―「孤独な」というのは「ロンリー」という意味ですか。ルソーの自叙伝のタイトルを踏まえている？ 説明が少ないのは、まあ、自分の頭を使えということですね、ロンリーですからね。 論理学で使う記号はパソコンで出しにくいが、Windowsなら、「きごう」と入力すると、ずらずらと多くの記号が出るので、使うものを辞書に登録しておけばよいでしょう。 でも、出ない記号も少なくない。（断定記号（「┠」「|-」みたいなやつ）は矢印（→と⇒）で代用。） 命題論理 （真理関数の理論） 命題論理は、命題（文）を単位として、その論理的関係を分析する。 命題（proposition）とは、真か偽かのどちらか（真理値）を決定しうる文をいう。 否定子と接続詞を含まない単文を、要素命題と呼ぶ。要素命題が組み合わさって複合命題ができる。 要素命題の値が決まれば、全体の値が一意的に決まる複合命題
「直観主義論理の「自然さ」(1) 自然演繹」 直観主義論理の自然演繹では導入則と除去則とが相補的な関係になっている。 「直観主義論理の「自然さ」(2) シーケント計算 」 直観主義論理の自然演繹体系を変形すると直観主義のシーケント計算の体系が得られる。 「直観主義論理の「自然さ」(3)古典論理のシーケント計算と自然演繹」 直観主義論理の演繹体系に規則を追加して結論に複数の論理式を置けるようにすると古典論理の体系になる。 「直観主義論理のカリー・ハワード対応」 直観主義論理の自然演繹と型付きラムダ計算との対応関係の説明。 「call/ccと古典論理のカリー・ハワード対応」 ラベル付きブロック構文とcall/ccの説明。型付きラムダ計算にcall/ccを追加したものは、直観主義論理+(¬A→A)→A = 古典論理に対応する。 「古典論理のカリー・ハワード対応のためのラムダ計算」 λμ計算(の変
ネットワークの計測と解析 インターネットの使われ方やネットワークの挙動を把握する事は、ネットワークを運用し、その技術開発を行う ために欠かせません。しかし、観測で得られるデータ量は膨大ですがノイズが多く、また、観測できるのは極めて限られた部分でしかありません。そこで、膨大なデータから意味のある情報を抽出したり、部分的な観測からより一般的な傾向を推測する事が必要となります。... インターネット基盤技術 速くて、安全で、信頼性が高く、使いやすく、など、インターネットサービスへの要求はますます高まっています。これらの要求に応えるために、インターネットの 基盤技術も日々進歩しています。いまやインターネットはつながるだけのサービスではなく、高度で複雑な機能を備えた社会基盤となりました。IIJ技術研究所は、インターネットの基盤として実現が期待される機能を提供するために、さまざまな技術課題に取り組んで
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