Geometría Euclidiana

En el primer cap´ıtulo establecemos las propiedades m´as elementales de los
cuadril´ateros, hacemos una clasificaci´on, definimos su ´area, establecemos el teorema
de Varignon y, a partir de ´el, obtenemos diversos resultados.
En el segundo cap´ıtulo fundamentalmente atendemos a los cuadril´ateros
c´ıclicos (quiz´a este es el tipo de cuadril´atero del que se conocen el mayor n´umero
de resultados) y a los circunscritos. Con respecto a los primeros, establecemos
cinco distintos criterios que los caracterizan. Los dos primeros en funci´on de
sus ´angulos, el tercero es el teorema de Ptolomeo, que dicho sea de paso, muy
probablemente sea el resultado m´as conocido referente a estas figuras, el cuarto
est´a dado en funci´on de la teor´ıa de l´ıneas antiparalelas y el quinto se basa en
la l´ınea de Simson. Luego nos ocupamos de dos teoremas conocidos como teoremas
japoneses o teoremas de Mikami y Kobayashi. Deducimos la f´ormula de
Brahmagupta, la cual nos proporciona el ´area en funci´on de los lados. Construimos
con regla y comp´as un cuadril´atero c´ıclico a partir de sus lados y damos
condiciones para que la construcci´on sea posible. Adicionalmente, vemos que tal
construcci´on no es ´unica. Por ´ultimo, damos resultados que ligan a las diagonales
con los lados. Para los cuadril´ateros circunscritos establecemos un par de
criterios que los caracterizan. Enseguida definimos los cuadril´ateros bic´entricos
y los ortodiagonales para luego dar condiciones bajo las cuales un cuadril´atero
es bic´entrico. La parte final de este cap´ıtulo la dedicamos al teorema de Casey,
tambi´en conocido como generalizaci´on del teorema de Ptolomeo.
En el tercer cap´ıtulo hacemos una revisi´on minuciosa y ampliada del trabajo
que Ptolomeo realiz´o en su Almagesto. Esencialmente es la construcci´on
geom´etrica completa y detallada de la tabla de valores de una funci´on trigonom
´etrica equivalente al seno: la funci´on cuerda. El motivo por el cual exponemos
este material es que los resultados se obtienen fundamentalmente del
cuadril´atero c´ıclico y de la aplicaci´on del teorema de Ptolomeo. Por otro lado,
esta secci´on, al seguir paso a paso la obtenci´on de los valores de la funci´on cuerda,
muestra c´omo se podr´ıa elaborar geom´etrica y completamente una tabla
para el seno. Al final hacemos un agregado en donde obtenemos, con el uso exclusivo
del cuadril´atero c´ıclico y del teorema de Ptolomeo, las identidades para
el seno o el coseno de la suma o la resta de dos ´angulos, el seno o coseno del
´angulo doble o del ´angulo mitad.
El cuarto cap´ıtulo esencialmente es una introducci´on a un curso de geometr´ıa
proyectiva. Hacemos esto debido a que en tal disciplina el cuadril´atero completo
es la figura a trav´es de la cual se definen todos los conceptos b´asicos. Si bien
para la geometr´ıa proyectiva el tema central es el estudio de las proyectividades y las perspectividades, para despu´es estudiar las c´onicas, tal estudio se realiza
con estrecho apego al cuadril´atero completo. Es por ello que esta figura desempe
˜na un papel fundamental en esta geometr´ıa y, consecuentemente, le prestamos
atenci´on. Cabe destacar que aunque este cap´ıtulo tiene un caracter introductorio
a la materia mencionada, en todo momento se hace ver que el cuadril´atero
completo y su dual, el cuadr´angulo completo, est´an presentes.
El ´ultimo cap´ıtulo, el quinto, se enfoca a revisar y obtener resultados de
los cuadril´ateros de Saccheri y de Lambert. En este cap´ıtulo hacemos ver c´omo
los trabajos de estos dos personajes dieron pie a las geometr´ıas no euclidianas.
Ambos trabajaron fundamentalmente con cuadril´ateros y de ah´ı nuestro inter´es.
Al final establecemos algunas relaciones entre estos dos tipos de figuras.
Hemos incluido un ap´endice en el que examinamos de manera atenta los
´angulos en la circunferencia, a saber: ´angulos inscritos, semiinscritos, interiores
y exteriores. En cada uno clasificamos las distintas posibilidades y todos los
ponemos en funci´on del ´angulo central.

