Fixed-point combinators in JavaScript: Memoizing recursive functions It comes as a surprise to many programmers that it is possible to express a "recursive" function like factorial without using recursion or iteration. The technique involved is subtle but powerful: the recursive function is computed as the "fixed point" of a non-recursive function. To compute the fixed point, we can use the Y comb
まとめ: Y combinator は、 不動点演算子 (不動点コンビネータ) と呼ばれるもののひとつである。 ある高階関数 f に Y を適用した値 Yf は、関数 f の不動点となる。 不動点演算子を使うと、名前のない関数でも自分自身を再帰的に呼び出すことができる: Y = (λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x))) Y の改良版 = (λf. (λx. (λp. f((x x), p))) (λx. (λp. f((x x), p)))) これ以外にも、不動点演算子として Turingコンビネータ θ が知られている: θ = (λx. (λy. y ((x x) y))) (λx. (λy. y ((x x) y))) (追記) λ-式 (lambda expression) は、さしずめ『関数のヒモノ (干物)』のようなものである。 水 (=引数) をかけ
Haskell では、Y コンビネータが作れないと誤解している人がいるので、できることを示すと同時に、これまで学んだことをまとめてみます。 遅延評価を活かした Y コンビネータ 関数名を用いた再帰を使ってよいなら、Haskell では遅延評価のおかげで、Y コンビネータを定義である Y x = x (Y x) の通りに書けます。 y :: (a -> a) -> a y x = x (y x) Y コンビネータ用の階乗を定義してみましょう。 fact :: Num a => (a -> a) -> a -> a fact = \f n -> if n == 0 then 1 else n * f (n-1) 以下のように動きます。 y fact 4 → 24 でも、この階乗は Haskell っぽくないので、入り口で分岐するように書き直してみます。 fact :: Num a => (a
Rubyもうすぐ年明けだし，Yコンビネータの魔法みたいな動きに惑わされる人たちがでてくるんじゃないかなと思ってRubyで解説してみます． 参考に[ruby-list:35058] Y CombinatorY CombinatorY Combinator Y Combinatorって何？３年周期くらいでお騒がせのYさんってそもそも何なのかという話ですが，動機として 再帰の時に自分の名前を使わずに，なんとかして関数そのものを呼びたい というのがあって，例えば階乗とかしたいときに def fact(n); n == 0 ? 1 : n * fact(n-1); end # ここを消したい！ と言う事です．何が嬉しいのかというと，さっぱり分かりませんし，arguments.calleeとか普通に名前使える所では使えばいいんじゃないのかな． 前置きRuby1.9のlambdaでは ->{|n| pu
Y コンビネータって何？ - IT戦記で話題になってるYコンビネータがイマイチわからない。 良記事発見したので、Y CombinatorのYコンビネータを読み解いて行きたいと思います。英語版も必見デス。 相当長いです。 Yコンビネータとはナニモノ!? そういや、再帰って、名前が無いと再帰出来ないのかなぁ・・・全ての式がλで書けるなら、再帰関数もλで書けるはずだ。名前イラナイ!!という時、困っちゃうのが再帰関数の定義。僕の少ない頭では定義出来ませんでした。 「再帰をλで書きたい」 と、思ったときに登場するのが「Yコンビネータ」らしい。追っていく。 階乗ってなんだっけ まずは復習。とりあえず階乗を書きます。 (define (fact n) (if (zero? n) 1 (* n (fact (- n 1))))) (fact 10) ; 3628800 式をを分解すると、 (* 10 (*
Y-Combinator in PHP
Since PHP 5.3 now has closures, all things that other languages with closures do should also be possible. One of them is having recursive closures. I.e. something like this: $factorial = function($n) { if ($n <= 1) return 1; else return $n * call_user_func(__FUNCTION__, $n - 1); }; which does not work. One of the ways to do it is to use Y combinator function, which allows, by application of dark m
17:17 08/01/30 ところで C++ か JavaScript か PHP が批判されてるのを見ると思わず何か言いたくなってしまうのだけど、 考えてみるに、他の言語だと割とどうでもいい。そういう意味では、今の自分が好きなプログラミング言語は この３つということになるのかなあ……などと徒然なるままに思いました。 単純に、つきあいが長い方から３つというだけかもしれない。 いやしかし、PHPに対する批判の多くはその通りであるとは思うのですが。 Attacking PHP で触れられてる「リストであり辞書でもある」 array ってあれは普通に便利じゃないです？ 結構他の言語でも欲しくなるのですが。 17:08 08/01/29 PHP で Yコンビネータ PHP じゃ Y コンビネータつくれない と聞いて。 <?php // PHPでは関数呼び出しは 関数名(...) か 変数(...