En el actual trabajo se presenta en formato breve el estado, a día de hoy, de desarrollo de la metodología de análisis gráfico de base proporcional-compositiva y metrológica, que venimos utilizando desde 1993,  en el estudio analítico de las fuentes técnicas y de proyecto de los edificios monumentales del Reino de Asturias. El gradual perfeccionamiento de esta metodología al análisis formal de los edificios, ha ido definiendo, con el tiempo, una estructura metodológica de análisis que aquí presentamos ya consolidada, aunque admitiendo mayor perfeccionamiento futuro, a partir de su evaluación crítica y perfeccionamiento. Es preciso destacar como, en su grado actual de desarrollo, ya normalizado en fases, su aplicación nos ha permitido la constatación empírica de las diferentes fases abordadas para el proyecto y ejecución en los edificios conservados, y, lo que resulta –en nuestra opinión-, aún más relevante, el desarrollo proyectual, en hipótesis, de edificios prácticamente perdidos, pero que conserven algún indicio arqueológico que pueda servir de referencia objetiva a la aplicación de dicha metodología.

Puji dan syukur saya panjatkan ke hadirat Illahi Rabbi, sholawat serta salam semoga dicurahkan kepada nabi besar kita Nabi Muhammad saw, keluarganya, sahabatnya, dan para pengikutnya yang selalu taat dan patuh terhadap ajaran yang dibawa oleh Rasullullah saw hingga akhir zaman.

In this monography we will review some concepts about area, length and plane curves with the purpose of presenting two demonstrations of the Isoperimetric Inequality, based on the articles of P. Lax [12] and C. Moreira and N. Saldanha . The fisrt one is an analytical demonstration; the second is an geometric demonstration. We will also treat the question of existence of a solution for the Isoperimetric Problem following the ideas of M. Spivak .

O presente artigo trata das questões de ensino, mais especificamente em
nível médio. O trabalho está dividido em dois momentos. Com o objetivo de
contribuir para o ensino de Geometria não Euclidiana e para mostrar a
necessidade de uma relação direta entre conhecimento cientifico e habilidade
didática é trazida no primeiro momento algumas discussões a respeito da
competência disciplinar e da habilidade didática que precisa fazer parte no dia a
dia do professor. A parte final, por sua vez, refere-se à apresentação por meio de
mapa conceitual de uma proposta de ensino de Geometria não Euclidiana
atribuindo competências e habilidades necessárias para inserir este tema no
ambiente escolar. Buscou-se da mesma maneira, apontar alguns elementos que
dificultam o processo de abordagem de uma geometria alternativa, uma vez que
os mesmos implicam diretamente sobre a relação ensino e aprendizagem.

Se analiza la iglesia de San Julián de los Prados en Oviedo, desde una perspectiva compositivo-metrológica, utilizando la metodología gráfica del autor, afinada al establecimiento de dos fases de proyecto: la traza previa de la planta utilizando una referencia compositiva geométrica -en este caso una combinación de un caso particular de la «División Euclídea«, en combinación con la «Proporción Áurea» para el trazado en planta y alzado del santuario. A continuación, el traslado sobre el terreno de la misma, a través del redondeo a una unidad de medida conmensurable, en este caso -como en el resto de los edificios conocidos ejecutados por el taller al servicio de Alfonso II (791-842)-, el «pie gallico», derivado del «pie dórico» de la Grecia clásica.

This article introduces a new foundation for Euclidean geometry more productive than other classical and modern alternatives. Some well-known classical propositions that were proved to be unprovable on the basis of other foundations of Euclidean geometry can now be proved within the new foundational framework. Ten axioms, 28 definitions and 40 corollaries are the key elements of the new formal basis. The axioms are totally new, except Axiom 5 (a light form of Euclid’s Postulate 1), and Axiom 8 (an extended version of Euclid’s Postulate 3). The definitions include productive definitions of concepts so far primitive, or formally unproductive, as straight line, angle or plane The new foundation allow to prove, among other results, the following axiomatic statements: Euclid's First Postulate, Euclid's Second Postulate, Hilbert's Axioms I.5, II.1, II.2, II.3, II.4 and IV.6, Euclid's Postulate 4, Posidonius-Geminus' Axiom, Proclus' Axiom, Cataldi's Axiom, Tacquet's Axiom 11, Khayyam's Axiom, Playfair's Axiom, and an extended version of Euclid's Fifth Postulate.

El mundo se encuentra convulsionado.  No importa si lo vemos desde un punto de vista económico, político o social, atraviesa por situaciones difíciles.

    A esto añadamos preguntas fundamentales que se hace el ser humano: ¿De dónde venimos? ¿Adónde vamos? ¿Es el Universo un sistema sostenible? ¿De dónde vienen las inestabilidades? ¿Puede el orden surgir del caos?

    La dualidad orden caos ha sido fundamental para explicar el origen del Universo en todas las mitologías y religiones, en la filosofía y en las ciencias.

    Según el pensamiento griego clásico el orden no depende del azar ni de los astros ni de la voluntad de los dioses; surge del cumplimiento de una ley natural basada en el logos, en el razonamiento.

    En el cristianismo el orden de Dios está precedido por el caos que Él mismo ha permitido.  La Biblia comienza hablando de la Creación en estos dos versículos:
Génesis 1:1-2. Reina-Valera Antigua. 1 En el principio creó Dios los cielos y la tierra. 2 Y la tierra estaba desordenada y vacía, y las tinieblas estaban sobre la haz del abismo, y el Espíritu de Dios se movía sobre la haz de las aguas.

Das tentativas frustradas de provar que o quinto postulado de Euclides era um teorema, surgiram as Geometrias Não Euclidianas. Com os quatro primeiros postulados de Euclides e a negação do quinto, surgiram outras Geometrias cujos postulados são possíveis em modelos planos que são tão consistentes quanto o da Geometria Euclidiana. Neste artigo são apresentados os modelos, postulados e conceitos da Geometria Elíptica e Geometria Hiperbólica. Além disso, é discutido o ensino dessas Geometrias.

Abstract: The aim of this paper is to present the copy principle from execution of the principle of separability for the purpose of elucidating the discussions conducted by Hume in understanding the composition of space and its implications for the sciences that operate with spatial constructions. The particular epistemic gain here is to do this within a model of empiricism. Given that there are several irregularities in the manner of analyzing a complex and extracting simple elements from it, as will be demonstrated here, we seek to show that separating a complex considering its simple qualities and decomposing a complex to determine its simple quantities is completely different. Thus, we seek to show how Hume needed to recreate his own cognitive model, strongly based on noting our perceptions, to be able to use it to conceive the composition of space and the operations of geometry that must make reference to it.
Resumo: Esse artigo pretende apresentar o princípio da cópia a partir da execução do princípio da separabilidade, com o objetivo de dilucidar as discussões levadas a cabo por Hume na compreensão da composição do espaço e de suas implicações para as ciências que operam com construções espaciais. O ganho epistêmico singular aqui está em se fazer isso no interior de um modelo de empirismo. Posto que há vários descompassos no modo de analisar o complexo e dele extrair seus elementos simples, como será exemplificado aqui, procuraremos mostrar que é inteiramente diferente separar o complexo em vista de suas qualidades simples, e decompor o complexo para se determinar suas quantidades simples. Por conseguinte, procuraremos mostrar como Hume precisou recriar o seu próprio modelo cognitivo, fortemente embasado no registro de nossas percepções, para poder conceber com ele a composição do espaço e as operações da geometria que têm de lhe fazer referência.