I've updated the closure script and changed the syntax of the inner-lambdas. See this post for the update. One thing I've always wanted in PHP are closures. I know someone else has already tried to add them in without making a PHP extension, but I decided that I wanted to stay away from PHP's eval. I like the way my solution has turned out except that it requires that get_defined_vars()--or a pse
再帰的な関数を作るときに関数に名前をつけずに定義するにはどうしたらいいのかというのが、Y Combinatorの中心的な話題です。 まずは、再帰の定番、階乗を計算する関数に登場願いましょう。 fact = lambda{|n| if n < 2 1 else n * fact[n - 1] end } puts fact[10] ここからfactという名前を取り除こうというわけですね。 最終目標は、以下のようにして階乗を計算する関数を定義することができるようになることです。 fact = y[lambda{|h| lambda{|n| if n < 2 1 else n * h[n - 1] end } ] ) puts fact[10] ここで出てきたyが、Y Combinatorと呼ばれるものです。 見やすさの為に、factという名前をつけましたが、関数を定義するところではfact
次の関数は再帰的な関数だ。 (define fact (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (fact (- n 1)))))) この関数は内部で自分自身を呼び出しているので、普通の方法では無名関数として定義できない。 こういう場合、不動点オペレータというものを使うと以下のようにしてfactを定義することができる。（fact関数の中で直接factという名前を使っていない所がポイント） (define fact (let ((Y (lambda (F) ((lambda (s) (F (lambda (x) ((s s) x)))) (lambda (s) (F (lambda (x) ((s s) x)))))))) (Y (lambda (f) (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (f (- n 1))))))))) ここで天下り的に出て
という反応が複数。λ計算という「lambdaしかない」計算体系があって、それでも再帰が表現できる（のでチューリング完全である）ことを示すために使います。Schemeっぽく書くと e ::= x | (lambda (x) e) | (e1 e2)という構文と ((lambda (x) e1) e2) --> [e2/x]e1という簡約で定義される言語です（右辺はe1の中のxにe2を代入した式）。 そんなことよりも、λ計算を習ってないのにＹコンビネータについて聞いたことがある、というgeneration gapに年をとったショックを受けたり。そういう私の20代も昨日（今日の深夜？）で終了。 追記：Haskellなどlazyな言語だったら、 (define (my-fib m) ((my-make-fib my-make-fib) m))の部分は (define my-fib (my-make
（追記：Ｙコンビネータって何に使うの？） Yコンビネータ（Curryの不動点演算子）を説明するのがプチブーム（死語）らしいので、ふたたび挑戦。 まず、ふつーに再帰関数factをSchemeで定義してみる。 (define fact (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (fact (- n 1))))))この定義は、右辺にfact自身が出現するので、再帰的定義なのであった。ここから右辺にfactが出現しないようにするのが目標。とりあえず、factを関数の引数として外から受け取るようにしてみる。 (define make-fact (lambda (my-fact) (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (my-fact (- n 1)))))))これは( (make-fact fact) 10)みたく使えるが、make-factを呼び出す際に
不動点オペレータY 階乗関数は、 (define fact (lambda (n) (if (= n 0) 1 (* n (fact (- n 1)))))) のように、再帰的に定義できる。 再帰的定義を行なう場合はdefineやletrecを使うけど、 代わりにletを使うと再帰的定義はできない。 defineやletrecをどうしても使いたくないなら、多少工夫がいる。 例えば、factの引数を増やすという方法がある。 (let ((fact (lambda (self n) (if (= n 0) 1 (* n (self self (- n 1))))))) (fact fact 10)) ⇒ 3628800 (中略) 不動点オペレータYを使うと次のように書ける。 (let* ((Y (lambda (g) ((lambda (s) (g (lambda (x) ((s s) x))
前回、おとうさんにもわかるYコンビネータ！(絵解き解説編) - よくわかりませんというエントリで、Yコンビネータ(不動点演算子)と再帰の絵解き解説をしました。 Yコンビネータ自身は、結局のところ再帰を産み出してくれるだけです。関数(正確にはλという単純な文字列変換ルール)だけで出来て、プログラミングに関するいろんな原理の研究を可能にするのが凄い訳です。その辺のさわりを、きしださんが解説されています。しかし、単なる再帰なら、実際のプログラミングではYコンビネータなんて使わなくても出来ます。 じゃあ、Yコンビネータとか不動点とかは、偉い学者さんとかが研究に使えばいいもので、普通のプログラマには何の意味もないモノなのでしょうか？ というわけで、今回はポジティブに、Yコンビネータや不動点で出てくる考え方を、理論だけじゃなく、実際のプログラミングに応用する例を見てみましょう。 今回、プログラムの例を
先日YコンビネータのきしださんのYコンビネータのエントリが話題になっていました。 ずいぶん日にちが経ってしまいましたが、自分も、自分なりにYコンビネータのあたりを絵解きで整理してみたいと思います。きしださんのエントリタイトル*1に引っ掛けて、目標として、自分の父親(非プログラマ。その辺のおっさん)でも解る内容を目指します。 なぜ不動点演算子というのか、不動点だったらなぜ再帰なのか、この辺りも含めて、実感を持って納得できればいいなと思います。 きしださんのエントリのおさらい 本題の前に、きしださんのエントリをおさらいしておきます。 Yコンビネータはただのオモチャじゃないんだよ 関数だけで色んな事が出来る 条件分岐をする関数ってのもある。 再帰(ループ)を作れる関数もある。←これがYコンビネータ。 数値も関数で表現できる。 つまり、関数だけで、条件分岐も、再帰(ループ)も、数値も作れちゃう！！
ぼくもYコンビネータがわかるようになるまではそうだったのだけど、Yコンビネータを使うとどのような処理ができるのかがよくわからなくて悩んでいる人が多いように思う。他の人のブログを見ても、名前をつけずに再帰ができるのがすばらしいとか書いてあったりするのだけど、それによってどういう処理ができるのかわからずにいた。 結論をいえばYコンビネータには、なにかの処理を便利にする能力はない。関数であらゆる計算ができるということが示せれば、あとは用なしだ。理論の礎としてうまってしまえばいい。 結局、Yコンビネータによってどのような処理ができるかというのは、ラムダ計算の要素のメリットをチューリングマシンの中に見出そうとしてるといえる。 ラムダ計算とチューリングマシンは、どちらも計算モデルという点では一致しているけど、全く違う。 無限であるか有限かの違いといってもいい。 チューリングマシンでは、データの量と処理
[The Little Schemer]Y Combinator（再）
;; Road to Y Combinator (define inc (lambda (n) (+ n 1))) ;; normal length (define length (lambda (l) (cond ((null? l) 0) (else (inc (length (cdr l))))))) ;; without "define" ;; empty-list-length (lambda (l) (cond ((null? l) 0))) ;; execute with empty-list ((lambda (l) (cond ((null? l) 0))) '()) ;; => 0 ;; execute with non-empty-list ((lambda (l) (cond ((null? l) 0))) '(1 2 3)) ;; => #<undef> ;; 1
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このエントリの 親友へ。ブログを書こう。 - IT戦記 y がブログを始めたみたいなので、読んでみた。 で、最新のエントリを読んでみたら、 Y コンビネータというものについて書いてあったので、 Y Combinatorが凄すぎる！ - yuji1982の日記 Y コンビネータって何ってところから、自分でもいろいろ考えてみた。 結局なんなのかさっぱり分からなかったんですが、自分が考えたことをまとめておく まず、フィボナッチ数を求める fib を定義する var fib = function(n){ return (n <= 2) ? 1 : (arguments.callee(n-1) + arguments.callee(n-2)); }; fib(10); おお！ JS すげー！名前は n しか使ってねーよ！ めでたし、めでたし。。。。じゃなくて！ JS が素晴らし過ぎて話が終わってしま
やっと、Yコンビネータが何を意味するものなのか、どういう意義があるのかがわかりました。 名前を使わず再帰ができますよ！というだけのものじゃなかったのですね。 まずλありき 関数の話をしたいのです。 そのとき、いちいち hoge(x) = x * 2 としてhogeを・・・、とか名前をつけて話を進めるのがめんどうなので、関数を値としてあらわすと便利ということで、λという値を定義するのです。 そうすると、上のhoge関数なんかはλ(x)(x*2)などとあらわせますが、引数をあらわすのに()を使うといろいろまぎらわしいので、 λx.x*2 のように表記します。 というのがλ。 このとき、λになにかわたされたら、引数としてあらわされる部分を単純におきかえます。 (λx.x*2)y とあったら、xの部分をyでおきかえて (λx.x*2)y → y * 2 となります。λの引数部分を与えられた引数で置
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